数学物理方法2

合集下载

数学物理方法课程教学大纲

数学物理方法课程教学大纲
3. Use Fourier transform and Laplace transform to solve physics problem;
4. Be familiar with the calculus of variations;
5. Apply the method of conformal mapping to solve related physics problems;
数学物理方法(2)
Mathematical Physics (2)
*课程性质
(Course Type)
培养计划课程
Required Course
授课对象
(Target Audience)
*授课语言
(Language of Instruction)
中英文双语
Chinese and English
*开课院系
(School)
物理与天文学院
School of Physics and Astronomy
先修课程
(Prerequisite)
高等数学(1),高等数学(2),物理学引论(1),物理学引论(2)
Calculus I, Calculus II, Introduction to Physics I, Introduction to Physics II
《数学物理方法(2)》课程教学大纲
Mathematical Physics (2)Course Outline
课程基本信息(Course Information)
课程代码
(Course Code)
PH239
*学时
(Credit Hours)
64
*学分
(Credits)

数学物理方法第二章复变函数的积分

数学物理方法第二章复变函数的积分
1 1
一般而言,复变函数的积分不仅与起点和终点有 关, 同时还与路径有关。
§2.2 柯西(Cauchy)定理
——研究积分与路径之间的关系 (一)单连通域情形 单连通域: 在其中作任何简单闭合围线,围 线内的点都是属于该区域内的点。 单连通区域的Cauchy 定理 :如果函数 f (z) 在闭 单连通区域 B 中单值且解析, 则沿 B 中任 何一个分段光滑的闭合曲线 l (也可以是 B 的 边界 l0 ), 函数的积分为零。
lim f( z z ) k)( k k 1
n
存在且与 k 的选取无关, 则这个和的极限称为 函数 f (z) 沿曲线 l 从 A 到 B 的路积分,记为


l
f (z) dz
n k k k 1
z ) d z lim f ( )( z z f(
l n k 1 max | z | 0 k
l 1 l 2
f (z)=Re (z)不是解析函数!
y i l2 o l1 1 l2
I1 Rez d z xd( x iy) 1 xd x i d y i 0 0 2 ( y = 0) (x=1)
1 1
1+i
l1 x
1 I 0 id y x d x 2 0 0 (x=0) ( y=i ) 2
l l l
v u u v d x d y i d x d y s s x y y x
又u、v 满足C-R条件 u v u v , x y y x
y
f ( z ) d z 0
l
B
l
o

数学物理方法2

数学物理方法2

第一章 复变函数论
例: f(z)=z2
2 2 2 ( z z ) z 2 z z z f ' ( z ) lim lim 2z z 0 z 0 z z
例:f(z)=Re(z)
Re( z z ) Re( z ) Re( z x) Re( z ) f ( z ) lim lim 1 z 0 x 0 z x
u u 2 0 2 x y
2 2
同样有:
v v 2 0 2 x y
2 2
第一章 复变函数论
u(x,y)和v(x,y)满足2维的Laplace方程,称之为调和函数。U 和v互为共轭,称之为共轭调和函数。
u u u ( x, y ) ( , ) x y 2u 2u u ( x, y ) 2 2 0 x y
续),而且满足Cauchy-Riema 复变函数论
沿径向和横向分别逼近,可以得到极坐标下的CauchyRiemann方程:
u 1 v 1 u v
第一章 复变函数论
复变函数可微 vs 二元函数可微
第一章 复变函数论
第一章 复变函数论
将 Cauchy-Riemann 方程两边分别相乘:
u v u v , x y y x u v u v 0 x x y y u u v v ( , ) ( , ) 0, u v 0 x y x y
'
沿虚轴逼近:
w u iv u v f ( z ) lim lim i y 0 z y 0 iy y y
'
因此:
u v u v , x y y x
(Cauchy-Riemann方程)

数学物理方法1-2复变函数的积分

数学物理方法1-2复变函数的积分

莫雷拉定理
总结词
莫雷拉定理是复变函数中一个关于全 纯函数的积分性质的定理。
详细描述
莫雷拉定理说明,如果全纯函数f(z)在圆盘 |z| < R内有界,那么对于任意实数t,积分 ∫f(z)e^(it)dz在|z| = R的边界上非零。这个 定理在研究全纯函数的性质以及解决一些数 学物理问题时非常有用。
柯西定理
总结词
柯西定理是复变函数中的一个基本定理,它表明如果一个函数在某个区域内的点上满足某种条件,则 该函数在该区域内可积。
详细描述
柯西定理说明,如果函数f(z)在某个区域D内是解析的,并且存在常数C使得对于D内的任意点z,都有 |f(z)|≤C,那么函数f(z)在D内是可积的。这意味着满足一定条件的解析函数在一定区域内具有可积性。
幂级数展开的收敛性
幂级数展开的收敛性取决于函数的性质和级数的收敛条件。
幂级数展开的应用
幂级数展开在数学物理中广泛应用于求解微分方程和积分方程。
泰级数展开
泰勒级数展开定义
01
将一个复变函数表示为多项式的无穷级数。
泰勒级数展开的收敛性
02
泰勒级数展开的收敛性取决于函数的性质和级数的收敛条件。
泰勒级数展开的应用
个定理在解决一些数学物理问题时非常有用。
柯西不等式
总结词
柯西不等式是复变函数中一个基本的积分不等式,它反映了函数与其共轭函数之间的积分关系。
详细描述
柯西不等式表明,对于任意实数a和b,以及在全平面上的非负函数f和g,有∫f(z)g(z*)dz ≥ |∫f(z)dz * ∫g(z*)dz|, 其中z*是z的共轭复数。这个不等式在处理一些积分问题时非常有用。
积分路径
积分性质
复数函数的积分具有线性性质、可加 性、可交换性等基本性质。

数学物理方法课后答案 (2)

数学物理方法课后答案 (2)
若?x在无穷远点的无心邻域在大圆弧czreirr上limz?zk一致成立则lim?zdzik?12rrcr21解上第一式表明任给0存在与argz无关的m0使当zrm时dz有z?z?k利用i?复变函数性质5及上式可证c21rz?adzdzlim?zdz?ikzzkzzk2???max???rcr1crzcrz21?由于可任意小21为常量故上式可任意地小
2
2+ 4 i
1+i
[( x 2 − y 2 ) + 2ixy ](dx + idy )
86 − 6i 3
= ∫ [ x 2 − (3 x − 2) 2 + 2ix(3 x − 2)](1 + 3i ) dx = −
(3)沿1 + i 到 2 + i ,再到 2 + 4i 的折线。
I =∫
2 1
2+ 4 i
L
∫ ∫
L
f (ξ )[
f (ξ ) Δ z ∫ L (ξ − z ) 2 (ξ − z − Δ z ) d ξ
ξ − z ( ξ − z − Δz )
2
d ξ , 现 在 讨 论 能 否 找 到 δ ( ε ), 使 当 Δ z < δ 时 d ,同 时 将 2
上 式 成 立 。 因 本 题 是 讨 论 Δ z → 0时 的 积 分 极 限 , 不 妨 令 Δ z < min z − ξ = d 代 入 有 Δ I ≤ δ
4 4 1 1 0 0
I3 = ∫ {[2(t2 + 3) + (2t)2 ]2dt + [3(2t)-(t2 + 3)]2tdt} = ∫ (24t 2 + 12 − 2t 3 − 6t )dt =

数学物理方法第2章复变函数积分-2016方案

数学物理方法第2章复变函数积分-2016方案

(2.1.3)
(2) 化为参数积分计算.设积分曲线L的参数方程为z(t),
将z(t)及dz(t)=z'(t)dt代入式(2.1.4),可得
3
【例2.1.1】计算积分I=
其中曲线L是
(1)沿1+ i 到2+4 i 的直线,见图2.2(a);
(2)沿1+ i 到2+i,再到2+4 i 的折线,见图2.2(b);
§2.2.1 单通区域的柯西定理
定理 若函数f(z)在单通区域D 内解析,则f(z)在D内沿任意 闭曲线的积分为零
∮l f(z)dz = 0 (2.2.1)
证明 这个定理的严格证明比较复 杂, 为简单起见, 我们在“f(z)在D 内连续” 附加条件下证明这个定 理.
先将复变积分化为两个实变积 分的线性叠加
29
这就是解析函数的定积分公式,它与实变 函数中的牛顿-莱布尼茨公式具有相同的形 式。
通常把f(z)的原函数的集合
称f(z)的不定积分,式中C为复常数。
30
(2.2.8)
31
§2.2.3 复通区域的柯西定理
定理 若f(z)在闭复通区域 解析,则f(z)沿所
有内、外边界线(L=L0+ 之和为零
37
【2.2.2】试计算 其中积分回路分别(图2.11) (1) |z-i|=2;(2) |z+i|=2;(3) |z|=3.
38
解 首先,将被积函数分解为部分分式(利用通 分可以凑出来)
≠0
=0
39
40
【例2.2.3】若f(z)=1/(z-a) 在z=a的无心邻域内 连续,积分回路是以a点为圆心的圆弧
由于a点在D内随意变动时,柯西公式依然成立, 有时分别用z和x代替式 (2.3.1)的a和z。将柯西公 式改写为

高中数学竞赛数学物理方法课件(§2

高中数学竞赛数学物理方法课件(§2

1 2πi
C
f (z)
z a
dz
1 2πi
C
f (a) dz z a
f
(a )
20
单连通情况下的柯西公式
f
(z)在单连通闭区域
——
B
上解析,l是边界线,a是
任意内点,则lFra bibliotekf(a )
1 2πi
l
f (z)
z a
dz
B
a
内点函数值完全由边界上数值的积分决定。
21
单连通情况下的柯西公式
由a的任意性,可替换为z,积分参数改用。
f (z)dz f (z)dz 0
l1
l 2
f (z)dz f (z)dz
l1
l2
8
不定积分
复连通区域不行。
l3
l4
B
l2 l1
A
f (z)dz f (z)dz
l1
l2
f (z)dz f (z)dz
l1
l 3
f (z)dz 0 l4
f (z)dz f (z)dz
所以,对于区域 l 外的一点a,
f (a) 1
f (z) dz f ()
2πi l,顺 z a
l
a
27
柯西公式的应用1——高阶导数
柯西公式: f (z) 1 f ( ) d
2πi l z
因为积分在l上,即是在l上,而z是内点不在l上, 所以分母−z不会为0。上式可对z求n阶导。即解
nz
dn f z
dz n
n! 2πi
l
(
f ( )
z)n1
d
29
柯西公式的应用1——高阶导数

《数学物理方法》课程二

《数学物理方法》课程二


f g
(z) (z)


f (z)g(z) f (z)g(z) [ g ( z )]2
df (z) dz

1 dz
, dF (w) dz

dF dw

dw dz
df
(zn ) nzn1, (ez ) ez
(cos z) sin z , (sin z) cos z
难点:初等多值函数及其支点,支割线的概 念;已知解析函数的实部(或虚部)求该解 析函数的方法
§2.1 解析函数
一、导数的定义
设函数
在区域D上有定义,

,如果极限
f (z z) f (z)
lim
z 0
z
存在,则称此极限为函数
在z 点的导
数,记为: 或
,这时称函数
在z 点可微 (或可导).
微,即
lim f (z z) f (z) f (z)
z0
z
若记
, 其中,
则前式可变为
由于 先看
lim u iv f (z) x0 x iy
y0
无论按何方式趋于零,上式总成立。 沿实轴趋于零的情况。此时
f (z) lim u iv lim u i lim v u i v
在极坐标系中,

哥西-黎曼条件为
三、解析函数的定义
定义:如果函数
在区域D上处处
可微,则称 是区域D上的解析函数,或称
在D上解析.
讨论:
1)有时说:“函数 在某点解析”,是指
在该点的某一邻域内处处可微.
2)“函数 在闭区域 上解析”,是指
它在包含 的某个区域上解析.

数学物理方法第2章复变函数积分-2016

数学物理方法第2章复变函数积分-2016

49
50
【例2.3.2】试计算积分,
积分回路L为x2 + y2=2x 解 (1) 积分回路的形状: (x-1)2+y2=1
(2)被积函数的奇点.

方程z4+1=0有四个根:z=exp[i (p+2kp)/4], k=0,1,2,3,因此,被积函数有四个奇点,但仅有 z1与z4位于积分回路之内
51
2. 复通区域的柯西公式

设f (z)在闭复通区域D中解析,a为D的内点, 则 式中积分沿D的内外边界线的正方向.
32

证明 为了应用单通区域的柯西定理,作割线把外边界线 L0与内边界线连接起来,将闭复通区域变成闭单通区域。
33
推论3 在f(z)的解析区域中,积分回路连 续变形时,其积分值不变.

证明 取变形前后的积分回路 作为复通区域 的内外边界 线,如图2.9所示.由式 (2.2.21a) 可得
移项后,改变l2的积分方向,即有

复变积分性质(5)及式(2.2.34),可证
43
由于e可任意地小,(q2-q1)为常量,式
(2.2.35)表明
可任意地小根据极限的定义,可得
44
2. 大圆弧引理

若j(z)在无穷远点的无心邻域内连续,在大 圆弧CR(z=Reiq, R→∞,q1<q<q2 )上

这两个引理为计算沿圆弧的积分带来方便. 2.3节将分别用来证明单通区域及无界区域的 柯西公式.
(3)按复通区域的柯西定理及柯西公式计算以小圆周c1 和c2分别包围奇点z1和z4 ,则被积函数在外边界线l 与内边界线c1 , c2 所围的复通区域解析。按复通区 域的柯西定理,沿l的积分等于沿C1与C2积分之和, 后两个积分可按柯西公式算出,即

武汉大学:数学物理方法课件2_1Bessel函数

武汉大学:数学物理方法课件2_1Bessel函数
+1 :
ν
(ν - ν )C0 = 0, 设 C0 ≠ 0
2 2
2 2 ( ν + 1) ν C1 = 0 → C 1 = 0
x v+k :
2 2 ( ν + k ) ν C k + C k -2 = 0
Ck -2 ∴ Ck = (3) k (2ν + k )
n m
n m ——称之为
J n ( x)
0 x 的第m个零点如: 1 = ?
0 , x2 =?
③本征值问题(9)~(10)或(9)’~(10)’
n 本征值为: m
k
=
n xm 本征函数为:y = Jn ρ a
n xm a
证:∵ 由(9)’=1有:y ( x ) = J n ( x ) 而由(10)’ 有 J n (ka ) = 0 即 ∴
由书p353,常微方程的级数解法知,
1 p( x ) = , x ν q( x ) = 1 - x
2
∴ x=0为(1)的正则奇点,故
k+ρ y = C x ∑ k 1.令

k =0
代入(1):
∑(k + ρ)(k + ρ -1)Ck x + ∑(k + ρ)Ck x + ∑Ck x
(-1) x y = J ±ν ( x ) = ∑ k = 0 k ! Γ( ±ν + k + 1) 2
∞ k 2 k +ν
(**)
当 ν ≠ n : y c = Cν Jν ( x ) + dν J -ν ( x ) 当 ν = n : J - n ( x ) = (-1) J n ( x ) 2.

数学物理方法习题2及答案

数学物理方法习题2及答案

1. 计算221z dz z z --⎰的值,Г为包含圆周|z|=1在内的任何正向简单曲线。

解:我们知道,函数221z z z--在复平面内除z=0和z=1两个奇点外是处处解析的。

由于Г是包含圆周|z|=1在内的任何正向简单闭曲线,因此它也包含这两个奇点。

在Г内作两个互不包含也互不相交的正向圆周C1与C2,C1只包含奇点z=0,C2只包含奇点z=1。

那么根据复合闭路定理得: 221z dz z z --⎰=22122121c c z z dz dz z z z z --+--⎰⎰1122111111c c c c dz dz dz dz z z z z =+++--⎰⎰⎰⎰ =02204i i i πππ+++= 2. 求积分0cos i z zdz ⎰的值。

解:函数cos z z 在圈平面内解析,容易求得它有一个原函数为sin cos z z z +.所以 00111cos [sin cos ]sin cos 11122ii z zdz z z z i i i e e e e i e i ---=+=+--+=+-=-⎰ 3..试沿区域i 1ln(1)Im()0,Re()0||1,1z z z z dz z +≥≥=+⎰内的圆弧计算积分的值。

解:函数ln(1)1z z ++在所设区域内解析,它的一个原函数为21ln (1),2z +所以 i 222112222ln(1)11ln (1)|[ln (1)ln 2]12211ln 2ln 22243ln 2ln 2.3288i z dz z i z i i πππ+=+=+-+⎡⎤⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=--+⎰ 4.求下列积分(沿圆周正向)的值:1)||41sin 2i z z dz z π=⎰; 2)||412z 13z dz z =+-⎰(+); 解:由柯西积分公式得: ||41sin 2i z z dz zπ=⎰=0sin |0z z ==; ||4||4||12221226z 1313z z z dz dz dz i i i z z z πππ==+=•+•=+-+-⎰⎰⎰(+)= 5..求下列积分的值。

数学物理方法答案2

数学物理方法答案2

1 2n
1 2n
1,
故 lim a 2 n b 2 n 2 n max a, b 。 n 于是所求级数的收敛半径 R max a, b 。
an a 2 n 2 b2 n 2 或: R lim , R lim 。 n n a a 2 n b2 n n 1
2
解: a.
z 1 z 1 2 1 2 2 2 2 。 z ( z 1) z ( z 1) z z ( z 1)
2 1 1 z n , 1 z z 1 n 0
在 0 z 1 内,
3

z 1 1 1 1 n2 n 2 z 2 z 2 zn 。 2 2 z 2 ( z 1) z 2 z z n 0 n 2 n 1

z 1 。
b.
2 2 1 z 1 1 3 1 z 1 z2 z2 3
1
2 n z 1 n z 1 1 1 2 1 n1 3 n0 3 3 n0 n n
z 1 3
2
c.
2

n
d 1 , dz z i
n
1 1 1 1 1 1 z i n z i 2i z i 2i 1 z i 2i n 0 2i 2i
n0
【 i 1 2 】
1
1
n 1 2
z 0 是 z z 2 1 的一阶零点,从而是
z z 2 1
z 1
2
的一阶极点;
5
2 z z 2 1
z i
2 2 z 1 4 z 2 z 2 1 z i 0 ,

武汉大学数学物理方法2_3Cauchy公式

武汉大学数学物理方法2_3Cauchy公式

e.g.
Ñ ò
ez dz, l = z = 1 n z
ì ez dz = 2p ie z z =0 = 2p i, (canchy公式) ïÑ l ò z ï z ï d n -1 z 2p i e Ñ l z n dz = í dz n-1 e z =0 = (n - 1)! (n 阶导数公式) ò ï ï0(Cauchy定理) ï î ③ 推论:若 j ( z ) 在曲线 l 上连续,
∴ 设
Df 1 f (x) 1 f (x)Dz - Ñ ò l (x -z)2 dx = 2pi Ñl (x -z -Dz)(x -z)2 dx ò Dz 2pi
m f (x) = M d = m x - z ax in
f (x )Dz f (x ) 1 ∴ Df - 1 Ñ l (x - z)2 dx £ 2p Ñ l x - z - Dz x - z 2 dx ò Dz 2p i ò Dz MS 1 M Dz < ×S = d3 2p 2 p d3

1 j(x ) f (z) = òl x - z dx 2pi p! j(z) ( p) f (z) = ò l (x -z)p+1 dx 2pi
由上述导数公式可推得: ④ 复通区域Cauchy导数公式仍成立 2.Cauchy不等式:
f
(n)
n ! MS ( z) £ 2p d n +1
d = min x - z
z =0
1 f (x ) f (z) = Ñ l x - z dx 2p i ò
fx f (x) 1 ÑCR x-zdz £Ñl x-z dx £ x - z Ñl f (x) dx ò ò ò 1 1 £ m f (x) ×2 R< z ×e2p ® ax p 0 R- z 1- R

数学物理方法1-2

数学物理方法1-2

1.2 复变函数一、复平面上的区域关于区域严格定义所涉及到的概念:1.点a的ε邻域:以复数a为圆心,任意小的正实数ε为半径的一个开圆,即满足|z – a| <ε的点的集合。

点a的无心邻域:0 < |z –a| <ε(不包含a点)2.内点:若某点的ε邻域中所有的点属于D,则该点称为D的内点。

3.边界点:若某点不属于D,但其ε邻域内含有属于D 的点,则该点称为D的边界点。

中图:边界由两条不相连接的闭合曲线L 1 和L 2 组成;右图:边界由三条不相连接的闭合曲线L 1、L 2和L 3组成。

定义:连通阶数——区域不相连接的边界数目n 。

区域中任一闭合曲线能否连续变形而缩成一点。

连续变形:变形时不能通过不属于D 的区域。

降低连通阶数的方法:做割线将两条边界线连接起来。

应用:可将单连通区域成立的定理推广到复连通区域。

单连通区域与复连通区域的本质区别:n =1:单连通区域;n >1:复连通区域w :z 的函数;z : w 的自变量 (或宗量))(E z ∈二、复变函数复变函数的定义复数→复变量→复变函数定义:设E 为一复数集,如果E 上每一个复数z 有唯一确定的 w 与之对应,则称在E 上确定了一个单值函数。

记为: w=f ( z )—— 一个复变函数是两个二元实变函数的有序组合因为z =x +iy ,所以复变函数w 的实部和虚部应是x ,y 的函数。

即 w = f (z ) = u (x ,y )+i v (x ,y )对应关系 f ( z ) : 从 z 平面到 w 平面的一个映射 ——复变函数的几何意义办法:可用z 平面上的点(x ,y )表示自变量z 的值,而用另一个 w 平面上的点(u ,v )表示复变函数w = f (z ) = u +i v 的值。

例2 试讨论由函数 w = z 2 所实现的映射。

解 令,i i z re w e θϕρ==2222,2i i w z r e r ϕθρρϕθ===⇒==则 z 平面上的点映射到w 平面上时,其模平方,而辐角加倍,由此可见,z 平面上的第I象限变成w 平面上的上半平面如图1-2-6。

2-第三章 数学物理方法

2-第三章   数学物理方法
z 0, z 1 k
1 k
( k 1 , 2 , )
0,
x
因为
k
lim
即k , z 0
总有 f ( z )
即在 z 0 的不论怎样小的去心邻域内, 的奇点存在, 所以 z 0 不是孤立奇点.
二、孤立奇点的分类及性质:
1.孤立奇点的分类: (1)可去奇点: 若函数f(z)在 0 z z 0 R 的环域内,可展为无负幂次项部分
k 0
1
( z 1)
k 1

k
(0 z 1 1)
(2)在区域
1 z2 1
1 z 1

1
( z 1) 1

( z 1)[1 (
)] z 1
1

1

z -1 k 0 ( z -1)
k 0


1
k 1
1 ( z 1)
3
1 3 , b3 1 6! 1 45 , b5 2 945
b5
ctgz
1 z

1 3
z
1 45
z
2 945
z
5
例4 将
1 z ( z 1)
分别在邻域 D1 : 1
z i
2和D2 :
2 z i
展开
在非奇点z=i 处展开为洛朗级数 解 函数有两个奇点 z=0 , z=-1。 1 1 1 f ( z) 函数在给定的区域解析。 z ( z 1) z z 1 对于D1区域:
z 0 称为f(z)的孤立奇点。
2.非孤立奇点: 函数f(z)在 z 0 的邻域内除在 z 0 点处不可导以外,还至 少存在一点使f(z)在该点处不可导,此点称为非孤立奇点。

2《数学物理方法》第二讲复数的运算&复变函数

2《数学物理方法》第二讲复数的运算&复变函数
z z0
相当于 x x 0 , y y 0 因而,有关复数的极限可归结为
一对实数的极限,,因而,关于实数的和差积商的极限定理,关于实数
的极限存在的判据,全部都适用与复数。
二、复变函数
2、1 复变函数的定义: 若在复平面(或复数球)上存在一个点集E(复数的集合),对于E 的每一点(每一个z值),按照一定的规律,有一个或多个复数值
实现方法:测地投影; 最后结果:(1)、有限远点和球面上的点一一对应(坐标原点与南极重合),
引入复数球(Riemman空间)
目的:使平面上的点与球面上的点一一对应;
(2)、无限远点和北极对应。
------《数学物理方法》第二讲------
1、5
复数与实数之间的联系: 由 z x iy 和 z 0 x 0 iy 0 可知:
(cos 隶莫弗公式: n i sin n ) cos i sin
------《数学物理方法》第二讲------
n
开方:n z 是个多值函数,共有n个不同的复根。
n
z
n
e
i

n
e
i

n

i
n
(co s

n
i sin

n
)
说明产生n个根的原因:
z e
数学物理方法第二讲
复数的运算&复变函数(2学时)
一、复数与运算
1、1 复数的概念:
定义:表达式 z x iy 叫做复数(或叫做复数的代数式), 其中:i 叫做虚数单位。
性质: i 2 1
i
2 ( 2 k 1)
i i
3
i 1

数学物理方法2-1Fourier变换new

数学物理方法2-1Fourier变换new
函数f (t)的Fourier积分公式
第二章
积分变换及其应用
第一节 Fourier变换
定理2.1.1 Fourier积分收敛定理 设 f ( x ) 在 ( , ) 上满足: 1°在任一有限区间满足 Dirichlet 条件;
2°绝对可积


f (t ) dt
1 -i w x iwt 则 f x dx dw ( ( )e )e 2 在 t 点连续 f ( t ), 1 ( f ( t 0) f ( t 0)), 其它 2 注:满足条件1°才能保证函数在任意有限区间上能展为 Fourier级数;满足条件2°才能保证T→+∞时极限存在。
T 则当T→+∞时,等价于△w → 0,从而
1 T -i wn x i wnt 2 ( ( )e ) e f (t ) lim f x dx w T T T 2 n 2 1 ( f ( x)e-i wxdx)ei wtdw 2
第二章
积分变换及其应用
第一节 Fourier变换
注:
1.


ˆ ( w ) | dw 收敛 | f ( x ) | dx 收敛保证,不一定保证 | f


2.能否扩大Fourier变换(逆变换)定义空间
1 ˆ 1 ˆ ˆ 3. f (t ) f ( w) F [ f ](t ) , F [ f ](t )等于f (t )? 1
第二章
积分变换及其应用
第一节 Fourier变换
1, t 1 例 1 求矩形脉冲函数 f (t ) 的Fourier积分。 0, t 1
1 e it it ˆ f ( w) f (t )e dt e dt 1 i it 1

武汉大学数学物理方法2达朗贝尔公式

武汉大学数学物理方法2达朗贝尔公式

3、用初始条件定特解: 由方程<2>可得:
f1 ( x) + f 2 ( x ) = ϕ ( x ) <5>
由方程<3>可得:
df 1 ( x + at ) d ( x + at ) d ( x + at ) dt
+
t =0
df 1 ( x − at ) d ( x − at ) d ( x − at ) dt
解:
∂2 ∂ ∂2 ( 2 +2 + 3 2 )u = 0 ∂x∂y ∂x ∂y
由上式可得:
∂ ∂ ∂ ∂ ( +3 )( − )u = 0 ∂x ∂y ∂x ∂y
x = ξ + η 我们令: y = 3ξ − η
<4> <5>

∂x ∂ξ = 1 ∂y = 1 ∂ξ
x = x (ξ , η ) 若引入 t = t (ξ , η )
使得: ∂ = ∂ ∂ t + ∂ ∂ x = A ( ∂ + a ∂ )
∂ξ ∂t ∂ξ ∂x ∂ξ ∂t ∂x
∂ ∂ ∂t ∂ ∂x ∂ ∂ = + = A( + a ) ∂η ∂t 将上两式带入<4>式,得到:
1 u ( x , t ) = [ϕ ( x + at ) + ϕ ( x − at )] 2 1 x + at + ψ (α ) d α <7> ∫ 2 a x − at
三、分析解答: 1、适定性: 含参变量求导公式: ∂ ∂t

x + at
x − at

数学物理方法第二章

数学物理方法第二章
积分 Cf(z)dz一定.存在
证 设光滑曲 C由线参数方程给出
zz(t)x(t)i y(t), t
正方向为参数增加的方向,
参数 及 对应A 于 及起 终 B , 点 点
数学物理方法第二章
6
并 z ( t) 且 0 , t,
如f(果 z) u (x ,y) iv(x ,y)在 D 内处 , 处 那u 么 (x,y)和 v(x,y)在 D内均为连 , 续函
n
n
f(k)zk [u(k,k)xkv(k,k)yk]
k1
k1
n
i[v(k,k)xku(k,k)yk]
k1
C f(z)dz CudxvdyiCvdxudy
数学物理方法第二章
9
公式 C f(z)dz CudxvdyiCvdxudy
在形式上可以看成是
f(z)uiv与 dzdxidy相乘后求 : 积
f(z)dzf ( z ) d z f ( z ) d z f ( z ) d z .
C
C 1
C 2
C n
在今后讨论的积分中, 总假定被积函数是连续的, 曲线 C 是按段光滑的.
数学物理方法第二章
12
性质:
设L是简单逐段光滑曲线,f,g在L上连续,则
(1)f(z)dz f(z)d;z反转积分路径,积分反号
z2
z2
f(z)dzudxvdyivdxudy
z1
z1
z1
因此可得到复变函数的积分与路径无关的充要条件
数学物理方法第二章
24
单连通区域柯西定理:
如果函数f (z)在闭单连通域B 上解析,则沿B上任一分段光滑 闭曲线l(也可以是B的边界), 有
f (z)dz 0
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
随着19世纪初工业的发展及世界人口的增长,全球
大气中的CO2含量在逐年增加。
图2.1为过去一千年来CO2的含辐射很少,却能强烈地吸收地 面长波辐射,使地面和空气不致于因放射辐射而 失热过多。因此它们都有使空气和地面增温的效应。 (温室效应)
这样一来,当浓度不断增加会改变大气的热量平衡,导 致大气底层和地面的平均温度上升,而全球气候的变化将直接 影响人类的生存环境。
造成这一现象的原因:
由于在大气的上层中,太阳短波的强度很大, 使得氧分子解离增多,因此氧原子和氧分子相遇 的机会很少,即使臭氧在此处形成,由于它吸收 一定波长的紫外线,又引起自身的分解,因此在 大气上层臭氧的含量不多。 在20—30km高度这一层中,既有足够的氧分子, 又有足够的氧原子,这就造成了臭氧形成的最适宜 条件,故这一层又称臭氧层。
臭氧最大浓度在北极和南极的60o左右。
臭氧总量不仅和光化学反应有关,还和大气运
动有关。臭氧主要在赤道生成,通过大气环流向 高纬输送,这种极向环流冬春季最大,并在极地 变成下沉气流,形成臭氧高浓度层。 影响臭氧浓度的因素,大气高层以光化学作用为主; 低层大气以动力输送为主。所以低层大气的臭氧含量和 天气系统发生了联系。
快变成分:(<1年)
碳、硫、氮的化合物
微量成分和痕量成分一般也是寿命短的成分,它们至少有两个特点: 有化学活性,多为温室气体。
由于大气中存在着空气的垂直运动、水平 运动、湍流运动和分子扩散,使不同高度、不 同地区的空气得以进行交换和混合,因而从地面 开始向上直到90km处,空气主要成分(除水汽臭 氧和若干污染气体外)的比例基本上是不变的。
2、水平分布:
用臭氧厚度表示 总臭氧含量,单位 是多普森单位DU, 即1DU=10-3大气厘米 见图
◇北半球,大部分地区臭氧层的厚度春季
变大,秋季变小。高纬的季节更明显,最大 臭氧带靠近极地。 ◇南半球,各纬度的季节变化比较小。最大 臭氧带在春季的中高纬地区。
若按光化学平衡理论,气柱臭氧的极大 值应出现在太阳辐射强烈的夏季赤道区域, 但实际观测并非如此。见图:
2.2.2 臭氧
虽然臭氧在大气中所占的比例极小,但因 它对太阳紫外辐射(0.2—0.29μm)有强烈的 吸收作用,所以臭氧是大气中最重要的微量成 份之一。
1995.9.16联合国大会作出决定,把每年的9.16作为
国际保护臭氧层日。
一、臭氧的作用:
1、臭氧层阻挡强紫外辐射到达地面,是 地面上生命的保护伞。
二、臭氧的产生:
氧气在太阳紫外辐射作用下发生光致离解, 光致离解产生的氧原子是大气臭氧的主源。 O2+hγ→O+O O+O2+M→O3+M O+O+M→O2+M
M为第三种分子(如N2),作用是维持反应过程的动量和能量守恒;太阳紫外辐 射主要指波长短于0.24μm的紫外辐射,h为普朗克常数,γ为频率。
强紫外辐射有足够的能量使包括DNA在内的重要生 物分子分解,增高患皮肤癌、白内障和免疫缺损症 的发生率,并能危害农作物和水生生态系统。少量 的紫外线对地面上的生命有杀菌作用,对人类生存 起保护作用。
2、臭氧层吸收的太阳紫外辐射能量 使平流层大气增温,对平流层的温度场和 大气环流起着决定性的作用。
如果平流层的臭氧浓度下降,将引起平流层上部 的温度下降,平流层下部和对流层的温度上升。 因此,臭氧层对建立大气的垂直温度结构和大气 的辐射平衡起重要作用。臭氧层吸收了部分太阳辐射 能,估计使地面的平均温度降低1—2oC。
地球上的生命是何时才有的?
原始和次生大气均没有O2。30亿年前O2很少,或只有 由水汽光解作用产生极少量的氧气。在无氧的条件下产 生的原始生命,既要躲避太阳辐射,又需光合作用,因此 最初的生命是在10米下的海洋表面,一些厌氧生物产生O2。
6亿年前,大气O2浓度达到现在的1%,(生物史上第一 关键浓度),高空臭氧层增加,削弱了紫外线,生命到达水面。 4亿年前,大气浓度达到现在的十分之一,植物茂盛生长,生 命由海洋到陆地, O2更多。 同时动植物的呼吸和死亡又会消耗O2产生CO2 ,这个演变过程 逐渐达到了一种平衡。CO2从3亿年前的3000ppm下降到280ppm, 生物也从海洋到陆地,从低级到高级不断发展繁衍下去。
对臭氧洞成因的研究,目前主要在两个方面:
1、大气动力原因: 南极冬季环极涡旋作用 2、大气化学原因: 氟氯烃等化合物的破坏作用。
南极臭氧洞的成因很复杂至今仍未完全清楚!
1995年,中科院周秀骥等根据卫星资料,在青藏高 原夏秋季节又发现一臭氧低值区!
思考题: 1、大气由哪些成分组成? 2、什么是干洁大气?主要成分、微量成分、 痕量成分有哪些? 3、对气象影响较大的干洁大气有哪些?
第二章
地球大气的成分及分布
地球大气是迄今为止以发现的天体 大气中唯一以氮、氧为主,水可以以气体、 液体、固体三态出现的大气。
地球大气的演变简述如下: 地球在46亿年前形成,它形成时是没有大气 的。地球大气的演变可分为原始大气,次生大气 和现代大气三个阶段。
原始大气:(46亿年前) 由于太阳风和地球升温的作用,原始大 气是一些轻物质:H2,He、CO… 次生大气:(45—20亿年前) 由于地球逐渐冷却,造山运动、火山喷发和 从地幔中释放出地壳内原来吸附的气体形成次 生大气(CO2,CH4,NH3,H2O)… 现代大气:(6亿年前) 以N2、O2为主
人工源:地面燃烧、工业活动,生物体的呼吸和 生物尸体腐化都排出CO2。 呼吸作用:[CH2O]n+nO2=nCO2+nH2O
(包括动植物的呼吸,但白天植物的光合作用可使CO2还原)
自然源:CO2分压大于大气CO2分压的海水。
(如热带和低纬地区的海洋是大气的源,放出CO2)
人工汇:植物的光合作用减少CO2 光合作用:nCO2+nH2O=[CH2O]n+nO2 自然汇:CO2分压小于大气 CO2分压的海水。
CO2增多引起的温室效应,使两极冰川融化,致使海平面 升高,危及沿海城市,使海岸地区土地盐碱化,增加开发难度, 温度升高还使一些山顶的积雪融化,使以积雪融化为水资源的河 流水量减少,甚至发生断流现象,影响这些地区的生产活动。
二、 CH4:(甲烷)
甲烷分子式CH4,最简单的有机化合物。 甲烷是无色无味,极难溶于水的可燃性气体。甲烷 在自然界分布很广,是天然气、沼气、坑气及煤气 的主要成分之一。 CH4主要是由湖泊、沼泽里的生物体腐败后被细菌 分解而成。大气中CH4的80%来自地表生物源,是在严 格无氧环境中产生的。
2.1大气成分的组成和分类
2.1.1 大气成分的组成: 大气是由多种气体组成的混合气体, 包括N2、O2、Ar、 CO2、CH4、O3、H2… 水汽、大气气溶胶。
2.1.2 大气成分的组成和分类
2.1.2.1 按浓度分类: 主要成分: N2 、 O2、 Ar、CO2 微量成分: CH4等(1--20ppmv) 痕量成分: O3 、 H2 、氮氧化合物 、
CH4不仅是温室气体,又是一种化学活性 气体,在大气中容易被氧化而产生一系列 氢氧化物和碳氢氧化合物。
CH4的浓度近一两百年来有明显的增加, 值得重视。
三、氟氯化碳化合物
氟氯化碳化合物由氯、氟、碳原子组成, 这是一类大气中根本不存在的有机化合物。
其中氟里昂-11(CFCl3)、氟里昂-12(CF2Cl2),
近几十年根据卫星观测资料发现,全球
臭氧浓度及气柱总量有缓慢下降的趋势。
全球臭氧总量变化范围200—450DU,平均
300DU,而南极春季少至100DU!Why?
五、臭氧洞:
1985年,英国南极站的大气科学家有了一个
惊人的发现:臭氧洞! 臭氧洞的含义: ◇臭氧总量在60oS附近地区的环极涡旋形成低值区; ◇从时间序列上在9-10月臭氧总量突然大幅下降形 成低谷。
三、臭氧的消失:
O3+hγ→ O2+O O3+O→2 O2 可见,影响O3生成的两大因素:太阳紫外线、O2的含量
四、臭氧的空间分布: 1、垂直分布:
测量臭氧垂直分布 的方法很多,可在 地面或卫星上遥测, 也可用气 球或火箭 直接收集资料。
◇在近地面层臭氧 含量很少 ◇从10km高度开始 逐渐增加
◇在12-15km以上含量增加得特别显著, 在20-30km高度处达最大值, ◇再往上则逐渐减少,到55km高度上就极少 了。 why?
由于性质非常稳定无毒,被人们作为制冷剂、喷雾发 射剂和发泡剂、电子元件清洗剂长期使用,在对流层 中浓度逐年积累,能做长距离输送并向上进入平流层。
CFCS在平流层能光化学分解成Cl,起到破 坏臭氧层的作用,同时还是温室气体,在地气 系统辐射收支中的作用不容忽视。
其中,氟氯烃化合物减少臭氧的反应: 当CFCS在平流层被光化学分解成Cl, Cl+O3→ ClO+O2 ClO+O→ Cl+O2 O3+O→2O2 ClO和 Cl未减少,只起催化作用。
硫化物及氟氯化烃(<1ppmv)
(>300ppmv)
2.1.2.2 按平均停留时间分类: 不变成分: (>1000年)
N2 、 O 2 、 Ar 、 Ne、He 、 Kr 、 Xe等
可变成分: (几—十几年)
CO2 、H 2、CH4、N2O 、 CO 、 O3、NH3、NO2、 SO2、H2S…水汽、大气气溶胶
因此,在90km以下可以把干洁空气当成分子 量为28.97的“单一成分”来处理。
2.2 干洁大气
干洁大气的定义: 通常把除水汽、大气气溶胶以外的其余大 气称为干洁大气,简称干空气。
下面介绍对气象影响较大的干洁大气
2.2.1 碳的化合物(CO 、CH 以及氟氯烃化合物)
2 4
一、CO2: 1、来源:
(如高寒冷地区的海洋是大气的汇,吸收大气中的CO2 )
相关文档
最新文档