比较大小问题

比较大小问题

比较几个数的大小，涉及的内容有指数对数的运算、三角函数运算、函数周期性单调性、不等式等诸多方面知识，内容具有一定的综合性，可以考察学生多方面能力，是数学竞赛的常见试题，也是中学数学教学的重要内容。 一、基础知识

1基本不等式：若+∈R c b a ,,，则ab b a 2≥+；33abc c b a ≥++；或2)2(b a ab +≤；2)3

(c b a abc ++≤。利用基本不等式是比较大小最常用的方法之一。

2 函数单调性：①若)(x f 是增函数，D x x ∈21,且21x x <则)()(21x f x f <；②若)(x f 是减函数，D x x ∈21,且21x x <则)()(21x f x f >。

3 函数周期性：如果函数y ＝f(x)对于定义域内任意的x ，存在一个不等于0的常数T ，使得f(x ＋T)＝f(x)恒成立，则称函数f(x)是周期函数，T 是它的一个周期。一般情况下，如果T 是函数f(x)的周期，则kT(k ∈N ＋)也是f(x)的周期。

4 比较法：①作差法，⇔≥-0b a b a ≥； ⇔<-0b a b a <。②作商法，如果b a ,都是正数b

a =δ，则有：

b a >⇔>1δ；b a <⇔<1δ。 5 对数式和指数式的转换：若1,0≠>a a 且，则有：b x b a a x log =⇔=。 6 若角)2,0(π∈x ，则不等式tgx x x <

,0(π∈x 时，是减函数。 例1 .边长为c b a ,,的三角形，其面积等于

41，而外接圆半径为1，若 c b a s ++=。c

b a t 111++=，则s 与t 的大小关系是（ ） A ．s>t B ．s=t C ．s

（1986年全国高中数学联赛）

导析：在三角形中由正弦定理和面积公式可得：C C R c sin 2sin 2==； 又

.41sin 21==C ab S 所以1=abc ，于是：ab ac bc c

b a t ++=++=111，)(2ab a

c t +=

bc a abc c ab ac bc bc ab 222222)()(++≥++++s c b a =++=。

考虑到：若1====R c b a 不可能，故上式不取到等号。说明：本题解法中就用到了ab b a 2≥+这个基本不等式。

例2 当10≤

2

2sin sin )sin (x x x x x x ≤< C.x x x x x x sin sin )sin (222≤< D.x x x x x

x sin )sin (sin 222<≤ （2000年河北省高中数学竞赛）

导析：因为210π<

≤

⎫ ⎝⎛>x x x x 。又∵x x y sin =在)2,0(π上是减函数，而212π<≤

x x x sin sin 22

≥。故选B 。

二、综合应用

例3 若f (x ) (x ∈R)是以2为周期的偶函数, 当x ∈[ 0, 1 ]时,19981)(x x f =，则)15

104(),17101(),1998(f f f 由小到大排列是： 。（1998年全国高中数学联赛）

导析：此题必须要利用函数周期性把15

104,17101,1998化归到[0，1]内，从而 利用函数)(x f 性质。)1916()1916()19166()1998(f f f f =-=-=，=-=)17

16()17101(f f )171()171(f f =-，)15

14()15146()15104(f f f =+=。又19981)(x x f =在[0，1]上是严格递增的，而151********<<，所以：)15

104()1998()17101(f f f <<。说明：在比较几个函数值大小时要注意对函数单调性，周期性和奇偶性的综合应用。

例4 设2

)(x

x a a x f -+=，其中0,0≥>x a ，又),1(+=x f M )1()(f x f N ⋅= 试比较M ，N 大小。

导析：2)1(11--++=+=x x a a x f M ，2

2)1()(1

--+⋅+=⋅=a a a a f x f N x x = 4

1

111----++++x x x x a a a a 。这里M 、N 有相同的部分，所以考虑用作差法。 =-N M ).)((4

1411111------+--=+--a a a a a a a a x x x x x x 下面对x a 和进行讨论。N M N M a x ==-==从而时或当.0,10)1(；,11,0)2(时还是无论当<>>a a x N M a a a a x x >----总同号，从而与)()(1。综上所述N M ≥。说明：对含有参数的比较大小，要注意对参数进行讨论。

例5 设21212121,,,,y y x x a R y y x x +=∈+，))((2211y x y x b ++=，则a,b 大小关系为： ；（1999年河南省高中数学竞赛）

导析：这里b a 和都是正数，所以可以考虑用作商法比较。))((221121y x y x x x b a ++=1)(21)(21))((222111222111221121=+++++++≤+++y x y y x y y x x y x x y x y x y y b a ≤∴ 。说明：运用作商法时必须对两数的符号进行讨论，否则就会出错。

例6 如果)](log [log log 2212x )](log [log log 3313y = 0)](log [log log 55

15==y

那么：（ ）

A ．y x z <<

B ．z y x <<

C ．x z y <<

D ．x y z <<

（1982年全国高中数学联赛）

导析：本题z y x ,,位置在对数的真数上，直接比较大小很难做到，所以需要转化成指数式。由对数和指数性质不难得到：2=x ， 33=y ， 55=z 。因为： ,8)2(66==x 9)3(636==y ， 故y x <， 又,32)2(1010==x 25)5(10510==z 故x z <。因此有：y x z <<。应选A 。

例7 对任何的)2

,0(πϕ∈，都有：（ ） A ．ϕϕϕcos cos cos sin sin << B. ϕϕϕcos cos cos sin sin >>

C. ϕϕϕsin cos cos cos sin >> D .ϕϕϕsin cos cos cos sin <<

（1982年全国高中数学联赛）

导析：由于在x x

1cos 0π<<