高中数学-等差等比数列经典例题以及详细答案

等差等比数列综合应用

【典型例题】

［例1］一个等比数列共有三项，如果把第二项加上4所得三个数成等差数列, 等差数列的第3项加上32所得三个数成等比数列，求原来的三个数。

解：等差数列为a d,a,a d

(a d) (a d) (a 4)2

(a d)(a 2

d 32) a

2 a d2 2 a2 8a 16(1)

(a2d2) 2

32(a d) a (2)

2

a 8a 16 32 32d 2 a

2 3a 4d 0代入（1)

d 2 8 1

-(4d 2)

3

16

3d

； 2 32d 64 0 (3d 8)(d 8) 0

8 26

① d 8 a 10 ②d a

3 9

此三数为2、16、18或-、10、50

9 9 9｛b n｝所有项和为20，求:

（1）求a n,b n

2印3d 768

a n 6n 399 20

9 10

不等式2声)n1

1 m(a m 1

a

2m )

160

如果再把这个

［例2］等差数列｛a n｝中，印393 ,a2 a3 768 ,{g}是等比数列，q (0,1) ,b1 2 ,

（2）解不等式•步a2m 160b

2

10

1m(6m 393 12m 399)

16 18 (m 1)

2n 1 n 1 2n

2 2

3 2 2

9m 2 396m 16 18 (m 1) 0

2

m 12m

32 0

T n 中共2n 1个数，依次成等差数列

2n1

3 22n 2 3 2n 2

(m 4)(1 m 8)

0 m

{4 ,5,6,7 ,8}

[例 3] { a n }等 差，{b n }

，等

比,

a 1

b 1 0 , a 2

b 2 0 , a 1

解:

a 2

b 2 a 1 d

a 1

q

• d a

1

(q 1)

b n a n

n 1

a 1 (n 1)d

ad(q n1 1) (n 1)(q

a h [(q 1)(q n2

n 3

q

1) (n 1)(q

1)]

a h (q 1)[(q n2

1) (n

1)]

a h (q 1)[(q n2 1) / n

(q 3 1) ' (q 1) (1 1)]*

q (0,1) q 1 0

i q n 1 0 • * 0

q (1,

)q

1 0

n

q

1 0 •

* 0

1)]

a 2,求证：a n

b n (n 3)

[例4]

(1)求 T n ； (2) S n T n ，求 S

n 。

解:

48

a s a 9

a 15

a 1 d

21

T |~T n1共有数1

2

2n 二T n 的第一个为a 2n 1

21 (2n1 1)

••• T n 2n 1 (2n

23)

丄(2" 1) (2n 1

2

1) 2

S n T 1 T 2

T n

22n 2) (23

2n 2)]

(1)求y f (x)的表达式;

试用t 表示a n 和b n ；

(3)设圆 C n 的方程为(x a n )2

(y b n )2 r n 2，圆 C n 与C n 1 外切(n 1,2,3,)；

{r n }是各项都是正数的等比数列，记

S n 为前n 个圆的面积之和，求r n ,S n 。

解：( 1 )设 f(x) a(x 「)2 I

2

4

由 f(1)

0得 a 1

••• f(x) x 2 (t 2)x 1

t 1

b n

丁[1 (t 1)n ]

又由(2)知a n b n 1，故圆C n 的圆心O n 在直线X y 1上

3[(20

22

23

(1

2n

)

] 4

n 3

1 3 2

24

4n 24 2n 23 (2n 23)(2n

1)

a 〔 a 2

a 2“

［例5］已知二次函数

f (x)在 x

彳处取得最小值

-(t 0)，f(1) 0

4

(2)若任意实数x 都满足等式

f(x) g(x) a n X b n

x n 1［ g(x)］为多项式，n N ，

(2)将 f(x) (x 1)[x (t 1)］代入已知得: (x 1)[x (t

1)]g(x) a n X

b n x n 1

上式对任意的

x R 都成立，取

1分别代入上式得:

a n

b n 1

(t 1)a n b n (t

1)m 且 t

0，解得a n

扣 1)n11],

(3)由于圆的方程为

(x a n )2 (y b n )2