沪教版(上海)数学高二下册-11.3 直线中的对称问题 课件
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将一张坐标纸折叠一次， 使得点 (0, 2)与点 (4, 0) 重合.
这两个点关于哪一点对称？
直线中的对称问题
点关于点对称：中点问题
例题1： 1、点 (0, 2) 与点 (4, 0) 关于哪一点对称？ (2,1) 变式：点 (0, 2) 关于点 (4, 0) 的对称点是？ (8, 2) 2、点 (a,b) 关于点 (m, n)的对称点是？ (2m a, 2n b)
对称应用：
例题7： 一条光线经过P(4, 2) 射在直线：x y 1 0 ， 反射后过点 Q(0, 2)， (1)求入射光线所在的直线方程； (2)求这条光线从P到Q路径的长度
lPQ' : x 7 y 10 0
PQ ' 5 2
对称专题总结：
1、中心对称： (1)点关于点对称：中点问题 (2)线关于点对称：平行直线关于点对称 2、轴对称： (1)点关于线对称：中垂线问题 (2)线关于线对称： 1、两条直线不平行，则求出两条直线的交点，并任意一点关于 直线对称 2、两条直线平行，则直接任意一点关于直线对称
解：已知A(0, 2), B(4, 0)
则中点(2,1)落在折痕所在直线上
因为l
与折痕垂直
AB
n AB (4, 2)
l折痕 : 4(x 2) (2)( y 1) 0
l折痕 : 2x y 3 0
折痕是线段AB的中垂线
点关于直线对称：中垂线问题
例题4： 求点 A(0, 2) 关于直线 l : 2x y 3 0 的对称点 B .
点关于直线对称：中垂线问题
练习：
求点 A(0, 2) 关于直线 l : x y 1 0 的对称点 B .
解：令B(x0 ,
y0
), 则中点(
x0
2
0
,
y0 2
2 )
y0 x0
2 0
1
1
x0 2
0
y0 2
2
1
0
x0 x0
y0 y0
2 4
Hale Waihona Puke Baidu0 0
x0 y0
3 1
B(3,1)
直线关于直线对称：
例题6：
点关于线对称
已知直线 l : x y 1 0,l1 : x y 2 0 , 直线l2与直线l1关于直线l对称
求直线 l2 的方程.
l2 : x y 4 0
总结： 1、两条直线不平行，则求出两条直线的交点，并任意一点关于 直线对称
2、两条直线平行，则直接任意一点关于直线对称
对称应用：
思考题：已知直线 x y 1 0 上求点 P ，使得 1、P到A(4,1)和B(3, 3)的距离之和最小？ 2、P到A(4,1)和C(2, 2)的距离之和最小？
作业：直线中的对称问题作业卷
谢谢！
直线关于点对称： 点关于点对称
例题2：
求直线 l1 : 2x 3y 6 0 关于点 P(1, 1) 对称的直线 l2 的方程 .
解：任取l1上两点(0, 2), (3, 0) (0, 2)关于P(1, 1)的对称点为(2, 4) (3, 0)关于P(1, 1)的对称点为(1, 2) 由(2, 4)(1, 2)两点确定一条直线
直线关于直线对称： 点关于直线对称
例题5：
已知直线 l : x y 1 0,l1 : 2x y 2 0 ,直线l2与直线l1关于直,线l对称 求直线 l2 的方程. 解：任取l1上一点(0, 2)
则(0, 2)关于直线l的对称点B为(3,1)
l和l1的交点坐标(3, 4) 由(3,1)(3, 4)两点确定直线l2方程 l2 : x 2 y 5 0
l2 : 2x 3y 8 0 解：令l2 : 2x 3y c 0 任取l1上一点(0, 2)关于P(1, 1)的对称点为(2, 4) 代入得到c 8l2 : 2x 3y 8 0
将一张坐标纸折叠一次， 使得点 (0, 2)与点 (4, 0) 重合.
这两个点和折痕之间有什么关系？
例题3：求折痕所在直线的方程.
这两个点关于哪一点对称？
直线中的对称问题
点关于点对称：中点问题
例题1： 1、点 (0, 2) 与点 (4, 0) 关于哪一点对称？ (2,1) 变式：点 (0, 2) 关于点 (4, 0) 的对称点是？ (8, 2) 2、点 (a,b) 关于点 (m, n)的对称点是？ (2m a, 2n b)
对称应用：
例题7： 一条光线经过P(4, 2) 射在直线：x y 1 0 ， 反射后过点 Q(0, 2)， (1)求入射光线所在的直线方程； (2)求这条光线从P到Q路径的长度
lPQ' : x 7 y 10 0
PQ ' 5 2
对称专题总结：
1、中心对称： (1)点关于点对称：中点问题 (2)线关于点对称：平行直线关于点对称 2、轴对称： (1)点关于线对称：中垂线问题 (2)线关于线对称： 1、两条直线不平行，则求出两条直线的交点，并任意一点关于 直线对称 2、两条直线平行，则直接任意一点关于直线对称
解：已知A(0, 2), B(4, 0)
则中点(2,1)落在折痕所在直线上
因为l
与折痕垂直
AB
n AB (4, 2)
l折痕 : 4(x 2) (2)( y 1) 0
l折痕 : 2x y 3 0
折痕是线段AB的中垂线
点关于直线对称：中垂线问题
例题4： 求点 A(0, 2) 关于直线 l : 2x y 3 0 的对称点 B .
点关于直线对称：中垂线问题
练习：
求点 A(0, 2) 关于直线 l : x y 1 0 的对称点 B .
解：令B(x0 ,
y0
), 则中点(
x0
2
0
,
y0 2
2 )
y0 x0
2 0
1
1
x0 2
0
y0 2
2
1
0
x0 x0
y0 y0
2 4
Hale Waihona Puke Baidu0 0
x0 y0
3 1
B(3,1)
直线关于直线对称：
例题6：
点关于线对称
已知直线 l : x y 1 0,l1 : x y 2 0 , 直线l2与直线l1关于直线l对称
求直线 l2 的方程.
l2 : x y 4 0
总结： 1、两条直线不平行，则求出两条直线的交点，并任意一点关于 直线对称
2、两条直线平行，则直接任意一点关于直线对称
对称应用：
思考题：已知直线 x y 1 0 上求点 P ，使得 1、P到A(4,1)和B(3, 3)的距离之和最小？ 2、P到A(4,1)和C(2, 2)的距离之和最小？
作业：直线中的对称问题作业卷
谢谢！
直线关于点对称： 点关于点对称
例题2：
求直线 l1 : 2x 3y 6 0 关于点 P(1, 1) 对称的直线 l2 的方程 .
解：任取l1上两点(0, 2), (3, 0) (0, 2)关于P(1, 1)的对称点为(2, 4) (3, 0)关于P(1, 1)的对称点为(1, 2) 由(2, 4)(1, 2)两点确定一条直线
直线关于直线对称： 点关于直线对称
例题5：
已知直线 l : x y 1 0,l1 : 2x y 2 0 ,直线l2与直线l1关于直,线l对称 求直线 l2 的方程. 解：任取l1上一点(0, 2)
则(0, 2)关于直线l的对称点B为(3,1)
l和l1的交点坐标(3, 4) 由(3,1)(3, 4)两点确定直线l2方程 l2 : x 2 y 5 0
l2 : 2x 3y 8 0 解：令l2 : 2x 3y c 0 任取l1上一点(0, 2)关于P(1, 1)的对称点为(2, 4) 代入得到c 8l2 : 2x 3y 8 0
将一张坐标纸折叠一次， 使得点 (0, 2)与点 (4, 0) 重合.
这两个点和折痕之间有什么关系？
例题3：求折痕所在直线的方程.