北师大版八年级上册数学 第七章 平行线的证明 复习 学案
北师大版数学八年级上册第7章平行线的证明学案
7.1 为什么要证明学习目标：1.经历观察、验证、归纳等过程，使学生对由这些方法所得到的结论产生怀疑，以此激发学生的好奇心，从而认识证明的必要性，培养学生的推理意识. 2.了解检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理论证等学习重点：运用实验验证、举反例验证、推理论证等方法来验证某些问题的结论正确与否． 学习难点：运用实验验证、举反例验证、推理论证等方法来验证某些问题的结论正确与否 学习过程： 课前热身： 自主学习：（1）当n=0，1，2，3时，代数式n 2-n+11的值都是质数，于是得到结论：对于所有自然数n ， n 2-n+11的值都是质数．填写下表，并回答问题．是一个质数，但当n=____ 时，找到了一个反例，进而发现不能根据少数几个现象轻易肯定某个数学结论的正确性． （2）设赤道周长为c ，铁丝与地球赤道之间的间隙为 ：)(16.021221m c c ≈=-+πππ 它们的间隙不仅能放进一个红枣，而且也能放进一个拳头． 课堂小结：布置作业: 习题7.1 教学反思： 教师反思：学生反思：7.2.1 定义与命题学习目标：1.了解定义与命题的含义，会区分某些语句是不是命题.2.了解命题中的真命题、假命题的定义.学习重点：对命题语句特征的判断 学习难点：对命题语句特征的判断 学习过程：课前热身：1.下面的句子是定义的是（ ）A.对顶角相等 B 两点之间的线段长度叫做两点之间的距离 C.任何一个三角形一定有直角 D.锐角都小于钝角 2.下列句子中是命题的是（ ）A ．美丽的天空 B.过直线m 外一点作直线m 的平行线 C.你的作业做完了吗 D. 所有的合数都是偶数 3. 下列句子中，哪些是命题，哪些不是命题 （1）对顶角相等（2）如果是有理数，那么12a ＞0； （3）两个锐角和大于直角 （4）任何一个三角形一定有直角 （5）1是质数（6）不相交的两条线叫做平行线 （7）奇数一定是质数吗？ （8）画一个半径是1cm 的圆 （9）任何数的绝对值都是正数 （10）两点能确定一条直线吗？自主学习：命题的判断只有两种形式，要么肯定，要么否定。
北师大版八年级数学上册：第七章 平行线的证明 回顾与思考 学案
回顾与思考【第一课时】平行线的证明【学习目标】1．对由观察、归纳等过程所得的结论进行思考、质疑，认识证明的必要性，培养推理意识；2．体会检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理等。
【学习过程】一、自学指导：1．大胆猜想：2．某学习小组发现，当n=0，1，2，3时，代数式n 2-n+11的值都是质数，于是得到结论：对于所有自然数n ， n 2-n+11的值都是质数。
你认为呢？由此可知：要判断一个数学结论是否正确，仅靠经验、观察或实验是不够的，必须有根有据地进行推理。
【达标检测】1．当n 为正整数时，132++n n 的值一定是质数吗？2．八（1）班有39位同学，他们每人将自己的学号作为n 的取值（n=1，2，3，…39）代入式子412++n n ，结果发现式子412++n n 的值都是质数，于是他们猜想：“对于所有的自然…数，式子412++n n 的值都是质数。
”你认为这个猜想正确吗？验证一下n=40的情形。
【第二课时】定义与命题（1）【学习目标】了解定义、命题的含义；会判断某些语句是不是命题。
【学习过程】一、 自学指导：1．（1）什么是定义？ 定义： 。
（2）如右图某地的一个灌溉系统如果B 处水流受到污染，那么 处水流便受到污染；如果C 处水流受到污染，那么 处水流便受到污染；如果D 处水流受到污染，那么 处水流便受到污染；“如果……那么……”都是对事情进行判断的句子。
叫做命题。
2．下列语句为命题的是（ ）A ．你吃过午饭了吗？B ．过点A 作直线MNC ．同角的余角相等D ．红扑扑的脸蛋二、练一练1．下列语句中，是命题的是 ( )(A)直线AB 和CD 垂直吗(B)过线段AB的中点C画AB的垂线(C)同旁内角不互补，两直线不平行(D)连结A、B两点2．已知下列命题：①相等的角是对顶角；②互补的角就是平角；③互补的两个角一定是一个锐角，另一个为钝角；④平行于同一条直线的两直线平行；⑤邻补角的平分线互相垂直。
8 年级上 册数学北师 大版第7单元 复习教案
第7单元平行线的证明复习教案【教材分析】本节课是北师大版数学八年级上册第七章《平行线的证明》的章末回顾与思考，是对本章知识的巩固运用。
教科书以“为什么要证明、定义与命题、平行线的判定、平行线的性质、三角形内角和定理、的顺序展开教学内容，本章主要研究的是关注对证明的必要性的理解和证明意识的建立。
本章所涉及的许多结论都是学生所熟悉的，教学时不能知识简单地证明过去所发现的结论。
推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程。
【教学目标】【知识与技能】掌握本章的重要概念，能熟练灵活地运用有关定理解决实际问题。
【过程与方法】通过整理本章知识点，经历严格的推理证明过程，培养学生逻辑思维能力。
【情感态度】借助生活实际和思考探究、合作交流等形式，培养学生积极探索、多动手、多动脑的良好学习习惯。
【教学重难点】【教学重点】回顾本章知识点，构建知识结构。
【教学难点】利用本章有关定理解决实际问题。
【我的思考】由于本章的多数结论学生先前已经探究过，因此在证明过程中难免会出现一些循环论证的现象，教学中，在证明一个命题时。
要引导学生区分哪些结论可以作为证明的依据，哪些不可以。
本章是证明的起始阶段，重点是理解证明的必要性，初步掌握综合法证明的步骤和格式，所以教学时要控制难度。
不宜补充难度过高，推理步骤过多的题目。
【教学过程】一、知识框图，整体把握1、课前将本章知识点分成四部分分给各小组，鼓励各组组长带领大家复习。
2、小老师便带领大家复习边绘制本章知识树。
3、质疑解惑，在脑中呈现出自己的知识树。
【教学说明】引导学生回顾本章知识点，展示知识结构图，让学生系统地了解本章知识及它们之间的相互联系.教学时，边回顾边引导学生画结构图。
二、释疑解惑，加深理解类型一命题及其相关概念1．下列语句中，是命题的是( )A．对顶角相等吗B．作∠A平分线ADC．两个锐角的和大于90°D．在线段AB上取一点C2．命题“若ab＝0，则a＝0”是________命题(填“真”或“假”)，若是假命题，请举一个反例，如：________________________。
新北师大版八年级数学上册《七章 平行线的证明 复习题》公开课教案_2
北师大版八上第七章《平行线的证明》复习题---用“基本图形”解题教学设计第七章《平行线的证明》复习题---用“基本图形”解题一、基于对教材的分析本节课是北师版八年级上册第七章《平行线的证明》继“回顾与思考”后的一节复习题课。
之前，学生在实验几何阶段，《课程标准》中“图形的认识”所要求的多数几何命题都通过各种实验方式已获得，本章开始，到了证明几何阶段，在规定的公理化体系下对一些结论进行证明，本章已经证明的定理及推论有：余角、补角的性质，对顶角的性质，平行线的性质和判定，三角形内角、外角的性质。
二、基于对学情的分析学生对平行线相关知识以及三角形内、外角性质已经有了深入的了解，为今天的学习奠定了知识基础，并且他们已经具有了一些探索角之间数量关系的经验和初步的推理能力，同时，具备一定的学习能力，包括有条理的思考分析和表达能力，但是很多同学还不能讲明白怎么想的，只是按照解题过程讲题。
三、学习目标：知识与技能：学会在复杂图形中识别出“基本图形”，并能应用“基本图形”的结论或方法解题；过程与方法：通过对“基本图形”角之间数量关系的探索过程，丰富添加辅助线的经验，体会“转化”的思想；情感态度与价值观：通过教师几何画板的操作过程和问题串的引导下，体会各“基本图形”之间、图形和结论之间的紧密联系。
【学习重点】用“基本图形”的方法或结论解题。
【学习难点】在复杂图形中识别出“基本图形”。
四、教学过程（一）、“基本图形”的命名今天研究的“基本图形”与生活中有些物品的形状很像，所以，我把“基本图形”都赋予了一个形象的名字。
凹四边形命名为“鱼尾形”，平行线被折线所截命名为“猪蹄形”，内角有对顶角的两个三角形命名为“8字形”，等腰三角形顶角处的外角命名为“等腰外角形”。
【设计意图】以形象的命名，吸引同学们的兴趣，为识别“基本图形”做铺垫。
（二）、探索“基本图形”的角之间的数量关系1、如图，PB=PC ， 探索∠APC 与∠B 之间的数量关系.BC 2、如图， 探索∠P ，∠A ，∠B ，∠C 之间的数量关系.B 3、如图，探索∠P 与∠A ，∠B ，∠C 之间的数量关系.B4、 如图，DA ∥EC 探索∠P 与∠A ，∠C 之间的数量关系.DD5、归纳总结探索方法中蕴涵的数学思想：“转化”的思想【学生活动】先独立思考，探索“基本图形”角之间的数量关系，然后讲解各“基本图形”角之间的数量关系是什么，怎么推理得到的.【预想】对于“基本图形”的探索，前两个学生很容易想到方法和结论。
北师大版初中数学八年级上册 第七章 复习、回顾与思考 平行线的证明之平行线间的拐点问题 教案
《平行线的证明之平行线间的拐点问题》教学设计——北师大新版八年级上册第七章一．教材内容分析：本节课的教学内容是北师大新版八年级上册第七章《平行线的证明》复习课中的拐点问题专题。
拐点问题在书上第七章复习题中出现，是可进行各种发散的好题，考查了学生对于平行线的性质判定，三角形内角和外角的性质等知识的综合应用，及学生的读图，分析的能力。
二．学情分析1.学生的知识基础：学生在七年级下学期就简单学习了平行线相交线的定义和性质,积累了一定的经验,在八年级上学期结合证明对第七章又对平行线的性质判定，三角形的内角外角性质有了更深刻的学习，可应用平行线性质判定及三角形内角外角性质解决一些简单的几何证明问题。
2.学生的学习基础：八年级学生特别是本校学生在学校及老师的培养下已经具备了一定的自学能力，在之前的几何问题学习中也已经具备一定的观察、探索，分析，归纳、证明等能力。
相信这些能力能够有助于课堂更有效的开展。
三．教学目标1.灵活应用平行线的性质判定定理及三角形的内角外角性质解决有关平行线间的拐点问题。
2.进一步熟悉和掌握证明的步骤，格式和方法。
四．教学重难点重点：利用添加辅助线解决平行线间的拐点问题并会应用。
难点：掌握此类题型的证明方法。
五．教学过程（一）复习回顾1.平行线的性质定理：∵a ∥b(已知)，∴∠2＝∠3(两条直线平行，同位角相等)∠1=∠2(两条直线平行，内错角相等)∠2+∠4=180°(两条直线平行，同旁内角互补)2.平行线的判定定理：∵∠2＝∠3 ∴a ∥b(同位角相等，两条直线平行) ∵∠1=∠2 ∴a ∥b(内错角相等，两条直线平行)∵∠2+∠4=180° ∴a ∥b(同旁内角互补，两条直线平行)3.三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°4.三角形外角和内角的关系：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。
如图：在△ABC 中，∠2+∠3+∠4=180°∠1=∠2+∠3∠1>∠2,∠1>∠3B C D1 2 b c 3 a 4【设计意图】复习平行线及三角形相关性质和判定后，有利于学生更快进入几何学习状态，有利于后续平行线间拐点问题的研究。
北师大版八年级上数学《第七章平行线的证明》期末复习学案
第七章 平行线的证明教学目标： 知识与技能：（1）了解命题的概念与命题的构成；（2）使学生进一步熟悉平行线的性质定理与判定定理，三角形内角和定理及三角形的外角的性质等概念； （3）进一步体会证明的必要性； 数学能力：（1）培养学生的逻辑思维能力，发展学生的合情推理能力； （2）掌握证明的步骤与格式． 三、教学过程 第一环节 知识回顾 活动内容：1.什么是定义？什么是命题？命题由哪两部分组成？举例说明！2.平行线的性质定理与判定定理分别是什么？3.三角形内角和定理是什么？4.与三角形的外角相关有哪些性质？5.证明题的基本步骤是什么？}⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⇒⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⇒⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⇒⎩⎨⎧⇒⇒⇒⇒⇒⇒结论题设部分条件结构反例假命题公理外角推论内角和定理三角形性质判定平行线应用证明推论定理真命题分类命题证明）（）（第二环节 做一做1.下列语句是命题的有（ ）（1）两点之间线段最短；（2）向雷锋同志学习；（3）对顶角相等；（4）花儿在春天开放；（4）对应角相等的两个三角形是全等三角形；2.下列命题，哪些是真命题？哪些是假命题？如果是真命题，请写出条件与结论，如果是假命题，请举出反例. （1）同角的补角相等；（2）同位角相等，两直线平行；（3）若|a |=|b |，则a =b .3. 如图，AD 、BE 、CF 为△ABC 的三条角平分线,则：∠1+∠2+∠3=________.4. 用两个全等的等腰直角三角尺拼成四边形，则此四边形一定是_____。
5. 如图所示，△ABC 中，∠ACD=115°，∠B=55°, 则∠A= , ∠ACB=6. △ABC 的三个外角度数比为3∶4∶5，则它的三个外角度数分别为 _____.7. 已知，如图，AB ∥CD ，若∠ABE =130°, ∠CDE =152°，则∠ BED =__________.1ABCDEF 23ABCDABCDE F第3题图 第5题图 第7题图 第三环节 想一想 活动内容：1、已知，如图，直线a ,b 被直线c 所截，a ∥b 。
北师大版数学八年上第7章平行线的证明学案
7、1 为什么要证明学案学习目标：1.运用实验验证、举反例验证、推理论证等方法来验证某些问题的结论正确与否．2.经历观察、验证、归纳等过程，培养推理意识．3.了解检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理论证等．学习过程：阅读教材P162-163确吗？让我们一来探究，从而认识到证明的必要性。
活动1:1、如图中两条线段a与b的长度相等吗？请你先观察，再度量一下。
结论：a与b 的长度2、如图，把地球看成球形，假如用一根比地球赤道长1米的铁丝将地球赤道围起来，铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大（把地球看成球形）？能放进一个拳头吗？先凭感觉想象一下，再具体算一算，和你的感觉一样吗？大家一起算一算：设赤道周长为c，则赤道的半径为铁丝围成的圆的半径为所以铁丝与地球赤道之间的间隙为：结论：活动2：不难发现，当n=0，1，2，3时，代数式n2-n+11的值都是质数，于是得到结论：对于所有自然数n，n2-n+11的值都是质数．你认为呢？与同伴交流．列表归纳为你的结论是：活动3：如图，在△ABC中，点D,E分别是AB,AC的中点，连接DE。
DE与BC有怎样的位置关系和数量关系？请你先猜一猜，再设法检验你的猜想，你能肯定你的结论对所有的△ABC都成了吗？小组间进行、交流。
归纳、结论：实验、观察、归纳得到的结论可能，也可能。
因此，要判断数学结论，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行课堂检测：1、图中三条线段a、b、c,哪一条线段与线段d在同一直线上？请你先观察，再用三角尺验证一下.2、n为正整数时，n2+3n+1的值一定是质数吗？7、2 定义与命题（1）学案学习目标：1.了解定义、命题、真命题、假命题的含义，会区分某些语句是不是命题．2.会区分一个命题的条件和结论，了解判断命题真假的方法。
学新准备：请你举出你所熟知的一些定义例子学习过程：阅读教材P165-166页活动1：下面的语句中，哪些语句对事物作出了判断，哪些没有？（1） 任何一个三角形一定有一个角是直角； （2） 对顶角相等；（3） 无论n 为怎样的自然数，式子112+-n n 的值都是质数； （4） 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； （5） 你喜欢数学吗？ （6） 作线段AB=CD你的结论是：归纳、总结知识点： 定义：判断一件事情的 ，叫做 。
北师大版八年级上第七章平行线的证明导学案
7.1为什么要证明学习目标、重点、难点【学习目标】1、了解通过观察、猜测得到的结论不一定正确；2、要判定一个数学结论正确与否，需要进行有根有据的推理.【重点难点】要判定一个数学结论正确与否，需要进行有根有据的推理. 知识概览图你能肯定吗⎪⎩⎪⎨⎧推理举出反例实验验证新课导引观察下图中的图形．图(1)中AB ，CD 的位置关系是怎样的?图(2)中线段a 与b 相等吗?图(3)中线段d 与a ，b ，c 哪一条在同一直线上?【问题探究】 观察图形，图(1)中AB ∥CD ，图(2)中线段a ＝b ，图(3)中线段d 与a 在同一条直线上，那么你知道用什么方法来检验对上述问题回答的正确与否呢?点拨 对于上面观察得到的数学结论可以用实验验证后加以检验． 教材精华知识点 观察和实验得到的结论可靠吗教材中首先给出了一个几何问题，经过反复画不同形状的四边形，反复度量，可能会得出“顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形”的结论，但是我们的度量准确吗?我们所画的几个四边形有足够的代表性吗?我们的结论肯定能成立吗?教材中给出的第二个例子是“对于所有自然数n ，n 2-n +11的值都是质数吗?”这是一个十分容易得出错误结论的问题．事实上，当n =0，1，2，…，9，10时，n 2-n +11的值都是质数，而当n ＝11时，n 2-n +11＝112变成了合数．当我们依次对自然数进行实验时，若次数达不到11，则很可能得出错误结论．教材中给出的第三个例子是“用一根比地球赤道长1 m 的铁丝将地球赤道围起来，那么铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大?能放进一颗红枣吗?能放进一个拳头吗?”这个问题若凭直觉去判断，偌大一个地球，围赤道的铁丝仅比赤道长1 m ，那还剩什么间隙了，但实际计算一下，又会让人感到意外，铁丝与地球赤道之间的间隙为(C 表示赤道的周长)π＝ππ21221C C -+≈0.16(m)，这样的间隙不仅可以放进一颗红枣，而且也能放进一个拳头．通过上面几个例子，会使我们产生这样的认识：通过观察、验证、归纳、猜想所得出的结论未必是正确的，是值得怀疑的．这样就引出了一个问题——如何判断一个数学结论的正确与否呢?拓展 (1)依靠经验、观察或实验能发现一些数学结论．(2)要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠经验、观察或实验是不够的，必须进行推理，这也就是证明的必要性．(3)检验数学结论的常用方法：①实验验证；②举出反例；③推理．(4)遇到问题要大胆猜测并尝试用所学知识证明结论．课堂检测基础知识应用题1、当n 为正整数时，式子n 2+n +41的值都是质数吗?综合应用题2、观察下列各式及其验证过程．.833833322322++＝；＝验证： 3.833133)13(3133)33(838322233+=-+-=-+-==(1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4154的变形结果，并进行验证； (2)针对上述各式所反映的规律，写出用n (n 为任意自然数，且n ≥2)表示的等式，并进行验证．探索创新题3、如图6-2所示，线段AM ∥DN ，直线l 与AM ， DN 分别交于点B ，C ，直线l 绕BC 的中点P 旋转(点C 由 D 点向N 点方向移动)．(1)线段BC 与AD ，AB ，CD 围成的图形在初始状态下，形状是△ABD (即△ABC )，请你写出变化过程中其余的各种特殊四边形的名称；(2)任取变化过程中的两个图形，测量AB ，CD 的长度后，分别计算每一个图形中的AB +CD (结果精确到1 cm)，比较这两个和是否相等，试说明理由．体验中考1、如图6-5所示的是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，…，第n (n 是正整数)个图案中由个基础图形组成．2、如图6—6所示，四边形ABCD 是矩形，E 是AB 上一点，且DE ＝AB ，过点C 作CF ⊥DE ，垂足为E ．(1)猜想AD 与CF 的大小关系； (2)请证明猜想的结论．学后反思附： 课堂检测及体验中考答案 课堂检测1、分析 本题主要考查举出反例的方法来判断问题．解：当n ＝40时，式子n 2+n +41＝402+40+41＝412，412不是质数． ∴当n 为正整数时，式子n 2+n +41的值不都是质数． 【解题策略】 解此题的方法是举出反例对问题作出判断．2.解：（1）4，＝1544154验证：4.15441441441444415415422233+-+--+-＝）（＝）（＝＝(2)由题设及(1)可猜想：对于任意自然数n (n ≥2)，都有n,1122-+=-n nn n n验证：n 1)1(1)(112223232-+-=-+-=-=-n nn n n nn n n n n n＝.12-+n nn 【解题策略】 此题运用由特殊到一般的思想对问题作出猜想，并加以推理论证．3、分析 此题用动态的思维方式来研究图形的变化情况．CB 以中点P 为中心，点C 由D 点向N 点移动，且CB 是按顺时针方向旋转的． 解：(1)其余的各种特殊四边形分别为一般梯形、等腰梯形、直角梯形和平行四边形．(2)经测量、计算，两个图形中的AB +CD 都相等．如图6-3所示，过点P 作PP ′∥AM ，交AD 于点P ′，∴PP ′是梯形AB 1C 1D 的中位线，∴AB 1+C 1D ＝2PP ′．同理AB 2+C 2D ＝2PP ′， ∴这两个和是相等的． 体验中考1、 分析 第(1)个图中有4个基础图形，即3×1+1． 第(2)个图中有7个基础图形，即3×2+1． 第(3)个图中有10个基础图形，即3×3+1． 第(4)个图中有13个基础图形，即3×4+1． ……第n 个图中有3·n +1＝3n +1．故填3n +1．【解题策略】 解决本题的关键是准确地找出其中的规律．2、 分析 通过观察，再根据已知条件，可猜想AD ＝CF ．再运用理论进行推理论证猜想的结论正确．解：(1)AD ＝CF ．(2)∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ∥AB ， ∴∠AED ＝∠FDC ， ∵DE ＝AB ＝CD ．又∵CF ⊥DE ，∴∠CFD ＝∠A ＝90°，在△AED 和△FDC 中，(∠A ＝∠CFD ，∠AED ＝∠FDC ， DE ＝DC )， ∴△AED ≌△FDC ，∴AD ＝CF ．7.2定义与命题学习目标、重点、难点【学习目标】1、 定义和命题的含义；会判断某些语句是不是命题；2、 了解命题的构成，能区分命题中的条件和结论；3、 了解命题中的真命题、假命题、定理的含义；【重点难点】1、定义和命题的含义2、命题的构成，能区分命题中的条件和结论3、命题中的真命题、假命题、定理的含义知识概览图定义与命题⎩⎨⎧在数学中的应用证明的概念定理公理命题的条件与结论命题定义、、、、、新课导引我们前面学习了很多数学语句，如：能使方程成立的未知数的值，叫做方程的解；三角形的内角和等于180°． 【问题探究】 阅读上述语句你发现有什么特点?点拨 第一句是对“方程的解”的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出“方程的解”的定义；第二句是判断一件事情的句子，我们把它叫做命题．教材精华知识点1 定义对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义．例如：“有公共顶点，两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角；是“对顶角”的定义.拓展在定义中，必须提示该事物与其他事物的本质属性的区别，定义必须严密．知识点2 命题判断一件事情的句子，叫做命题．例如：张平的爸爸是劳动模范；同位角相等，两直线平行；老虎会爬树；小红每次考数学，成绩都是全班第一．这些都是命题．知识点3 命题的条件和结论每个命题都由条件和结论两部分组成，条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项．一般地，命题都可以写成“如果……那么……”的形式，其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论．例如：命题“如果a＝b，b＝c，那么a＝c”中，“a＝b，b＝c”是条件，“a＝c”是结论．又如：命题“矩形的四个顶角都相等”中，“矩形”是条件，“四个顶角都相等”是结论.知识点4 真命题与假命题正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题．例如：“如果一个三角形中有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形”是真命题；“菱形的四个角都相等”是假命题；“等边三角形的三个内角都是60°”是真命题．要说明一个命题是假命题，通常可以举一个例子，使之具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例．当说明一个命题是假命题时，常举一个反例．例如：“若a2=b2，则a＝b”这一命题，我们知道(-2)2＝22，但-2≠2，由此可判断“若a2＝b2，则a＝b”是假命题．知识拓展“错误的命题不是命题”是错误的，实际上错误的命题也是命题.知识点5 公理、定理、证明挑选一部分数学名词和一部分公认的真命题作为证实其他命题的起始依据，其中的数学名词称为原名，公认的真命题称为公理．除了公理外，其他真命题的正确性都通过推理的方法证实，推理的过程称为证明．经过证明的真命题称为定理．本套教材所选用的公理如下．1．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．2．两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．3．两边及其夹角对应相等的两个三角形全等．4．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等．5．三边对应相等的两个三角形全等．6．全等三角形的对应边相等、对应角相等．此外，等式的有关性质和不等式的有关性质都可以看作公理．例如：“如果直角三角形的直角边分别为a，b，斜边为c“那么a2+b2＝c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”是定理．又如：“经过平移，对应线段、对应角分别相等，对应点所连的线段平行且相等”是定理．如何证明将在以后的几节中介绍．课堂检测基础知识应用题1、判断下列句子是不是命题．(1)人离不开空气；(2)洪水滔滔；(3)若a>b，b>c，则a>c；(4)自然数不是负数；(5)我们现在学习的图形主要是平面图形；(6)延长线段AB；(7)梯形中没有相互平行的线段．2、下列命题的条件是什么?结论是什么?是真命题还是假命题?(1)每一个有理数都对应数轴上的一个点；(2)一个三角形的三个内角中，可能有两个钝角；(3)小红的三角板中有—个钝角；(4)任何一条线段都是由无数个点组成的．综合应用题3、下列语句中，哪些是命题?哪些不是命题?如果是命题．指出它是真命题还是假命题．(1)小于直角的角是锐角；(2)一个角的补角只有一个；(3)∠l与∠2是同旁内角吗?(4)直线AB与CD相交于点C；(5)平面内两条相交直线不可能垂直于同一条直线．探索创新题4、某中学开田径运动会，其中一个项目是由5名运动员进行100米短跑比赛，赛后5名观众介绍了这场比赛结果：甲说：“A是第二名，B是第三名．”乙说：“C是第三名，D是第五名．”丙说：“D是第一名，C是第二名.”丁说；“A是第二名，E是第四名．”戊说：“B是第一名，E是第四名．”他们最后都声明：“我们的话只有一半是真的．”求这5名运动员的名次究竟各是多少.体验中考1、判断下列两个结论：①正三角形是轴对称图形，②正三角形是中心对称图形，正确的是( )A. ①②都正确B．①②都错误C．①正确，②错误D．①错误，②正确2、已知下列命题：①若|x|＝3，则x＝3；②当a>b时，若c>0，则ac>bc；③直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；④矩形的两条对角线相等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是( ) A．1个B．2个C．3个D．4个学后反思附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析看一个句子是不是命题，主要看这个句子里是否隐含着条件和结论这两个部分，或者这个句子能否改写咸“如果……那么……”的形式．解：(1)是．(2)不是．(3)是．(4)是．(5)是．(6)不是．(7)是．【解题策略】根据命题的概念及结论来判断2解：(1)条件是“每一个有理数”，结论是“都对应数轴上的一个点”．是真命题．(2)条件是“一个三角形的三个内角中”，结论是“可能有两个钝角”．是假命题．(3)条件是“小红的三角板”，结论是“其中有一个钝角”．是假命题．(4)条件是“任何一条线段”，结论是“都是由无数个点组成的”．是真命题．3、分析命题是判断某一件事情的句子，即命题一定要对某件事情下结论，不管这个结论是正确的还是错误的，因此疑问句或一般陈述句都不是命题，即(3)(4)都不是命题．命题中如果结论正确就是真命题，如果结论错误就是假命题，而不必管其语句的形式是肯定还是否定．在本题所给的语句中，(2)显然是混淆了补角与邻补角的概念，所以(2)是假命题．解：(1)(2)(5)是命题；(1)(5)是真命题；(2)是假命题．【解题策略】首先找出命题，再从命题中指出真命题；学会利用反例来证明一个命题是错误．4、分析我们将5名观众介绍的结果列成表，用打“√”和打“×”来分别表示他们说真话和说假话，由于他们每人的介绍半真半假，故表中每行都应打一“√”和一“×”，从甲的介绍入手讨论，有两种情况(分别见表1和表2)．解：①若甲认为A 为第二名是真的，则B 为第三名是假的，这样可以依次推出：丙认为D 为第一名是真的，丁认为E 为第四名是假的，戊认为B 是第一名是真的，这样B ，D 都是第一名．从而产生了矛盾，这种情况应舍去(见表1)．②若甲认为A 为第二名是假的，则B 为第三名是真的，这样可以依次推出：乙认为D 为第五名是真的，丙认为C 为第二名是真的，丁认为E 为第四名是真的，戊认为B 为第一名是假的(见表2)．所以A ，B ，C ，D ，E 的名次分别为1，3，2，5，4．体验中考1、分析 本题是考查轴对称图形和中心对称图形的概念，正三角形是轴对称图形，有三条对称轴，但它不是中心对称图形而是旋转对称图形．故选C ．解题策略 解决本题的关键是把握好轴对称图形和中心对称图形的概念.2、分析 原命题与逆命题均为真命题的有②③．故选B ．7.3为什么它们平行学习目标、重点、难点【学习目标】1、 熟练掌握证明的基本步骤和书写格式；2、 会根据“同位角相等，两直线平行”（公理）证明“同旁内角互补，两直线平行”“内错角相等，两直线平行”（定理），并能应用这些结论. 【重点难点】1、 证明的基本步骤和书写格式2、 两直线平行的判定公理及两个判定定理知识概览图为什么它们平行⎩⎨⎧的几何问题利用已有知识证明简单及两个判定定理的证明两直线平行的判定公理新课导引同学们在物理中学到了潜望镜，如右图所示，在镜管中，AB 与CD 是两块与水平方向成45°角的平面镜，这样水面上的光线就可以进入到人的眼睛．【问题探究】观察上图可知入射光线与射入到人眼的光线是平行的，你知道它们为什么平行吗?点拨因为内错角相等，两直线平行.教材精华知识点1 两直线平行的判定公理及两个判定定理两直线平行的判定公理．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简单说成：同位角相等，两直线平行．两直线平行的判定定理．(1)两条直线被第三条直线所截．如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行．(2)两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．知识点2 利用已有知识证明简单的几何问题证明步骤：(1)根据题意画出图形；(2)依照所画图形，将条件写为已知，结论写为求证；（3）根据已有的定义、定理进行推理论证．知识拓展(1)当题中给出图形、已知、求证时，直接论证即可；(2)为了方便，在证明过程中，用“∵”’代替因为，“∴”代替所以．分别读作因为、所以．规律方法小结1．有关平行线的判定如下表：（推论的概念以后将学到）2．证明两条直线平行有以下几种方法：(1)从“角”的方面去考虑，即去找同位角相等，或内错角相等，或同旁内角互补．(2)证平行四边形，得对边平行.（3）三角形三条中位线分别平行于三边．(4)梯形中位线平行于两底．(5)证比例线段，得两直线平行.课堂检测基础知识应用题1、如图6-14所示，直线a，b与直线c相交，给出下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠6；③∠4+∠7＝180°；④∠5+∠3＝180°．其中能判定a∥b的是( )A．①②③④B．①③④C．①③ D. ②④综合应用题2、如图6-16所示，根据图形及上下文的含义推理并填空．(1)∵∠A＝(已知)，∴AC∥ED( )；(2)∵∠1＝(已知)，∴AC∥ED( )；(3)∵∠A+ ＝180°(已知)，∴AB∥FD( )；(4)∵∠1+ ＝180°(已知)，∴AC∥DE( )．探索创新题3、已知如图6-18所示，∠1＝∠2，OE⊥OA于点O，EH⊥CD于点H，∠5＝∠6．求证BE∥AO．体验中考1、如图6-20所示，已知∠l＝∠2，∠3＝55°，则∠4的度数是( )A．110°B．115°C．120°D．125°2、如图6-2l所示，AB∥CD，直线l分别与AB，CD相交，若∠1＝130°，则∠2等于( )A．40°B．50°C.130°D．140 °学后反思附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析本题主要考查判断两直线平行的方法及对顶角、邻补角的性质．∵∠1＝∠2，∴a∥b(内错角相等，两直线平行)．∵∠4+∠7＝180°，∴a∥b(同旁内角互补，两直线平行)．∵∠2＝∠3，∴∠5+∠3＝∠5+∠2＝180°，∴a∥b(同旁内角互补，两直线平行)．故选B.解题策略熟练掌握平行线判定方法.2分析本题主要考查两直线平行的判定方法．答案：(1)∠BED同位角相等，两直线平行(2)∠DFC内错角相等，两直线平行(3)∠AFD同旁内角互补，两直线平行(4)∠DFA同旁内角互补，两直线平行.【解题策略】灵活运用平行线的判定方法．3、证明：∵OE⊥OA，∴∠2+∠3＝90°，∴∠1+∠4＝90°．又∵EH⊥CD，∴∠4+∠6＝90°．∴∠1＝∠6．又∵∠5＝∠6，∴∠1＝∠5．又∵∠1＝∠2，∴∠5＝∠2．∴BE∥AO(内错角相等，两直线平行)．【解题策略】要证BE∥AO，则需找BE，AO被OB所截得到的内错角，即证∠2=∠5即可.4、分析我们将5名观众介绍的结果列成表，用打“√”和打“×”来分别表示他们说真话和说假话，由于他们每人的介绍半真半假，故表中每行都应打一“√”和一“×”，从甲的介绍入手讨论，有两种情况(分别见表1和表2)．解：①若甲认为A 为第二名是真的，则B 为第三名是假的，这样可以依次推出：丙认为D 为第一名是真的，丁认为E 为第四名是假的，戊认为B 是第一名是真的，这样B ，D 都是第一名．从而产生了矛盾，这种情况应舍去(见表1)．②若甲认为A 为第二名是假的，则B 为第三名是真的，这样可以依次推出：乙认为D 为第五名是真的，丙认为C 为第二名是真的，丁认为E 为第四名是真的，戊认为B 为第一名是假的(见表2)．所以A ，B ，C ，D ，E 的名次分别为1，3，2，5，4．体验中考1、分析 本题主要考查直线截平行线所成角的位置关系，由图6—20可知∠4＝∠5，∠2＝∠6，由∠1＝∠2可知∠1＝∠6，故l 1∥l 2，所以∠3+∠5＝180°(两直线平行，同旁内角互补)，故∠4＝∠5＝180°-∠3＝180°-55°＝125°.故选D.2、分析 因为AB ∥CD ，∠l 与∠2为同位角，所以∠2＝∠l ＝130°．故选C ．7.4平行线的性质学习目标、重点、难点【学习目标】1、 了解平行线性质定理和判定定理在条件和结论上的区别，体会互逆的思维过程；2、 能熟练应用平行线的性质公理及定理【重点难点】两直线平行的性质公理及两个性质定理知识概览图如果两条直线平行⎩⎨⎧的几何问题利用已有知识证明简单及两个性质定理两直线平行的性质公理新课导引你能测量如右图所示的斜坡的倾斜程度吗?工人师傅是这样做的：将量角器斜放在坡面上，取中心点引直线BC ，当BC 平行于水平面时，这时得到的角β的度数就是坡角α的度数.教材精华知识点两直线平行的性质公理及两个性质定理两直线平行的性质公理.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等(两直线平行，同位角相等)．两直线平行的性质定理．(1)两条平行线被第三条直线所截，内错角相等(两直线平行，内错角相等)．(2)两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补(两直线平行，同旁内角互补)平行线的性质补充结论．(1)垂直于两平行线之一的直线必垂直于另一条直线．(2)夹在两平行线问的平行线段相等．(3)两条平行线间的距离处处相等.(4)经过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行．(5)如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或者互补.课堂检测基础知识应用题1、如图6-31所示，已知∠3＝∠4，若要使∠l＝∠2，则需( )A．∠l＝∠3 B. ∠2＝∠3C. ∠l＝∠4 D．AB∥CD综合应用题2、已知如图6-34所示，AB∥CD，∠1＝∠3．求证AC∥BD．探索创新题3、已知如图6-38所示，C，P，D在同一直线上，∠BAP与∠APD互补，∠1＝∠2．求证∠E＝∠F．体验中考1、如图6-40所示，直线AB，CD相交于点E，DF∥AB，若∠AEC＝100°，则∠D等于( )A．70°B．80°C．90°D．100°学后反思附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析当AB∥CD时，∠1+∠3＝∠2+∠4(两直线平行，内错角相等)．又∠3＝∠4，所以∠1＝∠2．故选D.【解题策略】把已知条件和要求证的结论在一起分析可知，需要∠BAD＝∠CDA，因此需条件AB∥CD2.证明：∵AB∥CD(已知)，∴∠1＝∠2(两直线平行，内错角相等)．∵∠1＝∠3(已知)，∴∠3＝∠2(等量代换)．∴AC∥BD(同位角相等，两直线平行)．【解题策略】此题在证明过程中首先使用了平行线的性质定理，然后又使用了平行线的判定公理，使证明的过程有了初步的综合性.3、分析图中线段较多，所注字母也较多，应思路清晰．题中要证∠E＝∠F，显然必须先证AE∥FP，而要证得此结论，只有一对内错角可入手；再由已知两角互补能推出AB∥CD，这时能得出内错角∠BAP＝∠APC，再加上∠1＝∠2，便可推出所要证的结论．证明：∵∠BAP与∠APD互补(已知)，∴AB∥CD(同旁内角互补．两直线平行)．∴∠BAP＝∠APC(两直线平行，内错角相等)．∵∠1＝∠2(已知)，∴∠EAP ＝∠BAP -∠2＝∠APC -∠1＝∠APF (等式的性质)． ∴AE ∥FP (内错角相等，两直线平行)． ∴∠E ＝∠F (两直线平行，内错角相等)．【解题策略】 两条直线平行的判定、性质的应用，注意它们的区别． 体验中考1、分析 由题意知∠D ＝∠BEC ＝180°-∠AEC =180°-100°＝80°．故选B ．7.5三角形内角和定理的证明学习目标、重点、难点【学习目标】1、掌握“三角形内角和定理”的证明及其简单应用2、体会思维实验和符号化的理性作用【重点难点】“三角形内角和定理”的证明及其简单应用知识概览图三角形内角和定理⎩⎨⎧用三角形内角和定理的应明三角形内角和定理的证新课导引在探究“勾股定理”时，我们应用拼图的方法，如右图所示，图形I 与Ⅱ是30°角的直角三角板，图形Ⅲ是45°角的直角三角板，由面积公式得2212122)b a )((c ab b a +⨯=++，所以a 2+b 2=c 2．教材精华知识点1 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°． 拓展 直角三角形两锐角互余． 知识点2 三角形内角和定理的证明 已知△ABC ，如图6-58所示． 求证∠A +∠B +∠C ＝180°．证法1：如图6-58所示，作BC 的延长线CD ，过点C 作CE ∥BA ，则∠1＝∠A ，∠2＝∠B ．∵∠1+∠2+∠ACB ＝180°，∴∠A +∠B +∠ACB ＝180°．证法2：如图6-59所示，过点A 作PQ ∥BC ，则∠1＝∠B ，∠2＝∠C ．∵∠1+∠2+∠BAC =180°，∴∠BAC +∠B +∠C =180°.本定理还有多种证法，如图6-60所示，过点P (点P 在三角形的一边上或三角形内部或三角形外部)作AB ，BC ，CA 的平行线，你发现如何证明了吗?试一试吧!拓展 三角形内角和定理的证明思路：作平行线转移三角形的一个或两个或三个内角，构造平角．课堂检测基本概念题1、如图6-61所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，试说明∠A +∠B =90°．基础知识应用题2、如图6-62所示，已知∠1＝20°，∠2＝25°，∠A =35°，则∠BDC 的度数为 ．综合应用题3、已知如图6-65所示，AB∥CD．求证∠P＝∠A+∠C．探索创新题4、在△ABC中，∠B比∠A的2倍少5°，∠C比∠A多21°，求∠A，∠B，∠C的度数．体验中考1在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝80°，则∠A的度数为( )A．30°B．40°C．50°D．60°2、若等腰三角形中有一个角等于50°,则这个等腰三角形的顶角的度数为( )A．50°B．80°C．65°或50°D．50°或80°学后反思附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、解：在△ABC中，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°．【解题策略】也就是说“直角三角形两锐角互余”.2.分析本题主要考查三角形内角和定理．在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠A=35°，∠1=20°，∴∠2＝25°，∴∠DBC+∠DCB＝100°．在△BCD中，∠BDC＝180°-∠DBC-∠DCB＝80°．故填80°．【解题策略】灵活运用三角形内角和定理．3、分析连接AC，构造三角形，应用三角形内角和定理及平行线性质进行证明．证明：如图6-65所示，连接AC，∵AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD＝180°．即∠BAP+∠CAP+∠ACP+∠PCD＝180°．∵∠CAP+∠ACP+∠P＝180°，∴∠P+180°-∠BAP-∠PCD＝180°，∴∠P＝∠BAP+∠PCD．【解题策略】此题作辅助线的方法很多，可以过点P作AB或CD的平行线，也可以延长AP(或延长CP)均可解决此题.4、分析本题考查三角形内角和定理与方程的综合应用.根据题意列出方程，解方程即可求出各角的度数．解：设∠A等于x°，则∠B＝(2x-5)°，∠C＝(x+21)°．∵∠A+∠B+∠C=180°，∴x°+(2x-5)°+(x+21)°＝180°．解这个方程，得x＝41．∴2x-5＝2×41-5＝77，x+21＝41+21＝62．∴∠A＝41°，∠B＝77°，∠C＝62°．【解题策略】运用方程思想解决几何问题.体验中考1、分析本题主要考查三角形内角和定理，∠A＝180°-∠B-∠C=60°．故选D．2、分析本题考查等腰三角形性质及三角形内角和定理．50°角既可以作为顶角也可以作为底角．当50°角作为底角时，顶角为180°-2×50°＝80°，所以这个等腰三角形的顶角的度数为50°或80°．故选D。
北师大版八年级上册第7章 平行线的证明 复习教案
八年级数学备课组教案
教师
授课时间
2016年12月日
课时
2
课题
第7章平行线的证明复习课
课型
新授
教学目的
1、了解定义与命题的概念，能区分真、假命题及公理、定理
2、掌握平行线的判定及性质，并能写出具体的证明过程
3、理解并掌握三角形的内角和及外角，能根据已知条件，求出角的度数
重点
小结
掌握知识脉络，能灵活应用知识.
作业布置
配套试卷
课后
反思
知识点二：两平行线的判定和性质定理
1.平行线的判定方法：①同位角相等，两直线平行（公理）
②内错角相等，两直线平行
③同旁内角互补，两直线平行
④平行于同一条直线的两条直线互相平行
2.平行线的性质定理：两直线平行，同位角相等
两直线平行，内错角相等
两直线平行，同旁内角互补
例题1、把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式
知识点三：三角形的内角和定理
1.三角形的内角和等于180°
2.与外角有关的定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
例2．如图，在△ABC中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，求∠AEC的度数。
1．一个三角形的一个内角等于另外两个内角的和，这个三角形是（A）
2、下列句子中，不属于命题的是( )
A．三角形的内角和等于180°B．对顶角相等
C．过直线外一点作已知直线的平行线D．两点之间，线段最短
3、如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b，∠1=50°，∠2=60°，求∠3的度数
北师大版初二上册第七章平行线的证明复习教案(教案)
北师大版初二上册第七章平行线的证明复习教案(教案）传授目标知识与技术：综合掌握平行线的鉴定定理和性质定理、三角形内角和定理及其推论.历程与要领：议决对知识的系统温习和整合,提拔运用知识办理相关标题的能力.情绪态度与代价观：培育学生养成优良的学习习惯,增强数学学习意识.传授重难点【重点】1.平行线的性质定理和鉴定定理的运用.2.三角形内角和定理的推论.【难点】三角形内角和定理和其推论的综合运用.知识总结—||||||||—||||—定义—命题—|||—概念—构成—|—条件—结论—分类—|—真命题—|—公理—定理—假命题—反例—|||—平行线的判定—|—同位角相等————内错角相等——同旁内角互补—|—两直线平行—平行线的性质—两直线平行—|—同位角相等—内错角相等—同旁内角互补—|—三角形的内角和定理—三角形的内角和定理的推论—|—推论1—推论2专题讲座 专题一 定义与命题一、定义对名称和术语的含义加以描述,作出明确的准则.如“两点之间线段的长度,叫做这两点之间的隔断”是“两点之间的隔断”的定义.二、命题鉴别一件事情的句子叫做命题.反之,要是一个句子没有对一件事情作出任何鉴别,那么它就不是命题.每个命题都是由条件和结论两部分组成的.条件是已知事项,结论是由已知事项推测出的事项.命题一般都可以写成“要是……那么……”的形式,“要是”引出的部分是条件,“那么”引出的部分是结论.三、真命题、假命题与反例真命题:正确的命题称为真命题.假命题:不正确的命题称为假命题.反例:要说明一个命题是假命题,常常可以举出一个例子,使它具备命题的条件,而不具有命题的结论,这种例子称为反例.四、正义、定理、证明正义:公认的真命题称为正义.定理:议决证明的真命题称为定理.证明:演绎推理的历程称为证明.【专题剖析】本专题知识是学习证明标题的开始,敷衍以后的标题证明具有十分重要的基础身分.重点要理解证明的要领和证明历程的严谨性.将下列命题改成“要是……那么……”的形式,并指出条件和结论.(1)等角的余角相等;(2)一组对边平行且不相等的四边形是梯形.〔剖析〕命题的改写要注意下列三点:①改写前后内容要保持一致;②改写后的命题要是一个完整的语句;③改写后的条件和结论要表达明白,有时要补上原命题省略的部分.解:(1)改为:要是两个角相等,那么它们的余角相等.条件为“两个角相等”.结论为“它们的余角相等”.(2)要是一个四边形是一组对边平行且不相等的四边形,那么该四边形是梯形.条件为“一个四边形是一组对边平行且不相等的四边形”.结论为“该四边形是梯形”.[纪律要领]鉴别是不是命题,要害是看它能否说明一件事情有何终于.一般的陈述句(包括肯定句和否定句)都为命题,疑问句和感叹句及祈使句都不是命题.找命题的条件和结论,一般先把它化成“要是……那么……”的形式.【针对训练1】下列语句哪些是命题?哪些不是命题?要是是命题,请指出命题的条件和结论,并鉴别命题的真假.(1)画线段AB=5 cm;(2)你吃饭了吗?(3)相等的角是直角;(4)要是两个角不相等,那么这两个角不是对顶角.〔剖析〕严格根据命题的定义鉴别.解:是命题的有(3)(4),不是命题的有(1)(2).命题(3):条件:两个角相等;结论:这两个角是直角,是假命题.命题(4):条件:两个角不相等;结论:这两个角不是对顶角,是真命题.专题二平行线的鉴定定理和性质定理的应用一、鉴定两条直线平行的要领(1)同位角相等,两直线平行.(2)同旁内角互补,两直线平行.(3)内错角相等,两直线平行.(4)平行于联合直线的两直线平行.(5)在联合平面内,垂直于联合直线的两直线平行.二、平行线的性质(1)两直线平行,同位角相等.(2)两直线平行,内错角相等.(3)两直线平行,同旁内角互补.【专题剖析】平行线的鉴定和性质的应用,是研究三角形的角、四边形、多边形相似等知识的重要基础.如图所示,已知AB⊥BC于B,DG⊥AC于D,BE⊥AC于E,∠1=∠2,求证EF⊥AB.证明:∵DG⊥AC,BE⊥AC,∴DG∥BE(平面内,垂直于联合直线的两直线平行),∴∠2=∠EBC(两直线平行,同位角相等).∵∠1=∠2,∴∠EBC=∠1,∴EF∥BC(内错角相等,两直线平行),∴∠EFB+∠CBA=180°(两直线平行,同旁内角互补).∵AB⊥BC,∴∠CBA=90°(垂直的定义),∴∠EFB=90°,∴EF ⊥AB (垂直的定义).[纪律要领]平行线的性质和鉴定往往在联合个标题中交替使用,当标题中出现角相等或角之间有互补(互余)干系时,往往要用到鉴定要领;当题中出现平行时,往往利用性质得到角之间的干系.在以后我们学习多边形时,平行线的性质和鉴定将起到工具性的作用.【针对训练2】 如图,已知AB ∥CD,BE,DE 分别中分∠ABC 和∠ADC,若∠A=45°,∠C=55°,求∠BED 的度数.〔剖析〕由AB ∥CD,可得∠A=∠CDA,∠C=∠ABC,从而求得∠ABE=12∠ABC=12∠C,∠CDE=12∠CDA=12∠A,然后过点E 作AB 的平行线,从而易得∠BED 的度数.解:过点E 作EF ∥AB.∵AB ∥CD,∴AB ∥CD ∥EF,∴∠A=∠CDA,∠C=∠ABC,∠BEF=∠ABE,∠DEF=∠CDE.∴∠CDA=∠A=45°,∠ABC=∠C=55°.∵BE,DE 分别中分∠ABC 和∠ADC,∴∠CDE=12∠A=12×45°=22.5°, ∠ABE=12∠C=12×55°=27.5°. ∵∠BEF=∠ABE,∠DEF=∠CDE,∴∠BED=22.5°+27.5°=50°.专题三 三角形内角和定理及有关三角形外角的两个推论1.三角形的内角和即是180°.2.三角形的一个外角即是和它不相邻的两个内角的和.3.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.【专题剖析】本专题三角形角的相关知识是研究几多标题中角的相关知识的基础,它和平行线的知识一起组成了几多标题的两大基点.如图,已知BC ⊥DE 于O ,∠A =27°,∠D =20°,求∠B 与∠ACB.〔剖析〕∠B 在ΔBEO 中,已知别的两个角即可,所以标题转化为求∠BEO ,而∠BEO 是ΔAED 的外角,求∠ACB 的要领有两种:一种是看做ΔBAC 的内角,别的也可看做ΔDCO 的外角.解:∵BC⊥DE(已知),∴∠B+∠BEO=90°.∵∠BEO=∠A+∠D=27°+20°=47°,∴∠B=90°-∠BEO=90°-47°=43°.∵在ΔBAC中,∠A+∠B+∠ACB=180°,∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180-27°-43°=110°.[易错提示]1.借助三角形求角,一般是把所求的角看成是某一个三角形的内角,图上出现外角时,则要思虑用外角的性质.2.三角形的外角一般为图上条件,在已知条件下并不出现,我们称三角形外角为图上隐含条件,所以在审题时要确认图上已知条件,还要认真审阅图上隐含条件.【针对训练3】如图所示,AB∥CD,AD∥BC,∠B=50°,∠EDA=60°,求∠CDF的度数.〔剖析〕本题要充分运用AB∥CD,AD∥BC这两个条件,利用平行线举行转化,转化为三角形的外角.解:因为AD∥BC(已知),所以∠F=∠EDA=60°(两直线平行,同位角相等).因为AB∥CD(已知),所以∠BCD+∠B=180°(两直线平行,同旁内角互补).所以∠BCD=180°-∠B=180°-50°=130°(等式的性质).又因为∠BCD=∠F+∠CDF(三角形的一个外角即是和它不相邻的两个内角的和),所以∠CDF=∠BCD-∠F=130°-60°=70°(等式的性质).专题四方程思想【专题剖析】本章中,通常遇到利用三角形内角和定理求角度的标题,当标题中有关各角之间的数量干系比较纷乱时,可灵敏运用方程(组)求解.如图,在ΔABC中,AB=AC,D,E分别在AC,AB边上,且BC=BD,AD=DE=EB,求∠A的度数.〔剖析〕根据联合个三角形中等边对等角的性质,设∠ABD=x,连合三角形外角的性质,则可用含x的代数式表示∠A,∠ABC,∠C,再在ΔABC中,运用三角形的内角和为180°,可求∠A的度数.解:∵DE=EB,∴设∠BDE=∠ABD=x,∴∠AED=∠BDE+∠ABD=2x.∵AD=DE,∴∠AED=∠A=2x,∴∠BDC=∠A+∠ABD=3x.∵BD=BC,∴∠C=∠BDC=3x.∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=3x.在ΔABC中,3x+3x+2x=180°,解得x=22.5°.∴∠A=2x=22.5°×2=45°.[纪律要领](1)几多谋略题中,依据题设和相关的几多图形的性质列出方程(或方程组)求解的要领叫做方程思想;(2)求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件;(3)三角形的外角通常环境下是转化为内角来办理.【针对训练4】如图所示,在ΔABC中,P,Q是BC边上的两点,若∠PAB=∠B,∠QAC=∠C,∠BAC=130°,求∠PAQ的度数.〔剖析〕 由∠PAB =∠B ,∠QAC =∠C 与三角形内角和定理相连合,可列出关于∠PAQ 的方程组,解方程组即可求得∠PAQ 的度数.解:∵∠PAB =∠B ,∠QAC =∠C ,∴设∠PAB =∠B =x ,∠QAC =∠C =y ,∠PAQ =θ,则得方程组{θ+x +y =130°,θ+2x +2y =180°,解方程组,得θ=80°,即∠PAQ =80°.[解题计谋]本题中列出的方程组由两个方程组成,但未知数却有3个,显然用常规要领不能解得θ.查看方程组{θ+x +y =130°①,θ+2x +2y =180°②的特点,用①×2-②即可求得θ=80°. 专题五 转化思想【专题剖析】在证明角的不等标题时,要是难以找到所证各角之间的干系,那么可设法把标题转化,从而使有关各角之间的干系由隐蔽化为明显,由纷乱化为简略,由抽象化为直观.如图所示,CE是ΔABC的外角(∠ACD)中分线,BF是∠ABC的中分线,CE交BF的延长线于点E,请你鉴别∠ACE与∠ABE的巨细干系,并证明.〔剖析〕由题意可知∠ACE=∠DCE,∠ABE=∠CBE,则标题转化为鉴别∠DCE与∠CBE的巨细干系.解:∠ACE>∠ABE.证明如下:∵CE是ΔABC的外角(∠ACD)中分线(已知),∴∠DCE=∠ACE(角中分线的定义).∵∠DCE是ΔEBC的一个外角,∴∠DCE>∠CBE(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角).∵BE是∠ABC的中分线(已知),∴∠ABE=∠CBE(角中分线的定义).∴∠ACE>∠ABE(等量代换).[解题计谋]在利用有关三角形外角的定理证明角的不等干系时,要是所要证明的两角没有直接关联,那么可发挥某些角(如本题中的∠DCE与∠CBE)的桥梁作用,从而将标题转化.【针对训练5】如图所示,试求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.〔剖析〕求多个角的度数和标题,可以遐想到三角形的内角和即是180°和外角的性质,将所求角转化到一个或几个三角形中去,从而求得多个角的和.因为∠A,∠B,∠C,∠D,∠E每个角的度数都不确定,且较疏散,所以必须把∠A+∠B+∠C+∠D+∠E看成一个整体求它的度数,故思虑将其转化到一个三角形中去.解:因为∠AGE是ΔCGE的外角,所以∠AGE=∠C+∠E.同理∠AFG=∠B+∠D.因为∠AGE+∠AFG+∠A=180°,所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.专题六布局思想【专题剖析】在几多证明中,要是仅靠图中的线段难以说明标题时,那么可议决作帮助线布局某个基本图形,从而使标题的条件或结论产生转化.一大门的栏杆如图(1)所示,BA垂直地面AE于A,CD平行于地面AE,则∠ABC+∠BCD=.〔剖析〕过点B作BG∥CD,易证得AB⊥BG,如图(2)所示.根据两直线平行,同旁内角互补,得∠BCD+∠CBG=180°.由题意得∠ABG=90°,所以∠ABC+∠BCD=180°+90°=270°.故填270°.【针对训练6】某校的校园平面图如图(1)所示,已知AB=470 m,BC=560 m.则这个校园的周长是几多米?(图中的每一个角都是直角)〔剖析〕将GF沿GH偏向平移到HP,ED沿EF偏向平移到PQ,GH 沿GF偏向平移到RQ,EF沿ED偏向平移到DR,如图(2)所示,则校园的周长就即是长方形ABCQ的周长.解:将图(1)的部分线段议决平移,使图形变为如图(2)所示的长方形.由平移的特性知GF=HP,ED=PQ,GH=RQ,EF=RD,所以校园的周长为AB+BC+AH+GF+ED+GH+EF+CD=AB+BC+AH+HP+PQ+RQ+RD+CD=AB+BC+AQ+CQ =2(AB+BC)=2×(470+560)=2060(m).。
北师大版数学八年级上册导学案：第七章《平行线的证明》复习案
亲爱的同学，“又是一年芳草绿，依旧十里杏花红”。
当春风又绿万水千山的时候，我们胜利地完成了数学世界的又一次阶段性巡游。
今天，让我们满怀信心地面对这张试卷，细心地阅读、认真地思考，大胆地写下自己的理解，盘点之前所学的收获。
第七章：平行线的证明 【复习目标】: 1、使学生进一步熟悉平行线的性质定理与判定定理，三角形内角和定理及三角形的外角的性质等概念；2、培养学生的逻辑思维能力，规范学生的证明格式。
【复习重点】：如何运用所学的公理、定理解决相关问题。
【复习导航】：本章知识网络：【基础练习】：——。
2．下列句子中，不属于命题的是( )A ．三角形的内角和等于180°B ．对顶角相等C ．过直线外一点作已知直线的平行线D ．两点之间，线段最短 3. 下列四个命题中，属于真命题的是( )A ．互补的两角必有一条公共边B ．同旁内角互补C ．同位角不相等，两直线不平行D ．一个角的补角大于这个角 4. 下列四个命题中，真命题有（ ）（1）两条直线被第三条直线所截，内错角相等。
（2）如果∠∠12和是对顶角，那么∠1=∠2。
（3）一个角的余角一定小于这个角的补角。
（4）如果∠1和∠3互余，∠2与∠3的余角互补，那么∠1和∠2互补。
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5、 三角形三内角的度数之比为1：2：3，最大边边长是8cm ，则最小边长是____________。
6、如图所示，∠=⊥∠=ABC DE BC DF AB F D 3640°，，于，则'// 。
}⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⇒⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⇒⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⇒⎩⎨⎧⇒⇒⇒⇒⇒⇒结论题设部分条件结构反例假命题公理外角推论内角和定理三角形性质判定平行线应用证明推论定理真命题分类命题证明）（）（AFB C7、如图所示，AB//CD，∠=∠=∠=111531402°，°，_____________。
北师大版八年级上册数学 第七章 平行线的证明 复习 学案
期末复习(七) 平行线的证明【知识结构】平行线的证明⎩⎪⎨⎪⎧证明的必要性定义与命题⎩⎪⎨⎪⎧定义与命题定理与证明平行线⎩⎪⎨⎪⎧判定性质三角形内角和⎩⎪⎨⎪⎧内角和定理的证明三角形的外角性质【典型例题】【例1】下列命题是真命题的有 ．(填序号)①对顶角相等；②两直线平行，内错角相等；③两个锐角对应相等的两个直角三角形全等；④点P(1，2)关于x 轴的对称点的坐标是(－1，－2)．【例2】如图，已知AB ∥CD ，EF 分别交AB 、CD 于点G 、H ，GM 、HN 分别平分∠AGF 、∠EHD.证明：GM ∥HN.【例3】如图，BP 是△ABC 中∠ABC 的平分线，CP 是∠ACB 的外角平分线，若∠ABP ＝20°，∠ACP ＝50°，那么∠A ＋∠P ＝( )A ．70°B ．80°C ．90°D ．100°【例4】如图，在三角形ABC 中，∠1是它的一个外角，E 为边AC 上一点，延长BC 到D ，连接DE ．求证：∠1>∠2．【跟踪强化】 一、选择题1．下列命题，是真命题的是( )A ．同位角相等B ．全等的两个三角形一定轴对称C ．不相等的角不是内错角D ．同旁内角互补，两直线平行 2．如图，已知∠AOB ＝70°，OC 平分∠AOB ，DC ∥OB ，则∠C 为( ) A ．20°B ．35°C ．45°D ．70° 3．如图，AB ∥EF ∥CD ，∠ABC ＝46°，∠CEF ＝154°，则∠BCE 等于( )ABC D E1 F2A．23°B．16°C．20°D．26°4．如图所示，将含有30°角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线的其中一条上，若∠1＝35°，则∠2的度数为( )A．10°B．20° C．25°D．30°5.如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线BE，CD交于点F，∠A＝60°，则∠BFC的度数为( )A．118°B．119° C．120° D.121°第2题图第3题图第4题图第5题图6．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则它的底角的度数是( )A．50°B．65°C．25°D．65°或25°二、填空题1．命题“直角三角形两个锐角互余”的条件是，结论是．2.一大门的栏杆如图所示，BA垂直于地面AE于点A，CD平行于地面AE，则∠ABC＋∠BCD ＝．3．如图，点D、B、C在同一条直线上，∠A＝60°，∠C＝50°，∠D＝25°.则∠1＝( )A．60°B．50° C．45° D．25°第2题图第3题图第4题图第5题图4．如图，三条直线两两相交，则∠1＋∠2＋∠3＝．5．如图所示，AB∥CD，AD与BC交于点E，EF是∠BED的平分线，若∠1＝30°，∠2＝40°，则∠BEF＝度．6．如图，直线l1∥l2，且l1、l2被直线l3所截，∠1＝∠2＝35°，∠P＝90°，则∠3＝度．三、解答题1．如图，AC∥BD，AE平分∠BAC交BD于点E，若∠1＝64°，则∠2为多少度？2.如图，AB∥CD，∠BAE=300,∠ECD=600,那么∠AEC度数为多少？A B【当堂检测】1．如图，△ABC中，∠B=55°,∠C=63°,DE∥AB,则∠DEC等于（）（A）63°(B) 62°(C) 55°（D）118°2．三角形的一个外角是锐角，则此三角形的形状是（）（A）锐角三角形 (B)钝角三角形(C)直角三角形（D）无法确定3．如图，BD平分∠ABC，若∠1＝∠2，则（）（A）AB∥CD (B) AD∥BC (C) AD=BC （D）AB=CD4.如图，把长方形ABCD沿EF对折，若∠1=50°，则∠AEF的度数等于 .5、如图：∠A=65º，∠ABD=∠BCE=30º，且CE平分∠ACB,求∠BEC.6.如图，将纸片△ABC沿DE折叠，点A落在点A′处，已知∠1＋∠2＝100°，求∠A的度数．AB CDEF1DABE第1题第3题第4题7.如图，直线a∥b，直线c分别与a、b相交于点D、C，在直线CD上有一点P.(1)如果点P在点C、D之间运动时，问∠1、∠2、∠3之间有怎样的关系？如果点P运动，它们的关系是否发生变化？(2)如果点P不在点C、D之间运动时，∠1、∠2、∠3之间的关系是怎样的？。
八年级数学上册第七章平行线的证明回顾思考学案无答案新版北师大版
第七章教师寄语：成功与不成功之间有时距离很短只要后者再向前几步一、定义、命题命题的定义：_______一件事情的句子叫做命题.1．下列命题中，属于定义的是( )A．两点确定一条直线B．同角或等角的余角相等C．两直线平行，内错角相等 D．点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度2. 下列句子中,不是命题的是( )A. 三角形的内角和等于180度B. 对顶角相等C. 过一点作已知直线的平行线D. 两点确定一条直线二、命题的形式每个命题都是由_______和_______两部分组成，_______是已知的事项，_______是由已知事项推断出的事项，一般地，命题都可以写成“如果......那么......”的形式，其中“如果”引出的部分是_______，“那么”引出的部分是_______.3. 分别把下列命题写成“如果……，那么……”的形式.（1）对顶角相等；（2）等角的补角相等；（3）内错角相等；（4）同位角相等，两直线平行.三、真命题、假命题正确的命题称为_______，不正确的命题称为_______.4. 下列命题中，是真命题的是( )A．内错角相等 B．同位角相等，两直线平行C．互补的两角必有一条公共边 D．一个角的补角大于这个角5. 下列命题中，假命题是( )A．垂直于同一条直线的两直线平行 B．已知直线a、b、c，若a⊥b，a∥c，则b⊥c C．互补的角是邻补角 D．邻补角是互补的角四、平行线的性质与判定方法性质：⑴ 两直线平行，________相等；⑵ 两直线平行，________相等；⑶ 两直线平行，________互补. 判定：⑴ ________相等，两直线平行；⑵________相等，两直线平行；⑶________互补，两直线平行；⑷ 平行于同一条直线的两条直线互相______.6. 如图1，有一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上.如果∠1=20°，那么∠2的度数是（ ）A ．30°B ．25°C ．20°D ．15° 7. 如图2，直线l 1∥l 2， ∠1=40°，∠2=75°，则∠3等于（ ）A ．55°B ．60°C ．65°D ．70° 8. 如图3，直线DE 经过点A,DE∥BC,∠B=60°,下列结论成立的是（ ）A ．∠C=60°B ．∠DAB=60°C ．∠EAC=60°D ．∠BAC=60°9. 如图4，已知AB∥CD，E 是AB 上一点，DE 平分∠BEC 交CD 于D ，∠BEC=100°，则∠D 的度数是______. 10. 如图5，AB∥CD，∠C =80°，∠CAD =60°，则∠BAD 的度数等于( )A ．60°B ．50°C ． 45°D ． 40°11. 如图6，AE∥BD，∠1=120°，∠2=40°，则∠C = ．12．如图7，直线AB 、CD 相交与点E ，DF∥AB．若∠D=70°，则∠CEB = ．13. 如图8，已知直线a∥b,∠1=40°,∠2=60°,则∠3= ．14. 如图9，直线a∥b，点B 在直线b 上，且AB ⊥BC ，∠2=59°，则∠1= ．图7图8ACB ba 1 2 图9图1l 1 l 2123图2EDCB A图3图5图6图415．已知，如图，∠1=∠ACB，∠2=∠3，求证:CD∥FH .16. 将一幅三角板拼成如图所示的图形，过点C 作CF 平分∠DCE 交DE 于点F ．⑴ 求证：CF∥AB．⑵ 求∠DFC 的度数．五、三角形内角和定理三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于_____.17．在一个三角形中，若两内角的和为120°，则第三个内角的度数为____．18．在一个三角形中，各内角度数之比为2：3：4，•则这个三角形各内角度数为________． 19．已知：如图，在△ABC 中，BD 、CE 是∠B 、∠C 的平分线，且相交于点O ．求证：∠BOC =90°+21∠A ．六、三角形外角的定义三角形外角的定义：△ABC 内角的一条边与另一条边的______延长线组成的角，称为△ABC 的外角. 七、三角形外角的定理三角形外角定理1：•三角形的一个外角_____与它不相邻的两个内角的和. 三角形外角定理2：•三角形的一个外角______与它不相邻的任何一个内角. 20．三角形三个内角之比为1：2：3，则该三角形三个外角之比为（ ）A ．5：4：3B ．3：2：1C ．1：2：3D ．2：3：4 21．已知三角形的一个外角小于和它相邻的内角，那么这个三角形是（ ）CABD EFH 123AB C DEOA ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．以上均有可能 22. 在△ABC 中,∠A 、∠B 的外角分别是120°、150°,则∠C=( )A. 120°B. 150°C. 60°D. 90° 23．等腰三角形的一个外角为110°，它的底角为（ ）A ．55°B ．70°C ．55°或70°D ．以上均有可能 24．如图10，点D ，B ，C 在同一直线上，∠A=60°，∠C=50°，∠D=25°，则∠1=_____度． 25．如图11，已知AB∥CD，∠EB A=45°，∠E+∠D =_____度．26． 如图12，将一副直角三角板如图摆放，点C 在EF 上，AC 经过点D ．已知∠A=∠EDF=90°，AB=AC ．∠E=30°，∠BCE=40°，则∠CDF =_____度．27．如图，D 是AB 上一点，E 是AC 上一点，BE ，CD 相交于点F ，∠A=62°，∠ACD=35°，∠ABE=20°，求∠BDC 和∠BFD 的度数．28．如图，已知BE ，CE 分别是△ABC 的内角∠ABC ，外角∠ACD 的平分线，若∠A=50°，你能求出∠E 吗？若∠A= ，则∠E 是多少？图10图11图12。
北师大版初中数学八年级上册 第七章 平行线的证明复习、回顾与思考 教案
第七章平行线的证明回顾与思考教学目标1.复习本章的知识点，了解各知识点之间的关系，巩固所学的知识，并能用这些知识解决一些问题。
2.经历知识的总结过程，回顾知识点，发展形成知识结构的能力。
教学重点进一步理解和掌握本章的公理及定理，掌握证明的步骤与格式，在证明过程中发展初步的演绎推理能力。
教学难点掌握证明的方法及应用定理解决问题。
教学方法自主反思，归纳总结.教学教具直尺，三角板，量角器教学过程本节课设计了五个教学环节：知识回顾——做一做——想一想——试一试——反馈练习．第一环节知识回顾活动内容：1.什么是定义？什么是命题？命题由哪两部分组成？举例说明！2.平行线的性质定理与判定定理分别是什么？3.三角形内角和定理是什么？4.与三角形的外角相关有哪些性质？5.证明题的基本步骤是什么？活动目的：通过学生的回顾与思考，使学生对平行线的性质定理与判定定理，三角形内角和定理及三角形的外角的性质有一个更深层次的认识，为下一步的简易的逻辑推理作好知识准备． 注意事项：由于学生对于上述概念都有较长时间的学习，但知识点是零散的，因此有必要在学生头脑中形成一个清晰的知识网络，如：}⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⇒⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⇒⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⇒⎩⎨⎧⇒⇒⇒⇒⇒⇒结论题设部分条件结构反例假命题公理外角推论内角和定理三角形性质判定平行线应用证明推论定理真命题分类命题证明）（）（第二环节 做一做 活动内容：1.下列语句是命题的有（ ）（1）两点之间线段最短；（2）向雷锋同志学习；（3）对顶角相等；（4）花儿在春天开放；（4）对应角相等的两个三角形是全等三角形；2.下列命题，哪些是真命题？哪些是假命题？如果是真命题，请写出条件与结论，如果是假命题，请举出反例.（1）同角的补角相等；（2）同位角相等，两直线平行；（3）若|a |=|b |，则a =b .3. 如图，AD 、BE 、CF 为△ABC 的三条角平分线,则：∠1+∠2+∠3=________.4. 用两个全等的等腰直角三角尺拼成四边形，则此四边形一定是_____。
北师大版八年级数学上册第七章 平行线的证明 章末复习导学案
北师大版八年级数学上册第七章平行线的证明章末复习导学案1、本章知识回顾1．命题：判断一件事情的语句．2．公理：公认的正确命题．(1)同位角相等，两直线平行；(2)两直线平行，同位角相等；(3)三边分别相等的两个三角形全等；(4)两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；(5)两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；(6)全等三角形对应边相等，对应角相等．3．定理：经过证明的真命题．(1)内错角相等，两直线平行；(2)同旁内角互补，两直线平行；(3)两直线平行，内错角相等；(4)两直线平行，同旁内角互补；(5)三角形三个内角的和等于180°；(6)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；(7)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；(8)三角形的外角和等于360°．4．证明：推理的过程．2、课堂精讲精练【例1】下列各命题是假命题的是(D)A．如果一个三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形B．每个角都等于60°的三角形是等边三角形C．如果a3＝b3，那么a＝bD．对应角相等的三角形是全等三角形【跟踪训练1】下列5个命题：①同旁内角互补；②等角的余角相等；③全等三角形的周长相等；④斜边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等；⑤对于函数y＝－0.2x＋11，y随x的增大而增大．其中是真命题的有②③(填序号)．【例2】如图，已知四边形ABCD，AB∥CD，点E是BC延长线上一点，连接AC，AE，AE交CD于点F，∠1＝∠2，∠3＝∠4.求证：(1)∠BAE＝∠DAC；(2)∠3＝∠BAE；(3)AD∥BE.证明：(1)∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠CAE＝∠2＋∠CAE，即∠BAE＝∠DAC.(2)∵AB∥CD，∴∠4＝∠BAE.∵∠3＝∠4，∴∠3＝∠BAE.(3)∵∠3＝∠BAE，∠BAE＝∠DAC，∴∠3＝∠DAC.∴AD∥BE.【跟踪训练2】如图，∠ADE＋∠BCF＝180°，AF平分∠BAD，∠BAD＝2∠F.(1)AD与BC平行吗？请说明理由；(2)AB与EF的位置关系如何？为什么？(3)若BE平分∠ABC.试说明：①∠ABC＝2∠E；②∠E＋∠F＝90°.解：(1)AD∥BC.理由如下：∵∠ADE ＋∠BCF＝180°，∠ADE ＋∠ADC ＝180°，∴∠BCF ＝∠ADC.∴AD ∥BC.(2)AB∥EF.理由如下：∵AF 平分∠BAD，∠BAD ＝2∠F，∴∠BAF ＝12∠BAD＝∠F. ∴AB ∥EF.(3)①∵AB∥EF，∴∠ABE ＝∠E.∵BE 平分∠ABC，∴∠ABC ＝2∠ABE＝2∠E.②∵AD ∥BC ，∴∠BAD ＋∠ABC＝180°.∵∠BAD ＝2∠F，∠ABC ＝2∠E，∴2∠E ＋2∠F＝180°.∴∠E ＋∠F＝90°.【例3】 如图，在△ABC 中，三条内角平分线AD ，BE ，CF 相交于点O ，OG ⊥BC 于点G.(1)若∠ABC＝40°，∠BAC ＝60°，求∠BOD 和∠COG 的度数；(2)若∠ABC＝α，∠BAC ＝β，猜想∠BOD 和∠COG 的数量关系，并说明理由．解：(1)∵AD 平分∠BAC，BE 平分∠ABC，∴∠OAB ＝12∠BAC＝30°，∠OBA ＝12∠ABC＝20°. ∴∠BOD ＝∠OAB＋∠OBA＝50°.∵CF 平分∠ACB，∴∠OCG ＝12∠ACB＝12(180°－∠ABC－∠BAC)＝40°. ∴∠COG ＝90°－∠OCG＝50°.(2)∠BOD 和∠COG 相等．理由如下：∠BOD ＝∠OAB＋∠OBA＝12∠BAC＋12∠ABC＝12(180°－∠ACB)＝90°－12∠ACB＝90°－∠OCG ＝∠COG.【跟踪训练3】 在△ABC 中，射线AG 平分∠BAC 交BC 于点G ，点D 在BC 边上运动(不与点G 重合)，过点D 作DE∥AC 交AB 于点E.(1)如图1，点D 在线段CG 上运动时，DF 平分∠EDB.①若∠BAC＝100°，∠C ＝30°，则∠AFD＝115°；若∠B＝40°，则∠AFD＝110°；②试探究∠AFD 与∠B 之间的数量关系？请说明理由；(2)如图2，点D 在线段BG 上运动时，∠BDE 的角平分线所在直线与射线AG 交于点F ，试探究∠AFD 与∠B 之间的数量关系，并说明理由．解：(1)②∠AFD＝90°＋12∠B.理由如下： ∵DE ∥AC ，∴∠EDB ＝∠C.∵AG 平分∠BAC，DF 平分∠EDB，∴∠BAG ＝12∠BAC，∠FDG ＝12∠EDB＝12∠C . ∵∠DGF ＝∠B＋∠BAG，∴∠AFD ＝∠DGF＋∠FDG＝∠B＋∠BAG＋∠FDG＝∠B＋12(∠BAC＋∠C) ＝∠B＋12(180°－∠B) ＝90°＋12∠B.(2)∠AFD＝90°－12∠B.理由如下： ∵∠EDB ＝∠C，∠BAG ＝12∠BAC，∠BDH ＝12∠EDB＝12∠C， 又∵∠AH F ＝∠B＋∠BDH，∴∠AFD ＝180°－∠BAG－∠AHF＝180°－12∠BAC－∠B－∠BDH ＝180°－12∠BAC－∠B－12∠C ＝180°－∠B－12(∠BAC＋∠C) ＝180°－∠B－12(180°－∠B) ＝180°－∠B－90°＋12∠B ＝90°－12∠B.。
北师大版数学八年级上册第七章平行线的证明单元复习课课件
7.已知a，b，c为同一平面内三条不同直线，若a⊥b，c⊥b，则a 与c的位置关系是__a_∥__c____. 8.如图Z7-8，AB⊥BC于点B，DC⊥BC于点C，DE平分∠ADC交BC于 点E，点F为线段CD延长线上一点，∠BAF=∠EDF,则下列结论正确 的是_①__②__③____（填序号）. ①∠BAD+∠ADC=180°； ②AF∥DE；③∠DAF=∠F； ④若CD=DF，则DE=AF.
第七章 平行线的证明
单元复习课 本章知识梳理
目录
01 课标要求 02 知识导航
课标要求
1.定义、命题、定理： （1）通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义. （2）结合具体实例，会区分命题的条件和结论. （3）知道证明的意义和证明的必要性，知道证明要合乎逻辑，知 道证明的过程中可以有不同的表达情势，会综合运用证明的格式.
2.探索并证明平行线的判定定理：两条直线被第三条直线所截， 如果同位角相等（或内错角相等或同旁内角互补），那么这两条 直线平行；探索并证明平行线的性质定理：两条平行直线被第三 条直线所截，同位角相等（或内错角相等或同旁内角互补）. 3.探索并证明三角形内角和定理，掌握该定理的推论：三角形的 一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
知识导航
定义：对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，就是给 出它们的定义
平 行 线 的 证 明
概念：判断一件事情的句子
定
结构：每个命题都由条件和结论组成，通常可以写
义 命题
成“如果……那么……”的情势
与 命 题
分类：（1）真命题：正确的命题；（2）假命题： 不正确的命题
公理：公认的真命题
定理：经过证明的真命题
证明：（1）∵∠EGB+∠CHE=180°，∠CHE+∠EHD=180°， ∴∠EGB=∠EHD. ∴AB∥CD. （2）∵AB∥CD， ∴∠BGF=∠CHE. ∵GM平分∠BGF，HN平分∠CHE， ∴∠NHE=∠MGF. ∴GM∥NH. ∴∠M=∠N.
八年级上册北师大版第七行平行线的证明学案道客巴巴
八年级上册北师大版第七行平行线的证明学案学案名称：八年级上册北师大版第七行平行线的证明学习目标：1.掌握平行线的证明方法。
2.能够运用平行线的性质解决实际问题。
3.培养逻辑推理能力和数学思维能力。
学习内容：一、平行线的定义及性质1.平行线的定义：在同一平面内，两条永不相交的直线称为平行线。
2.平行线的性质：（1）同位角相等：两直线平行，同位角相等。
（2）内错角相等：两直线平行，内错角相等。
（3）同旁内角互补：两直线平行，同旁内角互补。
二、平行线的证明方法1.证明两直线平行的方法：（1）同位角相等：如果两直线的同位角相等，则这两直线平行。
（2）内错角相等：如果两直线的内错角相等，则这两直线平行。
（3）同旁内角互补：如果两直线的同旁内角互补，则这两直线平行。
2.证明多条直线平行的条件：（1）如果一条直线与另外两条直线分别平行，那么这两条直线也平行。
（2）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行。
三、平行线在实际生活中的应用1.交通标志：道路上的斑马线、指示箭头等都是利用平行线的性质来设计的。
2.建筑学：在建筑设计时，利用平行线的性质可以保证建筑物的垂直和平行，提高建筑物的稳定性和安全性。
3.电子工程：在电路设计中，利用平行线的性质可以保证电流的稳定和导线的平行，提高电路的工作效率和稳定性。
学习活动：1.小组讨论：请同学们分组讨论，总结出证明两直线平行的三种方法，并举例说明如何应用。
2.实践操作：请同学们利用平行线的性质，设计一个简单的实际应用方案，例如如何利用平行线的性质来检查一个门是否垂直于地面。
3.练习与巩固：请同学们完成以下练习题，以巩固所学知识。
练习题：1.填空题：（1）如果同位角相等，则两直线____。
（2）如果内错角相等，则两直线____。
（3）如果同旁内角互补，则两直线____。
2.选择题：（1）下列说法中正确的是（）A. 同位角相等B. 内错角相等C. 同旁内角互补D. 以上说法都不对（2）下列条件中，不能判定两直线平行的是（）A. 同位角相等B. 内错角相等C. 同旁内角互补D. 以上条件都不能判定3.证明题：（1）已知：直线a与直线b平行，直线b与直线c平行。
北师大版八年级上册第七章 平行线的证明复习教案(教案)
第七章平行线的证明复习教案(教案）教学目标知识与技能：综合掌握平行线的判定定理和性质定理、三角形内角和定理及其推论.过程与方法：通过对知识的系统复习和整合,提升运用知识解决相关问题的能力.情感态度与价值观：培养学生养成良好的学习习惯,增强数学学习意识.教学重难点【重点】1.平行线的性质定理和判定定理的运用.2.三角形内角和定理的推论.【难点】三角形内角和定理和其推论的综合运用.知识总结—专题讲座专题一定义与命题一、定义对名称和术语的含义加以描述,作出明确的规定.如“两点之间线段的长度,叫做这两点之间的距离”是“两点之间的距离”的定义.二、命题判断一件事情的句子叫做命题.反之,如果一个句子没有对一件事情作出任何判断,那么它就不是命题.每个命题都是由条件和结论两部分组成的.条件是已知事项,结论是由已知事项推断出的事项.命题一般都可以写成“如果……那么……”的形式,“如果”引出的部分是条件,“那么”引出的部分是结论.三、真命题、假命题与反例真命题:正确的命题称为真命题.假命题:不正确的命题称为假命题.反例:要说明一个命题是假命题,常常可以举出一个例子,使它具备命题的条件,而不具有命题的结论,这种例子称为反例.四、公理、定理、证明公理:公认的真命题称为公理.定理:经过证明的真命题称为定理.证明:演绎推理的过程称为证明.【专题分析】本专题知识是学习证明问题的开始,对于今后的问题证明具有十分重要的基础地位.重点要领会证明的方法和证明过程的严谨性.将下列命题改成“如果……那么……”的形式,并指出条件和结论.(1)等角的余角相等;(2)一组对边平行且不相等的四边形是梯形.〔解析〕命题的改写要注意下列三点:①改写前后内容要保持一致;②改写后的命题要是一个完整的语句;③改写后的条件和结论要表达清楚,有时要补上原命题省略的部分.解:(1)改为:如果两个角相等,那么它们的余角相等.条件为“两个角相等”.结论为“它们的余角相等”.(2)如果一个四边形是一组对边平行且不相等的四边形,那么该四边形是梯形.条件为“一个四边形是一组对边平行且不相等的四边形”.结论为“该四边形是梯形”.[规律方法] 判断是不是命题,关键是看它能否说明一件事情有何结果.一般的陈述句(包括肯定句和否定句)都为命题,疑问句和感叹句及祈使句都不是命题.找命题的条件和结论,一般先把它化成“如果……那么……”的形式.【针对训练1】下列语句哪些是命题?哪些不是命题?如果是命题,请指出命题的条件和结论,并判断命题的真假.(1)画线段AB=5 cm;(2)你吃饭了吗?(3)相等的角是直角;(4)如果两个角不相等,那么这两个角不是对顶角.〔解析〕严格按照命题的定义判断.解:是命题的有(3)(4),不是命题的有(1)(2).命题(3):条件:两个角相等;结论:这两个角是直角,是假命题.命题(4):条件:两个角不相等;结论:这两个角不是对顶角,是真命题.专题二平行线的判定定理和性质定理的应用一、判定两条直线平行的方法(1)同位角相等,两直线平行.(2)同旁内角互补,两直线平行.(3)内错角相等,两直线平行.(4)平行于同一直线的两直线平行.(5)在同一平面内,垂直于同一直线的两直线平行.二、平行线的性质(1)两直线平行,同位角相等.(2)两直线平行,内错角相等.(3)两直线平行,同旁内角互补.【专题分析】平行线的判定和性质的应用,是研究三角形的角、四边形、多边形相似等知识的重要基础.如图所示,已知AB⊥BC于B,DG⊥AC于D,BE⊥AC于E,∠1=∠2,求证EF⊥AB.证明:∵DG⊥AC,BE⊥AC,∴DG∥BE(平面内,垂直于同一直线的两直线平行),∴∠2=∠EBC(两直线平行,同位角相等).∵∠1=∠2,∴∠EBC=∠1,∴EF∥BC(内错角相等,两直线平行),∴∠EFB+∠CBA=180°(两直线平行,同旁内角互补).∵AB⊥BC,∴∠CBA=90°(垂直的定义),∴∠EFB=90°,∴EF⊥AB(垂直的定义).[规律方法]平行线的性质和判定往往在同一个题目中交替使用,当题目中出现角相等或角之间有互补(互余)关系时,往往要用到判定方法;当题中出现平行时,往往利用性质得到角之间的关系.在今后我们学习多边形时,平行线的性质和判定将起到工具性的作用.【针对训练2】如图,已知AB∥CD,BE,DE分别平分∠ABC和∠ADC,若∠A=45°,∠C=55°,求∠BED的度数.〔解析〕由AB∥CD,可得∠A=∠CDA,∠C=∠ABC,从而求得∠ABE=∠ABC=∠C,∠CDE=∠CDA=∠A,然后过点E作AB的平行线,从而易得∠BED 的度数.解:过点E作E F∥AB.∵AB∥CD,∴AB∥CD∥EF,∴∠A=∠CDA,∠C=∠ABC,∠BEF=∠ABE,∠DEF=∠CDE.∴∠CDA=∠A=45°,∠ABC=∠C=55°.∵BE,DE分别平分∠ABC和∠ADC,∴∠CDE=∠A=×45°=22.5°,∠ABE=∠C=×55°=27.5°.∵∠BEF=∠ABE,∠DEF=∠CDE,∴∠BED=22.5°+27.5°=50°.专题三三角形内角和定理及有关三角形外角的两个推论1.三角形的内角和等于180°.2.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.3.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.【专题分析】本专题三角形角的相关知识是研究几何问题中角的相关知识的基础,它和平行线的知识一起构成了几何问题的两大基点.如图,已知BC⊥DE于O,∠A=27°,∠D=20°,求∠B与∠ACB.〔解析〕∠B在ΔBEO中,已知另外两个角即可,所以问题转化为求∠BEO,而∠BEO是ΔAED的外角,求∠ACB的方法有两种:一种是看做ΔBAC的内角,另外也可看做ΔDCO的外角.解:∵BC⊥DE(已知),∴∠B+∠BEO=90°.∵∠BEO=∠A+∠D=27°+20°=47°,∴∠B=90°-∠BEO=90°-47°=43°.∵在ΔBAC中,∠A+∠B+∠ACB=180°,∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180-27°-43°=110°.[易错提示]1.借助三角形求角,一般是把所求的角看成是某一个三角形的内角,图上出现外角时,则要考虑用外角的性质.2.三角形的外角一般为图上条件,在已知条件下并不出现,我们称三角形外角为图上隐含条件,所以在审题时要确认图上已知条件,还要认真审阅图上隐含条件.【针对训练3】如图所示,AB∥CD,AD∥BC,∠B=50°,∠EDA=60°,求∠CDF的度数.〔解析〕本题要充分运用AB∥CD,AD∥BC这两个条件,利用平行线进行转化,转化为三角形的外角.解:因为AD∥BC(已知),所以∠F=∠EDA=60°(两直线平行,同位角相等).因为AB∥CD(已知),所以∠BCD+∠B=180°(两直线平行,同旁内角互补).所以∠BCD=180°-∠B=180°-50°=130°(等式的性质).又因为∠BCD=∠F+∠CDF(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和),所以∠CDF=∠BCD-∠F=130°-60°=70°(等式的性质).专题四方程思想【专题分析】本章中,经常遇到利用三角形内角和定理求角度的问题,当题目中有关各角之间的数量关系比较复杂时,可灵活运用方程(组)求解.如图,在ΔABC中,AB=AC,D,E分别在AC,AB边上,且BC=BD,AD=DE=EB,求∠A的度数.〔解析〕根据同一个三角形中等边对等角的性质,设∠ABD=x,结合三角形外角的性质,则可用含x的代数式表示∠A,∠ABC,∠C,再在ΔABC中,运用三角形的内角和为180°,可求∠A的度数.解:∵DE=EB,∴设∠BDE=∠ABD=x,∴∠AED=∠BDE+∠ABD=2x.∵AD=DE,∴∠AED=∠A=2x,∴∠BDC=∠A+∠ABD=3x.∵BD=BC,∴∠C=∠BDC=3x.∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=3x.在ΔABC中,3x+3x+2x=180°,解得x=22.5°.∴∠A=2x=22.5°×2=45°.[规律方法](1)几何计算题中,依据题设和相关的几何图形的性质列出方程(或方程组)求解的方法叫做方程思想;(2)求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件;(3)三角形的外角通常情况下是转化为内角来解决.【针对训练4】如图所示,在ΔABC中,P,Q是BC边上的两点,若∠PAB=∠B,∠QAC=∠C,∠BAC=130°,求∠PAQ的度数.〔解析〕由∠PAB=∠B,∠QAC=∠C与三角形内角和定理相结合,可列出关于∠PAQ的方程组,解方程组即可求得∠PAQ的度数.解:∵∠PAB=∠B,∠QAC=∠C,∴设∠PAB=∠B=x,∠QAC=∠C=y,∠PAQ=θ,则得方程组解方程组,得θ=80°,即∠PAQ=80°.[解题策略]本题中列出的方程组由两个方程组成,但未知数却有3个,显然用常规方法不能解得θ.观察方程组的特点,用①×2-②即可求得θ=80°.专题五转化思想【专题分析】在证明角的不等问题时,如果难以找到所证各角之间的关系,那么可设法把问题转化,从而使有关各角之间的关系由隐蔽化为明显,由复杂化为简单,由抽象化为直观.如图所示,CE是ΔABC的外角(∠ACD)平分线,BF是∠ABC的平分线,CE交BF的延长线于点E,请你判断∠ACE与∠ABE的大小关系,并证明.〔解析〕由题意可知∠ACE=∠DCE,∠ABE=∠CBE,则问题转化为判断∠DCE 与∠CBE的大小关系.解:∠ACE>∠ABE.证明如下:∵CE是ΔABC的外角(∠ACD)平分线(已知),∴∠DCE=∠ACE(角平分线的定义).∵∠DCE是ΔEBC的一个外角,∴∠DCE>∠CBE(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角).∵BE是∠ABC的平分线(已知),∴∠ABE=∠CBE(角平分线的定义).∴∠ACE>∠ABE(等量代换).[解题策略] 在利用有关三角形外角的定理证明角的不等关系时,如果所要证明的两角没有直接联系,那么可发挥某些角(如本题中的∠DCE与∠CBE)的桥梁作用,从而将问题转化.【针对训练5】如图所示,试求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.〔解析〕求多个角的度数和问题,可以联想到三角形的内角和等于180°和外角的性质,将所求角转化到一个或几个三角形中去,从而求得多个角的和.因为∠A,∠B,∠C,∠D,∠E每个角的度数都不确定,且较分散,所以必须把∠A+∠B+∠C+∠D+∠E看成一个整体求它的度数,故考虑将其转化到一个三角形中去.解:因为∠AGE是ΔCGE的外角,所以∠AGE=∠C+∠E.同理∠AFG=∠B+∠D.因为∠AGE+∠AFG+∠A=180°,所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.专题六构造思想【专题分析】在几何证明中,如果仅靠图中的线段难以说明问题时,那么可通过作辅助线构造某个基本图形,从而使问题的条件或结论发生转化.一大门的栏杆如图(1)所示,BA垂直地面AE于A,CD平行于地面AE,则∠ABC+∠BCD=.〔解析〕过点B作BG∥CD,易证得AB⊥BG,如图(2)所示.根据两直线平行,同旁内角互补,得∠BCD+∠CBG=180°.由题意得∠ABG=90°,所以∠ABC+∠BCD=180°+90°=270°.故填270°.【针对训练6】某校的校园平面图如图(1)所示,已知AB=470 m,BC=560 m.则这个校园的周长是多少米?(图中的每一个角都是直角)〔解析〕将GF沿GH方向平移到HP,ED沿EF方向平移到PQ,GH沿GF方向平移到RQ,EF沿ED方向平移到DR,如图(2)所示,则校园的周长就等于长方形ABCQ 的周长.解:将图(1)的部分线段经过平移,使图形变为如图(2)所示的长方形.由平移的特征知GF=HP,ED=PQ,GH=RQ,EF=RD,所以校园的周长为AB+BC+AH+GF+ED+GH+EF+CD=AB+BC+AH+HP+PQ+RQ+RD+CD=AB+BC+AQ+CQ=2(AB+BC)= 2×(470+560)=2060(m).。
新北师大版八年级数学上册《七章 平行线的证明 复习题》公开课教案_0
一题多解 一题多变数学八年级上北师大版第七章《平行线的证明》章节复习教案教学目标：1、通过对课本186页第15题的一题多解，一题多变，复习本章知识点平行线的判定及性质，三角形内角和定理及外角的性质.2、经历分析，探究，规范书写证明步骤的过程.通过改变点C 的位置，培养学生用动态目光看待图形。
3、通过一题多解一题多变，培养学生的探究精神和多角度的思考习惯.重难点： 重点：一题多解，对第一问的不同证法.难点：一题多变，动态认识图形.教学方法：探究法课型：复习课教学设计环节一：复习平行线的判定及性质，三角形内角和定理及外角的性质。
环节二：出示课本第15题。
已知：如图，AB//ED, 求证：∠BCD=∠B+∠D环节三：用几何画板测量出这三个角的度数（如上），总结出三个角的关系。
再移动C 点，看关系式是否仍然成立。
环节四：引导学生给出证明。
为了书写证明过程方便，将该图复制至智能平板的easinote 软件中 学生甲：过点C 作直线MN//AB （如图） 依据平行线的性质来证明。
学生乙：延长DC 交AB 于点F,（如图）依据外角的性质来证。
学生丙：连接BD （如图）,借助三角形内角和定理来证。
A证明过程让学生写在电子黑板上，然后利用easinote 中的回放功能，回放整个证明过程。
环节五：回切至几何画板，移动点C 到BD 外侧（如图） 探究∠BCD ，∠B ，∠D 之间的关系。
并切换到easinote 中 证明环节六：回切至几何画板，移动点C 到ED 下BD 左侧，（如图）探究∠BCD ，∠B ，∠D 之间的关系。
并切换到easinote 中证明环节七：回切至几何画板，移动点C 到ED 下BD 右侧，（如图）探究∠BCD ，∠B ，∠D 之间的关系。
并切换到easinote 中证明作业：如图，探究∠BCD 和∠B,∠D,∠BPD 的关系。
教学反思：通过对教材186页第15题的“一题多解，一题多变”，复习了本章所学知识。
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期末复习(七) 平行线的证明
【知识结构】
平
行线
的证明⎩⎪⎨⎪⎧证明的必要性
定义与命题⎩⎪⎨⎪
⎧定义与命题定理与证明平行线
⎩
⎪⎨⎪⎧判定性质
三角形内角和⎩
⎪⎨⎪
⎧内角和定理的证明三角形的外角性质
【典型例题】
【例1】下列命题是真命题的有 ．(填序号)
①对顶角相等；②两直线平行，内错角相等；③两个锐角对应相等的两个直角三角形全等；④点P(1，2)关于x 轴的对称点的坐标是(－1，－2)．
【例2】如图，已知AB ∥CD ，EF 分别交AB 、CD 于点G 、H ，GM 、HN 分别平分∠AGF 、∠EHD.证明：GM ∥HN.
【例3】如图，BP 是△ABC 中∠ABC 的平分线，CP 是∠ACB 的外角平分线，若∠ABP ＝20°，∠ACP ＝50°，那么∠A ＋∠P ＝( )
A ．70°
B ．80°
C ．90°
D ．100°
【例4】如图，在三角形ABC 中，∠1是它的一个外角，E 为边AC 上一点，延长BC 到D ，连接DE ．求证：∠1>∠2．
A
B
C D E 1 F
2
【跟踪强化】
一、选择题
1．下列命题，是真命题的是( )
A．同位角相等 B．全等的两个三角形一定轴对称
C．不相等的角不是内错角 D．同旁内角互补，两直线平行
2．如图，已知∠AOB＝70°，OC平分∠AOB，DC∥OB，则∠C为( )
A．20° B．35° C．45° D．70°
3．如图，AB∥EF∥CD，∠ABC＝46°，∠CEF＝154°，则∠BCE等于( )
A．23°B．16°C．20°D．26°
4．如图所示，将含有30°角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线的其中一条上，若∠1＝35°，则∠2的度数为( )
A．10°B．20° C．25°D．30°
5.如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线BE，CD交于点F，∠A＝60°，则∠BFC的度数为( )
A．118°B．119° C．120° D.121°
第2题图第3题图第4题图第5题图
6．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则它的底角的度数是( ) A．50°B．65°
C．25°D．65°或25°
二、填空题
1．命题“直角三角形两个锐角互余”的条件是，结论是．
2.一大门的栏杆如图所示，BA垂直于地面AE于点A，CD平行于地面AE，则∠ABC＋∠BCD ＝．
3．如图，点D、B、C在同一条直线上，∠A＝60°，∠C＝50°，∠D＝25°.则∠1＝( ) A．60°B．50° C．45° D．25°
第2题图第3题图第4题图第5题图
4．如图，三条直线两两相交，则∠1＋∠2＋∠3＝．
5．如图所示，AB ∥CD ，AD 与BC 交于点E ，EF 是∠BED 的平分线，若∠1＝30°，∠2＝40°，则∠BEF ＝
度．
6．如图，直线l 1∥l 2，且l 1、l 2被直线l 3所截，∠1＝∠2＝35°，∠P ＝90°，则∠3＝ 度． 三、解答题
1．如图，AC ∥BD ，AE 平分∠BAC 交BD 于点E ，若∠1＝64°，则∠2为多少度？
2.如图，AB ∥CD ，∠BAE=300,∠ECD=600,那么∠AEC 度数为多少？
【当堂检测】
1．如图，△ABC 中，∠B =55°,∠C =63°,DE ∥AB ,则∠DEC 等于（ ） （A ）63°
(B) 62° (C) 55°
（D ）118°
2．三角形的一个外角是锐角，则此三角形的形状是（ ） （A ）锐角三角形
(B)钝角三角形 (C)直角三角形
（D ）无法确定
3．如图，BD 平分∠ABC ，若∠1＝∠2，则（ ）
（A ）AB ∥CD (B) AD ∥BC (C) AD=BC （D ）AB=CD
4.如图，把长方形ABCD 沿EF 对折，若∠1=50°，则∠AEF 的度数等于 .
A B
C D
E
5、如图：∠A=65º，∠ABD=∠BCE=30º，且CE 平分∠ACB,求∠BEC.
6.如图，将纸片△ABC 沿DE 折叠，点A 落在点A ′处，已知∠1＋∠2＝100°，
求∠A 的度数．
7.如图，直线a ∥b ，直线c 分别与a 、b 相交于点D 、C ，在直线CD 上有一点P. (1)如果点P 在点C 、D 之间运动时，问∠1、∠2、∠3之间有怎样的关系？如果点P 运动，它们的关系是否发生变化？
(2)如果点P 不在点C 、D 之间运动时，∠1、∠2、∠3之间的关系是怎样的？
A
B
D
E
1
E
D
C
B
A
A
B
C
E
第1题
第3题
第4题。