离散周期信号的傅里叶级数_讲义

n 0
《信号与系统》，清华大学电机系陆超
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根据离散傅里叶级数逆变换，有：
xd ( n) IDFS X d ( k ) 1 N1
N 1 1

k 0
X d ( k )e j1kn
2 4 8 10 14 j n j 2n j n j n j n 1 15 15 15 15 15 (5 4.17e 2.13e 1.17e e 0.87e 15
j
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正交函数集：设有一组离散函数φd1 (n),φd2 (n),…, φdk (n)，如果这组函数在区间n0≤n≤ n0 +N-1 内满足： 0 i j
i , j 1, 2, 3, , K di ( n), dj ( n) Ai i j
• 冲激脉冲抽样信号：
xas ( t ) xa ( t ) ap ( t )
n
x (nT )
a s

a
( t nTs )
n
x (n)
d
a
( t nTs )
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• 冲激脉冲抽样信号的傅里叶级数：
1 jk1t X asg ( k1 ) xas ( t )e dt T T1 1 1 xd ( n) a ( t nTs )e jk1t dt T1 T1 n 0 1 T1
完备正交函数集：除上述函数组外，不再存在非 零函数φd(k+1) (n) ，满足：
di ( n ), d ( k 1) ( n ) 0
i 1,2, , K
规范化的完备正交集：
di ( n), di ( n) Ai 1 i 1,2, , K
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xd ( n) xa ( nTs )
X dg (k ) DFS xd ( n )
N 1 1

n 0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
xd ( n) e j1kn k 0, 1, 2,
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xd ( n) xa ( nTs )
X dg (k )
N 1 1 n 0 N 1 1
x (n)e
d
j
2 kn N1
X dg (k )
N 1 1

n 0
xd ( n) e j1kn
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• 冲激脉冲抽样信号的傅里叶变换 根据频域卷积定理：
1 X as ( ) X a ( ) Δap ( ) 2 1 X a ( ) s a ( m s ) 2 m 1 Ts
2 dj
4
《信号与系统》，清华大学电机系陆超 n n0

内积的定义：两个离散函数φdi (n)和φdj (n) ，在 长度为N的离散时间区间n0≤n≤ n0 +N-1上的 n N 1 内积为：
di ( n), dj ( n)
0
n n0

di ( n) dj ( n)
离散信号的投影或分量：
e
j 2 ( k N1 ) n N1
e
j
2 kn N1
e j 2 n e
j
2 kn N1
N1个互不相同的元素
j1 ( k N 1 ) n j1kn e e 《信号与系统》，清华大学电机系陆超
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复指数函数可分解为余弦函数和正弦函数，以余 弦函数为例说明离散复指数信号随离散角频率 增大而周期重复的现象。 对连续余弦信号进行数值抽样得离散余弦信号：
N 1 1

n 0
xd ( n) e j1kn
以xa(t)的冲激脉冲抽样信号及其变换为“中介”
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• 冲激序列及其傅里叶变换：
ap ( t )
n


a
( t nTs )
Δap ( ) s
m


a
( m s )
第七章 离散周期信号的傅里叶级数
陆超
清华大学电机系 2016年春季学期
课程的主要内容
1.基本概念 2.线性时不变连续时间系统的时域分析 3.线性时不变离散时间系统的时域分析 4.连续周期信号的傅立叶级数 5.连续信号的傅立叶变换 6.连续信号的拉普拉斯变换 7.离散周期信号的傅立叶级数DFS 8.离散非周期信号的傅立叶变换DTFT 9.离散信号的Z变换 10.离散傅立叶变换DFT和快速傅立叶变换FFT 11.模拟和数字滤波器的基本知识
在完备正交分解情况下，离散信号的能量满足关 系： n N 1 n N 1 K
0
n n0

2 x ( n ) ck k 1
2 d
0
n n0

( n)
2 dk
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正交离散复指数函数集
离散复指数函数集：
e
j(k 2 )n N1
X d ( k ) xd ( n)e
14 j 2 kn 15
由此计算一个周期的值：
X d (0) 5.00 X d (1) 4.17 X d (2) 2.13 X d (3) 0.00 X d (4) 1.17 X d (5) 1.00 X d (6) 0.00 X d (7) 0.87 X d (8) 0.87 X d (9) 0.00 X d (10) 1.00 X d (11) 1.17 X d (12) 0.00 X d (13) 2.13 X d (14) 4.17

Fgp ( k1 )e jk1t
对上式取傅里叶变换，有
f p ( t ) F Fgp ( k1 )e jk1t Fgp ( k1 )F e jk1t F k k
jk1t F e 2 ( k1 )
c
di ( n), dj ( n) dj ( n), dj ( n)
离散函数的内积描述了两个函数在给定区间的相 似性，当两个函数在给定区间正交时，它们的 内积为零。 对比连续信号情况： ( t ), ( t ) t ( t ) ( t )dt
i j

2
t1
i
F p ( ) F f p ( t ) 2
k 《信号与系统》，清华大学电机系陆超
F

gp
( k1 ) ( k1 )
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• 连续周期信号xa(t)的傅里叶变换：
X a ( ) 2
k
X

ag
( k1 ) ( k1 )
• 离散周期信号xd(n)的离散傅里叶级数： 周期T1内N1个抽样点，满足完整周期抽样
xd ( n )

k 0
1
X d ( k )e
1
2 1 N1
X d (k )
xd ( n), e
j1kn
e j1kn ,e j1kn
1 n0 N1 1 j1kn xd ( n)e N 1 n n0
N 1 1
• 正变换： X d ( k ) DFS xd ( n )
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• 离散余弦序列： 离散正弦序列：
cos n(2m ) cos n
sin n(2m ) sin n
离散复指数序列： • 完备正交离散函数集： 在离散区间n0≤n≤ n0 +N-1内
e j1k1n , e j1k2n
f ak ( t ) cos k1t
k 0,1, 2, 3,
其中k表示谐波系数，基波周期T1=2π/ω1。 以Ts=T1/8的抽样间隔对这组连续周期信号进行数 值抽样，即一个基波周期抽样8点，得：
f dk ( n) cos k1nTs cos n k k k1Ts k 4 即研究 cos k n 的周期性 4 《信号与系统》，清华大学电机系陆超
X d (k )
N 1 1 n 0
x
d
( n)cos1kn j xd ( n)sin1kn
n 0
N 1 1
• 频谱特性：
X d (k ) X d (k ) e
j d ( k )
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离散和连续周期信号傅里叶级数
• 为什么要研究这两者间的关系？ • 连续周期信号xa(t)的傅里叶级数：

n 0
xd ( n)e j1kn
N 1 1
1 逆变换： xd ( n) IDFS X d ( k ) N 1 《信号与系统》，清华大学电机系陆超

k 0
X d ( k )e j1kn
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[例]求下图所示离散周期矩形信号的傅立叶级数
[解]离散信号周期N1=15，其傅里叶级数的系数：
1 jk1t X ag ( k1 ) xa ( t )e dt T T1 1
k 0, 1, 2,
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回顾：一般周期信号的傅里叶变换
给定周期信号fp(t)，周期T1，角频率ω1， fp(t) 可展开为傅立叶级数
f p (t )
k
0.87e e 1.17e 2.13e 4.17e 2 2 4 (2.5 4.17cos n 2.13cos n 15 15 15 8 2 14 1.17cos n cos n 0.87cos n) 15 3 15
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j
16 n 15
n0 N1 1 n n0
e
jn ( 2 m )
e
jn

e j1 ( k1 k2 ) n
N 1 k1 k2 mN 1 k1 k2 mN 1 《信号与系统》，清华大学电机系陆超 0
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离散傅里叶级数
• 根据正交分解原理，给定任意离散周期信 号xd (n)，周期N1，如果xd (n)在其一个周期 N 1 上绝对可和，则： j kn
如果信号xd (n)在离散区间n0≤n≤ n0 +N-1内绝对 可和，则在该区间内可表示为相应完备正交函 数集的各分量的线性组合：
xd ( n) c1 d 1 ( n) c2 d 2 ( n) c K dK ( n) ck dk ( n)
k 1 K
n0 n n0 N 1
j
20 n 15
j
22 n 15
j
26 n 15
j
28 n 15
)
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离散傅里叶级数的特点
• 时域周期，频域离散； • 时域离散，频域周期：周期也为N1，源自 正交函数集元素的周期性； • Xd (k)是周期的，有无穷个分量，k=0,±1, ±2，…，但其中只有N1个满足正交性分解； • 奇偶虚实性：
e j ( k1 ) n e j1kn cos1kn j sin 1kn
其中n表示离散点的序号，k表示函数集元素 的序号，θ1=2π/ N1为基本角频率， N1为基 本周期。此函数集中的每个元素都是n的周 期函数，第k个元素的离散角频率为 kθ1=2πk/ N1 周期重复性：
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本章的主要内容
• 离散周期信号的傅里叶级数
– 离散信号的正交分解 – 正交离散复指数函数集 – 离散傅里叶级数
• 离散和连续周期信号傅里叶级数的关系
– 离散和连续周期信号傅里叶级数 – 误差分析
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离散信号的正交分解
两个离散函数φdi (n)和φdj (n) ，如果在长度 为N的离散时间区间n0≤n≤ n0 +N-1内用函 数cφdj (n)近似地表示φdi (n)：
di ( n) c dj ( n)
n0 N 1 n n0
对其差定义均方误差：
1 N
2
投影、分量
2

di ( n) c dj ( n)
n0 N 1
误差最小时：
c
n n0 n0 N 1

di ( n) dj ( n) ( n)