第2章 流变学的基本概念
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u x u y u , 和 z x y z
分别表示各坐标 轴方向上的单位 伸长，即变形对 各坐标的变化率。
无穷小位移梯度张量
2.3.2 应变张量
根据矩阵运算法则，无穷小位移梯度张 量可分解为两部分：
1 u x u z （ + ） 2 z x 1 u y u z （ + ） y 2 z y u z 1 u z u y （ + ） 2 y z z 1 u x u y 1 u x u z 0 （ ） （ ） 2 y x 2 z x 1 u y u x u y 1 u y u z ） （ ） （ =E+W 2 x y y 2 z y 1 u u u z 1 u z u y x z （ ） （ ） 2 x z 2 y z z u x x du 1 u y u x （ + ） ds 2 x y 1 u u （ z + x） 2 x z 1 u x u y （ + ） 2 y x u y
1 0 0 I ij 0 1 0 0 0 1
2.2.3.1 几个特殊张量
2）对称张量
张量的分量满足 ij ji ，则称这样的张量为对称 张量。
11 12 13 11 12 13 22 23 22 23 21 32 33 33 31
或
0 0 0 0 0 Tzy
0 Tyz 0
2.3.2 应变张量
变形前两点的相对位置可用下列矢量表示：
PP 1 2 (dx, dy, dz )
变形后的两点相对位置用下列矢量表示：
' ' P P2 (dx dux , dy duy , dz duz ) 1
2.2.3.2 张量的代数运算
1）张量相等 在同一坐标系中，如两张量的各个分量全部对 应相等，则两张量相等。
PQ
2）张量的加减 按矩阵方法，两张量对应分量相加减。
T PQ
标量、矢量和笛卡尔张量的定义
3）张量与标量的乘（除）
即把张量的各个分量分别乘以标量
P 11 T P P21 P 31 P 12 P22 P32 P P 13 11 P23 P21 P P33 31
S
dS
2.3.1 应力张量
在笛卡尔坐标系中，假设某点的作用力为F， 则F总可以分解为X、Y、Z三个方向的分力Fx、 Fy、Fz，若将之除以相对应微体积元面积， 则可得到相应的应力Tx、Ty、Tz。 再将每一个应力沿X、Y、Z三个方向进行分解， 则得到以下分量形式： Tx=（Txx, Txy, Txz） Ty =（Tyx, Tyy, Tyz） Tz=（Tzx, Tzy, Tzz）
2.2 标量、矢量和张量的定义
3.数学定义
不同坐标变换，不同的集合满足不同转换关 系： 标量： 矢量：
( x1 , x2 , x3 ) ( x' , x' , x' )
1 2 3
' ' Fi ( x1 , x2 , x3 ) Fk' ( x1' , x2 , x3 ) ki ' ' Fi ' ( x1' , x2 , x3 ) Fk ( x1 , x2 , x3 ) ik
0 0 0 0 0 0
2.3.1 应力张量
b、各向同性的压缩 定义：如果应力矢量T无论在什么方向上总是 与分隔面(作用面)垂直，且其大小与分隔面的 方向无关，则称为各向同性。 Tn nP 流体静止时（完全流体无论何时）内部的接 触力就属于这种性质，因此各向同性的应力 也称为流体静压力。
2.3.1 应力张量
因此，在压缩实验中，其应力为Txx=Tyy=Tzz=P， 其它剪切应力分量均为零。则相应的应力张量 为： Tcompresion=
Txx 0 0 0 Tyy 0 0 0 Tzz
2.3.1 应力张量
c、简单剪切 在剪切应力实验中，应力与作用面平行，为 了保持平衡，在施加一个剪切应力的同时， 必须施加相应的另一个剪切应力。 总力矩为：
张量：
' ' tij ( x1 , x2 , x3 ) t m ( x1' , x'2 , x3 ) mi nj ' ' ' t ij ( x1' , x2 , x3 ) tmn ( x1 , x2 , x3 ) im jn
2.2.3 张量的运算
2.2.3.1 几个特殊张量
1）单位张量（克罗内克算子）
2.1.3 简单剪切与简单剪切流
简单剪切中，顶面相对于底面发生位移w，高 度l 保持不变，则变形γ可表示如下：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
γ=ω/l=tanθ==1 若γ<<1,则γ≈θ
γ表示剪切应变（shear strain） d 剪切应变速率(剪切速率)：（shear rate） dt 一个假设： 在模型推导和计算中，一般将流场中的流体 都当作连续介质来处理。 定义：由具有确定质量的、连续地充满空间 的众多微小质点(微团)所组成的，微团之间无 孔洞，在流体的流动形变过程中相邻微团永 远连接，既不能超越也不能落后。
2.1.1 拉伸和单向膨胀
ε称为应变，或拉伸应力方向上的应变。 显然， 拉伸时λ＞1，μ＜1，则有ε和δ均＞0； 压缩时λ＜1，μ＞1，则有ε和δ均＜0； 流体元的体积变化率： ΔV/V=(1+ε)(1- δ)2 -1≈ε-2δ
2.1.2 各向同性的压缩和膨胀
（2）各向同性的压缩和膨胀 若压缩比 则压缩应变ε= α-1 (ε<<1) 压缩时，ε<0；膨胀时，ε>0。 流体元的体积变化率： ΔV/V= α3-1=(1+ε)2 -1≈3ε
2.3.2 应变张量
变形前的距离为：
ds (dx, dy, dz )
变形后产生的相对位移：
du (dux , duy , duz )
2.3.2 应变张量
变形前后两点的相对位置发生变化，其变化 量分别为相对位移在坐标轴上的分量，其矩阵形 式为:
u x x du u y ds x u z x u x y u y y u z y u x z u y z u z z
2.2.1 标量、矢量、张量的物理定义
（c）张量 在笛卡尔坐标系中，在一点处不同方向上、 具有不同量值的物理量，称为张量或笛卡尔 张量。 张量是矢量的推广，是比矢量更为复杂的物 理量，如应力张量、应变张量、应变速率张 量、取向张量等 什么是笛卡尔坐标系？
笛卡尔坐标系 是直角坐标系和斜角坐标系的 统称。. 斜角坐标系通常把x轴和y轴配置在水平面上 ，而z轴则是铅垂线；它们的正方向要符合右 手规则，即以右手握住z轴，当右手的四指从 正向x轴以π/2角度转向正向y轴时，大拇指的 指向就是z轴的正向，这样的三条坐标轴就组 成了一个空间直角坐标系，点O叫做坐标原点 。这样就构成了一个笛卡尔坐标。
dL Tyxdxdydz Txy dxdydz=0
Tyx =Txy
2.3.1 应力张量
因此，Txy=Tyx=f / S，则相应的应力张量为或
0 Tshear= Tyx 0 Txy 0 0 0 0 0
=
0 0 Tzx
0 Txz 0 0 0 0
2.2 标量、矢量和笛卡尔张量的定义
2.2.1 标量、矢量、张量的物理定义 （a）标量 在选定了测量单位后，仅由数值大小所决定 的物理量，与事件发生、发展的方向无关。 如温度T、能量E、体积V、时间t等。 （b）矢量 在选定了测量单位后，由数值大小和空间的 方向决定的物理量。如位置p、速度u、加速 度a、动量mv、力F等。
2.2.3.1 几个特殊张量
3）并矢张量
将矢量A和矢量B按以下形式排成数组：
A1 B1 A2 B1 AB 3 1 A1 B2 A2 B2 A3 B2 A1 B3 A2 B3 A3 B3
并矢张量或两矢量的矢并积是二阶张量的特 殊形式，数组内的各元素是矢量的分量之积。 注意：两个矢量之间没有任何乘号，一般情况 下，AB≠BA
第2章 流变学的基本概念
主要内容
2.1 流体形变的基本类型
2.2 标量、矢量和笛卡尔张量的定义 2.3 应力张量和应变张量 2.4 本构方程和材料函数
第2章 流变学的基本概念
流变现象 力学行为
应力
应力-应变(速率)的关系 应变
应变速率
理想化模型
流体均匀各项同性 应力-应变亦如此
2.1 流体形变的基本类型
三种最基本的形变类型： （1）拉伸和单向膨胀 （2）各向同性的压缩和膨胀 （3）简单剪切和简单剪切流
2.1.1 拉伸和单向膨胀
（1）拉伸和单向膨胀 在拉伸实验中，流体元在拉伸方向上的长度 增加，而在两位两个方向上长度则缩短。
若L’=λL，M’=μM，N’=μN 且ε=(L’-L)/L,δ=(M-M’)/M=(N-N’)/N 则有λ=1+ ε，μ=1-δ（ε、δ<<1）
2.3.1 应力张量
Txx T Tyx Tzx Txy Tyy Tzy Txz Tyz Tzz
应力张量 Tij：应力张量分量 下标i表示应力的作用面，j 表示应力的方向 如Txy表示x面上的沿y 方向的应力
2.3.1 应力张量
通常将应力张量分解为两部分：
⑴流体形变有关的动力学应力，偏应力张量； ⑵张量的各向同性部分；
T - P
Tij -Pij ij
2.3.1 应力张量
称为单位张量，可定义为以下形式：
1 0 0 = 0 1 0 0 0 1
当i j时，应力分量就是法向应力，其他分量称为剪切应力
2.3.1 应力张量
一些基本流变实验中的应力张量： a、（单向）拉伸实验 作用力施加于试样的断面，且与断面所在平 面垂直，因此，其应力为Txx，相应的应力张 量为： Txx 0 0 Ttensile=
2.3 应力张量和应变张量
1、物体受力的三种类型： （1）外力 ——也称为长程力，指作用于物体上的非接触 力，如重力、电场力、磁场力等； （2）表面力 ——指施加在物体外表面的接触力。是物体内 的一部分通过假想的分离面作用在相邻部分 上的力，即外力向物体内传递，常作为边界 条件处理；
（3）内部应力 ——想象将物体分割成许多微观尺度、足够小 的单元，单元表面存在着相互作用力，称为 应力。 ——与流体微团相邻的流体质点直接施加的表 面接触力，也称为近程力。 单位：Pa、MPa、GPa dF F T= →
应变张量
反对称二阶张量
2.3.2 应变张量
应变张量可简为：
exx ezx exy e yy ezy exz e yz ezz E eij e yx
可得到：
u y ux uz exx , eyy , ezz x y z 1 ux u y exy eyx （ + ） 2 y x 1 u u exz ezx （ x + z ） 2 z x 1 uz u y eyz ezy （ + ） 2 y z
P12 P13 P22 P23 P32 P33
标量、矢量和笛卡尔张量的定义
4）向量和张量的乘积
向量与张量点乘，其积均为一个矢量。
5）张量与张量乘积（单点积）
张量与张量单点积得一张量：
T P Q
2.2.4 张量的重要性
①在一个坐标系中，笛卡尔张量所有分量都等于零， 在所有笛卡尔坐标系中也为零。 ②两个同阶笛卡尔儿张量的和或差仍是同阶张量，于 是同阶张量的任何线性组合仍是同阶张量。 ③如果某个张量方程在一个坐标系中能够立，那么对 于允许变换所能得到的所有坐标系，也一定成立。
分别表示各坐标 轴方向上的单位 伸长，即变形对 各坐标的变化率。
无穷小位移梯度张量
2.3.2 应变张量
根据矩阵运算法则，无穷小位移梯度张 量可分解为两部分：
1 u x u z （ + ） 2 z x 1 u y u z （ + ） y 2 z y u z 1 u z u y （ + ） 2 y z z 1 u x u y 1 u x u z 0 （ ） （ ） 2 y x 2 z x 1 u y u x u y 1 u y u z ） （ ） （ =E+W 2 x y y 2 z y 1 u u u z 1 u z u y x z （ ） （ ） 2 x z 2 y z z u x x du 1 u y u x （ + ） ds 2 x y 1 u u （ z + x） 2 x z 1 u x u y （ + ） 2 y x u y
1 0 0 I ij 0 1 0 0 0 1
2.2.3.1 几个特殊张量
2）对称张量
张量的分量满足 ij ji ，则称这样的张量为对称 张量。
11 12 13 11 12 13 22 23 22 23 21 32 33 33 31
或
0 0 0 0 0 Tzy
0 Tyz 0
2.3.2 应变张量
变形前两点的相对位置可用下列矢量表示：
PP 1 2 (dx, dy, dz )
变形后的两点相对位置用下列矢量表示：
' ' P P2 (dx dux , dy duy , dz duz ) 1
2.2.3.2 张量的代数运算
1）张量相等 在同一坐标系中，如两张量的各个分量全部对 应相等，则两张量相等。
PQ
2）张量的加减 按矩阵方法，两张量对应分量相加减。
T PQ
标量、矢量和笛卡尔张量的定义
3）张量与标量的乘（除）
即把张量的各个分量分别乘以标量
P 11 T P P21 P 31 P 12 P22 P32 P P 13 11 P23 P21 P P33 31
S
dS
2.3.1 应力张量
在笛卡尔坐标系中，假设某点的作用力为F， 则F总可以分解为X、Y、Z三个方向的分力Fx、 Fy、Fz，若将之除以相对应微体积元面积， 则可得到相应的应力Tx、Ty、Tz。 再将每一个应力沿X、Y、Z三个方向进行分解， 则得到以下分量形式： Tx=（Txx, Txy, Txz） Ty =（Tyx, Tyy, Tyz） Tz=（Tzx, Tzy, Tzz）
2.2 标量、矢量和张量的定义
3.数学定义
不同坐标变换，不同的集合满足不同转换关 系： 标量： 矢量：
( x1 , x2 , x3 ) ( x' , x' , x' )
1 2 3
' ' Fi ( x1 , x2 , x3 ) Fk' ( x1' , x2 , x3 ) ki ' ' Fi ' ( x1' , x2 , x3 ) Fk ( x1 , x2 , x3 ) ik
0 0 0 0 0 0
2.3.1 应力张量
b、各向同性的压缩 定义：如果应力矢量T无论在什么方向上总是 与分隔面(作用面)垂直，且其大小与分隔面的 方向无关，则称为各向同性。 Tn nP 流体静止时（完全流体无论何时）内部的接 触力就属于这种性质，因此各向同性的应力 也称为流体静压力。
2.3.1 应力张量
因此，在压缩实验中，其应力为Txx=Tyy=Tzz=P， 其它剪切应力分量均为零。则相应的应力张量 为： Tcompresion=
Txx 0 0 0 Tyy 0 0 0 Tzz
2.3.1 应力张量
c、简单剪切 在剪切应力实验中，应力与作用面平行，为 了保持平衡，在施加一个剪切应力的同时， 必须施加相应的另一个剪切应力。 总力矩为：
张量：
' ' tij ( x1 , x2 , x3 ) t m ( x1' , x'2 , x3 ) mi nj ' ' ' t ij ( x1' , x2 , x3 ) tmn ( x1 , x2 , x3 ) im jn
2.2.3 张量的运算
2.2.3.1 几个特殊张量
1）单位张量（克罗内克算子）
2.1.3 简单剪切与简单剪切流
简单剪切中，顶面相对于底面发生位移w，高 度l 保持不变，则变形γ可表示如下：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
γ=ω/l=tanθ==1 若γ<<1,则γ≈θ
γ表示剪切应变（shear strain） d 剪切应变速率(剪切速率)：（shear rate） dt 一个假设： 在模型推导和计算中，一般将流场中的流体 都当作连续介质来处理。 定义：由具有确定质量的、连续地充满空间 的众多微小质点(微团)所组成的，微团之间无 孔洞，在流体的流动形变过程中相邻微团永 远连接，既不能超越也不能落后。
2.1.1 拉伸和单向膨胀
ε称为应变，或拉伸应力方向上的应变。 显然， 拉伸时λ＞1，μ＜1，则有ε和δ均＞0； 压缩时λ＜1，μ＞1，则有ε和δ均＜0； 流体元的体积变化率： ΔV/V=(1+ε)(1- δ)2 -1≈ε-2δ
2.1.2 各向同性的压缩和膨胀
（2）各向同性的压缩和膨胀 若压缩比 则压缩应变ε= α-1 (ε<<1) 压缩时，ε<0；膨胀时，ε>0。 流体元的体积变化率： ΔV/V= α3-1=(1+ε)2 -1≈3ε
2.3.2 应变张量
变形前的距离为：
ds (dx, dy, dz )
变形后产生的相对位移：
du (dux , duy , duz )
2.3.2 应变张量
变形前后两点的相对位置发生变化，其变化 量分别为相对位移在坐标轴上的分量，其矩阵形 式为:
u x x du u y ds x u z x u x y u y y u z y u x z u y z u z z
2.2.1 标量、矢量、张量的物理定义
（c）张量 在笛卡尔坐标系中，在一点处不同方向上、 具有不同量值的物理量，称为张量或笛卡尔 张量。 张量是矢量的推广，是比矢量更为复杂的物 理量，如应力张量、应变张量、应变速率张 量、取向张量等 什么是笛卡尔坐标系？
笛卡尔坐标系 是直角坐标系和斜角坐标系的 统称。. 斜角坐标系通常把x轴和y轴配置在水平面上 ，而z轴则是铅垂线；它们的正方向要符合右 手规则，即以右手握住z轴，当右手的四指从 正向x轴以π/2角度转向正向y轴时，大拇指的 指向就是z轴的正向，这样的三条坐标轴就组 成了一个空间直角坐标系，点O叫做坐标原点 。这样就构成了一个笛卡尔坐标。
dL Tyxdxdydz Txy dxdydz=0
Tyx =Txy
2.3.1 应力张量
因此，Txy=Tyx=f / S，则相应的应力张量为或
0 Tshear= Tyx 0 Txy 0 0 0 0 0
=
0 0 Tzx
0 Txz 0 0 0 0
2.2 标量、矢量和笛卡尔张量的定义
2.2.1 标量、矢量、张量的物理定义 （a）标量 在选定了测量单位后，仅由数值大小所决定 的物理量，与事件发生、发展的方向无关。 如温度T、能量E、体积V、时间t等。 （b）矢量 在选定了测量单位后，由数值大小和空间的 方向决定的物理量。如位置p、速度u、加速 度a、动量mv、力F等。
2.2.3.1 几个特殊张量
3）并矢张量
将矢量A和矢量B按以下形式排成数组：
A1 B1 A2 B1 AB 3 1 A1 B2 A2 B2 A3 B2 A1 B3 A2 B3 A3 B3
并矢张量或两矢量的矢并积是二阶张量的特 殊形式，数组内的各元素是矢量的分量之积。 注意：两个矢量之间没有任何乘号，一般情况 下，AB≠BA
第2章 流变学的基本概念
主要内容
2.1 流体形变的基本类型
2.2 标量、矢量和笛卡尔张量的定义 2.3 应力张量和应变张量 2.4 本构方程和材料函数
第2章 流变学的基本概念
流变现象 力学行为
应力
应力-应变(速率)的关系 应变
应变速率
理想化模型
流体均匀各项同性 应力-应变亦如此
2.1 流体形变的基本类型
三种最基本的形变类型： （1）拉伸和单向膨胀 （2）各向同性的压缩和膨胀 （3）简单剪切和简单剪切流
2.1.1 拉伸和单向膨胀
（1）拉伸和单向膨胀 在拉伸实验中，流体元在拉伸方向上的长度 增加，而在两位两个方向上长度则缩短。
若L’=λL，M’=μM，N’=μN 且ε=(L’-L)/L,δ=(M-M’)/M=(N-N’)/N 则有λ=1+ ε，μ=1-δ（ε、δ<<1）
2.3.1 应力张量
Txx T Tyx Tzx Txy Tyy Tzy Txz Tyz Tzz
应力张量 Tij：应力张量分量 下标i表示应力的作用面，j 表示应力的方向 如Txy表示x面上的沿y 方向的应力
2.3.1 应力张量
通常将应力张量分解为两部分：
⑴流体形变有关的动力学应力，偏应力张量； ⑵张量的各向同性部分；
T - P
Tij -Pij ij
2.3.1 应力张量
称为单位张量，可定义为以下形式：
1 0 0 = 0 1 0 0 0 1
当i j时，应力分量就是法向应力，其他分量称为剪切应力
2.3.1 应力张量
一些基本流变实验中的应力张量： a、（单向）拉伸实验 作用力施加于试样的断面，且与断面所在平 面垂直，因此，其应力为Txx，相应的应力张 量为： Txx 0 0 Ttensile=
2.3 应力张量和应变张量
1、物体受力的三种类型： （1）外力 ——也称为长程力，指作用于物体上的非接触 力，如重力、电场力、磁场力等； （2）表面力 ——指施加在物体外表面的接触力。是物体内 的一部分通过假想的分离面作用在相邻部分 上的力，即外力向物体内传递，常作为边界 条件处理；
（3）内部应力 ——想象将物体分割成许多微观尺度、足够小 的单元，单元表面存在着相互作用力，称为 应力。 ——与流体微团相邻的流体质点直接施加的表 面接触力，也称为近程力。 单位：Pa、MPa、GPa dF F T= →
应变张量
反对称二阶张量
2.3.2 应变张量
应变张量可简为：
exx ezx exy e yy ezy exz e yz ezz E eij e yx
可得到：
u y ux uz exx , eyy , ezz x y z 1 ux u y exy eyx （ + ） 2 y x 1 u u exz ezx （ x + z ） 2 z x 1 uz u y eyz ezy （ + ） 2 y z
P12 P13 P22 P23 P32 P33
标量、矢量和笛卡尔张量的定义
4）向量和张量的乘积
向量与张量点乘，其积均为一个矢量。
5）张量与张量乘积（单点积）
张量与张量单点积得一张量：
T P Q
2.2.4 张量的重要性
①在一个坐标系中，笛卡尔张量所有分量都等于零， 在所有笛卡尔坐标系中也为零。 ②两个同阶笛卡尔儿张量的和或差仍是同阶张量，于 是同阶张量的任何线性组合仍是同阶张量。 ③如果某个张量方程在一个坐标系中能够立，那么对 于允许变换所能得到的所有坐标系，也一定成立。