九年级数学 位似图形讲义

位似图形

【基础知识】

1、位似图形的定义

如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线交于一点，对应边平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心;这两个多边形的相似比也叫位似比。

2、位似图形的性质

（1）位似多边形对应顶点的连线经过位似中心；

（2）对应线段平行（或共线）且成比例，对应角相等 。

（2)任意一对对应点和位似中心在同一条直线上,它们到位似中心的距离之比等于位似比.

注意：1、位似图形是相似图形，是一种特殊的相似图形，特殊在每组对应点所在的直线经过同一点；

2、位似图形的中心可以在两个位似图形的内部，也可以在两个位似图形的外部或在图形的顶点

（或边上）。

3、位似图形是相似图形，但相似图形不一定是位似图形；位似中心根据图形而定。

【随堂练习】

一、选择题：

1．用作位似形的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心（ ）

A ．只能选在原图形的外部；

B ．只能选在原图形的内部；

C ．只能选在原图形的边上；

D ．可以选择任意位置。

2．已知：E （－4，2），F （－1，－1），以O 为位似中心，按比例尺1∶2，把△EOF 缩小，则点E 的对应点E′的坐标为（ ）

A ．（2，－1）或（－2，1）

B ．（8，－4）或（－8，4）

C ．（2，－1）

D ．（8，－4）

3．如图，△DEF 是由△ABC 经过位似变换得到的，点O 是位似中心，D ，E ，F 分别是OA ，OB ，OC 的中点，则△DEF 与△ABC 的面积比是（ ）

A ．1︰2

B ．1︰4

C ．1︰5

D ．1︰6

4．如图，五边形ABCDE 与五边形A ′B ′C ′D ′E ′是位似图形，O 为位似中心，OD ＝

OD ′，则A ′12

B ′:AB 为（ ）

A.2:3

B.3:2

C.1:2

D.2:1

（第3题图） （第4题图）

5．图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（ ）

A ．P

B ．O

C ．M

D ．N

6. 如图，以某点为位似中心，将△AOB 进行位似变换得到△CDE ，记△AOB 与△CDE 对应边的比为k ，则位似中心的坐标和k 的值分别为（ ）

A. (00)，，2

B. (22)，，

C. (22)，，2

D. (22)，，3

7. 如图，△ABC 中，A ，B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是(－1，0)。以点C 为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形，并把△ABC 的边长放大到原来的2倍，记所得的像是△A′B′C。设点B 的对应点B′的横坐标是a ，则点B 的横坐标是（ ）

A

． B ． C

． D

．

（第5题图） （第6题图） （第7题图）

二、填空题：

1．关于对位似图形的表述，下列命题正确的是 。（只填序号）

①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；

②位似图形一定有位似中心；

③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；

④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比。

2．已知△ABC 与△DEF 是以原点为位似中心的位似图形，位似比为

，则A （－1，1）的对应点D 的坐标3

2为 。

3．△ABC 三个顶点的坐标分别为A （2，2），B （4，2），C （6，4），以原点O 为位似中心，将△ABC 缩小，使变换后得到的△DEF 与△ABC 对应边的比为1∶2，则线段AC 的中点P

变换后对应的点的坐标为：

B /

/

。

4．如图，已知△OAB 与△OA ′B ′是相似比为1∶2的位似图形，点O 为位似中心，若△OAB 内一点P （x ，

5．如图，△AOB 以O 位似中心，扩大到△COD ，各点坐标分别为：A （1，2）、B （3，0）、D （4，0）则点C 坐标为 。

6． 如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点。若ABC △与A B C '''△是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 。

（第4题图） （第5题图） （第6题图）

7．如图，正方形OEFG 和正方形ABCD 是位似形，点F 的坐标为（1，1），点C 的坐标为（4，2），则这两个正方形位似中心的坐标是 。

8．如图1，正方形ABCD 和正方形OEFG 中， 点A 和点F 的坐标分别为 (3，2)，(－1，－1)，则两个正方形的位似中心的坐标是 。

（第7题图） （第8题图）

三、解答下列各题：

1．如图，在8×8的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，△OAB 的顶点都在格点上，请在网格中画出△OAB 的一个位似图形，使两个图形以O 为位似中心，且所画图形与△OAB 的位似比为2︰1。

2．如图，△ABC 与△A′B′C′是位似图形，且位似比是1︰2，若AB ＝2cm ，则A′B′是 cm ，并在图中画出位似中心O 。

第2题图 第3题图

3．已知△ABC 在坐标平面内三顶点的坐标分别为A(0，2)、B(3，3)、C(2，1)。以B 为位似中心，画出与△ABC 相似（与图形同向），且相似比是3的三角形，它的三个对应顶点的坐标分别是 。

4．已知五边形ABCDE 和点O ，请你以O 为位似中心画五边形ABCDE 的位的图形A ′B ′C ′D ′E ′，使得相似比＝，即212

1=''B A AB 5．如图，在平面直角坐标系中，ABC ∆的顶点坐标为)3,2(-A 、)2,3(-B 、)1,1(-C 。

（1）若将ABC ∆向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，请画出平移后的111C B A ∆；

（2）画出111C B A ∆绕原点旋转︒180后得到的222C B A ∆；

（3）'''C B A ∆与ABC ∆是位似图形，请写出位似中心的坐标： ；

（4）顺次连结C 、1C 、'C 、

2C ，所得到的图形是轴对称图形吗？′

′A

B

C

A B C

′′

′′