等差数列及其前n项和含解析

等差数列及其前n 项和

[A 级 基础题——基稳才能楼高]

1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，a 5＝5，则S 7的值是( ) A ．30 B ．29 C ．28

D ．27

解析：选C 由题意，设等差数列的公差为d ，则d ＝

a 5－a 3

5－3

＝1，故a 4＝a 3＋d ＝4，所以

S 7＝

a 1＋a 7

2

＝

7×2a 4

2

＝7×4＝28.故选C. 2．(2019·北京丰台区模拟)数列{2n －1}的前10项的和是( ) A ．120 B ．110 C ．100

D ．10

解析：选C ∵数列{2n －1}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴S

10＝a 1＋a 10

2

＝

＋2

＝100.故选C.

3．(2019·豫北重点中学联考)已知数列{a n }中a 1＝1，a n ＋1＝a n －1，则a 4等于( ) A ．2 B ．0 C ．－1

D ．－2

解析：选D 因为a 1＝1，a n ＋1＝a n －1，所以数列{a n }为等差数列，公差d 为－1，所以

a 4＝a 1＋3d ＝1－3＝－2，故选D.

4．(2019·张掖质检)设等差数列{a n }的公差为d ，且a 1a 2＝35,2a 4－a 6＝7，则d ＝( ) A ．4 B ．3 C ．2

D ．1

解析：选C ∵{a n }是等差数列，∴2a 4－a 6＝a 4－2d ＝a 2＝7，∵a 1a 2＝35，∴a 1＝5，∴d ＝a 2－a 1＝2，故选C.

5．(2019·南昌模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 5＝50，S 10＝200，则a 10

＋a 11的值为( )

A ．20

B ．40

C ．60

D ．80

解析：选D 设等差数列{a n

}的公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧

S 5

＝5a 1

＋5×4

2

d ＝50，S 10＝10a 1

＋10×9

2

d ＝200，即

⎩

⎪⎨⎪⎧

a 1＋2d ＝10，a 1＋92d ＝20，

解得⎩⎪⎨

⎪⎧

a 1＝2，d ＝4.

∴a 10＋a 11＝2a 1＋19d ＝80.故选D.

[B 级 保分题——准做快做达标]

1．(2019·惠州调研)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 9＝1

2

a 12＋6，a 2＝4，则数

列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

1S n 的前10项和为( ) A.1112 B ．1011 C.

910

D ．89

解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d ，由a 9＝1

2a 12＋6及等差数列的通项公式得a 1＋

5d ＝12，又a 2＝4，∴a 1＝2，d ＝2，∴S n ＝n 2

＋n ，∴1S n

＝

1n n ＋＝1n －1n ＋1，∴1S 1＋1S 2

＋…＋

1

S 10＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫110－111＝1－111＝1011.选B.

2．(2019·昆明适应性检测)已知等差数列{a n }各项均为正数，其前n 项和为S n ，若a 1

＝1，S 3＝a 2，则a 8＝( )

A ．12

B ．13

C ．14

D ．15

解析：选D 法一：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得3＋3d ＝1＋d ，解得d ＝2或d ＝－1(舍去)，所以a 8＝1＋7×2＝15，故选D.

法二：S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝3a 2，由S 3＝a 2可得3a 2＝a 2，解得a 2＝3或a 2＝0(舍去)，则d ＝a 2－a 1＝2，所以a 8＝1＋7×2＝15，故选D.

3．(2019·南宁名校联考)等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝6，则{a n }的前9项和等于( ) A ．－18 B ．27 C ．18

D ．－27

解析：选B 法一：设等差数列的公差为d ，则a 3＋a 7＝a 1＋2d ＋a 1＋6d ＝2a 1＋8d ＝6，所以a 1＋4d ＝3.于是{a n }的前9项和S 9＝9a 1＋9×82

d ＝9(a 1＋4d )＝9×3＝27，故选B.

法二：由等差数列的性质，得a 1＋a 9＝a 3＋a 7＝6，所以数列{a n }的前9项和S 9＝

a 1＋a 9

2

＝

9×6

2

＝27，故选B. 4．(2019·中山一中统测)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝－2n ＋1，则数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

S n n 的

前11项和为( )

A ．－45

B ．－50

C ．－55

D ．－66

解析：选D ∵a n ＝－2n ＋1，∴数列{a n }是以－1为首项，－2为公差的等差数列，∴

S n ＝

n [－1＋－2n ＋

2

＝－n 2

，∴S n n ＝－n 2

n ＝－n ，∴数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫S n n 是以－1为首项，－1为公

差的等差数列，∴数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫S n n 的前11项和为11×(－1)＋11×10

2×(－1)＝－66，故选D.

5．(2019·南昌模拟)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为( )

A ．1升

B ．6766升 C.47

44

升 D ．3733

升 解析：选 B 设该等差数列为{a n }，公差为d ，由题意得⎩

⎪⎨

⎪⎧

a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，

a 7＋a 8＋a 9＝4，即

⎩

⎪⎨

⎪⎧

4a 1＋6d ＝3，

3a 1＋21d ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧

a 1

＝13

22，d ＝7

66.

∴a 5＝1322＋4×766＝67

66

.故选B.

6．(2019·云南统一检测)已知等差数列{a n }中，a 1＝11，a 5＝－1，则{a n }的前n 项和

S n 的最大值是( )

A ．15

B ．20

C ．26

D ．30

解析：选C 设数列{a n }的公差为d ，则d ＝

a 5－a 1

5－1

＝－3，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3n

＋14，由⎩

⎪⎨

⎪⎧

a n ≥0，

a n ＋1≤0⇒⎩

⎪⎨

⎪⎧

14－3n ≥0，

11－3n ≤0，解得113≤n ≤14

3

，即n ＝4，所以{a n }的前4项和最

大，且S 4＝4×11＋4×3

2

×(－3)＝26，故选C.

7．(2019·四川三地四校联考)在等差数列{a n }中，a 1＝－2 015，其前n 项和为S n ，若

S 12

12