关于梁纯弯曲中曲率半径计算公式的思考
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改革［Ｊ］．中国冶金教育，２０１０，３． ［３］Ｊａｍｅｓ．Ｍ．Ｇｅｒｅ．～ｌｅｃｈａｎｉｃｓ ｏｆ Ｍａｔｅｒｉａｌｓ［加．机械工业出版
社，２００２，２． ［４］范钦珊．工程力学［Ｍ］．高等教育出版社，２００２，６． ［５］孙训方，方孝淑，关来泰．材料力学［Ｍ］．高等教育出版社，２００９，１．
璺旦叟叟墅垡！苎兰蔓薹羔墨塞！蔓薹曼！蔓蔓墨薹薹蔓蔓蔓蔓塞塞兰塞基羔薹篓熙蔓蔓曼墨堇基薹蔓蕉墼蔓苎蔓曼兰蔓基薹蕉苎壁曼曼蔓蔓；！煮彦曼翼鎏曼堕垡堕曼曼墨墨投
为了分析圆周扭转时的变形规律，进行试验观察。在 圆轴两端施加一对大小相等、转向相反的外力偶矩，观察 变形情况。教材上通常说：横截面如ｆ，Ｊ１日ｌＪ性平面般绕轴转 动，其大小、形状和横截面的间距均未发生变化，此假设 称为圆周扭转的平面假设。那么实际横截面的变形情况是 什么样的？通过对横截面上的应力分布规律就能找到答 案。下面是圆周扭转时横截面上切应力ｆ的分布图。图中 Ｔ为横截面上的扭矩。
中国西部科技 ２０１０年１０月（中旬）第０９卷第２９期总第２２６期
关于梁纯弯曲中曲率半径计算公式的思考
陈 明１’２ （１．内蒙古科技大学建工学院工程力学系，内蒙古包头０１ ４０１ ０；２．南京航空航天大ｑ＇Ｊ－，Ｅ力学系，江苏南京２１００００）
摘要：本文对材料力学中矩形截面梁推导过程进行再分析，指出采用平面假设的原因，给出中性层曲率半径表达式和 梁挠曲线近似微分方程推导过程存在的不足。分析过程采用的依据为外力作用下物体一定会发生变形或运动。文中给出 了材料力学书籍中未详细说明的推导过程，对推进学生对材料力学的理解、学习有明显的促进作用。 关键词：平面假设；曲率半径；纯弯曲；挠曲线 ＤＯＩ：ｔ ０．３９６９／Ｊ．ｉｓｓｎ．１ ６７１－６３９６．２０１ ０．２９．００５
Ｉ
Ｍ（ｘ）
石２面＿－——（式５）
式５中同样存在缺陷。因为这里Ｍ（ｘ）有正负号，而
曲率半径ｐ依然是一个恒为正的值。 正确的表达式应该是：
一Ｐ １：— ＋丝Ｅ盟１：——（式６） 根据高等数学的知识，引入任意一点曲率半径公式，得 到任意一点挠度与弯矩的关系如下：
士 ．ｄ２万Ｗ肘２扛１）ｒ——（式７）
这个表达式是正确的，但是却不能明确反映真实的推导 过程。完整的表达式如下：
研究区长２期发育有分流主河道、河道侧翼、分流间 湾、分流堤、决口扇等微相，见图１５。 参考文献： ［１］帅世敏，吴爱霞，郭晓鸣等．郑石湾地区油藏地质工程研究
［Ｒ］．延安：延长油田股份有限公司．２００５． ［２］华东石油学院岩矿教研室．沉积岩石学（上）［Ｍ］．北京：石油工业
出版社。１９８２：８６～９６．
Ｍ已经默认为正值，得到的结果也是正确的。此时，如果 选择的模型在Ｙ轴正向的区域为压应力，那么得到曲率半 径的计算公式为：
上：一旦
Ｐ Ｅｌ：——（式４） 也就是说，在绝大多数教材中给出的式３中的表达式 是不完善的。因为曲率Ｐ是一个恒为正的值，而弯曲Ｍ是 一个有正有负的值，可以判定这个表达式是有缺陷的。在 材料力学教材中，在推导挠曲线的近似微分方程的时候， 将式３推广到横力弯曲中的细长梁问题。此时剪力对梁变 形的影响是可以忽略的，式３改写成：
图２中．ｂ、ｈ分别表示横截面在坐标轴ｚ、ｙ：Ｙ向的尺 寸。在推导横截面上弯曲与应力之间关系的时候，用到的 公式为：
ｏ ２＆２￡吉ｐ
与：Ｍ：＝Ｉ。）盯枷＝肘
一～（式Ａｉ１，）
·——（式２）
在式１推导过程中，假定Ｙ轴正向的区域为拉应力，那
么式ｌ代入式２中，得到曲率半径的计算公式：
三：旦
Ｐ Ｅ１：——（式３） 其中Ｉ，是梁截面对于中性轴ｚ轴的惯性矩。这里面的
一个各向同性，材料均匀分布的细长杆，在受到轴向 拉压作用时，两端受到大小相等、方向相反的力作用。假 设垂直于拉伸方向杆的横截面，在拉伸过程中～直保持平 面且垂直于杆的轴线，这就是平面假设。这个假设成立的 依据足圣维南定理，关于圣维南定理在这里就不再叙述。 分析上述杆受力过程和杆上各个横截面的变化情况，可以 肯定的是：根据对称性，杆件的中问位置处横截面不会发 生左右移动，始终垂直于轴线：两端受力处以及附近位 置，横截面的变形情况是复杂的，不再保持平面；在平面 与曲面之间必然是一个连续变化的过程。因此，平面假设 在这里只能称为假设，是实际情况的一种近似，因为满足 了实际的需要，才得以麻用。 ２．２圆轴扭转时的平面假设
ｄ２ｗ．．时“） １
土万≈１ｒ２一Ｐ——（式８）
式８两边都有正负号，虽然与式７的结果是一样的，但这 样的表述是更好地说明公式左右两边都为恒正的值，意义更 加明确。 ４ 结论
通过对矩形截面梁纯弯曲过程的分析，给出了材料力学 中平面假设的应用背景以及横截面真实的变形情况。同时， 指出材料力学教材在表述曲率半径与弯矩关系时存在的不 足。分析了挠曲线近似微分方程推导中存在的问题，加深学 生对材料力学概念、公式的理解。在文中难免有不足之处， 敬请同行、前辈指正、批评。 参考文献： ［１］方治华．工程力学［Ｍ］．内蒙古大学出版社，２００８，１． ［２］白允强，王章忠，周衡志．应用型本科“材料力学性能”课程教学
圈１ ５靖边东南部长２沉积微相分布围
万方数据
关于梁纯弯曲中曲率半径计算公式的思考
作者： 作者单位：
刊名： 英文刊名： 年，卷(期)：
陈明 内蒙古科技大学建工学院工程力学系,内蒙古,包头,014010;南京航空航天大学工程力学系 ,江苏,南京,210000
中国西部科技 SCIENCE AND TECHNOLOGY OF WEST CHINA 2010,09(29)
ｌ 引言 梁受到外载荷作用发生弯曲变形，横截面上会因为受
到弯矩和剪力的作．【｝ｊ而产生正应力和切应力。梁横截面上 应力的推导，通常是从发生纯弯曲的梁进行分析。接下 来，将再现这个过程，并把其中存在的问题和一些教材中 没有强调的细节交代清楚，以达到加深学生对概念、公式 理解的作用。 ２ 平面假设
在材料力学中，平面假设是一条非常重要的假设条 件。在杆件轴向拉压、扭转、弯曲的分析中，都需要进行 平面假设。那么，平面假设存在的条件是什么，真实的情 况又是什么样的？下面将给出解答。 ２．１轴向拉伸和压缩时的平面假设
通过图］．－－Ｔ以看出，根据切应力互等定理，沿着ｚ轴方
向分布着与横截面上切应力对称的切应力，并且在整个横截 面沿ｚ轴方向切应力的合力为零。力的作用效应分为运动效 应和变形效应，那么由于切应力的存在，横截面上必然会产 生变形效应。尽管通常变形非常微小，但平面假设只是近似 的成立，只能称之为假设。
圈ｌ圆轴扭转时横截面上的应力分布
本文读者也读过(10条) 1. 郅艳萍 挠曲线近似微分方程的修正[期刊论文]-运城学院学报2003,21(3) 2. 彭永.黄韬.全航辉 用微分方程的方法求自然竖放杆件的最大长度[期刊论文]-中国科技信息2011(8) 3. 沈永林 挠曲线精确微分方程对高墩水平位移计算精度的影响[会议论文]-2001 4. 彭炜.董丽琴.陈昆尧 一种关于梁变形计算的简便方法[期刊论文]-河北工程技术职业学院学报2003,5(1) 5. 孙征宇.程昌钧.SUN Zheng-yu.CHENG Chang-jun 损伤弹性梁的静力学行为分析[期刊论文]-上海大学学报（自 然科学版）2008,14(4) 6. 孙征宇 损伤粘弹性梁的力学行为分析[学位论文]2007 7. 郭成喜 大曲率构件挠曲线的弧长参数描述[会议论文]-2008 8. 郑伟.周喜超.智勇.刘巍.ZHENG Wei.ZHOU Xi-chao.ZHI Yong.LIU Wei 甘肃电网无功电压分析及改进措施[期刊 论文]-电力电容器与无功补偿2010,31(6) 9. 朱蕾 关于谭盾《南乡子》古筝的演奏与作品分析[期刊论文]-艺术评论2010(5) 10. 张建波.白史且.张新全.马啸.鄢家俊.张昌兵.游明鸿.ZHANG Jian-Bo.BAI Shi-Qie.ZHANG Xin-Quan.MA Xiao. YAN Jia-Jun.ZHANG Chang-Bing.YOU Ming-Hong 川西北高原不同野生垂穗披碱草种群穗部形态研究[期刊论文]-四 川大学学报（自然科学版）2009,46(5)
（上接ｇｏ ５页）主，偶见变形层理及小型递变层理，粒度 曲线多表现为直线式，不含生物化石，见炭化植物碎片或 碎块，有时可见生物潜穴，自然电位曲线与自然伽玛曲线 表现为漏斗形，见图１４。 ３ 结论
研究区主要物源方向为东北物源，分别发育北偏东和 东北三支水系，并且东北方向两支次～级水系在靖３４２７０一 靖３４２８９一靖３４２７７区域交汇，北偏东水系与东北水系在靖 ３６２２８一靖３４２５０井一带交汇。
参考文献(5条) 1.方治华 工程力学 2008
2.白允强;王章忠;周衡志 应用型本科"材料力学性能"课程教学改革[期刊论文]-中国冶金教育 2010(03)
3.James.M.Gere Mechanics of Materials 2002 4.范钦珊 工程力学 2002 5.孙训方;方孝淑;关来泰 材料力学 2009
６
１１
晟
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Ｉ
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图２横截面弯矩计算方式 ２．３梁纯弯曲时的平面假设
在推导纯弯曲梁横截面上应力的时候，也用到平面假 设。根据弹性力学知识，可以得到纯弯曲梁横截面上应力Fra Baidu bibliotek 布的精确解。横截面上只有正应力存在，梁发生纯弯曲时， 横截面仅仅绕中性轴转动，一直保持平面，所以此时平面假
本文链接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_zgxbkj201029005.aspx
收稿日期：２０１０－０９－０１修回日期：２０１０－０９－２１ 作者简介：陈明（１９８１一），男，汉族，南京航空航天大学博士，内蒙古科技大学工程力学系助教。
万１０ 方数据
设不应再称作假设。 ３ 横藏面上正应力的推导
纯弯曲横截面上正应力推导的过程中，需要明确之处 中所存在的一些细节问题，下面进行具体讲述。
社，２００２，２． ［４］范钦珊．工程力学［Ｍ］．高等教育出版社，２００２，６． ［５］孙训方，方孝淑，关来泰．材料力学［Ｍ］．高等教育出版社，２００９，１．
璺旦叟叟墅垡！苎兰蔓薹羔墨塞！蔓薹曼！蔓蔓墨薹薹蔓蔓蔓蔓塞塞兰塞基羔薹篓熙蔓蔓曼墨堇基薹蔓蕉墼蔓苎蔓曼兰蔓基薹蕉苎壁曼曼蔓蔓；！煮彦曼翼鎏曼堕垡堕曼曼墨墨投
为了分析圆周扭转时的变形规律，进行试验观察。在 圆轴两端施加一对大小相等、转向相反的外力偶矩，观察 变形情况。教材上通常说：横截面如ｆ，Ｊ１日ｌＪ性平面般绕轴转 动，其大小、形状和横截面的间距均未发生变化，此假设 称为圆周扭转的平面假设。那么实际横截面的变形情况是 什么样的？通过对横截面上的应力分布规律就能找到答 案。下面是圆周扭转时横截面上切应力ｆ的分布图。图中 Ｔ为横截面上的扭矩。
中国西部科技 ２０１０年１０月（中旬）第０９卷第２９期总第２２６期
关于梁纯弯曲中曲率半径计算公式的思考
陈 明１’２ （１．内蒙古科技大学建工学院工程力学系，内蒙古包头０１ ４０１ ０；２．南京航空航天大ｑ＇Ｊ－，Ｅ力学系，江苏南京２１００００）
摘要：本文对材料力学中矩形截面梁推导过程进行再分析，指出采用平面假设的原因，给出中性层曲率半径表达式和 梁挠曲线近似微分方程推导过程存在的不足。分析过程采用的依据为外力作用下物体一定会发生变形或运动。文中给出 了材料力学书籍中未详细说明的推导过程，对推进学生对材料力学的理解、学习有明显的促进作用。 关键词：平面假设；曲率半径；纯弯曲；挠曲线 ＤＯＩ：ｔ ０．３９６９／Ｊ．ｉｓｓｎ．１ ６７１－６３９６．２０１ ０．２９．００５
Ｉ
Ｍ（ｘ）
石２面＿－——（式５）
式５中同样存在缺陷。因为这里Ｍ（ｘ）有正负号，而
曲率半径ｐ依然是一个恒为正的值。 正确的表达式应该是：
一Ｐ １：— ＋丝Ｅ盟１：——（式６） 根据高等数学的知识，引入任意一点曲率半径公式，得 到任意一点挠度与弯矩的关系如下：
士 ．ｄ２万Ｗ肘２扛１）ｒ——（式７）
这个表达式是正确的，但是却不能明确反映真实的推导 过程。完整的表达式如下：
研究区长２期发育有分流主河道、河道侧翼、分流间 湾、分流堤、决口扇等微相，见图１５。 参考文献： ［１］帅世敏，吴爱霞，郭晓鸣等．郑石湾地区油藏地质工程研究
［Ｒ］．延安：延长油田股份有限公司．２００５． ［２］华东石油学院岩矿教研室．沉积岩石学（上）［Ｍ］．北京：石油工业
出版社。１９８２：８６～９６．
Ｍ已经默认为正值，得到的结果也是正确的。此时，如果 选择的模型在Ｙ轴正向的区域为压应力，那么得到曲率半 径的计算公式为：
上：一旦
Ｐ Ｅｌ：——（式４） 也就是说，在绝大多数教材中给出的式３中的表达式 是不完善的。因为曲率Ｐ是一个恒为正的值，而弯曲Ｍ是 一个有正有负的值，可以判定这个表达式是有缺陷的。在 材料力学教材中，在推导挠曲线的近似微分方程的时候， 将式３推广到横力弯曲中的细长梁问题。此时剪力对梁变 形的影响是可以忽略的，式３改写成：
图２中．ｂ、ｈ分别表示横截面在坐标轴ｚ、ｙ：Ｙ向的尺 寸。在推导横截面上弯曲与应力之间关系的时候，用到的 公式为：
ｏ ２＆２￡吉ｐ
与：Ｍ：＝Ｉ。）盯枷＝肘
一～（式Ａｉ１，）
·——（式２）
在式１推导过程中，假定Ｙ轴正向的区域为拉应力，那
么式ｌ代入式２中，得到曲率半径的计算公式：
三：旦
Ｐ Ｅ１：——（式３） 其中Ｉ，是梁截面对于中性轴ｚ轴的惯性矩。这里面的
一个各向同性，材料均匀分布的细长杆，在受到轴向 拉压作用时，两端受到大小相等、方向相反的力作用。假 设垂直于拉伸方向杆的横截面，在拉伸过程中～直保持平 面且垂直于杆的轴线，这就是平面假设。这个假设成立的 依据足圣维南定理，关于圣维南定理在这里就不再叙述。 分析上述杆受力过程和杆上各个横截面的变化情况，可以 肯定的是：根据对称性，杆件的中问位置处横截面不会发 生左右移动，始终垂直于轴线：两端受力处以及附近位 置，横截面的变形情况是复杂的，不再保持平面；在平面 与曲面之间必然是一个连续变化的过程。因此，平面假设 在这里只能称为假设，是实际情况的一种近似，因为满足 了实际的需要，才得以麻用。 ２．２圆轴扭转时的平面假设
ｄ２ｗ．．时“） １
土万≈１ｒ２一Ｐ——（式８）
式８两边都有正负号，虽然与式７的结果是一样的，但这 样的表述是更好地说明公式左右两边都为恒正的值，意义更 加明确。 ４ 结论
通过对矩形截面梁纯弯曲过程的分析，给出了材料力学 中平面假设的应用背景以及横截面真实的变形情况。同时， 指出材料力学教材在表述曲率半径与弯矩关系时存在的不 足。分析了挠曲线近似微分方程推导中存在的问题，加深学 生对材料力学概念、公式的理解。在文中难免有不足之处， 敬请同行、前辈指正、批评。 参考文献： ［１］方治华．工程力学［Ｍ］．内蒙古大学出版社，２００８，１． ［２］白允强，王章忠，周衡志．应用型本科“材料力学性能”课程教学
圈１ ５靖边东南部长２沉积微相分布围
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关于梁纯弯曲中曲率半径计算公式的思考
作者： 作者单位：
刊名： 英文刊名： 年，卷(期)：
陈明 内蒙古科技大学建工学院工程力学系,内蒙古,包头,014010;南京航空航天大学工程力学系 ,江苏,南京,210000
中国西部科技 SCIENCE AND TECHNOLOGY OF WEST CHINA 2010,09(29)
ｌ 引言 梁受到外载荷作用发生弯曲变形，横截面上会因为受
到弯矩和剪力的作．【｝ｊ而产生正应力和切应力。梁横截面上 应力的推导，通常是从发生纯弯曲的梁进行分析。接下 来，将再现这个过程，并把其中存在的问题和一些教材中 没有强调的细节交代清楚，以达到加深学生对概念、公式 理解的作用。 ２ 平面假设
在材料力学中，平面假设是一条非常重要的假设条 件。在杆件轴向拉压、扭转、弯曲的分析中，都需要进行 平面假设。那么，平面假设存在的条件是什么，真实的情 况又是什么样的？下面将给出解答。 ２．１轴向拉伸和压缩时的平面假设
通过图］．－－Ｔ以看出，根据切应力互等定理，沿着ｚ轴方
向分布着与横截面上切应力对称的切应力，并且在整个横截 面沿ｚ轴方向切应力的合力为零。力的作用效应分为运动效 应和变形效应，那么由于切应力的存在，横截面上必然会产 生变形效应。尽管通常变形非常微小，但平面假设只是近似 的成立，只能称之为假设。
圈ｌ圆轴扭转时横截面上的应力分布
本文读者也读过(10条) 1. 郅艳萍 挠曲线近似微分方程的修正[期刊论文]-运城学院学报2003,21(3) 2. 彭永.黄韬.全航辉 用微分方程的方法求自然竖放杆件的最大长度[期刊论文]-中国科技信息2011(8) 3. 沈永林 挠曲线精确微分方程对高墩水平位移计算精度的影响[会议论文]-2001 4. 彭炜.董丽琴.陈昆尧 一种关于梁变形计算的简便方法[期刊论文]-河北工程技术职业学院学报2003,5(1) 5. 孙征宇.程昌钧.SUN Zheng-yu.CHENG Chang-jun 损伤弹性梁的静力学行为分析[期刊论文]-上海大学学报（自 然科学版）2008,14(4) 6. 孙征宇 损伤粘弹性梁的力学行为分析[学位论文]2007 7. 郭成喜 大曲率构件挠曲线的弧长参数描述[会议论文]-2008 8. 郑伟.周喜超.智勇.刘巍.ZHENG Wei.ZHOU Xi-chao.ZHI Yong.LIU Wei 甘肃电网无功电压分析及改进措施[期刊 论文]-电力电容器与无功补偿2010,31(6) 9. 朱蕾 关于谭盾《南乡子》古筝的演奏与作品分析[期刊论文]-艺术评论2010(5) 10. 张建波.白史且.张新全.马啸.鄢家俊.张昌兵.游明鸿.ZHANG Jian-Bo.BAI Shi-Qie.ZHANG Xin-Quan.MA Xiao. YAN Jia-Jun.ZHANG Chang-Bing.YOU Ming-Hong 川西北高原不同野生垂穗披碱草种群穗部形态研究[期刊论文]-四 川大学学报（自然科学版）2009,46(5)
（上接ｇｏ ５页）主，偶见变形层理及小型递变层理，粒度 曲线多表现为直线式，不含生物化石，见炭化植物碎片或 碎块，有时可见生物潜穴，自然电位曲线与自然伽玛曲线 表现为漏斗形，见图１４。 ３ 结论
研究区主要物源方向为东北物源，分别发育北偏东和 东北三支水系，并且东北方向两支次～级水系在靖３４２７０一 靖３４２８９一靖３４２７７区域交汇，北偏东水系与东北水系在靖 ３６２２８一靖３４２５０井一带交汇。
参考文献(5条) 1.方治华 工程力学 2008
2.白允强;王章忠;周衡志 应用型本科"材料力学性能"课程教学改革[期刊论文]-中国冶金教育 2010(03)
3.James.M.Gere Mechanics of Materials 2002 4.范钦珊 工程力学 2002 5.孙训方;方孝淑;关来泰 材料力学 2009
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晟
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图２横截面弯矩计算方式 ２．３梁纯弯曲时的平面假设
在推导纯弯曲梁横截面上应力的时候，也用到平面假 设。根据弹性力学知识，可以得到纯弯曲梁横截面上应力Fra Baidu bibliotek 布的精确解。横截面上只有正应力存在，梁发生纯弯曲时， 横截面仅仅绕中性轴转动，一直保持平面，所以此时平面假
本文链接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_zgxbkj201029005.aspx
收稿日期：２０１０－０９－０１修回日期：２０１０－０９－２１ 作者简介：陈明（１９８１一），男，汉族，南京航空航天大学博士，内蒙古科技大学工程力学系助教。
万１０ 方数据
设不应再称作假设。 ３ 横藏面上正应力的推导
纯弯曲横截面上正应力推导的过程中，需要明确之处 中所存在的一些细节问题，下面进行具体讲述。