函数的极值和最值(基础)知识梳理

函数的极值和最值
【考纲要求】
1.掌握函数极值的定义。

2.了解函数的极值点的必要条件和充分条件.
3.会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值和极小值
4.会求给定闭区间上函数的最值。

【知识网络】
【考点梳理】
要点一、函数的极值 函数的极值的定义
一般地，设函数)(x f 在点0x x =及其附近有定义，
（1）若对于0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f <，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值，记作
)(0x f y =极大值；
（2）若对0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f >，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极小值，记作
)(0x f y =极小值.
极大值与极小值统称极值.
在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值. 要点诠释：
求函数极值的的基本步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数)(x f '； ③求方程0)(='x f 的根；
④检查'()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)
要点二、函数的最值 1.函数的最大值与最小值定理
若函数()y f x =在闭区间],[b a 上连续，则)(x f 在],[b a 上必有最大值和最小值；在开区间),(b a 内连
函数的极值和最值
函数在闭区间上的最大值和最小值
函数的极值
函数极值的定义 函数极值点条件 求函数极值
续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值.如1
()(0)f x x x
=
>. 要点诠释：
①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。

②函数的极值可以有多个，但最值只有一个。

2.通过导数求函数最值的的基本步骤：
若函数()y f x =在闭区间],[b a 有定义，在开区间(,)a b 内有导数，则求函数()y f x =在],[b a 上的最大值和最小值的步骤如下：
（1）求函数)(x f 在),(b a 内的导数)(x f '； （2）求方程0)(='x f 在),(b a 内的根；
（3）求在),(b a 内使0)(='x f 的所有点的函数值和)(x f 在闭区间端点处的函数值)(a f ，)(b f ； （4）比较上面所求的值，其中最大者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最大值，最小者为函数
()y f x =在闭区间],[b a 上的最小值.
【典型例题】
类型一：利用导数解决函数的极值等问题
例1.已知函数.,33)(23R m x x mx x f ∈-+=若函数1)(-=x x f 在处取得极值，试求m 的值，并求
)(x f 在点))1(,1(f M 处的切线方程；
【解析】2'()363,.f x mx x m R =+-∈ 因为1)(-=x x f 在处取得极值 所以'(1)3630f m -=--= 所以3m =。

又(1)3,'(1)12f f ==
所以)(x f 在点))1(,1(f M 处的切线方程312(1)y x -=- 即1290x y --=. 举一反三：
【变式1】设a 为实数，函数()22,x
f x e x a x =-+∈R ．
(1)求()f x 的单调区间与极值；
(2)求证：当ln 21a >-且0x >时，2
21x e x ax >-+．
【解析】（1）由()22,x f x e x a x =-+∈R 知()2,x f x e x '=-∈R ．
令()0f x '=，得ln 2x =．于是当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：
故()f x 的单调递减区间是(,ln 2)-∞，单调递增区间是(ln 2,)+∞，
()ln 2f x x =在处取得极小值，极小值为ln 2(ln 2)2ln 222(1ln 2).f e a a =-+=-+
(2)证明：设2()21x g x e x ax =-+-，x ∈R 于是()22x g x e x a '=-+，x ∈R
由(1)知当ln 21a >-时，()g x '最小值为(ln 2)2(1ln 2)0.g a '=-+> 于是对任意x ∈R ，都有()0g x '>，所以()g x 在R 内单调递增． 于是当ln 21a >-时，对任意(0,)x ∈+∞，都有()(0)g x g >． 而(0)0g =，从而对任意(0,),()0x g x ∈+∞>． 即2
210x
e x ax -+->，故2
21x
e x ax >-+．
【变式2】函数()f x 的定义域为区间（a ，b ），导函数'()f x 在（a ，b ）内的图如图所示，则函数()f x 在（a ，b ）内的极小值有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 【答案】由极小值的定义，只有点B 是函数()f x 的极小值点，故选A 。

类型二：利用导数解决函数的最值问题 例2.已知函数2
()(),x
f x x mx m e =-+其中m R ∈。

（1）若函数()f x 存在零点，求实数m 的取值范围；
（2）当0m <时，求函数()f x 的单调区间；并确定此时()f x 是否存在最小值，如果存在，求出最小值，如果存在，请说明理由。

【解析】（1）因为函数()f x 存在零点，则2
0x mx m -+=有实根，
240m m ∆=-≥，即04m m ≤≥或
（2）当0m <时，函数定义域为R
22()(2)()(2)(2)x x
x x
f x x m e x mx m e x x mx e x x m e '=-+-+=+-=+-
由()0f x '=，则02x x m ==-或 由()0f x '>，则02x x m ><-或 由()0f x '<，则20m x -<< 列表如下：
所以()f x 在(,2)m -∞-，(0,)+∞上单调增，在(2,0)m -上单调减。

又知当2x m <-→-∞且时，()0f x >；0x >→+∞且时，()0f x >； 而(0)0f m =<，所以()f x 存在最小值(0)f m =. 举一反三：
【变式】已知函数2()1f x ax =+(0a >),3()g x x bx =+.
(1)若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,c )处具有公共切线,求,a b 的值; (2)当2
4a b =时,求函数()()f x g x +的单调区间,并求其在区间(,1]-∞-上的最大值. 【解析】(1)由()1c ，为公共切点可得:2()1(0)f x ax a =+>, 则()2f x ax '=,12k a =,
3()g x x bx =+,则2()=3g x x b '+,23k b =+,
∴23a b =+①
又(1)1f a =+,(1)1g b =+,
∴11a b +=+,即a b =,
代入①式可得:3
3a b =⎧⎨=⎩
.
(2)
24a b =,
∴设3221
()()()14
h x f x g x x ax a x =+=+++
则221
()324h x x ax a '=++,令()0h x '=,
解得:12
a x =-,26a
x =-;
0a >,∴
26
a a -
<-, ∴原函数在2a ⎛
⎫
-∞- ⎪⎝
⎭
，单调递增,在26a a ⎛⎫
-- ⎪⎝
⎭
，单调递减,在6
a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
，上单调递增
①若12a
--≤,即02a <≤时,最大值为2
(1)4
a h a -=-;
②若126a a
-<-<-,即26a <<时,最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭
③若16a
--
≥时,即6a ≥时,最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭
. 综上所述:当(]02a ∈，时,最大值为2(1)4
a h a =-;当()2,a ∈+∞时,最大值为12a h ⎛⎫
-= ⎪⎝⎭.
例3（2016 东城区模拟）已知函数2()ln f x x a x =-，a ∈R ． (Ⅰ)若()f x 在1x =处取得极值，求a 的值；
(Ⅱ)求()f x 在区间[1,)+∞上的最小值；
(Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下，若2()()h x x f x =-，求证：当2
1e x <<时，恒有4()
4()
h x x h x +<
-成立．
经检验，满足题意，所以
．
当0a ≤时，有'()0f x >，()f x 在区间[1,)+∞上单调递增，最小值为(1)1f =；
所以
在区间
上单调递增，最小值为
；
，单调递减，当
综上当2a ≤时，()f x 在区间上的最小值为； 在区间
上的最小值为
（Ⅲ）由2()()h x x f x =-得()2ln h x x =． 当21x e <<时，0ln 2x <<，0()4h x <<，
当21x e <<时，'(x)0ϕ>，所以(x)ϕ在区间2(1,e )上单调递增．
举一反三：
【变式1】设函数22()log (1)log (1)(01),f x x x x x x =+--<<求)(x f 的最小值; 【解析】函数f （x ）的定义域为（0，1）
22'()(log )'[(1)log (1)]'f x x x x x =+-- 222211log log (1)log log (1)ln 2ln 2
x x x x =--+-=-- 令1'()02
f x x ==得 当102x <<
时，'()0f x <, ∴()f x 在区间1
(0,)2
是减函数； 当112x <<时，'()0f x >, ∴()f x 在区间1
(,1)2
是增函数. ∴()f x 在12x =时取得最小值且最小值为1
()12
f =-.
【变式2】(2015 江苏高考) 已知函数3
2
()(,)f x x ax b a b R =++∈. (1)试讨论f (x )的单调性；
(2)若b ＝c -a (实数c 是a 与无关的常数)，当函数f (x )有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是
33
(3)(1)()22
-∞-+∞，，，，求c 的值.
【解析】(1)f ′(x )＝3x 2+2ax ，令f ′(x )＝0，解得12203
a
x x ==，
． 当a ＝0时，因为f ′(x )＝3x 2＞0，(x≠0)，所以函数f (x )在(-∞，+∞)上单调递增； 当a ＞0时，2(0)3a x ⎛
⎫∈-∞-
+∞ ⎪⎝⎭，，时，f ′(x )＞0，203a x ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
，
时，f ′(x ) ＜0，所以函数f (x )在23a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，，(0，+∞)上单调递增，在203a ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，上单调递减； 当a ＜0时，2(0)
3a x ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭，，时，2()003a f x x ⎛⎫'>∈- ⎪⎝⎭，，时，f ′(x )＜0，
所以函数f (x )在(-∞，0)，23a ⎛⎫-
+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增，在203a ⎛⎫- ⎪⎝
⎭，上单调递减．
(2)由(1)知，函数f(x)的两个极值为f (0)＝b ，3
24327a f a b ⎛⎫-
=
+ ⎪⎝⎭
， 则函数f(x)有三个零点等价于324(0)0327a f f b a b ⎛⎫⎛⎫⋅-
=+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
从而304027a a b >⎧⎪⎨-<<⎪⎩或304027a b a <⎧⎪⎨<<-⎪⎩
．
又b ＝c -a ，所以当a ＞0时，34027a a c -+>或当a ＜0时，34
027
a a c -+<． 设3
4()27
g a a a c =
-+，因为函数f (x )有三个零点时， a 的取值范围恰好是33(3)
122⎛⎫⎛⎫
-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，，，， 则在(-∞，-3)上g (a )＜0，且在33122⎛⎫⎛⎫
+∞ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
，，
上g (a ) ＞0均恒成立， 从而g (-3)＝c -1≤0，且3102g c ⎛⎫
=-≥
⎪⎝⎭
，因此c ＝1． 此时，3
2
2
()1(1)[(1)1]f x x ax a x x a x a =++-=++-+-，
因函数有三个零点，则2
(1)10x a x a +-+-=有两个异于-1的不等实根， 所以2
2
(1)4(1)230a a a a =---=+->△，且2
(1)(1)10a a ---+-≠， 解得33(3)122a ⎛⎫⎛⎫
∈-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，，，
． 综上c ＝1．
类型三：导数在研究实际问题中最值问题的应用
例4.某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为
803
π
立方米，且2
l r ≥．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为(3)c c >千元．设该容器的建造费用为y 千元．
(1)写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域；
(2)求该容器的建造费用最小时的r ． 【解析】(1)设容器的容积为V ， 由题意知2
343V r l r ππ=+
，又803
V π=，
故3
2224804420333
3V r l r r r r r ππ-⎛⎫
=
=-=- ⎪⎝⎭
． 由于2l r ≥，因此02r <≤．
所以建造费用222
4202342343y rl r c r r r c r ππππ⎛⎫
=⨯+=⨯-⨯+
⎪⎝⎭
， 因此2
1604(2)y c r r
π
π=-+
，02r <≤． (2)由(1)得322
1608(2)208(2)2c y c r r r r c πππ-⎛⎫
'=--=- ⎪-⎝
⎭，02r <<． 由于3c >，所以20c ->， 当3
2002r c -
=-
时，r =
m =，则m ＞0， 所以222
8(2)
()()c y r m r rm m r
π-'=
-++． ①当02m <<即9
2
c >时，
当r m =时，0y '=； 当(0,)r m ∈时，0y '<； 当(,2)r m ∈时，0y '>，
所以r m =是函数y 的极小值点，也是最小值点． ②当2m ≥即9
32
c <≤
时，当(0,2)r ∈时，0y '<函数单调递减， 所以r=2是函数y 的最小值点， 综上所述，当9
32
c <≤
时，建造费用最小时2r =， 当92c >
时，建造费用最小时r =。