[管理学]变异系数

上四 分位
数
下四 分位
数
了解四分位差
四分位差是上四分位数与下四分位数之差，也称为内距或四分间距。它主要用 于测度顺序数据的离散程度。当然对于数值型数据也可以计算四分位差，但它不适 合于分类数据。 假设有数组：0，10，20，30，40，50，60，70，80，90，100，110. 元素共12个， 由小到大排列。
550
456
600～700
650
305
700～800
750
237
800～900
850
78
900以上
950
20
合计
—
2 000
第二小节 全距、分位差和平均差
三、平均差
解： X 250 208 950 20 1045900 522.95元
2000
2000
m
Xi X f
2 f
2
优点：反映全部 数据分布状况， 数字上合理。
缺点：受计量单 位和平均水平影 响，不便于比较
4．标准 标准差与均值 差系 数 之商，是无量 （Vσ） 纲的系数

V X
优点：适宜不同 数据集的比较
缺点：对数据结 构变化反应不灵 敏
第四节 变异指标
本节小结：
（1）平均指标描述的是总体的集中趋势，而标志变 异指标描述的是总体的离散趋势。它们从两方面来 反映总体的分布特征。其作用首先是衡量平均指标 代表性大小的一种尺度，其次还可以反映社会经济 活动过程的均衡性与协调性。 （2）全距、四分位差、平均差与标准差在反映标志 变异程度方面各有优缺点。方差和标准差是应用最 广的标志变异指标。标准差与标准差系数是反映标 志差异程度的主要指标。它比前面介绍的其它指标 都科学。标准差就是标志值与其算术平均数离差的 平方的算术平均数的平方根。
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第三小节 标准差和标准差系数
【例】某年级一、二两班某门课的平均成绩分别为82 分和76分，其成绩的标准差分别为15.6分和14.8分，比 较两班平均成绩代表性的大小。
解：
V 1

1
X1
100﹪
15.6 82
100﹪ 19.02﹪
二班成绩的标准差系数为：
V 2

2
X2
100﹪
R X max X min 750 440 310 元
第二小节 全距、分位差和平均差
一、全距
【例B】某季度某工业公司18个工业企业产值计划完成情况如下：
计划完成程度 组中值 企业数 计划产值
（﹪）
（﹪） （个） （万元）
90以下 90～100 100～110 110以上
合计
n
优点：反映全部 数据分布状况
缺点：取绝对值 , 加权：A D Xi X fi 数字上 不尽合理
fi
3．方差 （σ2） 和 标准差
(σ)
概念
计算
特点
各标志值与均 值离差平方的
简单： 2 X i X 2 n
平均。
方差的平方根 （取正根）
加权： 2
X X f
第四节 变异指标
第二小节 全距、分位差和平均差
三、平均差 是各个数据与其算术平均数的离差绝对 值的算术平均数，用 A.D表示。
计算公式：
⑴ 简单平均差——适用于未分组资料
N
A D
X1 X X N X
Xi X i1
N
N
第 i 个单位
的变量值
总体单 位总数
总体算术 平均数
行结果
甲 厂
100
钢
厂
乙 厂
100
32
34
34
20
30
50
第一小节 变异指标的基本理论
二、变异指标的种类
以标志值之间相互比较说明变异情况
全距 分位差
以平均数为比较标准来说明标志的变异情况 平均差 方差 标准差
平均差系数
标准差系数
以正态分布为标准说明分配数列偏离情况的指标
峰度 偏度
第二小节 全距、分位差和平均差
第一小节 变异指标的基本理论
例如：某车间有两个生产小组，各有7名 工人，各人日产量如下: 甲组：20，40，60，70，80，100，120 乙组：67，68，69，70，71，72，73
X 甲 X乙 70件
第一小节 变异指标的基本理论
供货计划完成百分比(%)
季度总供 货计划执 1月 2月 3月
一、全距
指所研究的数据中，最大值与最小值之差，又
称极差。
R X m ax X m in
最大变量值或最 最小变量值或最
高组上限或开口 低组下限或开口
组假定上限
组假定下限
第二小节 全距、分位差和平均差
一、全距
【例A】某售货小组5人某天的销售额分别 为440元、480元、520元、600元、750 元，则
fi
fi
i 1
第 i 组的变量 第 i 组变量值 总体算术
值或组中值 出现的次数 平均数
第二小节 全距、分位差和平均差
三、平均差
【例B】计算下表中某公司职工月工资的平均差。
月工资 （元）
组中值（元）
X
职工人数（人）
f
300以下
250
208
300～400
350
314
400～500
450
382
500～600
差的平方又叫作方差，用 来表2 示。 计算公式：
⑴ 简单标准差——适用于未分组资料

N
2
Xi X
i 1
N
第 i 个单位
的变量值
总体单 位总数
总体算术 平均数
第四节 变异指标
第三小节 标准差和标准差系数
【例A】某售货小组5个人，某天的销售额分别为440 元、480元、520元、600元、750元，求该售货小组 销售额的标准差。
第二小节 全距、分位差和平均差
三、平均差
【例A】某售货小组5个人，某天的销售额分别为440元、480 元、520元、600元、750元，求该售货小组销售额的平均差。
解： X 440 480 520 600 750 2790 558元
5
5
N
X i X 440 558 750 558
第五节离散趋势
【学习目标】通过本节的学习和习题演算，掌握变异指标 的意义和作用；标准差和标准差系数的计算和应用。了解变异 指标的分布特性；极差、平均差和四分位差的概念、计算公式 和特点；分布的偏度与峰度。
第一小节 变异指标的基本理论 第二小节 全距、分位差和平均差
第三小节 标准差和标准差系数
第五节离散趋势
85
2
95
3
105
10
115
3
—
18
800 2 500 17 200 4 400 24 900
解：R X max X min 110 10 90 10 120 80 40﹪
第四节 变异指标
第二小节 全距、分位差和平均差
一、全距
全距的特点 优点:计算方法简单、易懂；
则第一四分位为第三位和第四位的中位数，即：Q1=（20+30）/2=25； 同理，第三四分位为第九位和第十位的中位数，即：Q3=（80+90）/2=85。 四分位差Q=Q3-Q1=(85-25)=60
如果上面的数组表示12个学生的成绩，Q表示学生得分的分散情形，若Q值越 大，表示学生得分越参差不齐。 例1: 1,2,3,4,5, 6,7,8,9,10 10个数从中间切开,右边中央数8=Q3,左边中间数3=Q1 例2: 1,2,3,4,5,6 ,7,8,9,10,11 11个数从中间6切开,右边中间数9=Q3,左边中间数3=Q1 例3: 1,2,3,4,5,6, 7,8,9,10,11,12 12个数从中间(空白部份)切开,右边中间两数9,10平 均9.5=Q3,左边中间两数3,4平均3.5=Q1 例4: 1,2,3,4,5,6, 7 ,8,9,10,11,12,13 13个数从中间7切开,右边中间两数10,11平均 10.5=Q3,左边中间两数3,4平均3.5=Q1
A D i1
f
250 522.95 208 950 522.95 20
2000
277893.6 138.95元
2000
即该公司职工月工资的平均差为138.95元。
第二小节 全距、分位差和平均差 三、平均差
平均差的特点
优点:不易受极端数值的影响，能综合反映全 部单位标志值的实际差异程度；
第三小节 标准差和标准差系数
标准差的简捷计算 目的: 避免离差平方和计算过程的出现
变量值平方 的平均数

X2 X 2
变量值平均 数的平方
简单标准差 加权标准差

X
N
2

X
N
2


X2f f


Xf f
2

大象 500 kg 可比 免子 0.5kg

m
2
X i X fi
i 1
m
fi
i 1
第i 组的变量
值或组中值
第i 组变量值 总体算术
出现的次数
平均数
第三小节 标准差和标准差系数
【例B】计算下表中某公司职工月工资的标准差。
月工资（元）
300以下 300～400 400～500 500～600 600～700 700～800 800～900 900以上
缺点: ①仅取决于两个极端值的水平，不能反映其 间的变量分布情况； ②受个别极端值的影响过于显著，不符合稳 健性和耐抗性的要求。
第二小节 全距、分位差和平均差
二、分位差 从变量数列中，剔除了一部分极端值后
计算的类似于极差的指标。
四分位差
八分位差
十分位差
十六分位差 三十二分位差
百分位差
Q.D Q3 Q1
2000
250 522.952 208 950 522.952 20
2000
56386595.01 167.9元
2000 即该公司职工月工资的标准差为167.9元。
第三小节 标准差和标准差系数
标准差的特点
不易受极端数值的影响，能综合反映全部单 位标志值的实际差异程度； 用平方的方法消除各标志值与算术平均数离 差的正负值问题，可方便地用于数学处理和统 计分析运算.
x大象 3500 kg
x免子 2.5kg
变异系数指标
身高
x身高
可 比
体重
x体重
身高的差异水平：cm
用变异系数可以相互比较
体重的差异水平：kg
第三小节 标准差和标准差系数
标准差系数
V


X
100﹪
应用:
用来对比不同水平的同类现象，特别是不同 类现象总体平均数代表性的大小
——标准差系数小的总体，其平均数的代表 性大；反之，亦然。
A D i1

N
5
468 93.6元
5 即该售货小组5个人销售额的平均差为93.6元。
第二小节 全距、分位差和平均差
三、平均差
⑵ 加权平均差——适用于分组资料
m
A D
X1 X
f1 X m X f1 fm
fm

i 1
Xi X
m
14.8 100﹪ 19.47﹪ 76
因为 V 1 V 2，所以一班平均成绩的代表性比二班大。
1．极差 （R）
概念
计算
特点
优点：容易理解，
数列中最大值 R=最大值-最小值 计算方便
与最小值之差
缺点：不能反映全
部数据分布状况
各标志值与 2．平均差 均值离差绝 （A.D） 对值的算术
平均
简单：A D Xi X
第一小节 变异指标的基本理论
一、离散趋势的涵义 指总体中各单位标志值背离
离散趋势 分布中心的规模或程度，用 标志变异指标来反映。
反映统计数据差异程度的综
合指标，也称为标志变动度
变异指标值越大，平均指标的代表性越小； 反之，平均指标的代表性越大
第一小节 变异指标的基本理论
二、变异指标的作用
衡量和比较平均数代表性的大小； 是进行质量控制的基础； 是衡量风险程度的尺度。
缺点:用绝对值的形式消除各标志值与算术平 均数离差的正负值问题，不便于作数学处理和 参与统计分析运算。
第四节 变异指标
第二小节 全距、分位差和平均差 三、平均差
平均差系数
VAD

AD X
100﹪
第三小节 标准差和标准差系数
标准差 是各个数据与其算术平均数的离差平方的
算术平均数的开平方根，用 来表示；标准
合计
组中值（元）
250 350 450 550 650 750 850 950
—
职工人数（人）
208 314 382 456 305 237 78 20
2 000
第三小节 标准差和标准差系数
解：X 250 208 950 20 1045900 522.95元
2000
解：
X

440
480 520 600 750

2790

558元
5
5
N
2

Xi X
i 1
440 5582 750 5582
N
5
60080 109.62元
5
第三小节 标准差和标准差系数
标准差
⑵ 加权标准差——适用于分组资料