一维圣维南方程的反问题研究与计算方法
我国河流水流泥沙数值模拟技术进展与应用
我国河流水流泥沙数值模拟技术进展与应用张明进;张华庆;白玉川【摘要】文章对我国水运工程领域河流水流泥沙数值模拟技术的发展过程和技术创新成果进行了系统的总结.对一维、二维和三维水沙模型在模拟系统和计算方法等方面近年来的技术进展给予了归纳,并对几个模拟系统的一些具体工程应用进行了简要介绍.目前,一、二维水沙数学模型已相对比较成熟,三维模型也能应用来解决一些具体问题.河流水沙数值模拟技术今后的发展主要在于基础理论的创新,观测技术的提高,观测资料的系统化与公开化,以及数值模拟成套技术的标准化,实现数学模型的开放性检验与应用等.%The development and applications of simulating technology for river flow and sediment in water transport engineering domain of China have been summarized systematically.In this paper,the progress of calculation methods and simulation systems in recent years were analyzed,and examples of its application for 1-D,2-D and 3-D mathematical models were given.At present, 1-D and 2-D mathematical models have already reached a relatively riper stages,3-D mathematical model can also solve some engineering problems.The future development of simulating technology for river flow and sediment include the following areas.The first is the innovation of theories on flow and sediment transport.The second is the improvement on observation technology and observation data systematic and opened to public.The third is the whole set of numerical simulating technologies and make the models opened to public,verified and used by public.【期刊名称】《水道港口》【年(卷),期】2011(032)005【总页数】7页(P329-335)【关键词】河流;水流泥沙;数学模型;模拟技术【作者】张明进;张华庆;白玉川【作者单位】天津大学建筑工程学院,天津300072;交通运输部天津水运工程科学研究所工程泥沙交通行业重点实验室,天津300456;交通运输部天津水运工程科学研究所工程泥沙交通行业重点实验室,天津300456;天津大学建筑工程学院,天津300072【正文语种】中文【中图分类】TV142;O242.1河流水流泥沙数值模拟始于20世纪60年代，20世纪70年代以后逐步成熟。
圣维南方程组推导(Harry)
思路：
推导过程：
图2河流单元示意图
如图所示：
式中：
—水元素总重量沿河分量（ ）
其中：
式中：
—单位面积上的阻力（ ），可按Chazy公式计算
—湿周（ ）
综上：
ห้องสมุดไป่ตู้又：
式中：
—容重（ ），
—水深（ ）
—水力半径（ ）
原式整理得：
对于 右边，有：
因为 ，故令：
则原式：
综上，左边等于右边：
由数学知识易得 ，则简单移项有：
注意到： 为河深，高程 ， 为渠底高程，则：
式中：
一般地， ，故原式为：
（证毕）
P.S.利用能量方程推第二个方程，我还不太会；另外还有一些不懂的地方，希望多多指教！
、 —流量单元断面面积、宽（ 、 ）
— 内流过的路程（ ）
— 内的旁侧入流量（ ）
—水密度（ ）
、 —降水、蒸发量（ ）
左右两边同时除以 、 ，则有：
又令 ， ，则有：
通常地，忽略P、E，则得到证明方程：
（证毕）
2、动力方程：
方程为：一阶非线性双曲型偏微分方程，称之为动力方程、动量方程或能量方程，可见推导方法多样。
一维圣维南方程组简易推导
圣维南（SaintVenant）方程组：
圣维南方程组由水量平衡连续方程和动力方程构成，现推导如下：
1、水量平衡连续方程：
思路：质量守恒
推导过程：
图1流量平衡控制单元
6 圣维南原理解析
y方向力等效：
yx
h
h
( y )
y 0
dx P sin
对O点的力矩等效：
h ( y ) xdx P sin h y 0 2
h
x方向力等效：
h
h
( yx )
y 0
dx P cos
注意：
y , xy
必须按正向假设！
N
p Xx l x m yx n zx
p Y y l xy m y n zy
Z Y
X
Z
Y Xl x s m yx Nhomakorabeas n zx s X l xy s m y s n zy s Y l xz s m yz s n z s Z
影响区 域约为作用 面尺寸的2-3 倍。
材料力学的性能试验，试验数据与 装夹头具体类型无关。
实验证明，夹持钢筋只会使夹持部 位有较大应力，无论作用力多大，在距 离力的作用区域比较远处，几乎没有应 力产生。
有限元分析也证明了这一点。
圣维南原理(Saint-Venant Principle) 物体表面某一小面积上作用的外力 力系，如果被一个静力等效力系所替带， 那么物体内部只能导致局部应力的改变。 而在距离外力的作用点较远处，这种影 响便急剧减小，其影响可以忽略不计。
x x h 0 0 xy x h
右侧面：
l 1, m 0
X y ,Y 0
代入应力边界条件公式，有
x x h y 0 xy x h
上端面：
次要边界，可由
圣维南原理求解。
y
注意事项
弹性力学论文：关于圣维南原理的数值计算
关于圣维南原理的数值计算——基于艾里应力函数的平面应力问题的差分解法摘要本文通过应力函数的方法，结合数值方法，求解受端部集中力作用下的平板拉伸问题，评估基于圣维南原理的解与数值解相比带来的误差及其分布，并将此与J.N. Goodier的理论分析对比。
关键词弹性力学，圣维南原理，平面应力问题，有限差分法0引言圣维南原理（局部性原理）是弹性力学的一般原理之一，常用于在边界力系无法精确描述时的等效替代，其一种表述[1]为：“若把作用在物体局部边界上的面力，用另一组与它静力等效（即有相同的主矢量和主矩）的力系来替代，则在力系作用区域的附近应力分布将有明显的改变，但在远处所受的影响可以不计”。
作为一条经验定理[5]，这一原理的提出为材料力学和弹性力学问题的求解提供了大量的便利，但是对于这一原理的精确度，直到1937年，J.N. Goodier才从理论的角度给出评估，他指出圣维南原理的影响范围和外力作用的区域大致相近。
本文将以平面应力问题为例，借助数值计算的方法对比圣维南原理简化前与简化后的计算结果，验证Goodier对于圣维南原理影响范围的理论值，并给出在不同精度要求下的影响范围的精确结果。
1问题的描述考虑长方形平板的拉伸问题。
如下图所示，长度为a，宽度为b，在两边中点施加大小为F的集中点力。
2方程的建立2.1解法的选择应力解法和位移解法是弹性力学中的两种基本方法。
在平面问题中，应力解法可以通过应力函数的引入，将问题归结为关于应力函数的双调和方程的边值问题，与位移解法的偏微分方程组相比，更加适用于解析求解。
但是对于多连体问题，位移解法涉及到衔接条件的引入，会使问题更加复杂[3]。
但是本题只涉及到简单的单连通体，所以选择应力函数的求解方式。
若将应力函数记为，那么双调和方程可以写成。
2.2有限差分法在双调和方程中，应力函数是一个平面标量场，通过将的平板划分成的网格，连续函数离散为一个矩阵，矩阵中的元素记为。
利用中心差分公式化简偏导数项，结果如下。
一维圣维南方程差分数值算法中稀疏矩阵求解方法比较及优选研究
0 引 言
【研究意义】为缓解水资源短缺，我国建立了许 多大型调水工程，由于其调水距离长、输送水量大、 沿线过水建筑物众多，控制和调度过程十分复杂，渠 道在运行调度过程中不可避免地会出现非恒定流，而 圣维南方程组是用来描述和求解非恒定流的重要途 径。自圣维南方程组提出以来，通过长期的研究和实 践已趋于完善[1]。随着大型调水工程的建设以及运行 调度和控制过程的复杂化，如南水北调工程[2]、东深 供水工程[3]、引黄济青工程[4]等，明渠一维非恒定流 的求解过程要求更高，原有圣维南方程组的求解方法 已经满足不了计算量和计算速度的要求。提高圣维南 方程组的计算速度，有利于推进渠道运行调控的发展 和推广圣维南方程组在其他工程领域的应用。【研究
用并行计算技术进行圣维南方程组的算法研究以提 1.2 有限差分法
高计算速度显得愈发重要。【切入点】圣维南方程组
有限差分法是求解圣维南方程组常用的数值计
的求解速度和求解算法仍需改进，提升求解速度。【拟 算方法之一。有限差分法又可分为显式差分法和隐式
解决的关键问题】本文为寻找高效、稳定的大型稀疏 差分法，隐式差分法的基本思想是直接求解由内断面
线性方程组的求解算法以提高圣维南方程组求解速 方程和边界方程联立组成的方程组。在所有隐式差分
2021 年 3 月 Mar. 2021
灌溉排水学报 Journal of Irrigatio号：1672 - 3317（2021）03 - 0116 - 09
第 40 卷 第 3 期 No.3 Vol.40
一维圣维南方程差分数值算法中稀疏矩阵
求解方法比较及优选研究
. All202R1,i4g0(h3)t: 1s16-R12e4s. erved.
WANG Haohua, GUAN Guanghua, XIAO Changcheng. Comparison and Optimization of Sparse Matrix Solution Methods in One-dimensional Saint-venant Equation Difference Numerical Algorithm[J]. Journal of Irrigation and Drainage, 2021, 40(3): 116-124.
一维圣维南方程组在非恒定流计算中的应用
一维圣维南方程组在非恒定流计算中的应用
伍宁
【期刊名称】《人民长江》
【年(卷),期】2001(032)011
【摘要】天然情况下,河道水流在某河段内可能是恒定流,亦可能是非恒定流.一般地,山区性河流多视为恒定流,但在河道干支流的汇合口、河道与湖泊的交汇处、以及潮汐河段等处的水流常常为非恒定流.对于非恒定流,用常规的水文学方法难以分析计算出河道水流的各个水文特征值,圣维南方程组则是解决此类问题的途径之一.运用圣维南方程组建立一维数学模型,应用芙蓉江江口水文站、长江徐六泾水文站
实测水文资料进行分析验算,对解决非恒定流方面的一些实际的水文问题进行初步
分析和探讨.
【总页数】3页(P16-18)
【作者】伍宁
【作者单位】长江水利委员会水文局,
【正文语种】中文
【中图分类】TV133.2
【相关文献】
1.明渠非恒定流问题的数值计算方法——以圣·维南方程组的数值计算方法为例 [J], 王泗远;郭泽庆;王高亚
2.一维河网非恒定流计算程序的初步研究 [J], 韦直林;崔占峰
3.矩形明渠非恒定渐变流水深的计算——圣维南(Saint-Venant)方程组的解析解[J], 马震
4.一维非恒定流在城市水系规划水利计算中的应用 [J], 代斌
5.基于一维圣维南方程输水河道非恒定流模拟与沿线口门水位变化规律研究 [J], 陆莘阳;周杨;陆红芳;陈运杰
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圣维南微分方程组
圣维南微分方程组
（原创实用版）
目录
1.圣维南微分方程组的定义与背景
2.圣维南微分方程组的求解方法
3.圣维南微分方程组的应用领域
正文
【1.圣维南微分方程组的定义与背景】
圣维南微分方程组（St.Venant"s differential equation）是一类描述流体力学中管道内流体运动的偏微分方程。
它由法国工程师圣维南于19 世纪提出，主要用于研究流体在管道内的流动状态，例如压力、速度和流量等。
圣维南微分方程组的提出，对于工程流体力学的发展具有重要意义。
【2.圣维南微分方程组的求解方法】
圣维南微分方程组通常包括三个方程：质量守恒方程、动量守恒方程和能量守恒方程。
求解圣维南微分方程组，一般采用有限差分法、有限元法、特征线法等数值方法。
有限差分法是一种常用的求解方法，它将连续的空间和时间离散化，通过离散节点上的差分代替微分，将偏微分方程转化为代数方程组，从而实现求解。
有限元法则是将求解区域划分为多个单元，通过引入基函数，将未知函数表示为基函数的线性组合，进而求解。
特征线法则是利用特征值和特征向量将微分方程转化为常微分方程，从而简化求解过程。
【3.圣维南微分方程组的应用领域】
圣维南微分方程组在工程流体力学领域具有广泛的应用，例如管道输送、河流治理、水力发电等。
通过求解圣维南微分方程组，可以得到流体
在管道内的压力、速度和流量等物理量，从而为工程设计提供依据。
此外，圣维南微分方程组在石油、化工、水利等领域也具有重要应用价值。
总之，圣维南微分方程组作为描述管道内流体运动的基本方程，对于工程流体力学的发展具有重要意义。
圣维南原理的理解和在工程问题中的应用
一、题目圣维南原理的理解及其在工程问题中的应用二、涉及到的弹性力学相关概念介绍1855年,圣维南在梁理论研究中提出：若在物体一小部分区域上作用一平衡力系,则此力系对物体内距该力系作用区域较远的部分不产生影响,只在该力系作用的区域附近才引起应力和变形。
这就是著名的圣维南原理。
圣维南原理的一种较为实用的提法是：若作用在物体局部表面上的外力,用一个静力等效的力系〔具有相同的主矢和主距代替,则离此区域较远的部分所受影响可以忽略不计[1]。
三、正文部分1圣维南原理的理解1.1 圣维南原理的提出背景求解弹性力学问题就是在给定边界条件下求解偏微分方程。
边界条件不同,问题的解答也不一样。
但是要求出严格满足边界条件的精确解,有时是非常困难的,另外,对于一些实际问题,不能确切的给出面力的分布,只是知道它在某边界上的合理与合力偶的大小。
于是我们会提出一个问题,能不能用一个可解的等效力系来代替它；满足合力、合力偶条件的解是否可以替换它。
这个问题可由圣维南发原理来回答。
1.2 凭借生活经验的理解对于圣维南原理的第一种提法：若在物体一小部分区域上作用一平衡力系,则此力系对物体内距该力系作用区域较远的部分不产生影响,只在该力系作用的区域附近才引起应力和变形,可以用一个实例先简单理解。
例如用钳子剪钢丝即使外力大道把钢丝剪断的程度,根据生活经验,钢丝的应力和变形仅局限于潜口附近。
经验表明,这一平衡力系越小,对钢丝其它部分的影响越小[3]。
对于圣维南原理的另一种提法是：若作用在物体局部表面上的外力,用一个静力等效的力系〔具有相同的主矢和主距代替,则离此区域较远的部分所受影响可以忽略不计。
可以这样理解:悬臂梁在端部不沿受集中力作用,基础上增加一对自相平衡的力系。
再减少一对相平衡的力系,根据圣维南原理,仅在小区域那有明显差异,而在该区域之外应力几乎是相同的[1]。
1.3简单应用的理解书上的例子是这样的：如图1.1所示,设有柱形构件,在两端截面的形心受到大小相等而方向相反的拉力F,如图1.1〔a,如果把一端或两端的拉力变化为静力等效的力,图1.1〔b或图1.1〔c,则只有虚线划出的部分的应力分布有显著的改变,而其余部分所受的影响是可以不计的。
关于一维弹性波动方程的反问题
关于一维弹性波动方程的反问题
《关于一维弹性波动方程的反问题》是一个重要的物理问题，它涉及到物体的运动和波动的物理过程。
一维弹性波动方程是一种重要的物理模型，它用于描述物体在某一时刻的运动状态，并可以用来研究物体在不同时刻的运动变化。
它可以用来模拟物体的变形、弹性和波动等物理过程，为研究物体运动提供了一种重要的理论框架。
关于一维弹性波动方程的反问题，是指在给定一定的物理条件下，求解一维弹性波动方程的解。
这种反问题的求解一般需要利用数值计算方法，比如有限元法、有限差分法等，来解决这种反问题。
此外，也可以利用特殊的解析方法，如拉普拉斯变换，来求解一维弹性波动方程的反问题。
一维弹性波动方程的反问题是一个重要的物理问题，它涉及到物体的运动和波动的物理过程。
可以利用数值计算方法和特殊的解析方法，来求解一维弹性波动方程的反问题，为物体运动的研究提供理论支持。
圣维南方程组的解析解和数值解
圣维南方程组的解析解和数值解一、圣维南方程组的基本介绍圣维南方程组啊，那可真是个很有趣又有点小复杂的东西呢。
它在水力学、流体力学等好多领域都超级重要哦。
这个方程组主要就是用来描述像河流里水流的运动情况啦。
想象一下，一条大河里的水，有时候流得慢悠悠的，有时候又湍急得很，圣维南方程组就像是一个超级厉害的侦探，能把这些水流的秘密都给揭露出来。
二、解析解1. 解析解是啥呢？简单说呀，就是能够用精确的数学公式来表示圣维南方程组的解。
就像是有一把万能钥匙，直接就能打开这个方程组的大门。
不过呢，想要找到这个解析解可不容易哦。
因为这个方程组本身就很复杂，里面涉及到好多变量，像水流的速度、水深之类的。
只有在一些特殊的、比较理想化的情况下，我们才能找到它的解析解。
比如说在一些假设水流是均匀的、河床是平整的情况下，通过运用很多复杂的数学知识，像微积分之类的，才能得到这个解析解。
这就像是在一个复杂的迷宫里找到了一条特别的通道，虽然很难，但一旦找到了就超级厉害。
2. 那解析解有啥用呢？它的用处可大啦。
比如说在一些理论研究中，解析解能够让我们更深入地理解圣维南方程组的本质。
它就像是一个灯塔，给我们在研究这个方程组的黑暗海洋里照亮了方向。
而且在一些简单的工程估算中，如果能得到解析解，那就可以快速地算出一些基本的水流参数，节省好多时间呢。
三、数值解1. 数值解和解析解可不一样哦。
当我们找不到解析解的时候，就像在迷宫里找不到那条特别的通道，数值解就登场啦。
数值解就是通过计算机或者一些数值计算方法，近似地去求解圣维南方程组。
这就好比我们不能直接算出精确的答案，但是可以通过不断地尝试、接近，得到一个比较接近正确答案的结果。
比如说，我们可以把河流分成很多小的部分，然后在每个小部分上运用圣维南方程组的一些简化形式，再通过计算机强大的计算能力，把这些小部分的结果整合起来，得到整个河流的水流情况。
2. 数值解的优点也是大大的。
它可以处理非常复杂的实际情况，不像解析解那样需要很多理想化的假设。
一维双曲型积分微分方程的一个反问题
v (x , 0) = u1 (x ) , x ∈ R,
(2. 2)
v t (x , 0) = u″0 (x ) + f (x , 0) , x ∈ R,
(2. 3)
(v + k 3 v ) x (0, t) = h ′( t) - k ( t) u ′0 (0) , t ∈ [ 0, T 0 ],
的两条特征线围成的三角区域.
引 理 对 t0 > 0, w 0 (x ) ∈C 2 ( [ x 0 - t0, x 0 + t0 ]) , w 1 (x ) ∈C 1 ( [ x 0 - t0, x 0 + t0 ]) , k ( t) ∈
C ( [ 0, t0 ]) , F (x , t) , F t (x , t) ∈C (∃ (x 0, t0) ) , 则下述问题
(2. 4)
即{v (x , t) , k ( t) }为反问题 (211)～ (214) 的解. 反之, 设{v (x , t) , k ( t) }∈C 2 (Q T 0 ) ×C ( [ 0, T 0 ]) 为反问题 (211)～ (214) 的解, 令
∫t
u (x , t) = v (x , t) dt + u0 (x ) , 0
k
(2n) !
n
t20n
, 易见当 n
充 分 大 时 有 Θ( t0, n ) <
1, 即此时 K n
为一个从 C (∃ (x 0,
t0 ) ) 到
C (∃ (x 0, t0) ) 上的压缩映照, 从而由压缩映照原理, 方程 (217) 在 C (∃ (x 0, t0) ) 上存在唯一解.
κ ∫ ∫ κ ∫ 由于
圣维南方程组求解
>>水动力学圣维南方程组的求解发布时间：2012年06月23日分类：水动力学自从Stoker（1953）首次尝试将完整的Saint-Venant方程组用于Ohio河流的洪水计算以来，出现了大量的针对完整的Saint-Venant方程组的数学模型（动力波模型）。
求解圣维南方程组的数值方法很多，按离散的基本原理可分为特征线法、有限差分法、有限元法、有限体积法和有限分析法等。
有限差分法显式方法的先驱是Stoker（1953），其后有Liggett和Woolhiser（1967），Martin和DeFazio(l969)及Strelkoff（1970）等人，Dronkers（1969），Balloffet（1969）及Johnson （1974）将显式方法用于分析河口的潮汐运动，Garrison等(1969)，Johnson(1974)将显式方法用于模拟河道及水库的洪水，Liggett和Cunge(l975)给出了数种显式差分格式的表达式及分析结果。
对于每一计算时刻，关于计算断面的未知量，显式方法可直接从代数方程组中得出结果。
隐式方法的提出是出于显式方法由于计算的稳定性要求而存在时间步长限制的考虑。
隐式方法首先是由Isaacson等(1953)建议的，其后在六、七十年代很多学者在隐式方法进行了大量的研究工作。
隐式方法则要求解代数方程组。
代数方程组又分为线性和非线性两种，前者既可用直接法又可用迭代法求解，而后者要用迭代法求解。
在迭代法中，Newton-Raphson方法以其收敛速度快的特点而较为普遍地用于求解非线性代数方程组中，该方法首先由Amein和Fang(1970)应用于Saint-Venant方程组的数值解中，其后，国内外都有将这一方法用于河网水力数值模拟中。
直接法是用差商代替导数，将微分方程化为代数方程组，再求出区域网点上的解；而特征线法是首先将质量和动量方程进行等价变换，化为由四个常徽分方程构成的方程组，再用有限差分近似来求解。
一维圣维南方程组
一维圣维南方程组，也称为一维非线性波动方程组，是由圣维南引入的非线性偏微分方程组。
其最一般的形式为：∂u/∂t + f(u) ∂u/∂x = 0
其中，u(x,t) 是未知函数，f(u) 是一定的实数函数。
这个方程可以用来描述各种波动现象，如扰动在弹性媒介中的传播、电磁波的行为等。
它是一种描述非线性波动现象的基础模型，我们可以利用它来分析一些基础的波动现象，特别是在空间非线性效应和波动阻尼、耗散现象的情况下。
然而，这个方程是一个十分复杂的方程，解析性的解难以求取。
因此，人们通常会利用数值计算的手段来研究它的演化行为，并且在数值方法上不断地进行改进，以求得更为准确的结果。
总之，一维圣维南方程组是描述非线性波动现象的一种基础模型，它的研究对于物理学和数学的发展都有着重要的影响，同时也对于许多工程技术的研究具有重要的指导意义。
什么是圣维南原理及如何证明
什么是圣维南原理及如何证明弹塑性力学作业孙嘉粲建筑与土木工程2017级3班学号2170970036Q1：什么是圣维南原理？Q2：为什么需要圣维南原理？Q3：如何证明圣维南原理是正确的？Q1：什么是圣维南原理？答：圣维南原理（Saint Venant’s Principle）是弹性力学的基础性原理，是法国力学家圣维南于1855年提出的。
其内容是：分布于弹性体上一小块面积（或体积）内的荷载所引起的物体中的应力，在离荷载作用区稍远的地方，基本上只同荷载的合力和合力矩有关；荷载的具体分布只影响荷载作用区附近的应力分布。
还有一种等价的提法：如果作用在弹性体某一小块面积（或体积）上的荷载的合力和合力矩都等于零，则在远离荷载作用区的地方，应力就小得几乎等于零。
不少学者研究过圣维南原理的正确性，结果发现，它在大部分实际问题中成立。
因此，圣维南原理中“原理”二字，只是一种习惯提法。
有限元软件的模拟验证了这一点，如图1所示。
==图1 有限元计算得到的柱体在不同应力边界下得到的应力分布图Q2：为什么需要圣维南原理？问题的提出：弹性力学问题的求解是在给定的边界条件下求解基本方程。
使应力分量、应变分量、位移分量完全满足8个基本方程相对容易。
但对于工程实际问题，构件表面面力或者位移是很难满足边界条件要求。
这使得弹性力学解的应用将受到极大的限制。
为了扩大弹性力学解的适用范围，放宽这种限制，圣维南提出了局部影响原理。
圣维南原理的应用：对复杂的力边界，用静力等效的分布面力代替。
有些位移边界不易满足时，也可用静力等效的分布面力代替。
不论在弹性力学中还是在有限元中都广泛灵活的应用圣维南原理来处理和简化边界条件。
值得注意的是：圣维南原理只能适用于一小部分边界（小边界：尺寸相对很小的边界；次要边界：面力分布复杂的小边界）。
对于主要边界，圣维南原理不再适用。
例如对于较长的粱，其端部可以应用圣维南原理，而在粱的侧面，则不能应用。
Q3：如何证明圣维南原理是正确的？见附录1《圣维南原理证明》附录1《圣维南原理证明》1.Boussinesq 的陈述1855年Boussinesq 将圣维南的思想一般化，并冠“Saint-Venant’s Principle ”的名称，其内容为：施于弹性体上的任意平衡力系，如果其作用点限于某个给定的球内，那么该平衡力系在任意一个与球的距离远大于球半径的点上所产生的形变是可以忽略的。
圣维南微分方程组
圣维南微分方程组一、圣维南微分方程组的简介圣维南微分方程组（St Venant"s Equations）是一组描述流体力学中流体运动的基本方程，由法国工程师克劳德·路易·马里·圣维南（Claude-Louis马里·St Venant）于19世纪提出。
该方程组包括质量守恒方程和动量守恒方程，是研究流体运动的基础。
二、圣维南微分方程组的应用领域圣维南微分方程组广泛应用于流体力学、水利工程、海洋工程、航空航天等领域。
例如，在水利工程中，利用圣维南微分方程组可以研究河流、渠道、水库等水工建筑物的水流特性；在海洋工程中，可以分析波浪、潮汐等海洋环境对建筑物的影响。
三、圣维南微分方程组的求解方法求解圣维南微分方程组的方法有很多，如分离变量法、特征值法、有限元法等。
分离变量法是一种常用的求解方法，通过将方程组分解为多个单一变量的微分方程，再分别求解这些微分方程，最后将解组合得到原方程组的解。
特征值法则是利用圣维南微分方程组的特征值和特征向量，将原方程组转化为易于求解的形式。
有限元法是一种数值方法，将求解区域划分为若干个小区域，在每个小区域内建立近似方程，然后通过求解这些近似方程得到原方程组的解。
四、圣维南微分方程组在实际问题中的案例分析以水利工程为例，假设我们要研究某河流上的一个水电站，河水流经水电站的压力钢管时，需要分析水流速度、压力分布等水力特性。
我们可以利用圣维南微分方程组建立模型，通过求解方程组得到水流速度和压力分布的关系，进而分析水电站的各项性能指标。
五、总结与展望圣维南微分方程组作为流体运动的基本方程，在工程领域具有广泛的应用。
随着科学技术的发展，求解圣维南微分方程组的方法不断创新，如有限元法、有限体积法等，为实际问题的解决提供了更为有效的手段。
圣维南原理及其证明
圣维南原理及其证明：历史与评述赵建中云南大学资源、环境与地球科学学院地球物理系，昆明650091 摘要圣维南原理（Saint-Venant’s Principle）是弹性力学的基础性原理，圣维南原理的证明一直是弹性力学重要的研究课题。
本文以圣维南原理研究中最重要的事件为线索，对圣维南原理的发展历史作了综述，对重要的研究工作和结果进行了评论；发表和论证了图平定理不是圣维南原理的数学表达、一般的圣维南原理不成立、修正的圣维南原理可以证明为真等观点；介绍了建立修正的圣维南原理的数学方法；阐述了研究圣维南原理证明问题的意义；目的在于引起对这些有关圣维南原理的基本问题的关注和讨论，促进圣维南原理研究的繁荣和发展。
关键词圣维南原理，历史，图平定理，证明，否证，数学表达，修正，意义中图分类号：0343.2AMS Subject Classifications: 74G50引言弹性力学的圣维南原理已经有一百多年的历史了[1,2]。
早期有关原理有重要的文章[39] 。
波西涅克（Boussinesq）[3]于1885年、勒夫（Love）[4]于1927 年分别发表了圣维南原理的一般性陈述。
然而Mises[5]认为勒夫陈述不清楚并提出修改的陈述，其后的论证既可以看作是对一般的Mises 陈述的否证，又可以看作是对具有特殊条件的Mises 陈述的证明。
Sternberg [6]赞同Mises的修改，他的论证也可以既看作是对Mises 陈述（Sternberg称为圣维南原理的传统陈述）的一般性的否证，又看作是对附加了条件的Mises 陈述的证明。
Truesdell[10]于1959年断言，如果关于等效载荷的圣维南原理为真，它“必须是”线性弹性力学“一般方程的数学推论”。
这就从理性力学的角度提出了圣维南原理的证明问题，圣维南原理被视为一个数学命题，其真理性需要证明。
毫无疑问，圣维南原理的数学证明成了一个学术热点。
为了揭示原理隐秘的内涵，或者说破解原理之谜，学者们花费了巨大的努力。
一维圣维南方程
一维圣维南方程一维圣维南方程又称一维非线性双曲方程，是一种描述物理，化学和生物学现象的重要方程式，常常出现在微分方程中。
它是20世纪30年代由拉丁美洲物理学家何塞·圣·维·南提出的。
圣·维·南方程在有关非线性反应特性方面也有着广泛的应用，因此受到越来越多学者的关注。
一维圣维南方程是一种常微分方程，可以用以下方程表达：u（t）=u''t^2+u'u^3，其中t为时间，u（t）为某一维度的变量，u''和u'分别表示某一维度变量的二阶导数和一阶导数。
为了增强圣·维·南方程的便捷性，通常把它的形式改写为：u'' +u+u^3=0。
从形式上来看，本方程可以把时间留出来，以方便在应用中使用。
既然一维圣·维·南方程是一种常微分方程，它就可以用拉普拉斯方法求解。
根据拉普拉斯方法，解一维圣·维·南方程，首先，定义一个表示一维物理量的函数U（t），它的时间变化应当满足上述方程。
然后，引入一个新的变量τ（t），它是时间的函数，其满足：τ（t）=u'（t）+c/2,因此，一维圣·维·南方程可以转换为：τ（t）+c/2u（t）+u^3（t）=一（t）。
其中，一（t）是一个已知函数。
最后，通过积分，可以求得一维圣·维·南方程的解u（t）。
一维圣·维·南方程在物理，化学和生物学上有着广泛的应用。
在物理领域，圣·维·南方程可以应用于波谱学，非线性声学以及力学等问题。
在化学领域，它可以应用于一般反应物理学，热力学和动力学等方面。
在生物学领域，一维圣·维·南方程能够用来描述一些生物的复杂的动态变化，比如糖尿病患者每天的血糖浓度变化，植物的光合作用以及药物的药效动力学等。
圣维南方程组
简介描述水道和其他具有自由表面的浅水体中渐变不恒定水流运动规律的偏微分方程组。
由反映质量守恒律的连续方程和反映动量守恒律的运动方程组成。
1871年由法国科学家A.J.C.B.de圣维南提出，故名。
一百多年来，虽然为了考虑更多的因素和实际应用方便对它的基本假定作了某些简化或改进，产生出多种不同的表达形式，但其实质没有变化。
主要进展表现在求解方法的改进和创新。
1877年法国工程师克莱茨提出了瞬态法。
1938年苏联С.А.赫里斯季安诺维奇提出另一类解法──特征线法。
但均因计算量较大，不得不进行各种简化处理,使实际应用受到限制。
自50年代以来,随着电子计算机的普及，研究和提出了一整套解法，并研究出若干个通用性较强的应用软件(即程序系统)，促进了圣维南方程组在水文和其他工程领域中的应用。
方程组的形式一维单宽水流情况下，圣维南方程组的典型形式为：式中t为时间；s 为距水道某固定断面沿流程的距离；h、v、Z0分别为相应于s处过水断面的水深、断面平均流速和水底高程;Hf为由于摩阻损失而引起的能量比降；g为重力加速度；t和s为自变量；h和v为因变量；Z0、Hf可由s、h和v确定。
(1)式为连续方程，反映了水道中的水量平衡，即蓄量的变化率(第一项)应等于沿程流量的变化率(第二项)。
(2)式为运动方程。
其中第一项反映某固定点的局地加速度，第二项反映由于流速的空间分布不均匀所引起的对流加速度。
以上两项称为惯性项。
第三项反映由于底坡引起的重力作用，称为重力项。
第四项反映了水深的影响，称为压力项。
第三、四项可合并为一项，即水面比降。
第五项为水流内部及边界的摩阻损失。
该式表达了重力与压力的联合作用使水流克服惯性力和摩阻引起的能量损失而获得加速度。
圣维南方程组还有许多其他形式。
例如：以断面流量代替流速，以面积代替水深作为因变量；也可考虑河道两侧的沿程入流、地转力和水面风力的影响；还可把垂线平均流速作为因变量，写出二维水体渐变不恒定明流的运动方程。
一维Werner反褶积方法在磁解释应用中的问题讨论的开题报告
一维Werner反褶积方法在磁解释应用中的问题讨论的开
题报告
题目：一维Werner反褶积方法在磁解释应用中的问题讨论
摘要：
磁解释是一种常用的地球物理勘探方法，通过测量地球表面的磁场来研究地下结构。
在磁解释中，由于地下岩石对磁场的响应是非线性的，我们需要使用数学方法对测量数据进行处理。
一维Werner反褶积是一种常用的数学方法，可以用于解决不同磁性层之间的磁场分离问题。
然而，在实际应用中，一维Werner反褶积方法存在一些问题，如何提高其应用效果是本文研究的重点。
本文将首先介绍磁解释的基本原理，然后讨论一维Werner反褶积方法的理论基础和数学原理，并介绍该方法在磁解释中的应用。
接着，我们将探讨一维Werner反褶积方法在实际应用中存在的问题，包括对复杂地质结构的处理不足、对噪声和异常数据的敏感性较高等。
最后，我们将提出一些解决这些问题的方法和建议，如综合运用多种方法、加强噪声处理和数据质量控制、结合地质知识进行磁解释等。
通过本文的研究和讨论，我们希望能够提高磁解释的应用效果，并为相关地球物理勘探工作提供参考和支持。
关键词：磁解释；一维Werner反褶积；噪声处理；数据质量控制。
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一维圣维南方程的反问题研究与计算方法董文军，杨则燊(1.天津大学理学院数学系)摘要：作者对一维圣维南方程中曼宁糙率的参数辩识问题进行了研究与计算。
使用最小二乘逼近的思想建立了相应最优模型的目标函数。
通过Fréchet微分的概念和构造协态方程来进一步确定目标函数的下降方向，再用牛顿-辛普森迭代法来求解上述的最优模型。
最后本文给出了一个计算实例。
关键词：曼宁糙率；参数辨识；拟牛顿算法；下降方向作者简介：董文军(1969-)，男，山东文登人，博士，副教授，从事河口海岸泥沙数学模型研究。
数学模型已经成为分析明渠河道中非恒定水流运动的一个强有力的工具，而将此模型应用到实际问题并想获得精确的结果，就必须确定控制微分方程中的参数，但是从实际观点来说这些参数往往不是可测量的。
其中曼宁糙率n在河道水流及其冲淤变化计算中占有重要作用，同时其影响因素又很多并且复杂。
因此探求n值的变化规律长期以来一直是水力学中的重要课题[１]，目前常用河道的实测的水文资料推求n值。
虽然国内已有许多学者在理论上和实验方面作了大量工作，得到了一些计算公式和方法[2～4]，但是这些计算方法还是属于半经验性的，往往与实际偏差较大，数学模型中的问题可以分为两类：正问题和反问题。
在正问题中有关模型的所有参数都是已知的，模型的目的就是根据给定的初、边值条件确定一个相应的结果。
反问题可归类于参数辩识的方法，它是一个数学过程，在这个过程中，根据计算域中测点观测值，通过对所建立的目标函数求最小的过程来确定控制微分方程中的参数，因此在参数辩识中往往含有数学规划和最优控制等技术。
关于河流水质模型辨识的研究，过去已展开了一些工作，有关辨识问题的数学理论和计方法也日趋完善[５]。
目前国外已有了很多成果。
Yih[６]等利用数值计算方法，给出了辨识顺河流方向扩散系数的例子。
Slater和Durrer[7]使用最小二乘和线性规划对水库模拟的调整记性进行了研究。
Yeh和Tauxe[８]使用拟线性的方法讨论了蓄水扩散性的参数辩识进行了计算。
Yoon和Yeh[９]利用有限元方法计算了不均匀介质的参数辩识。
Becker和Yeh[10]构造了一个关于明渠非恒定流参数辩识的“影响系数算法”。
本文利用最小二乘逼近思想建立了关于一维圣维南方程中曼宁糙率的辩识模型，利用Fréchet微分的概念和构造协态方程确定了目标泛函的下降方向，并使用拟牛顿法[11]制定了计算n值的计算算法。
并利用此算法给出了一个计算实例。
1 问题定义反映明渠非恒定流运动的控制方程是圣维南方程，写成矢量形式如下：(1)式中：矢量=(h(x,t),u(x,t))T ；h(x,t)为沿明渠的水深；u(x,t)为流速；x 为沿河流方向的位移；t 为时间；q(x,t)为源汇项；g 为重力加速度；J 0为底坡；J f 为能坡，其值可由经验公式得到：J f =n 2u 2R -4/3 (2) 式中：R 为水力半径；n 为曼宁糙率，为待定的参数。
可以证明，对于任何的n ，方程(1)都存在唯一的解y,我们用y=y(n)=y(x,t ；n)表示y 对n 的依赖关系。
本文的最终目标，就是要根据流场中的某些测点处各水力要素的观测值，建立相应目标泛函，用最优化方法来确定n 的分布规律，这一过程就是前面所说的反问题，为此假设在x=L 1，…，L m处有下列观测值：根据上述边界观测值，我们可以确定，使得式(1)在上述测点处的对应解y(Li,t ；n)尽量拟合z i (t),即：(3) 式中：为容许参数集，Ω=[0，L]×[0，T]，V=L 2 (0，T ），L 2(Ω)=表示空间V 中的范数，(w,z)V 表示V 中二元素w 与z 间的内积，且有为解决优化问题经常的病态性，代替它可以考虑目标泛函：(4)常数α＞0为给定系数。
通过求目标函数J(n)的最小值来确定n 值。
2 基本算法显然这是一个无约束最优化问题，可以用收敛速度快、易于计算的拟牛顿(Quasi Newton Method)算法[11]解决此问题。
具体步骤如下：(1)给定初始并确定J(n)的下降方向g0=-J(n)。
令B=1。
(2)由式(1)解得(x,t；n 0)，由式(4)根据测点x=L1,…，Lm处的计算值y(Li,t；n)和观测值zi(t)(i=1，2，…，m)计算J(n0)。
(3)若J(n)<λ1或｜g｜<λ2(λ1,λ2为某特定数)，则n→n*，结束；否则转(4)。
(4)置搜索方向dn =g/B，一维搜索求α使得J(n+adn)=min｛J(n0+α′dn)｜α′≥0｝。
(5)修正n为n1=n+adnUad，计算g1=-J(n1)。
由BFGS公式计算B１=g1-g/n1-n。
(6)n1→n,g1→g，转(2)。
在计算中若｜J(n1)-J(n)｜<λ1，且‖n1-n0‖<λ2，即两次迭代无显著变化；也可结束。
在上述算法中关键是要确定目标函数(4)的下降方向-J(n)。
3 下降方向的确定及增量η，可选择充分小的ε，使得，由内积运算并经如下计算有：(5)式中=(n)η为y关于n沿方向η的Fréchet微分，且由式(1)可导出它满足下式(6) 构造对应式(6)的协态方程：(7)为简便记y(x,t ；n)为y(n)。
在协态方程的两端点乘由式(4)确定，即的分量与协态方程的对应分量相乘后再相加，然后在Ω上积分，使用分部积分法，可得：在式(6)中取η=n-n *，再联合上式便可得到：注意V=L ２ [0，T]及Ω=[0，T]×[0，L]，所以上式表示：(8)最后，在此基础上，设是式(1)和(3)的最优参数，则且使得（1-ε）n *+εn=n *+ε(n-n *)，则有：J(n *)≤J((1-ε)n *+εn)=J(n *+ε(n-n *))1/ε[J(n *+ε(n-n *))-J(n *)]≥0。
再令ε→0，及Fréchet 微分的定义，得到：J′(n *)(n-n *)≥0 (9)结合两式(5)和(9)说明，若极值问题式(1)与(4)存在最优解，则一定有： (y(L,·；n*)-z(·),(L,·；n*))V +α(n-n*,n*)L2（Ω）≥0，nUad(10)在由式(8)有(11) 这样得到问题式(2)和(7)在n处的下降方向为：(12) 4 计算实例使用四点时空偏心隐式普列斯曼(Presimann)格式[12]对水流方程(1)进行离散，构造相应的差分方程，之后再由牛顿-辛普森迭代法迭代求解出水流方程的解，确保了水流方程解的正确性。
根据协态方程(7)的特征，可以使用“迎风”格式进行离散求解[13]。
限于篇幅，本文不再赘述。
取一长为50000m的梯形水槽，其中底边长300m，侧边与水平夹角为30°，定常坡降J=0.001，侧流q(x,t)=0,稳定状态时沿水槽各点处有h=5m，v=3.01m。
由于此时有Jf =J，所以可以推出n=0.03。
算法中第4步一维搜索确定α时，首先使用进退算法确定关于α的搜索区间，之后再使用0.618法确定α[11]。
考虑计算的简便性，取河段糙率为统一值，在上游边界处取h=5m，并利用下游边界处针对n=0.03的计算值作为观测值进行判定。
为验证算法，针对不同的曼宁初值，n=0.02和n=0.04进行的迭代计算，计算结果详见表1。
其中J=为下游边界处的“观测值”，T=KΔt为计算总时间。
在本例中取Δx=2000m，Δt=200s，=(5.0，3.01)Ｔ。
从上表中可以看出，对于给定的初值，根据本文的算法可以很快地收敛到曼宁真值n＝0.03。
表1 迭代计算结果初值迭代次数n ψ2–ΔJ J1 0.0200 0.2366 0.2321 2.26022 0.0308 -0.0055 -0.0035 0.0057n0=0.02 3 0.0297 0.0015 0.0015 9.2350e-0044 0.0302 -0.0013 -8.2776e-004 2.9053e-0045 0.0299 6.3235e-004 4.1485e-004 7.0012e-0051 0.0400 -0.0387 -0.0190 0.56752 0.0276 0.0233 0.0158 0.0682n0=0.04 3 0.0325 -0.0154 -0.0093 0.05234 0.0296 0.0030 0.0020 0.00165 0.0302 -0.0017 -0.0011 5.1688e-0045 结束语本文利用下游边界处水位和流速的“观测值”，由最小二乘判定标准构造了一个目标函数，通过确定此目标函数的最优值进一步辨识出一维圣维南方程中的重要参数-曼宁糙率的“真值”。
在求解上述最优模型的过程中，使用Fréchet 微分的概念建立了一个协态方程，并由此确定了目标泛函的下降方向，在此基础上使用收敛速度快的拟牛顿算法来确定出最优n值。
在具体计算中对水流方程(1)和协态方程(7)，分别使用普列斯曼格式和迎风格式迭代求解，确保了解的正确性。
通过实例，应用本文中算法，对两种不同的曼宁初值进行了计算，由结果可以看到，对于这两种初值，算法的收敛速度快，效果比较理想。
但是在计算中也发现，初值对算法的计算影响较大，当曼宁初值与真值较远时，例如n=0.01和=0.055，计算会出现发散现象，这是因为文中的目标函数在邻近曼宁真值的某n一范围内是存在最优解的，而在更大的范围内，由于目标函数不是“单峰”的，就不能保证其一定有最优解。
基于上述分析，在应用本算法时，要求根据实际情况，首先确定曼宁糙率的一个大致范围，而这个范围往往可以由经验估计得到。
在实例计算中，虽然只对河道总糙率进行了辩识，但是本文的算法同样可适用于河段糙率的辩识，以此来确定曼宁糙率的空间分布规律。
参考文献：[1] 钱宁，万兆惠.泥沙运动力学[M].北京：科学出版社，1988.[2] 李榕.关于影响曼宁糙率系数n值的水力因素探讨[J].水利学报，1989，(12)：62-66.[3] 程进豪，等.黄河山东段河床糙率分析[J].水利学报，1997(1)：39-43.[4] 蔡晓鸣，王连祥.关于一维河床糙率的计算程序[J].水利学报，1988(12)：53-58.[5] 喻文焕.关于河流水质污染模型之扩散系数的能辩识性[J].应用数学学报，1987，10(10)：24-32.[6] Yhi Siu-min, Daridson B.Identification in Nonlinear Distributed Parameter Water Quality Models [J].Water Resource Research.1975.11(5):693-704.[7] Slater G E, Durrer E J. Adjustment of Reservoir Simulation Models to Match Field Performance[J].Soc. Pet. Eng.J.,1971，251：295-305.[8] Yeh W W-G, Tauxe G W.Optimal Identification of Aquifer Diffusivity Using Quasilinearization [J].Water Resour.Res.1971.7(4):955-962.[9] Yoon Y S,Yeh W W-G.Parameter Identification in an Inhomogeneous Medium with the Finite-Element method, Soc.pet.Eng.J.,1976:217-226.[10] Becker L, Yeh W W-G. Identification of parameters in unsteady open channel flows [J].Water Resources Reserach,1972.8(4):956-965.[11] 邓乃杨，等.无约束最优化方法[M].北京：科学出版社，1982.[12] 杨国录.河流数学模型[M].北京：海洋出版社，1993.[13] 董文军，朱志夏.床面稳定性条件在永定新河河床演变中的应用[J].海洋通报，1998，17(1)：52-56.。