高考物理一轮复习 万有引力与航天教学案
2025版高考物理一轮复习第四章第4讲万有引力与航天教案新人教版
第4讲 万有引力与航天考点1 开普勒三定律的理解和应用1．行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理．2．开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动．3．开普勒第三定律a 3T2＝k 中，k 值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k 值不同．但该定律只能用在同一中心天体的两星体之间．1．如图所示，某行星沿椭圆轨道运行，远日点离太阳的距离为a ，近日点离太阳的距离为b ，过远日点时行星的速率为v a ，则过近日点时的速率为( C )A ．v b ＝b a v aB ．v b ＝a b v aC ．v b ＝a bv a D ．v b ＝b av a 解析：若行星从轨道的A 点经足够短的时间t 运动到A ′点，则与太阳的连线扫过的面积可看做扇形，其面积S A ＝a ·v a t2；若行星从轨道的B 点也经时间t 运动到B ′点，则与太阳的连线扫过的面积S B ＝b ·v b t2.依据开普勒其次定律得a ·v a t 2＝b ·v b t2，即v b ＝abv a ，选项C 正确．2．(2024·全国卷Ⅲ)为了探测引力波，“天琴安排”预料放射地球卫星P ，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q 的轨道半径约为地球半径的4倍．P 与Q 的周期之比约为( C )A ．2 1B ．4 1C ．8 1D ．16 1解析：解法1：本题考查万有引力定律、向心力公式、周期公式．卫星P 、Q 围绕地球做匀速圆周运动，万有引力供应向心力，即G Mm R 2＝m 4π2T2R ，则T ＝4π2R3GM ，T PT Q＝R 3PR 3Q ＝81，选项C 正确．解法2：卫星P 、Q 围绕地球做匀速圆周运动，满意开普勒第三定律，R 3P T 2P ＝R 3QT 2Q ，解得T P T Q＝R 3P R 3Q＝81，选项C 正确． 3．(多选)如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P 为近日点，Q 为远日点，M 、N 为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T 0，若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P 经过M 、Q 到N 的运动过程中( CD )A ．从P 到M 所用的时间等于T 04B ．从Q 到N 阶段，机械能渐渐变大C ．从P 到Q 阶段，速率渐渐变小D ．从M 到N 阶段，万有引力对它先做负功后做正功解析：由行星运动的对称性可知，从P 经M 到Q 点的时间为12T 0，依据开普勒其次定律可知，从P 到M 运动的速率大于从M 到Q 运动的速率，可知从P 到M 所用的时间小于14T 0，选项A 错误；海王星在运动过程中只受太阳的引力作用，故机械能守恒，选项B 错误；依据开普勒其次定律可知，从P 到Q 阶段，速率渐渐变小，选项C 正确；海王星受到的万有引力指向太阳，从M 到N 阶段，万有引力对它先做负功后做正功，选项D 正确．涉及椭圆轨道运动周期的问题，在中学物理中，常用开普勒第三定律求解.但该定律只能用在同一中心天体的两星体之间，如绕太阳运行的两行星之间或绕地球运行的两卫星之间，而对于一颗行星和一颗卫星比较时不能用开普勒第三定律，开普勒第三定律不仅适用于天体沿椭圆轨道运动，也适用于天体沿圆轨道运动.考点2 万有引力定律的理解与计算1．万有引力与重力的关系地球对物体的万有引力F 表现为两个效果：一是重力mg ，二是供应物体随地球自转的向心力F 向，如图所示．(1)在赤道处：G Mm R 2＝mg 1＋mω2R . (2)在两极处：G Mm R2＝mg 2.(3)在一般位置：万有引力G Mm R2等于重力mg 与向心力F 向的矢量和．越靠近南、北两极，g 值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即G Mm R2＝mg .2．星体表面及上空的重力加速度(以地球为例)(1)在地球表面旁边的重力加速度g (不考虑地球自转)：mg ＝G Mm R 2，得g ＝GM R2.(2)在地球上空距离地心r ＝R ＋h 处的重力加速度为g ′：mg ′＝G Mm(R ＋h )2，得g ′＝GM (R ＋h )2，所以g g ′＝(R ＋h )2R 2. 考向1 万有引力的计算如图所示，有一个质量为M ，半径为R ，密度匀称的大球体．从中挖去一个半径为R2的小球体，并在空腔中心放置一质量为m 的质点，则大球体的剩余部分对该质点的万有引力大小为(已知质量分布匀称的球壳对壳内物体的引力为零)( )A ．G Mm R2 B ．0 C ．4G Mm R2D ．G Mm2R2[审题指导] (1)万有引力定律只适用于求质点间的万有引力．(2)在质量分布匀称的实心球中挖去小球后其质量分布不再匀称，不行再随意视为质点处理．(3)可以采纳填补法计算万有引力大小．【解析】 若将挖去的小球体用原材料补回，可知剩余部分对m 的吸引力等于完整大球体对m 的吸引力与挖去小球体对m 的吸引力之差，挖去的小球体球心与m 重合，对m 的万有引力为零，则剩余部分对m 的万有引力等于完整大球体对m 的万有引力；以大球体球心为中心分别出半径为R 2的球，易知其质量为18M ，则剩余匀称球壳对m 的万有引力为零，故剩余部分对m 的万有引力等于分别出的球对其的万有引力，依据万有引力定律，F ＝G18Mm ⎝ ⎛⎭⎪⎫R 22＝GMm 2R2，故D 正确．【答案】 D考向2 万有引力与重力的关系假设地球可视为质量匀称分布的球体．已知地球表面重力加速度在两极的大小为g 0，在赤道的大小为g ；地球自转的周期为T ，引力常量为G .地球的密度为( )A.3πGT 2g 0－gg 0B.3πGT 2 g 0g 0－g C.3πGT2D.3πGT 2 g 0g[审题指导] ①在两极处万有引力等于物体重力，而在赤道处万有引力等于物体重力与物体随地球一起自转所需的向心力之和；②在赤道处物体所受万有引力、向心力和重力G在同始终线上，方向都指向地心；③球体积公式V ＝43πR 3.【解析】 在地球两极处，G Mm R 2＝mg 0，在赤道处，G Mm R 2－mg ＝m 4π2T 2R ，故R ＝(g 0－g )T24π2，则ρ＝M 43πR 3＝R 2g 0G43πR 3＝3g 04πRG ＝3πGT 2 g 0g 0－g ，B 正确．【答案】 B由于地球的自转，在地球表面的物体，重力与万有引力不严格相等，重力为万有引力的一个分力，由于二者差别较小，计算时一般可以认为二者相等，即G Mm R2＝mg ，GM ＝gR 2，这就是万有引力定律应用中常常用到的“黄金代换”.1．(2024·全国卷Ⅱ)2024年2月，我国500 m 口径射电望远镜(天眼)发觉毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T ＝5.19 ms.假设星体为质量匀称分布的球体，已知引力常量为6.67×10－11 N·m 2/kg 2.以周期T 稳定自转的星体的密度最小值约为( C )A ．5×109kg/m 3B ．5×1012 kg/m 3C ．5×1015kg/m 3D ．5×1018kg/m 3解析：本题考查万有引力定律在天体中的应用．以周期T 稳定自转的星体，当星体的密度最小时，其表面物体受到的万有引力供应向心力，即GMm R 2＝m 4π2T 2R ，星体的密度ρ＝M 43πR3，得其密度ρ＝3πGT 2＝3×3.146.67×10－11×(5.19×10－3)2 kg/m 3≈5×1015 kg/m 3，故选项C 正确．2．假设地球是一半径为R 、质量分布匀称的球体，一矿井深度为d .已知质量分布匀称的球壳对壳内物体的引力为零，则矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为( A )A ．1－d RB ．1＋d RC.⎝⎛⎭⎪⎫R －d R 2D.⎝⎛⎭⎪⎫R R －d 2解析：如图所示，依据题意，地面与矿井底部之间的环形部分对处于矿井底部的物体引力为零．设地面处的重力加速度为g ，地球质量为M ，地球表面质量为m 的物体受到的重力近似等于万有引力，故mg ＝G MmR2；设矿井底部处的重力加速度为g ′，“等效地球”的质量为M ′，其半径r ＝R －d ，则矿井底部质量为m 的物体受到的重力mg ′＝G M ′m r 2，又M ＝ρV ＝ρ·43πR 3，M ′＝ρV ′＝ρ·43π(R －d )3，联立解得g ′g ＝1－dR，A 正确．考点3 万有引力定律在天体运动中的应用考向1 天体质量和密度的计算(1)自食其力法：利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R .①由G Mm R 2＝mg 得天体质量M ＝gR 2G.②天体密度：ρ＝M V ＝M 43πR3＝3g4πGR.(2)借助外援法：测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r 和周期T .①由G Mm r 2＝m 4π2r T 2得天体的质量为M ＝4π2r 3GT 2.②若已知天体的半径R ，则天体的密度ρ＝M V ＝M 43πR3＝3πr 3GT 2R 3.③若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r 等于天体半径R ，则天体密度ρ＝3πGT2，可见，只要测出卫星环绕天体表面运行的周期T ，就可估算出中心天体的密度．1．在某星球表面以初速度v 0竖直上抛一个物体，若物体只受该星球引力作用，引力常量为G ，忽视其他力的影响，物体上升的最大高度为h ，已知该星球的直径为d ，下列说法正确的是( A )A ．该星球的质量为v 20d28GhB ．该星球的质量为v 20d22GhC ．在该星球表面放射卫星时最小的放射速度为v 04d h D ．在该星球表面放射卫星时最小的放射速度为v 0d h解析：物体做竖直上抛运动，依据运动学公式可得星球表面的重力加速度为g ′＝v 202h，因而在该星球表面放射卫星的最小速度为v min ＝g ′R ＝v 02dh，选项C 、D 错误．设星球的质量为M ，物体的质量为m ，在星球表面上有G Mm R 2＝mg ′，解得M ＝v 20d28Gh，选项A 正确，B 错误．2．据报道，天文学家新发觉了太阳系外的一颗行星．这颗行星的体积是地球的a 倍，质量是地球的b 倍．已知近地卫星绕地球运行的周期约为T ，引力常量为G .则该行星的平均密度为( C )A.3πGT2B.π3T 2C.3πbaGT 2D.3πabGT2解析：万有引力供应近地卫星绕地球运行的向心力：G M 地m R 2＝m 4π2R T 2，且ρ地＝3M 地4πR3，联立得ρ地＝3πGT 2.而ρ星ρ地＝M 星V 地V 星M 地＝b a，因而ρ星＝3πbaGT2.计算中心天体的质量、密度时的两点区分(1)天体半径和卫星的轨道半径通常把天体看成一个球体，天体的半径指的是球体的半径．卫星的轨道半径指的是卫星围绕天体做圆周运动的圆的半径．卫星的轨道半径大于等于天体的半径．(2)自转周期和公转周期自转周期是指天体绕自身某轴线运动一周所用的时间，公转周期是指卫星绕中心天体做圆周运动一周所用的时间．自转周期与公转周期一般不相等．考向2 双星及多星系统(1)多星系统的条件 ①各星彼此相距较近．②各星绕同一圆心做匀速圆周运动． (2)多星系统的结构 由两星之间的万有引力供应，故两星的运行所需向心力都由其余行星对其万 (2024·全国卷Ⅰ)(多选)2024年，人类第一次干脆探测到来自双中子星合并的引力波．依据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s 时，它们相距约400 km ，绕二者连线上的某点每秒转动12圈．将两颗中子星都看作是质量匀称分布的球体，由这些数据、引力常量并利用牛顿力学学问，可以估算出这一时刻两颗中子星( )A ．质量之积B ．质量之和C ．速率之和D ．各自的自转角速度[审题指导] (1)依据题意，抽象物理模型，画出示意图；(2)找到题目给出的已知量，再求未知量．【解析】 本题考查万有引力定律的应用等学问．双星系统由彼此间万有引力供应向心力，得Gm 1m 2L 2＝m 1ω21r 1，G m 1m 2L 2＝m 2ω22r 2，且T ＝2πω，两颗星的周期及角速度相同，即T 1＝T 2＝T ，ω1＝ω2＝ω，两颗星的轨道半径r 1＋r 2＝L ，解得m 1m 2＝r 2r 1，m 1＋m 2＝4π2L 3GT 2，因为r 2r 1未知，故m 1与m 2之积不能求出，则选项A 错误，B 正确．各自的自转角速度不行求，选项D 错误．速率之和v 1＋v 2＝ωr 1＋ωr 2＝ω·L ，故C 项正确．【答案】 BC双星模型的重要结论(1)两颗星到轨道圆心的距离r 1、r 2与星体质量成反比，即m 1m 2＝r 2r 1. (2)双星的运动周期T ＝2πL 3G (m 1＋m 2).(3)双星的总质量m 1＋m 2＝4π2L3T 2G.3．2015年4月，科学家通过欧航局天文望远镜在一个河外星系中，发觉了一对相互环绕旋转的超大质量双黑洞系统，如图所示．这也是天文学家首次在正常星系中发觉超大质量双黑洞．这对验证宇宙学与星系演化模型、广义相对论在极端条件下的适应性等都具有非常重要的意义．若图中双黑洞的质量分别为M 1和M 2，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动．依据所学学问，下列选项正确的是( B )A ．双黑洞的角速度之比ω1ω2＝M 2M 1B ．双黑洞的轨道半径之比r 1r 2＝M 2M 1C ．双黑洞的线速度之比v 1v 2＝M 1M 2D ．双黑洞的向心加速度之比a 1a 2＝M 1M 2解析：双黑洞绕连线上的某一点做匀速圆周运动的周期相等，角速度也相等，选项A 错误；双黑洞做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力供应，向心力大小相等，设双黑洞间的距离为L ，由GM 1M 2L2＝M 1r 1ω2＝M 2r 2ω2，得双黑洞的轨道半径之比r 1r 2＝M 2M 1，选项B 正确；双黑洞的线速度之比v 1v 2＝ωr 1ωr 2＝M 2M 1，选项C 错误；双黑洞的向心加速度之比a 1a 2＝ω2r 1ω2r 2＝M 2M 1，选项D 错误．4．(2024·广东湛江模拟)三颗相同的质量都是M 的星球位于边长为L 的等边三角形的三个顶点上．假如它们中的每一颗都在相互的引力作用下沿外接于等边三角形的圆轨道运行而保持等边三角形不变，下列说法正确的是( B )A ．其中一个星球受到另外两个星球的万有引力的合力大小为3GM22L 2B ．其中一个星球受到另外两个星球的万有引力的合力指向圆心OC ．它们运行的轨道半径为32L D ．它们运行的速度大小为2GML解析：依据万有引力定律，随意两颗星球之间的万有引力为F 1＝G M 2L2，方向沿着它们的连线．其中一个星球受到另外两个星球的万有引力的合力为F ＝2F 1cos30°＝3G M 2L 2，方向指向圆心，选项A 错误，B 正确；由r cos30°＝L 2，解得它们运行的轨道半径r ＝33L ，选项C 错误；由3G M 2L 2＝M v 2r ，将r ＝33L 代入，可得v ＝GML，选项D 错误． 考点4 万有引力定律在航天中的应用考向1 人造卫星运行参量的比较环绕同一天体的不同轨道高度的卫星运行参量比较由G Mm r 2＝m v 2r ＝mrω2＝m 4π2T2r ＝ma n 可推导出：⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎫v ＝GM rω＝GM r 3T ＝4π2r3GM a n＝G Mr2⇒当r 增大时⎩⎪⎨⎪⎧v 减小ω减小T 增大a n减小(多选)如图所示，两质量相等的卫星A 、B 绕地球做匀速圆周运动，用R 、T 、E k 、S 分别表示卫星的轨道半径、周期、动能、与地心连线在单位时间内扫过的面积．下列关系式正确的有( )A ．T A >TB B ．E k A >E k BC ．S A ＝S BD.R 3A T 2A ＝R 3B T 2B【解析】 依据开普勒第三定律，R 3A T 2A ＝R 3BT 2B ，又R A >R B ，所以T A >T B ，选项A 、D 正确；由G Mm R 2＝m v 2R得，v ＝GM R ，所以v A <v B ，则E k A <Ek B ，选项B 错误；由G Mm R 2＝mR 4π2T2得，T ＝2πR 3GM，卫星与地心的连线在单位时间内扫过的面积S ＝1T πR 2＝GMR 2，可知S A >S B ，选项C 错误．【答案】 AD人造卫星问题的解题技巧(1)一个模型卫星的运动可简化为质点的匀速圆周运动模型． (2)两组公式①G Mm r 2＝m v 2r ＝mω2r ＝m 4π2T2r ＝ma n②mg ＝G MmR2(g 为星体表面处的重力加速度)(3)a 、v 、ω、T 均与卫星的质量无关，只由轨道半径和中心天体质量共同确定，全部参量的比较，最终归结到半径的比较．口诀：肯定四定、越高越慢．5．2018年2月2日15时51分我国第一颗电磁检测试验卫星“张衡一号”胜利放射，使我国成为世界上少数拥有在轨运行高精度地球物理场探测卫星的国家之一，已知地球半径为R ，地球表面处的重力加速度为g ，假设一颗距离地面高度为2R 的人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，下列关于卫星运动的说法正确的是( B )A ．线速度的大小为gR2B ．角速度为g27RC ．加速度大小为g4D ．周期为6πR g解析：在地球表面重力与万有引力相等有：Gm 0M R2＝m 0g 可得GM ＝gR 2.距地面高度为2R 的人造卫星的轨道半径为3R ，由万有引力供应圆周运动的向心力有：G mM (3R )2＝m v 23R＝m ·3Rω2＝m ·3R4π2T2＝ma ，可得线速度v ＝GM3R＝gR3，角速度ω＝GM 27R3＝g27R，加速度a＝GM 9R 2＝19g ，周期T ＝4π2·27R3GM＝6π3Rg.故B 正确，A 、C 、D 错误．考向2 宇宙速度的理解与计算1．第一宇宙速度的推导方法一：由G Mm R 2＝m v 21R 得v 1＝GM R＝ 6.67×10－11×5.98×10246.4×106m/s ＝7.9×103m/s.方法二：由mg ＝m v 21R得v 1＝gR ＝9.8×6.4×106 m/s ＝7.9×103 m/s.第一宇宙速度是放射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，T min ＝2πRg＝5 075 s ≈85 min. 2．宇宙速度与运动轨迹的关系(1)v 发＝7.9 km/s 时，卫星绕地球做匀速圆周运动．(2)7.9 km/s<v 发<11.2 km/s ，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆． (3)11.2 km/s ≤v 发<16.7 km/s ，卫星绕太阳做椭圆运动．(4)v 发≥16.7 km/s ，卫星将摆脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间．(多选)2024年中俄联合实施探测火星安排，由中国负责研制的“萤火一号”火星探测器与俄罗斯研制的“福尔斯—土壤”火星探测器一起由俄罗斯“天顶”运载火箭放射前往火星．已知火星的质量约为地球质量的19，火星的半径约为地球半径的12.下列关于火星探测器的说法中正确的是( )A ．放射速度只要大于第一宇宙速度即可B ．放射速度只有达到第三宇宙速度才可以C ．放射速度应大于其次宇宙速度而小于第三宇宙速度D ．火星探测器环绕火星运行的最大速度为地球第一宇宙速度的23【解析】 依据三个宇宙速度的意义，可知选项A 、B 错误，C 正确；已知M 火＝M 地9，R火＝R 地2，则v m v 1＝GM 火R 火GM 地R 地＝23. 【答案】 CD对第一宇宙速度的理解(1)第一宇宙速度是人造地球卫星的最小放射速度，也是卫星贴近地面运行的速度，即人造地球卫星的最大运行速度．(2)当卫星的放射速度v 满意7.9 km/s<v <11.2 km/s 时，卫星绕地球运行的轨道是椭圆，地球位于椭圆的一个焦点上．6．放射宇宙飞船的过程中要克服引力做功，已知将质量为m 的飞船在距地球中心无限远处移到距地球中心为r 处的过程中，引力做功为W ＝GMmr，飞船在距地球中心为r 处的引力势能公式为E p ＝－GMmr，式中G 为引力常量，M 为地球质量．若在地球的表面放射一颗人造地球卫星，假如放射的速度很大，此卫星可以上升到离地心无穷远处(即地球引力作用范围之外)，这个速度称为其次宇宙速度，已知地球半径为R .(1)试推导其次宇宙速度的表达式；(2)已知逃逸速度大于真空中光速的天体叫黑洞，设某黑洞的质量等于太阳的质量M 1＝1.98×1030kg ，求它的可能最大半径．(引力常量G ＝6.67×10－11N·m 2/kg 2)解析：(1)设其次宇宙速度为v ，所谓其次宇宙速度，就是卫星摆脱中心天体束缚的最小放射速度．则卫星由地球表面上升到离地球表面无穷远的过程中，依据机械能守恒定律得E k ＋E p ＝0 即12mv 2－G MmR＝0 解得v ＝2GMR. (2)由题意知其次宇宙速度大于c ，即2GM 1R 1>c得R 1<2GM 1c 2＝2×6.67×10－11×1.98×10309×1016m ≈2.93×103m 则该黑洞的最大半径为2.93×103m. 答案：(1)见解析 (2)2.93×103 m 考向3 卫星变轨问题分析 1．变轨原理及过程人造卫星的放射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道，如图所示． (1)为了节约能量，在赤道上顺着地球自转方向放射卫星到圆轨道Ⅰ上．(2)在A 点点火加速，由于速度变大，万有引力不足以供应向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ.(3)在B 点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ. 2．三个运行物理量的大小比较(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v 1、v 2，在轨道Ⅱ上过A 点和B点速率分别为v A 、v B .在A 点加速，则v A >v 1，在B 点加速，则v 2>v B ，又因v 1>v 2，故有v A >v 1>v 2>v B .(2)加速度：因为在A 点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A 点，卫星的加速度都相同，同理，经过B 点的加速度也相同．(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行周期分别为T 1、T 2、T 3，轨道半径分别为r 1、r 2(半长轴)、r 3，由开普勒第三定律r 3T2＝k 可知T 1<T 2<T 3.(多选)如图，一颗在椭圆轨道Ⅰ上运行的地球卫星，通过轨道Ⅰ上的近地点P 时，短暂点火加速后进入同步转移轨道Ⅱ.当卫星到达同步转移轨道Ⅱ的远地点Q 时，再次变轨，进入同步轨道Ⅲ.下列说法正确的是( )A ．卫星在轨道Ⅰ的P 点进入轨道Ⅱ机械能增加B ．卫星在轨道Ⅲ经过Q 点时和在轨道Ⅱ经过Q 点时速度相同C ．卫星在轨道Ⅲ经过Q 点时和在轨道Ⅱ经过Q 点时加速度相同D ．由于不同卫星的质量不同，因此它们的同步轨道高度不同【解析】 卫星在轨道Ⅰ上通过P 点时，点火加速，使其所需向心力大于万有引力，做离心运动，才能进入轨道Ⅱ，所以卫星在轨道Ⅰ的P 点进入轨道Ⅱ机械能增加，选项A 正确；假设卫星从轨道Ⅲ返回轨道Ⅱ，卫星在轨道Ⅲ经过Q 点时，点火减速，使其所需向心力小于万有引力，做向心运动，才能进入轨道Ⅱ，所以卫星在轨道Ⅲ经过Q 点时和轨道Ⅱ经过Q 点时速度不同，选项B 错误；卫星在轨道Ⅲ经过Q 点时和在轨道Ⅱ经过Q 点时，所受万有引力相同，依据牛顿其次定律，产生的加速度相同，选项C 正确；对同步卫星G Mm r2＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r ，解得r ＝3GMT 24π2，则同步轨道高度与卫星的质量无关，选项D 错误．【答案】 AC卫星变轨问题的实质7．(2024·山东日照模拟)2017年6月15日，中国空间科学卫星“慧眼”被胜利送入轨道，卫星轨道所处的空间存在极其淡薄的空气．“慧眼”是我国首颗大型X射线天文卫星，这意味着我国在X射线空间观测方面具有国际先进的暗弱变源巡天实力、独特的多波段快速光观测实力等．下列关于“慧眼”卫星的说法，正确的是( B )A．假如不加干预，“慧眼”卫星的动能可能会缓慢减小B．假如不加干预，“慧眼”卫星的轨道高度可能会缓慢降低C．“慧眼”卫星在轨道上处于失重状态，所以不受地球的引力作用D．由于技术的进步，“慧眼”卫星在轨道上运行的线速度可能会大于第一宇宙速度解析：卫星轨道所处的空间存在极其淡薄的空气，假如不加干预，卫星的机械能减小，卫星的轨道高度会缓慢降低，据GMmr2＝mv2r可得v＝GMr，卫星的轨道高度降低，卫星的线速度增大，卫星的动能增大，选项A错误、B正确；卫星在轨道上，受到的地球引力产生向心加速度，处于失重状态，选项C错误；据GMmr2＝mv2r可得v＝GMr，卫星在轨道上运行的线速度小于第一宇宙速度，选项D错误．学习至此，请完成课时作业14、15。
高考物理一轮复习 第四章 曲线运动 万有引力与航天核心素养提升教学案
第四章 曲线运动 万有引力与航天一、圆周运动与平抛运动的综合问题——“科学思维”之“科学推理”圆周运动与平抛运动的过渡处的速度是联系前后两个过程的关键物理量，前一个过程的末速度是后一个过程的初速度。
1.如图1，半径R ＝2 m 的四分之一圆轨道和直径为2 m 的半圆轨道水平相切于d 点，两圆轨道均光滑且在竖直平面内。
可视为质点的小球从d 点以某一初速度进入半圆，刚好能通过半圆的最高点a ，从a 点飞出后落在四分之一圆轨道上的b 点，不计空气阻力，重力加速度g ＝10 m/s 2。
则b 点与d 点的竖直高度差为( )图1A.3 mB.(3－5) mC.5 mD.(3＋5) m 解析 小球刚好通过a 点，则在a 点重力提供向心力，则有mg ＝m v 2r ，r ＝12R ，解得v ＝2gR 2，从a 点抛出后做平抛运动，则水平方向的位移x ＝vt ，竖直方向的位移h ＝12gt 2，根据几何关系有x 2＋h 2＝R 2，解得h ＝12(5－1)R ，则b 点与d 点的竖直高度差为12(3－5)R ，即(3－5) m ，故B 正确。
答案 B2.如图2所示，水平放置的正方形光滑玻璃板abcd ，边长为L ，距地面的高度为H ，玻璃板正中间有一个光滑的小孔O ，一根细线穿过小孔，两端分别系着小球A 和小物块B ，当小球A 以速度v 在玻璃板上绕O 点做匀速圆周运动时，AO 间的距离为r 。
已知A 的质量为m A ，重力加速度为g 。
图2(1)求小物块B 的质量m B ；(2)当小球速度方向平行于玻璃板ad 边时，剪断细线，则小球落地前瞬间的速度多大？(3)在(2)的情况下，若小球和小物块落地后均不再运动，则两者落地点间的距离为多少？解析 (1)以B 为研究对象，根据平衡条件有T ＝m B g ，以A 为研究对象，根据牛顿第二定律有T ＝m A v 2r， 解得m B ＝m A v 2gr。
(2)A 下落过程，根据机械能守恒定律有12m A v 2＋m A gH ＝12m A v ′2，解得v ′＝v 2＋2gH 。
万有引力与航天教案
万有引力与航天教案一、引言1. 教学目标：a. 让学生了解万有引力的概念及其在航天领域的应用。
b. 培养学生对航天事业的兴趣和热爱。
2. 教学内容：a. 万有引力的定义及其公式。
b. 航天器的基本原理和分类。
二、万有引力1. 教学目标：a. 让学生掌握万有引力的计算方法。
b. 培养学生运用物理知识解决实际问题的能力。
2. 教学内容：a. 万有引力公式：F=G(m1m2)/r^2。
b. 实例分析：计算地球表面物体受到的万有引力。
三、航天器原理1. 教学目标：a. 让学生了解航天器的工作原理。
b. 培养学生对航天技术发展的关注。
2. 教学内容：a. 航天器的基本组成部分：发动机、推进器、控制系统等。
b. 航天器的分类：卫星、飞船、火箭等。
四、航天器发射与返回1. 教学目标：a. 让学生掌握航天器发射和返回的基本原理。
b. 培养学生运用物理知识分析问题的能力。
2. 教学内容：a. 航天器发射过程：起飞、爬升、轨道转移等。
b. 航天器返回过程：再入大气层、降落等。
五、我国航天事业的发展1. 教学目标：a. 让学生了解我国航天事业的发展历程。
b. 培养学生的民族自豪感。
2. 教学内容：a. 我国航天事业的重要里程碑：东方红一号、嫦娥一号等。
b. 我国航天器的国际合作与交流。
六、万有引力的天体运动应用1. 教学目标：a. 让学生理解万有引力在天体运动中的作用。
b. 培养学生运用物理知识分析天体运动的能力。
2. 教学内容：a. 行星运动的三大定律。
b. 地球卫星的轨道计算。
七、航天器的轨道设计与控制1. 教学目标：a. 让学生掌握航天器轨道设计的基本原理。
b. 培养学生运用数学和物理知识解决轨道控制问题的能力。
2. 教学内容：a. 轨道力学基础。
b. 航天器轨道控制方法。
八、航天器的生命保障系统1. 教学目标：a. 让学生了解航天器生命保障系统的重要性。
b. 培养学生对航天器生命保障系统技术的兴趣。
2. 教学内容：a. 生命保障系统的基本功能。
6.1万有引力和航天—2021届高中物理一轮复习教案(必修二)
F
=
Gm1m2 r2
2. 万有引力提供向心力时：
GMm = ma = mv2 = m2r = m( 2 )2 r
r2
r
T
a
=
GM r2
，
v=
GM ， = r
GM ， r3
T = 2 r3 GM
r↗时，a↙、v↙、ω↙、T↗.这些值与卫星的质量无关。 3. 近地卫星、同步卫星与地球赤道上随地球自转的物体间的差别
例 7：天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。双星系统在银河 系中很普遍。利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量。已知某双星系统 中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为 T，两颗恒星之间的 距离为 r，试推算这个双星系统的总质量。（引力常量为 G）
4. 求中心天体的质量和密度
GMm r2
=
m( 2 T
)2 r
M
=
4 2r3 GT 2
V = 4 R3 3
= M V
= 3 r3 GT 2 R3
5. 双星或多星组成稳定的天体环绕系统。（例题略） 6. 卫星变轨问题：
速度、加速度大小关系：
当 r=R
=
3 GT
2
v2>v1 >v3> v2' 、 a1P = a2P = an2P = an1P a2Q = a3Q = an3Q = an2Q
-4- / 7
4.卫星变轨问题要明确变轨的过程及描述卫星运行的物理量(包括卫星的速度、向心加速 度、加速 度、向心力、万有引力、轨道半径、动能、重力势能、机械能)的变化情况。
如图(4)所示，轨道 1 和轨道 3 是以地球为圆心的圆形轨道， 轨道半径分别 r1 和 r3(r3> r1)，轨道 2 是椭圆轨道，与轨道 1 和 轨道 3 分别相切于 P 点和 Q 点。
高中物理《万有引力与航天（1）》优质课教案、教学设计
⾼中物理《万有引⼒与航天（1）》优质课教案、教学设计《万有引⼒与航天》⾼三复习教学设计（⼀）设计思想本讲主要内容就是《万有引⼒》部分⼀轮复习。
通过教学，给学⽣⼀个清晰的知识脉络和模型，使学⽣在⾯对⾼考试题时能⾼效⼊题，⾼效做题，⾼效得分。
促进学⽣熟练掌握，并能减轻学⽣学习的负担，提⾼学习的效率。
其次就是通过这部分内容的学习，激发学⽣对航空、航天产⽣更加浓厚的兴趣和爱好。
（⼆）教材分析《万有引⼒与航天》在⾼考试题中是⼀个必出的内容。
⼏乎每年都以选择题的形式出现。
本专题的知识是以所学物理规律解决“天地”问题的典范。
所以深刻理解万有引⼒定律及应⽤的条件、范围和思路，是这个单元教学的中⼼。
在万有引⼒的应⽤上，主要有三⽅⾯，⼀是在地表⾯附近的应⽤， GMm=mg,R 2和 GMm =Fn+mg （⽮量相加），前者是在不考虑⾃转影响时⽤（因为在地⾯上的物R2体随，后者是在考虑地球⾃转影响时⽤。
⼆是在天上的应⽤（以圆周运动为主），依据是 G Mm ＝F ｎ。
三是卫星的发射与变轨的问题。
r 2（三）学情分析经过⾼⼆的学习之后，学⽣对万有引⼒定律及其应⽤有了⼀定的认识，但由于时间较长，学⽣不仅在知识上有所遗忘，更重要的是规律的⽣疏和⽅法经验的缺失、遗忘，致使学⽣对这部分知识⼜成陌路。
所以在⼀轮复习时，回顾知识，⽤⼀些做过的问题作为引⼦，唤醒学⽣记忆，并在此基础上有针对性地加强经验、⽅法、模型的⼩结（针对考试），可更有效地提升做题的效率。
（四）教学⽬标1、知识与技能（1））复习回顾《万有引⼒》。
（2））⼩结回顾归纳万有引⼒定律在实际中的应⽤及典型模型，指出各类问题解决的⽅法思路。
提⾼学⽣做题的技巧和能⼒。
（3））通过适量练习，⼩结⽅法经验，指出需要注意的事项。
提⾼解题技巧和估算能⼒。
2、过程与⽅法（1））能够应⽤万有引⼒定律解决简单的引⼒计算问题。
（2））掌握计算天体质量与密度⽅法。
（3））掌握天体运动规律与宇宙速度的概念。
高考物理一轮复习 第四章 曲线运动 万有引力与航天 第4讲 万有引力与天体运动教学案(含解析)
第4讲 万有引力与天体运动➢ 教材知识梳理一、开普勒三定律1．开普勒第一定律：所有的行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个________上．2．开普勒第二定律：对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的________相等．3．开普勒第三定律：所有行星的轨道的________的三次方跟________的二次方的比值都相等．二、万有引力定律1．内容：自然界中任何两个物体都互相吸引，引力的大小与物体的质量的乘积成________，与它们之间距离的二次方成________．2．公式：________(其中引力常量G ＝6.67×10－11 N ·m 2/kg 2)． 3．适用条件：公式适用于质点之间以及均匀球体之间的相互作用，对均匀球体来说，r 是两球心间的距离．三、天体运动问题的分析1．运动学分析：将天体或卫星的运动看成________运动．2．动力学分析：(1)万有引力提供________，即F 向＝G Mm r 2＝ma ＝m v 2r ＝mω2r ＝m 2πT2r .(2)在星球表面附近的物体所受的万有引力近似等于________，即G Mm r 2＝mg (g 为星球表面的重力加速度)．四、三个宇宙速度1．第一宇宙速度(环绕速度)：v 1＝7.9 km/s ，是人造地球卫星的________，也是人造卫星绕地球做匀速圆周运动的________．2．第二宇宙速度(逃逸速度)：v 2＝11.2 km/s ，是卫星挣脱地球引力束缚的________．3．第三宇宙速度：v 3＝16.7 km/s ，是卫星挣脱太阳引力束缚的________．答案：一、1.焦点 2.面积 3.半长轴 公转周期二、1.正比 反比 2.F ＝G m 1m 2r 2 三、1.匀速圆周 2.(1)向心力 (2)物体的重力四、1.最小发射速度 最大运行速度2．最小发射速度 3.最小发射速度【思维辨析】(1)牛顿利用扭秤实验装置比较准确地测出了引力常量．( )(2)两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大．( )(3)行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越小．( )(4)近地卫星距离地球最近，环绕速度最小．( )(5)地球同步卫星根据需要可以定点在北京正上空．( )(6)极地卫星通过地球两极，且始终和地球某一经线平面重合．( )(7)发射火星探测器的速度必须大于11.2 km/s.( )答案：(1)(×) (2)(×) (3)(√) (4)(×) (5)(×)(6)(×) (7)(√)【思维拓展】为了验证地面上的重力与地球吸引月球、太阳吸引行星的力是同一性质的力，遵守同样的规律，牛顿做了著名的“月－地”实验．请阐述“月－地”实验思路．答案：由于月球绕地球运行的周期T ＝27.3 d ≈2.36×106 s ，月球的轨道半径r ＝60R 地＝3.84×108 m ，故从运动学角度可计算出月球的向心加速度为a n1＝4π2T 2r ＝2.72×10－3 m/s 2① 牛顿设想，把一个物体放到月球轨道上，让它绕地球运行，地球对它的引力减小到F ，它的向心加速度减小到a n2，既然物体在地面上受到的重力G 和在月球轨道上运行时受到的引力F 都是来自地球引力，那么在引力与轨道半径的二次方成反比的关系成立的情况下，物体在月球轨道上的向心加速度a n2和在地面上的重力加速度g 的关系应为a n2g 地＝F G ＝R 2地r 2＝1602＝13600， 进而从动力学角度可计算出月球轨道上的向心加速度为a n2＝13600g 地＝2.72×10－3 m/s 2②①式与②式的计算结果完全一致，从而证明了物体在地面上所受重力与地球吸引月球的力是同一性质的力、遵循同样规律的上述设想．需要说明的是，月球绕地球的向心加速度a n2＝13600g 地与通常所说月球表面的重力加速度g 月＝16g 地并不矛盾． 已知M 地＝81M 月，R 地＝113R 月，r ＝60R 地，由天文学黄金代换公式GM ＝gR 2可知g 月g 地＝M 月R 2地M 地R 2月＝121729≈16， 即g 月＝16g 地③ 又有a n2＝GM 地r 2＝81GM 月3600R 2地＝81g 月R 2月3600×113R 月2≈1600g 月④ 由③、④式可得a n2＝13600g 地． ➢ 考点互动探究考点一 开普勒行星运动1 [2016·全国卷Ⅲ] 关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是( )A ．开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律B ．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律C ．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因D ．开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律 答案：B[解析] 开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律，牛顿在开普勒研究基础上结合自己发现的牛顿运动定律，发现了万有引力定律，指出了行星按照这些规律运动的原因，选项B 正确．(多选)[2016·武汉调研] 水星或金星运行到地球和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星凌日”．已知地球的公转周期为365天，若将水星、金星和地球的公转轨道视为同一平面内的圆轨道，理论计算得到水星相邻两次凌日的时间间隔为116天，金星相邻两次凌日的时间间隔为584天，则下列判断合理的是( )A ．地球的公转周期大约是水星的2倍B ．地球的公转周期大约是金星的1.6倍C ．金星的轨道半径大约是水星的3倍D ．实际上水星、金星和地球的公转轨道平面存在一定的夹角，所以水星或金星相邻两次凌日的实际时间间隔均大于题干所给数据答案：BD [解析] 设水星、地球、金星的公转周期分别为T 水、T 地和T 金，水星两次凌日时间差为t 水，金星两次凌日时间差为t 金，由题意可知，2πT 水－2πT 地t 水＝2π，2πT 金－2πT 地t 金＝2π，解得T 水＝88天，T 金＝225天，所以地球公转周期大约是水星公转周期的4倍，大约是金星公转周期的1.6倍，A 错误，B 正确；由开普勒第三定律可知，R 3金T 2金＝R 3水T 2水，解得R 金R 水＝32252882≈36.5<3，C 错误；理论上发生凌日时，金星(或水星)、地球、太阳三者共线，如果金星(或水星)公转转道与地球公转轨道存在一定夹角，此时并不能产生凌日现象，所以金星(或水星)相邻两次凌日的实际时间间隔应大于理论上的时间间隔，D 正确．■ 要点总结对开普勒行星运动定律的理解：(1)行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理，若按椭圆轨道处理，则利用其半长轴进行计算．(2)开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动．(3)开普勒第三定律a 3T2＝k 中，k 值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体对应的k 值不同．考点二 万有引力及其与重力的关系1.万有引力的特点：两个物体相互作用的引力是一对作用力和反作用力，它们大小相等，方向相反且沿两物体的连线，分别作用在两个物体上，其作用效果一般不同．2．万有引力的一般应用：主要涉及万有引力的基本计算、天体质量和密度的计算等．在这类问题的分析中应注意：(1)万有引力公式F ＝G m 1m 2r2中的r 应为两物体球心间距，如果某一物体内部存在球形空腔，则宜采取“割补法”分析；(2)对于万有引力提供向心力情景下的天体运动，根据万有引力定律和牛顿第二定律有G m 1m 2r 2＝m 1a ，且a ＝ω2r ＝v 2r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r . 3．在地球或其他天体表面及某一高度处的重力加速度的计算：设天体表面重力加速度为g ，天体半径为R ，忽略天体自转，则有mg ＝G Mm R 2，得g ＝GM R 2或GM ＝gR 2；若物体距天体表面的高度为h ，则重力mg ′＝G Mm （R ＋h ）2，得g ′＝GM （R ＋h ）2＝R 2（R ＋h ）2g . ] 据报道，目前我国正在研制“萤火二号”火星探测器．探测器升空后，先在地球表面附近以线速度v 环绕地球飞行，再调整速度进入地火转移轨道，最后以线速度v ′在火星表面附近环绕火星飞行．若认为地球和火星都是质量分布均匀的球体，已知火星与地球的半径之比为1∶2，密度之比为5∶7.设火星与地球表面的重力加速度分别为g ′和g .下列结论正确的是( )A ．g ′∶g ＝1∶4B ．g ′∶g ＝7∶10C ．v ′∶v ＝528 D ．v ′∶v ＝514答案：C[解析] 在地球表面附近，万有引力等于重力，即G MmR 2＝mg ，解得g ＝GM R 2，在火星表面附近，万有引力等于重力，即G M ′m R ′2＝mg ′，解得g ′＝GM ′R ′2，又知M ＝ρV ＝ρ·43πR 3＝43ρπR 3，火星与地球密度之比ρ′∶ρ＝5∶7，半径之比R ′∶R ＝1∶2，联立解得g ′∶g ＝5∶14，选项A 、B 错误；探测器在火星表面附近环绕火星飞行的线速度与探测器在地球表面附近环绕地球飞行的线速度之比v ′∶v ＝g ′R ′gR ＝514·12＝528，选项C 正确，选项D 错误． 1 “神舟十一号”飞船于2016年10月17日发射，对接“天宫二号”．若飞船质量为m ，距地面高度为h ，地球质量为M ，半径为R ，引力常量为G ，则飞船所在处的重力加速度大小为( )A ．0 B.GM （R ＋h ）2 C.GMm （R ＋h ）2 D.GM h2 答案：B [解析] 由题意知，飞船处于完全失重状态，飞船所受的重力等于万有引力，即G Mm （R ＋h ）2＝mg ，约去m ，得B 正确． 2 (多选)[2016·新疆适应性检测] 月球是离地球最近的天体．已知月球质量为M ，半径为R ，引力常量为G ，若忽略月球的自转，则关于在月球表面所做的实验，以下叙述正确的是( ) A ．把质量为m 的物体竖直悬挂在弹簧测力计下，静止时弹簧测力计的示数为GMm R2B ．以初速度v 0竖直上抛一个物体，则物体经时间2πR GM落回原处C ．把羽毛和铁锤从同一高度同时释放，则铁锤先落地D ．用长为l 的细绳拴一质量为m 的小球在竖直平面内做圆周运动，则小球的最小动能为GMml 2R2 答案：AD [解析] 在月球表面，月球对物体的引力等于物体的重力，即mg ＝G Mm R 2，选项A 正确；在月球表面，g ＝G M R2，以初速度v 0竖直上抛的物体落回原处的时间为t ＝2v 0g ＝2v 0R 2GM，选项B 错误；月球周围没有空气阻力，羽毛和铁锤从同一高度被释放后，同时落地，选项C 错误；小球在竖直面内做圆周运动，在最高点时，若mg ＝m v 2l ，则其动能最小，为E k ＝12mv 2＝G Mml 2R2，选项D 正确． ■ 要点总结1．对万有引力和重力的关系要注意以下几点：(1)在地面上，忽略地球自转时，认为物体的向心力为零，各位置均有mg ≈GMm R2；(2)若考虑地球自转，对在赤道上的物体，有GMm R2－F N ＝F 向，其中F N 大小等于mg ，对处于南北两极的物体，则有GMm R2＝mg . 2．在地球上所有只在重力作用下的运动形式，如自由落体运动、竖直上抛运动、平抛运动、斜抛运动等，其运动规律和研究方法同样适用于在其他星球表面的同类运动的分析，只是当地重力加速度取值不同而已．考点三 天体质量及密度的计算1.利用(卫)行星绕中心天体做匀速圆周运动求中心天体的质量计算天体的质量和密度问题的关键是明确中心天体对它的卫星(或行星)的引力就是卫星(或行星)绕中心天体做匀速圆周运动的向心力．由G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，解得M ＝4π2r 3GT 2；ρ＝M V ＝M 43πR 3＝3πr 3GT 2R 3，R 为中心天体的半径，若为近地卫星，则R ＝r ，有ρ＝3πGT 2.由上式可知，只要用实验方法测出卫星(或行星)做圆周运动的半径r 及运行周期T ，就可以算出中心天体的质量M .若再知道中心天体的半径，则可算出中心天体的密度．2．利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R ，可得天体质量M ＝gR 2G ，天体密度ρ＝M V ＝M 43πR 3＝3g 4πGR . 3 [2016·济南模拟] “嫦娥五号”探测器预计2017年在中国文昌卫星发射中心发射升空，自动完成月面样品采集，并从月球起飞，返回地球，带回约2 kg 月球样品．某同学从网上得到一些信息，如下表中所示．根据表格中数据，可以计算出地球和月球的密度之比为( ) 月球半径 R 0A.3∶2 B ．2∶3 C ．4∶1 D ．6∶1 答案：A[解析] 在星球表面附近，万有引力等于重力，即G MmR 2＝mg ，解得星球质量M ＝gR 2G .地球和月球的质量之比M 地M 月＝g g 0·R 2R 20＝961，由密度公式ρ＝M V ，体积公式V ＝43πR 3，联立解得地球和月球的密度之比ρ地ρ月＝M 地M 月·R 30R 3＝32，选项A 正确． [2015·江苏卷] 过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b ”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕. “51 peg b ”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4 天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的120.该中心恒星与太阳的质量比约为( )A. 110B ．1C ．5D ．10答案：B [解析] 题中这颗行星绕其中心天体做圆周运动，其向心力是由中心天体与行星间的万有引力提供，即G M 中心m 行r 2行＝m 行ω2行r 行＝m 行4π2r 行T 2行，可得M 中心＝4π2r 3行GT 2行；同理，地球绕太阳运动，有M 太阳＝4π2r 3地GT 2地；那么，中心天体与太阳的质量之比为M 中心M 太阳＝4π2r 3行GT 2行4π2r 3地GT 2地＝⎝ ⎛⎭⎪⎫r 行r 地3·⎝ ⎛⎭⎪⎫T 地T 行2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1203·⎝ ⎛⎭⎪⎫36542≈1，选项B 正确．■ 规律总结天体质量和密度的估算问题是高考命题热点，解答此类问题时，首先要掌握基本方法(两个等式：①万有引力提供向心力；②天体表面物体受到的重力近似等于万有引力)，其次是记住常见问题的结论，主要分两种情况：(1)利用卫星的轨道半径r 和周期T ，可得中心天体的质量为M ＝4π2r 3GT2，并据此进一步得到该天体的密度ρ＝M V ＝M 43πR3＝3πr3GT 2R 3(R 为中心天体的半径)，尤其注意当r ＝R时，ρ＝3πGT2.(2)利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R ，可得天体质量M ＝gR 2G ，天体密度ρ＝M V ＝M 43πR3＝3g4πGR.热点四 宇宙速度 黑洞与多星系统 1.双星系统系统可视天体绕黑洞做圆周运动黑洞与可视天体构成的双星系统两颗可视星体构成的双星系统图示向心力的来源黑洞对可视天体的万有引力彼此给对方的万有引力彼此给对方的万有引力2.多星系统系统三星系统(正三角形排列)三星系统(直线等间距排列)四星系统图示向心力的来源另外两星球对其万有引力的合力另外两星球对其万有引力的合力另外三星球对其万有引力的合力4 [2015·安徽卷改编] 由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的作用，存在着一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O 在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动(图4121为A 、B 、C 三颗星体质量不相同时的一般情况)．若A 星体质量为2m ，B 、C 两星体的质量均为m ，三角形的边长为a ，则下列说法正确的是( )图4121A ．A 星体所受合力大小F A ＝2G m 2a 2B ．B 星体所受合力大小F B ＝7G m 2a2C ．C 星体的轨道半径R C ＝72aD ．三星体做圆周运动的周期T ＝2πa 3GM答案：B[解析] 由万有引力定律可知，A 星体所受B 、C 星体的引力大小为F BA ＝G m A m B r 2＝G 2m 2a 2＝F CA ，方向如图所示，则合力大小为F A ＝23G m 2a 2；同理，B 星体所受A 、C 星体的引力大小分别为F AB ＝G m A m B r 2＝G 2m 2a 2，F CB ＝G m C m B r 2＝G m 2a 2，方向如图所示，由F Bx ＝F AB cos 60°＋F CB ＝2G m 2a2，F By ＝F AB sin 60°＝3G m 2a 2，可得F B ＝F 2Bx ＋F 2By ＝7G m 2a2；通过分析可知，圆心O 在中垂线AD 的中点，R C ＝34a 2＋12a 2，可得R C ＝74a ；三星体运动周期相同，对C 星体，由F C ＝F B ＝7G m 2a 2＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2R C ，可得T ＝πa 3Gm，只有选项B 正确． 多选)[2016·武汉武昌区调研] 太空中存在一些离其他恒星很远的、由三颗星体组成的三星系统，可忽略其他星体对它们的引力作用．已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是直线三星系统——三颗星体始终在一条直线上；另一种是三角形三星系统——三颗星体位于等边三角形的三个顶点上．已知某直线三星系统A 每颗星体的质量均为m ，相邻两颗星体中心间的距离都为R ；某三角形三星系统B 的每颗星体的质量恰好也均为m ，且三星系统A 外侧的两颗星体与三星系统B 每颗星体做匀速圆周运动的周期相等．引力常量为G ，则( )A ．三星系统A 外侧两颗星体运动的线速度大小为v ＝Gm RB ．三星系统A 外侧两颗星体运动的角速度大小为ω＝12R 5GmRC ．三星系统B 的运动周期为T ＝4πRR 5GmD ．三星系统B 任意两颗星体中心间的距离为L ＝3125R答案：BCD[解析] 三星系统A 中，三颗星体位于同一直线上，外侧两颗星体围绕中央星体在半径为R 的同一圆轨道上运行，外侧的其中一颗星体由中央星体和另一颗外侧星体的万有引力的合力提供向心力，有G m 2R 2＋G m 2（2R ）2＝m v 2R，解得v ＝5Gm4R，A 错误；三星系统A 中，周期T ＝2πRv＝4πRR 5Gm ，则其角速度为ω＝2πT ＝12R5GmR，B 正确；由于两种系统周期相等，即T ＝4πRR5Gm，C 正确；三星系统B 中，三颗星体位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，对其中一颗星体，由万有引力定律和牛顿第二定律，有2Gm 2L 2cos 30°＝m L 2cos 30°4π2T2，解得L＝3125R，D正确．[2016·兰州诊断考试] 北京时间2016年2月1日23∶40左右，激光干涉引力波天文台(LIGO)负责人宣布，人类首次发现了引力波．它来源于距地球之外13亿光年的两个黑洞(质量分别为26个和39个太阳质量)互相绕转最后合并的过程．合并前两个黑洞互相绕转形成一个双星系统，关于此双星系统，下列说法正确的是( )A．两个黑洞绕行的角速度相等B．两个黑洞绕行的线速度相等C．两个黑洞绕行的向心加速度相等D．质量大的黑洞旋转半径大答案：A [解析] 对于两个黑洞互相绕转形成的双星系统，其角速度ω相等，周期相等，选项A正确；由于两个黑洞的质量不等，两个黑洞旋转的半径不等，质量较小的黑洞旋转半径较大，质量较大的黑洞旋转半径较小，选项D错误；由v＝ωr可知，两个黑洞绕行的线速度不等，质量小的黑洞线速度较大，选项B错误；两个黑洞绕行时其向心力由两个黑洞之间的万有引力提供，向心力相等，而由于两个黑洞的质量不等，由牛顿第二定律可知，两个黑洞绕行的向心加速度不等，质量较小的黑洞向心加速度较大，选项C错误．■ 方法技巧多星问题的解题技巧(1)挖掘一个隐含条件：在圆周上运动天体的角速度(或周期)相等．(2)重视向心力来源分析：双星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，三星或多星做圆周运动，向心力往往是由多个星的万有引力的合力提供．(3)区别两个长度关系：圆周运动的轨道半径和万有引力公式中两天体的距离是不同的，不能误认为一样．【教师备用习题】1．[2013·福建卷] 设太阳质量为M ，某行星绕太阳公转周期为T ，轨道可视作半径为r 的圆．已知引力常量为G ，则描述该行星运动的上述物理量满足( )A ．GM ＝4π2r3T 2B ．GM ＝4π2r2T 2 C ．GM ＝4π2r2T3 D ．GM ＝4πr3T2[解析] A 行星绕太阳公转，由万有引力提供向心力，即G Mmr2＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r ，解得GM ＝4π2r3T2，A 正确．2．“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为200 km 的圆形轨道上运行，运行周期为127 min.已知引力常量G ＝6.67×10－11N ·m 2/kg 2，月球半径约为1.74×103km ，利用以上数据估算出月球的质量约为( )A ．8.1×1010kg B ．7.4×1013kg C ．5.4×1019kg D ．7.4×1022kg[解析] D 由万有引力充当向心力，有G Mm （r ＋h ）2＝m 4π2T 2(r ＋h )，可得月球质量M ＝4π2（r ＋h ）3GT2＝7.4×1022kg ，选项D 正确．3．我国志愿者王跃曾与俄罗斯志愿者一起进行“火星500”的实验活动．假设王跃登陆火星后，测得火星的半径是地球半径的12，火星的质量是地球质量的19.已知地球表面的重力加速度为g ，地球的半径为R ，王跃在地面上能向上竖直跳起的最大高度为h ，忽略自转的影响，引力常量为G ，下列说法正确的是( )A ．火星的密度为2g3πGRB ．火星表面的重力加速度是29gC ．火星的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比为23D ．王跃以与在地球上相同的初速度在火星上起跳后，能达到的最大高度是92h[解析] A 对地球表面上质量为m 的物体，由牛顿第二定律，有G Mm R 2＝mg ，则M ＝gR 2G ，火星的密度为ρ＝19M 4π3⎝ ⎛⎭⎪⎫R 23＝2g3πGR ，选项A 正确；对火星表面上质量为m ′的物体，由牛顿第二定律，有GM9m ′R 22＝m ′g ′，则g ′＝49g ，选项B 错误；火星的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比v ′1v 1＝g ′R2gR＝23，选项C 错误；王跃跳高时，分别有h ＝v 202g 和h ′＝v 202g ′，所以在火星上能达到的最大高度为94h ，选项D 错误． 4．[2014·北京卷] 万有引力定律揭示了天体运行规律与地上物体运动规律具有内在的一致性．(1)用弹簧秤称量一个相对于地球静止的小物体的重量，随称量位置的变化可能会有不同的结果．已知地球质量为M ，自转周期为T ，万有引力常量为G .将地球视为半径为R 、质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响．设在地球北极地面称量时，弹簧秤的读数是F 0.① 若在北极上空高出地面h 处称量，弹簧秤读数为F 1，求比值F 1F 0的表达式，并就h ＝1.0%R 的情形算出具体数值(计算结果保留两位有效数字)；② 若在赤道地面称量，弹簧秤读数为F 2，求比值F 2F 0的表达式．(2)设想地球绕太阳公转的圆周轨道半径r 、太阳的半径R s 和地球的半径R 三者均减小为现在的1.0%，而太阳和地球的密度均匀且不变．仅考虑太阳和地球之间的相互作用，以现实地球的1年为标准，计算“设想地球”的1年将变为多长．[答案] (1)①F 1F 0＝R 2（R ＋h ）20.98②F 2F 0＝1－4π2R 3GMT 2(2)1年[解析] (1)设小物体质量为m . ①在北极地面G MmR2＝F 0 在北极上空高出地面h 处G Mm （R ＋h ）2＝F 1 F 1F 0＝R 2（R ＋h ）2当h ＝1.0%R 时F 1F 0＝11.012≈0.98. ②在赤道地面，小物体随地球自转做匀速圆周运动，受到万有引力和弹簧秤的作用力，有G Mm R 2－F 2＝m 4π2T 2R 得F 2F 0＝1－4π2R 3GMT 2. (2)地球绕太阳做匀速圆周运动，受到太阳的万有引力，设太阳质量为M S ，地球质量为M ，地球公转周期为T E ，有G M S M r 2＝Mr 4π2T 2E得T E ＝4π2r 3GM S ＝3πr 3G ρR 3S .其中ρ为太阳的密度．由上式可知，地球公转周期T E 仅与太阳的密度、地球公转轨道半径与太阳半径之比有关．因此“设想地球”的1年与现实地球的1年时间相同．5．石墨烯是近些年发现的一种新材料，其超高强度及超强导电、导热等非凡的物理化学性质有望使21世纪的世界发生革命性的变化，其发现者由此获得2010年诺贝尔物理学奖．用石墨烯制作超级缆绳，人类搭建“太空电梯”的梦想有望在本世纪实现．科学家们设想，通过地球同步轨道站向地面垂下一条缆绳至赤道基站，电梯舱沿着这条缆绳运行，如图所示，实现外太空和地球之间便捷的物资交换．(1)若“太空电梯”将货物从赤道基站运到距地面高度为h 1的同步轨道站，求轨道站内质量为m 1的货物相对地心运动的动能．设地球自转角速度为ω，地球半径为R .(2)当电梯舱停在距地面高度h 2＝4R 的站点时，求舱内质量m 2＝50 kg 的人对水平地板的压力大小．地面附近重力加速度g 取10 m/s 2，地球自转角速度ω＝7.3×10－5 rad/s ，地球半径R ＝6.4×103km.[答案] (1)12m 1ω2(R ＋h 1)2 (2)11.5 N [解析] (1)设货物相对地心的距离为r 1，线速度为v 1，则 r 1＝R ＋h 1v 1＝r 1ω货物相对地心的动能为E k ＝12m 1v 21 联立解得E k ＝12m 1ω2(R ＋h 1)2. (2)设地球质量为M ，人相对地心的距离为r 2，向心加速度为a n ，受地球的万有引力为F ，则r 2＝R ＋h 2a n ＝ω2r 2F ＝GMm 2r 22g ＝GM R 2 设水平地板对人的支持力大小为F N ，人对水平地板的压力大小为F ′N ，则F －F N ＝m 2a nF′N＝F N联立解得N′＝11.5 N.。
高一下册物理教案：万有引力与航天3篇
高一下册物理教案：万有引力与航天高一下册物理教案：万有引力与航天精选3篇（一）教学目标：1. 了解万有引力的概念和公式。
2. 掌握利用万有引力公式计算物体之间的引力。
3. 了解航天的概念和发展历程。
4. 了解地球的运动对航天活动的影响。
5. 了解航天技术在科学研究、天气预测、通信、导航等方面的应用。
教学重点：1. 万有引力的概念和公式。
2. 利用万有引力公式计算物体之间的引力。
教学难点：1. 了解航天技术在科学研究、天气预测、通信、导航等方面的应用。
教学准备：1. 教师准备课件、投影仪等教学工具。
2. 提前准备实验材料、器材。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 向学生提问：你们知道什么是万有引力吗？它对我们日常生活有什么影响？2. 请学生回答问题，并引导他们思考万有引力在地球运动、人类航天活动等方面产生的影响。
二、讲解万有引力概念和公式（10分钟）1. 通过讲解PPT或黑板，向学生解释万有引力的概念和公式：F = G * (m1 * m2) / r^2，其中F为两物体之间的引力，G为万有引力常量，m1和m2为两物体的质量，r 为两物体之间的距离。
2. 解释公式中各个参数的含义和单位。
三、计算物体之间的引力（15分钟）1. 给学生提供2个物体的质量和距离信息，让他们利用万有引力公式计算两物体之间的引力。
2. 引导学生进行计算，并检查计算结果。
四、讲解航天的概念和发展历程（10分钟）1. 通过讲解PPT或黑板，向学生介绍航天的概念和发展历程。
2. 引导学生了解人类航天活动的起源、发展和未来发展趋势。
五、讲解地球运动对航天活动的影响（10分钟）1. 通过讲解PPT或黑板，向学生解释地球自转、公转对航天活动的影响。
2. 引导学生了解地球自转产生的地球形状扁球、地球公转产生的季节变化等对航天活动的影响。
六、讲解航天技术的应用（10分钟）1. 通过讲解PPT或黑板，向学生介绍航天技术在科学研究、天气预测、通信、导航等方面的应用。
高一物理 万有引力与航天复习课教案
课 题： 万有引力定律与航天 类型：复习课 目的要求：理解万有引力定律,并能用其解决相关的实际问题. 重点难点： 教 具：过程及内容：万有引力定律及其应用知识简析 一.开普勒运动定律(1)开普勒第一定律：所有的行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上． (2)开普勒第二定律：对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的面积相等． (3)开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等． 二.万有引力定律(1)内容：宇宙间的一切物体都是互相吸引的，两个物体间的引力大小，跟它们的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比．(2)公式：F ＝G 221rmm ,其中2211/1067.6kg m N G ⋅⨯=-，称为为有引力恒量。
(3)适用条件：严格地说公式只适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，公式也可近似使用，但此时r 应为两物体重心间的距离．对于均匀的球体,r 是两球心间的距离．注意：万有引力定律把地面上的运动与天体运动统一起来，是自然界中最普遍的规律之一，式中引力恒量G 的物理意义是：G 在数值上等于质量均为1千克的两个质点相距1米时相互作用的万有引力． 三、万有引力和重力重力是万有引力产生的，由于地球的自转，因而地球表面的物体随地球自转时需要向心力．重力实际上是万有引力的一个分力．另一个分力就是物体随地球自转时需要的向心力，如图所示，由于纬度的变化，物体做圆周运动的向心力F 向不断变化，因而表面物体的重力随纬度的变化而变化，即重力加速度g 随纬度变化而变化，从赤道到两极逐渐增大．通常的计算中因重力和万有引力相差不大，而认为两者相等，即m 2g ＝G 221r mm , g=GM/r 2常用来计算星球表面重力加速度的大小，在地球的同一纬度处，g 随物体离地面高度的增大而减小，即g h =GM/（r+h ）2，比较得g h =（hr r+）2·g 在赤道处，物体的万有引力分解为两个分力F 向和m 2g 刚好在一条直线上，则有 F ＝F 向＋m 2g ，所以m 2g=F 一F 向＝G 221rm m －m 2R ω自2因地球目转角速度很小G 221r m m » m 2R ω自2,所以m 2g= G 221rm m假设地球自转加快，即ω自变大，由m 2g ＝G 221r m m －m 2R ω自2知物体的重力将变小，当G 221r m m =m 2R ω自2时，m 2g=0，此时地球上物体无重力，但是它要求地球自转的角速度ω自＝13Gm R ，比现在地球自转角速度要大得多.四.天体表面重力加速度问题设天体表面重力加速度为g,天体半径为R ，由mg=2Mm G R 得g=2MG R ,由此推得两个不同天体表面重力加速度的关系为21212212g R M g R M =*第1课五．天体质量和密度的计算原理：天体对它的卫星（或行星）的引力就是卫星绕天体做匀速圆周运动的向心力． G2rmM =m224Tπr ，由此可得：M=2324GT r π；ρ=V M=334R M π=3223R GT r π（R 为行星的半径）由上式可知，只要用实验方法测出卫星做圆周运动的半径r 及运行周期T ，就可以算出天体的质量 规律方法 1、万有引力定律的基本应用【例1】如图所示，在一个半径为R 、质量为M 的均匀球体中，紧贴球的边缘挖去一个半径为R/2的球形空穴后，对位于球心和空穴中心连线上、与球心相距d 的质点m 的引力是多大？分析 把整个球体对质点的引力看成是挖去的小球体和剩余部分对质点的引力之和，即可得解． 解 完整的均质球体对球外质点m 的引力这个引力可以看成是：m 挖去球穴后的剩余部分对质点的引力F 1与半径为R/2的小球对质点的引力F 2之和，即F=F 1+F 2．因半径为R/2的小球质量M /为M R MR R M 8134234234333/=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=ππρπ， 则()()22/22/82/R d Mm GR d mM GF -=-=所以挖去球穴后的剩余部分对球外质点m 的引力()22212/8R d Mm G d Mm GF F F --=-=()22222/8287R d d R dR d GMm-+-=说明 （1）有部分同学认为，如果先设法求出挖去球穴后的重心位置，然后把剩余部分的质量集中于这个重心上，应用万有引力公式求解．这是不正确的．万有引力存在于宇宙间任何两个物体之间，但计算万有引力的简单公式2r MmGF =却只能适用于两个质点或均匀球体，挖去球穴后的剩余部分已不再是均匀球了，不能直接使用这个公式计算引力．（2）如果题中的球穴挖在大球的正中央，根据同样道理可得剩余部分对球外质点m 的引力()()2222/221878/d Mm Gd mM Gd Mm Gd mM Gd Mm GF F F =-=-=-=上式表明，一个均质球壳对球外质点的引力跟把球壳的质量（7M/8）集中于球心时对质点的引力一样． 【例2】某物体在地面上受到的重力为160 N ，将它放置在卫星中，在卫星以加速度a ＝½g 随火箭加速上升的过程中，当物体与卫星中的支持物的相互压力为90 N 时，求此时卫星距地球表面有多远？（地球半径R ＝6.4×103km,g 取10m/s 2）解析：设此时火箭上升到离地球表面的高度为h ，火箭上物体受到的支持力为N,物体受到的重力为mg /，据牛顿第二定律．N －mg /=ma ……①在h 高处mg /＝()2h R MmG+……② 在地球表面处mg=2R Mm G……③把②③代入①得()ma R h mgR N ++=22∴⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=1ma N mgR h =1.92×104 km. 说明:在本问题中，牢记基本思路,一是万有引力提供向心力，二是重力约等于万有引力．【例3】有人利用安装在气球载人舱内的单摆来确定气球的高度。
高考物理一轮复习 第四章 曲线运动万有引力与航天第五节航天问题教学案
权掇市安稳阳光实验学校第五节 航天问题一、三种宇宙速度比较宇宙速度 数值(km /s )意义第一宇宙速度 (最大环绕速度)7.9这是卫星绕地球做圆周运动的最大环绕速度，也是发射卫星的最小发射速度，若7.9 km /s ≤v 发＜11.2 km /s ，物体绕______运行第二宇宙速度(脱离速度)11.2这是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，若11.2 km /s ≤v 发＜16.7 km /s ，物体绕______运行第三宇宙速度(逃逸 速度)16.7这是物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，若v 发≥16.7 km /s ，物体将脱离______________在宇宙空间运行二、人造卫星1．人造卫星的动力学特征万有引力提供向心力，即G Mm r 2＝m v 2r ＝mrω2＝m(2T π)2r 。
2.人造卫星的运动学特征(1)线速度v ：v ＝________，随着轨道半径的增大，卫星的线速度减小。
(2)角速度ω：ω＝________，随着轨道半径的增大，卫星的角速度减小。
(3)周期T ：T ＝________，随着轨道半径的增大，卫星的周期增大。
3.地球同步卫星的特点(1)轨道平面一定：____________________。
(2)周期一定：与地球______________，即T ＝24 h ＝86 400 s 。
(3)角速度一定：与地球自转的__________。
(4)高度一定：据G 2Mmr＝m 224T πr 得r 2324GMT π4km ，卫星离地面高度h ＝r －R≈6R(为恒量)。
(5)速率一定：运动速度v ＝2πr/T ＝3.07 km /s (为恒量)。
(6)绕行方向一定：与地球自转的__________。
4.极地卫星和近地卫星(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。
(2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于__________，其运行线速度约为7.9 km /s 。
万有引力与航天复习教案设计教案
第七章万有引力与航天（复习设计）★ 新课标要求1、理解万有引力定律的内容和公式。
2、掌握万有引力定律的合用条件。
3、认识万有引力的“三性”，即：①广泛性②互相性③宏观性4、掌握对天体运动的分析。
★复习重点万有引力定律在天体运动问题中的应用★教课难点宇宙速度、人造卫星的运动★教课方法：复习发问、讲练联合。
★教课过程（一）投影全章知识脉络，建立知识系统轨道定律开普勒行星运动定律面积定律周期定律发现万有引力定律万有引力定律表述G的测定天体质量的计算应用发现未知天体人造卫星、宇宙速度（二）本章重点综述1、开普勒行星运动定律第必定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。
第二定律：对随意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积。
第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。
即：a3kT 2比值 k 是一个与行星没关的常量。
2、万有引力定律（1）开普勒对行星运动规律的描绘（开普勒定律）为万有引力定律的发现确立了基础。
（2）万有引力定律公式：FGm 1m2， G 6.67 10 11 N m 2 / kg 2r 2（ 3）万有引力定律合用于全部物体，但用公式计算时，注意有必定的合用条件。
3、万有引力定律在天文学上的应用。
（ 1）基本方法：①把天体的运动当作匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力供给：G Mm m v 2m2rr 2r②在忽视天体自转影响时，天体表面的重力加快度：g GM2 ， R 为天体半径。
（ 2）天体质量，密度的估量。
Rr ，周期为 T ，由 GMm4 2 测出环绕天体作匀速圆周运动的半径r 2m2 r 得被环绕天体T42 r3，密度为M 3 r 3 ， R 为被环绕天体的半径。
的质量为 MVGT 2R 2GT 2当环绕天体在被环绕天体的表面运转时，r ＝ R ，则3GT 2。
（ 3）环绕天体的绕行速度，角速度、周期与半径的关系。
高考物理一轮复习 万有引力与航天教学案
万有引力与航天1．开普勒行星运动定律：⑴ 开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个 上． ⑵ 开普勒第二定律：从太阳到行星的连线在相等的时间内扫过相等的 ． ⑶ 开普勒第三定律：所有行星的轨道的 的三次方跟它的 的二次方的比值都相等． 〖图解开普勒行星运动定律〗2．万有引力定律：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的 上，引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成 ，与它们之间距离r 的平方成 ．⑴ 表达式：F = G 为引力常量，G = 6.67×10－11；⑵ 适用条件：① 公式适用于 间的相互作用．当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点．② 质量分布均匀的球体可视为质点，r 是两球心间的距离． 3．宇宙速度：⑴ 第一宇宙速度：又叫 速度，它是人造地球卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度；它又是人造卫星的 环绕速度，也是人造地球卫星的 发射速度．推导过程为：由mg = mv 2/R = GMm /R 2得v =GMR= gR = km/s ． ⑵ 第二宇宙速度：又叫 速度，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度；v 2 = km/s ． ⑶ 第三宇宙速度：又叫 速度，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度；v 3 = km/s ． 4．卫星：⑴ 模型：某一天体周围有绕其做圆周运动的物体，该物体叫做该天体的卫星．在研究过程中，一般仅考虑两者之间的万有引力，其忽略其他星体对它们的作用，且视为匀速圆周运动．⑵ 基本原理：万有引力提供向心力 F n = GMm /r 2；F n = ma n 其中a n = v 2/r 、a n = ω2r 、a n = (2π/T )2r ． ⑶ 同步卫星：相对地球静止的卫星．其特点：① 周期一定：与地球自转周期相同，即T = h ；② 角速度一定：与地球自转的角速度相同；③ 高度一定：卫星离地面的高度h = ；（写公式，下同）④ 速率一定：v = ；⑤ 轨道平面一定：轨道平面与 共面．1．太阳系中的8大行星的轨道均可以近似看成圆轨道．下列4幅图是用来描述这些行星运动所遵从的某一规律的图象．图中坐标系的横轴是lg(T /T 0)，纵轴是lg(R /R 0)；这里T 和R 分别是行星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径，T 0和R 0分别是水星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径．下列4幅图中正确的是 （ ）2．关于万有引力公式F = Gm 1m 2/r 2，以下说法中正确的是 （ ） A ．公式只适用于星球之间的引力计算，不适用于质量较小的物体 B ．当两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大 C ．两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律 D ．公式中引力常量G 的值是牛顿规定的3．关于地球的第一宇宙速度，下列表述正确的是 （ ） A ．第一宇宙速度又叫脱离速度 B ．第一宇宙速度又叫环绕速度C ．第一宇宙速度跟地球的质量无关D ．第一宇宙速度跟地球的半径无关4．如图所示是牛顿研究抛体运动时绘制的一幅草图，以不同速度抛出的物体分别沿a 、b 、c 、d 轨迹运动，其中a 是一段曲线，b 是贴近地球表面的圆，c 是椭圆，d 是双曲线的一部分．已知引力常量为G 、地球质量为M 、半径为R 、地球附近的重力加速度为g ．以下说法中正确的是 （ ） A ．沿a 运动的物体初速度一定小于gR B ．沿b 运动的物体速度等于GMRC ．沿c 运动的物体初速度一定大于第二宇宙速度D ．沿d 运动的物体初速度一定大于第三宇宙速度〖考点1〗万有引力定律的应用【例1】假设地球是一半径为R 、质量分布均匀的球体．一矿井深度为d ．已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零．矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为 （ ）A ．1–d RB ．1 + d RC ．⎝ ⎛⎭⎪⎫R －d R 2D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫R R －d 2【变式跟踪1】美国航空航天局发射的“月球勘测轨道器”LRO，LRO 每天在50 km 的高度穿越月球两极上空10次．若以T 表示LRO 在离月球表面高度h 处的轨道上做匀速圆周运动的周期，以R 表示月球的半径，则 （ ）A ．LRO 运行时的向心加速度为4π2R /T 2B ．LRO 运行时的向心加速度为4π2(R +h )/T2C ．月球表面的重力加速度为4π2R /T 2D ．月球表面的重力加速度为4π2(R +h )3/(T 2R 2) 〖考点2〗对宇宙速度的理解及计算【例2】我国在西昌卫星发射中心，将巴基斯坦通信卫星1R （Paksat – 1R ）成功送入地球同步轨道，发射任务获得圆满成功．关于成功定点后的“1R”卫星，下列说法正确的是 （ ） A ．运行速度大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度 B ．离地面的高度一定，相对地面保持静止C ．绕地球运行的周期比月球绕地球运行的周期大D ．向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相等【变式跟踪2】“静止”在赤道上空的地球同步气象卫星把广阔视野内的气象数据发回地面，为天气预报提供准确、全面和及时的气象资料．设地球同步卫星的轨道半径是地球半径的n 倍，下列说法中正确的是 （ ） A ．同步卫星运行速度是第一宇宙速度的 1/n 倍B ．同步卫星的运行速度是地球赤道上随地球自转的物体速度的 1/n 倍C ．同步卫星运行速度是第一宇宙速度的1n倍 D ．同步卫星的向心加速度是地球表面重力加速度的1n倍 〖考点3〗天体运动中的基本参量的求解及比较【例3】2011年8月，“嫦娥二号”成功进入了环绕“日地拉格朗日点”的轨道，我国成为世界上第三个造访该点的国家．如图所示，该拉格朗日点位于太阳和地球连线的延长线上，一飞行器处于该点，在几乎不消耗燃料的情况下与地球同步绕太阳做圆周运动，则此飞行器的 （ ）A．线速度大于地球的线速度 B ．向心加速度大于地球的向心加速度a 3/T 2 = k ，k 是一个与行星无关的常量C ．向心力仅由太阳的引力提供D ．向心力仅由地球的引力提供【变式跟踪3】2012年6月24日，“神舟九号”飞船与“天宫一号”飞行器成功手动对接，“神舟九号”与“天宫一号”对接前按如图所示的轨道示意图运行，下列说法中正确的是 （ ） A ．“神舟九号”的加速度比“天宫一号”小 B ．“神舟九号”运行的速率比“天宫一号”小 C ．“神舟九号”运行的周期比“天宫一号”长 D ．“神舟九号”运行的角速度比“天宫一号”大 〖考点4〗描述天体运动的五大物理量之间的关系【例4】 一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v ．假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m 的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为F ．已知引力常量为G ，则这颗行星的质量为 （ ）A ．mv 2/GFB ．mv 4/GFC ．Fv 2/GmD ．Fv 4/Gm【变式跟踪4】美国宇航局2011年12月5日宣布，他们发现了太阳系外第一颗类似地球的、能适合居住的行星——“开普勒－226”，其直径约为地球的2.4倍．至今其确切质量和表面成分仍不清楚，假设该行星的密度和地球相当，根据以上信息，估算该行星的第一宇宙速度等于 （ ）A ．3.3×103 m/sB ．7.9×103 m/sC ．1.2×104 m/sD ．1.9×104m/s 〖考点5〗卫星的变轨问题【例5】航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A 点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B 为轨道Ⅱ上的与地球相切的一点，如图所示．关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有 （ ） A ．在轨道Ⅱ上经过A 的速度小于经过B 的速度B ．在轨道Ⅱ上经过A 的动能小于在轨道Ⅰ上经过A 的动能C ．在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期D ．在轨道Ⅱ上经过A 的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A 的加速度【变式跟踪5】如图所示，a 为地球赤道上的物体，b 为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，c 为地球同步卫星．关于a 、b 、c 做匀速圆周运动的说法中正确的是 （ ）A ．地球对b 、c 两星的万有引力提供了向心力，因此只有a 受重力，b 、c 两星不受重力B ．周期关系为T a = T c > T bC ．线速度的大小关系为v a < v c < v bD ．向心加速度的大小关系为a a > a b > a c1．【2013·江苏卷】火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知 （ ）A ．太阳位于木星运行轨道的中心B ．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等C ．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方D ．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积【预测1】 冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，质量比约为7∶1，同时绕它们连线上某点O 做匀速圆周运动．由此可知，冥王星绕O 点运动的 （ ） A ．轨道半径约为卡戎的1/7 B ．角速度大小约为卡戎的1/7 C ．线速度大小约为卡戎的7倍 D ．向心力大小约为卡戎的7倍 2．【2013·新课标全国卷Ⅰ】2012年6月18日，神舟九号飞船与天宫一号目标飞行器在离地面343 km 的近圆形轨道上成功进行了我国首次载人空间交会对接．对接轨道所处的空间存在极其稀薄的大气．下列说法正确的是 （ ）A ．为实现对接，两者运行速度的大小都应介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间B ．如不加干预，在运行一段时间后，天宫一号的动能可能会增加C ．如不加干预，天宫一号的轨道高度将缓慢降低D ．航天员在天宫一号中处于失重状态，说明航天员不受地球引力作用 【预测2】“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为200 km 的圆形轨道上运行，运行周期为127分钟．已知引力常量G = 6.67×10－11 N·m 2/kg 2，月球半径约为1.74×103km ，利用以上数据估算月球的质量约为 （ ）A ．8.1×1010kgB ．7.4×1013 kgC ．5.4×1019 kgD ．7.4×1022kg1．“嫦娥一号”和“嫦娥二号”绕月飞行器的圆形轨道距月球表面分别约为200 km 和100 km ，运动速率分别为v 1和v 2，那么v 1和v 2的比值为（月球半径取1 700 km ） （ ）A ．1819B ． 1918C ．1918D ．18192．如图所示，飞船从轨道1变轨至轨道2.若飞船在两轨道上都做匀速圆周运动，不考虑质量变化，相对于在轨道1上，飞船在轨道2上的 （ ） A ．动能大 B ．向心加速度大 C ．运行周期长 D ．角速度小3．2011年中俄联合实施探测火星计划，由中国负责研制的“萤火一号”火星探测器将与俄罗斯研制的“福布斯—土壤”火星探测器一起由俄罗斯“天顶”运载火箭发射前往火星．已知火星的质量约为地球质量的1/9，火星的半径约为地球半径的1/2．下列关于火星探测器的说法中正确的是 （ ）A ．发射速度只要大于第一宇宙速度即可B ．发射速度只有达到第三宇宙速度才可以C ．发射速度应大于第二宇宙速度、小于第三宇宙速度D ．火星探测器环绕火星运行的最大速度约为第一宇宙速度的1/24．经长期观测，人们在宇宙中已经发现了“双星系统”，“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的线度远小于两个星体之间的距离，而且“双星系统”一般远离其他天体．如图所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O 点做周期相同的匀速圆周运动．现测得两颗星之间的距离为L ，质量之比为m 1∶m 2＝3∶2.则可知 （ ）A ．m 1、m 2做圆周运动的角速度之比为2∶3B ．m 1、m 2做圆周运动的线速度之比为3∶2C ．m 1做圆周运动的半径为2L /5D ．m 2做圆周运动的半径为L 5．我国在西昌成功发射第八颗北斗导航卫星，第八颗北斗导航卫星是一颗地球同步轨道卫星．如图所示，假若第八颗北斗导航卫星先沿椭圆轨道1飞行，后在远地点P 处点火加速，由椭圆轨道1变成地球同步轨道2，下列说法正确的是 （ ） A ．第八颗北斗导航卫星在轨道2运行时完全失重，不受地球引力作用B ．第八颗北斗导航卫星在轨道2运行时的向心加速度比在赤道上相对地球静止的物体的向心加速度小C ．第八颗北斗导航卫星在轨道2运行时的速度大于7.9 km/sD ．第八颗北斗导航卫星在轨道1上的P 点和其在轨道2上的P点的加速度大小相等6．如图所示，三颗质量均为m 的地球同步卫星等间隔分布在半径为r 的圆轨道上，设地球质量为M ，半径为R ．下列说法正确的是（ ）A ．地球对一颗卫星的引力大小为GMm /(r - R )2B ．一颗卫星对地球的引力大小为GMm /r 2C ．两颗卫星之间的引力大小为Gm 2/3r 2D ．三颗卫星对地球引力的合力大小为3GMm /r 2参考答案：1．焦点 面积 半长轴 公转周期2．连线 正比 反比 Gm 1m 2/r 2 N·m 2/kg 2质点 3．环绕 最大 最小 7.9 脱离 11.2 逃逸 16.74．24 3224πGMT–R GMR ＋h赤道平面1．B ；根据开普勒周期定律：R /T = R 03/T 03 = k k ，则T 2/T 02 = R 3/R 03，两式取对数，得：lg(T 2/T 02) = lg(R 3/R 03)，整理得2lg(T /T 0) = 3lg(R /R 0)，选项B 正确．2．C ；万有引力公式F = Gm 1m 2/r 2，虽然是牛顿由天体的运动规律得出的，但牛顿又将它推广到了宇宙中的任何物体，适用于计算任何两个质点间的引力．当两个物体的距离趋近于0时，两个物体就不能视为质点了，万有引力公式不再适用．两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律．公式中引力常量G 的值，是卡文迪许在实验室里实验测定的，而不是人为规定的．故正确答案为C ．3．B ；由于对第一宇宙速度与环绕速度两个概念识记不准，造成误解，其实第一宇宙速度是指最大的环绕速度． 4．AB ；b 是贴近地球表面的圆，沿此轨迹运动的物体满足GMm /R 2= mv 2/R ，解得v =GMR，或满足mg = mv 2/R ，解得v = gR ，以上得到的两个速度均为第一宇宙速度，发射速度小于第一宇宙速度则不能成为人造卫星，如a ，故A 、B 正确；发射速度大于第一宇宙速度而小于第二宇宙速度，卫星的轨道为椭圆，如c ，故C 错误；发射速度大于第二宇宙速度，轨迹将不闭合，发射速度大于第三宇宙速度，轨迹也不闭合，故d 轨迹不能确定其发射速度是否大于第三宇宙速度，D 错误．例1 A ；设地球的密度为ρ，地球的质量为M ，根据万有引力定律可知，地球表面的重力加速度g = GM /R 2.地球质量可表示为M = (4πR 3/3)ρ，因质量分布均匀的球壳对球壳内物体的引力为零，所以矿井下以（R - d )为半径的地球的质量为M ′ = [4π(R –d )3/3]ρ，解得M ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫R －d R 3M ，则矿井底部处的重力加速度g ′ = G M ′/( R –d )2，则矿井底部处的重力加速度和地球表面的重力加速度之比为g′g= 1 – d R，选项A 正确，选项B 、C 、D 错误．变式1 BD ；LRO 运行时的向心加速度为a = ω2r = (2π/T )2(R + h )，B 正确；根据Gm 月m /(R + h )2=m (2π/T )2(R + h )，又Gm 月m ′/R 2 = mg ′，两式联立得g ′ = 4π2(R + h )3/(T 2R 2)，D 正确． 例2 B ；人造地球卫星(包括地球同步卫星)的发射速度大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度，而其运行速度小于第一宇宙速度，选项A 错误；地球同步卫星在赤道上空相对地面静止，并且距地面的高度一定，大约是3.6×104km ，选项B 正确；地球同步卫星绕地球运动的周期与地球自转周期相同，即T = 24 h ，而月球绕地球运行的周期大约是27天，选项C 错误；地球同步卫星与静止在赤道上物体的运行周期相同，角速度也相同，根据公式a = ω2r 可知，运行半径大的向心加速度大，所以地球同步卫星的向心加速度大于静止在赤道上物体的向心加速度，选项D 错误．变式2 C ；设地球半径为R ，质量为M ，则第一宇宙速度v 1 =GMR，根据万有引力等于向心力得同步卫星的运行速度v =GM nR ，所以同步卫星的运行速度是第一宇宙速度的 1n倍，A 错、C 对；同步卫星和地球赤道上随地球自转的物体角速度相同，根据v = ωr ，同步卫星的运行速度是地球赤道上随地球自转的物体速度的n 倍，B 错；由GMm /r 2= ma ，可得同步卫星的向心加速度a = GM /(nR )2，地球表面重力加速度g = Gm /R 2，所以同步卫星的向心加速度是地球表面重力加速度的1/n 2倍，D错．例3 AB ；飞行器与地球同步绕太阳做圆周运动，所以ω飞 = ω地，由圆周运动线速度和角速度的关系v = r ω得v 飞 ＞ v 地，选项A 正确；由公式a = r ω2知，a 飞 ＞ a 地，选项B 正确；飞行器受到太阳和地球的万有引力，方向均指向圆心，其合力提供向心力，故C 、D 选项错． 变式3 D ；由题图可知：“天宫一号”和“神舟九号”都在围绕地球做匀速圆周运动，且“天宫一号”比“神舟九号”的轨道半径大．由万有引力公式和向心力公式可得：GMm /r 2 = ma = mv 2/r = m ω2r = m (2π/T )2r ，故卫星的轨道半径越大，其向心加速度、速率、角速度均越小，其周期越长，A 、B 、C 错误，D 正确．例4 B ；设卫星的质量为m ′，由万有引力提供向心力，得GMm ′/R 2 = m ′v 2/R ① m ′v 2/R = m ′g ②由已知条件：m 的重力为F 得F = mg ③ 由 ③ 得g = F /m ，代入②得：R = mv 2/F ，代入 ①得M = mv 4/GF ，故A 、C 、D 三项均错误，B 项正确．变式4 D ；设地球的密度为ρ，半径为R ，第一宇宙速度为v 1，“开普勒－226”的第一宇宙速度为v 2，G ρ(4π/)R 3m /R 2 = mv 12/R ，G ρ(4π/)(2.4R )3m 0/R 2 = m 0v 22/2.4R 得v 2 = 2.4 v 1 = 1.9×104 m/s ，故D 正确． 例5 ABC ；椭圆轨道远地点A 的速度小于近地点B 的速度，故选A ；在A 点由Ⅰ轨道变到Ⅱ轨道要减速，动能减小，故选B ；由开普勒第三定律a 3/T 2= 常数（其中a 为椭圆半长轴或圆轨道半径），知，因a Ⅱ<a Ⅰ，有T Ⅱ<T Ⅰ，故选C ；由GMm /r 2 = ma 知，两个轨道在A 点加速度相等，故不选D ． 变式5 BC ；a 物体在赤道上还受到地面对其支持力，b 、c 万有引力就可以看成其所受的重力，A 错；b 、c 的周期满足T = 2π r3GM，由于r b < r c ，得T b < T c ，a 、c 的周期都为地球的自转周期，B 对；b 、c 的速度满足v =GMr，由于r b < r c ，得v b > v c ，a 、c 的角速度相等，v = ωr ，由于r a < r c ，得v a < v c ，C 对；b 、c 的向心加速度满足a = GM /r 2，由于r b < r c ，得a b > a c ，a 、b 的角速度相等，a =ωr 2，由于r a < r c ，得a a < a c ，D 错．1．C ；太阳应位于行星运行轨道的一个焦点上，而焦点不是圆心，A 错误．火星和木星绕太阳运行时是不在同一个轨道上的，根据开普勒第二定律可知，同一个行星与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积，D 错误．火星和木星绕太阳运行速度的大小也是不可能始终相等的，B 错误．根据开普勒第三定律 a 火3/T 火2 = a 木3/T 木2可知T 火2/ T 木2 = a 火3/ a 木3，C 正确．预测1 A ；设冥王星的质量、轨道半径、线速度大小分别为m 1、r 1、v 1，卡戎的质量、轨道半径、线速度大小分别为m 2、r 2、v 2，两星间的万有引力分别给两星提供做圆周运动的向心力，且两星的角速度相等，故B 、D 均错；由Gm 1m 2/L 2= m 1ω2r 1 = m 2ω2r 2（L 为两星间的距离），因此r 1/r 2 = m 2/m 1 = 1/7，v 1/v 2 = ωr 1/ωr 2 = m 2/m 1 = 1/7，故A 对、C 错．2．BC ；只要是绕地球运行的天体，其运行速率必定小于第一宇宙速度，故A 错误；如不加干预，由于轨道处稀薄大气的阻力，则天宫一号的速率减小而做向心运动，当达到新的轨道而万有引力又重新能提供向心力时，天宫一号在新的轨道做圆周运动，此时轨道高度降低，运行的速率增大，故B 、C 正确；天宫一号中的航天员不是不受地球引力，而是地球引力全部充当向心力，故D 错误．预测2 D ；由万有引力充当向心力，G mM （r ＋h ）2＝m 4π2（r ＋h ）T 2，可得环绕周期T ＝2π（r ＋h ）3GM，代入数据，解得月球质量M = 7.4×1022kg ，选项D 正确．2 = 12/r r = 1 700＋1001 700＋200 =1819，A 对． 2．CD ；飞船绕中心天体做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，即F 引 = F 向，所以GMm /r 2= ma 向 = mv 2/r= 4π2mr /T 2= mr ω2，即a 向 = GM /r 2，E k = mv 2/2 = GMm /2r ，T = 2πGMr 3，ω = 3r GM （或用公式T = 2π/ω求解）．因为r 1<r 2，所以E k1>E k2，a 向1>a 向2，T 1<T 2，ω1>ω2，选项C 、D 正确．3．CD ；由宇宙速度的意义，可知选项A 、B 错误，选项C 正确；已知M 火 = M 地/9，R 火 = R 地/2，则v m /v 1=GM 火R 火∶ GM 地R 地＝23≈ 0.5，选项D 正确． 4．C ；由于T 1 = T 2，故ω相同，A 错．根据F 万 = F 向，对m 1得 Gm 1m 2/L 2= m 1v 12/r 1 = m 1r 1ω2① 对m 2得Gm 1m 2/L 2 = m 2v 22/r 2 = m 2r 2ω2 ② 又r 1 + r 2 = L ③ 由①②③得v 1/ v 2 = r 1/ r 2 = m 2/m 1，B 错；r 1 = 2L /5、r 2 = 3L /5，C 对、D 错．5．D ；第八颗北斗导航卫星在轨道2运行时引力完全提供向心力，处于完全失重状态，A 错；由a = ω2r可知B 错；由v =GMr知北斗导航卫星在轨道2运行时的速度小于第一宇宙速度，C 错；由a = GM /r 2知在两轨道在P 点的加速度相等，D 对．6．BC ；地球与一颗卫星的万有引力可由万有引力定律直接求出， F 地卫 = G Mm r2，故A 错误，B 正确．卫星间的万有引力也可由万有引力定律直接求出， F 卫卫 = G mm（3r ）2= G m23r 2，故C 正确．三颗卫星对地球的万有引力大小相等，相邻两个力的夹角均为120°，合力为零，故D 错误．。
高考物理一轮复习 第五章 曲线运动 万有引力与航天 第4节 万有引力与航天教案
第4节 万有引力与航天一、开普勒行星运动定律定律 内容图示或公式开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳位于椭圆的一个焦点上开普勒第二定律(面积定律) 太阳与任何一个行星的连线(矢径)在相等的时间内扫过的面积相等开普勒第三定律(周期定律)行星绕太阳运行轨道半长轴r 的立方与其公转周期T 的平方成正比32r T =k,k 是一个与行星无关的常量二、万有引力定律 1.内容自然界中任何两个物体都是相互吸引的,引力的方向沿两物体的连线,引力的大小F 与这两个物体质量的乘积m 1m 2成正比,与这两个物体间距离r 的平方成反比. 2.表达式F=122m m G r ,G 为引力常量,其值为G=6.67×10-11N·m 2/kg 2.3.适用条件(1)公式适用于质点间的相互作用.当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时,物体可视为质点.(2)质量分布均匀的球体可视为质点,r 是两球心间的距离.自 主探 (1)应用公式F=122m m G r 可讨论或计算万有引力的大小,若两物体间距r→0时,万有引力F 为无穷大吗?(2)如图所示,太阳对行星的引力为F,行星对太阳的引力为F′,太阳的质量远大于行星三、宇宙速度 1.三种宇宙速度2.第一宇宙速度的计算方法(1)由G 2Mm R=m 2vR得.(2)由mg=m 2v R得四、经典时空观、相对论时空观和高速世界的两个基本原理 1.经典时空观(1)在经典力学中,物体的质量是不随速度的改变而改变的. (2)在经典力学中,同一物理过程的位移和时间的测量在不同的参考系中是相同的. 2.相对论时空观同一过程的位移、时间和质量的测量与参考系有关,在不同的参考系中结果不同.3.高速世界的两个基本原理(1)相对性原理:所有物理规律在一切惯性参考系中都具有相同的形式.(2)光速不变原理:在一切惯性参考系中,测量到的真空中的光速c 都一样.4.经典力学的适用范围只适用于低速运动,不适用于高速运动;只适用于宏观世界,不适用于微观世界. 1.思考判断(1)地面上的物体所受地球引力的大小均由F=G 122m m r 决定,其方向总是指向地心.( √ )(2)开普勒第三定律32rT =k 中k 值与中心天体质量无关.( × )(3)同步卫星的运行速度一定小于地球第一宇宙速度.( √ ) (4)行星在椭圆轨道上运行速率是变化的,离太阳越远,运行速率越小.( √ )(5)发射速度大于7.9 km/s,小于11.2 km/s 时,人造卫星围绕地球沿椭圆轨道运动.( √ ) 2.土星最大的卫星叫“泰坦”(如图),每16天绕土星一周,其公转轨道半径约为 1.2×106km,已知引力常量G=6.67×10-11N·m 2/kg 2,则土星的质量约为( B ) A.5×1017kg B.5×1026 kg C.7×1033kg D.4×1036kg解析:土星的引力提供卫星做圆周运动的向心力,设土星质量为M,则有2GMmR =mR,解得M=2324πR GT ,将相关数据代入得M≈5×1026kg,故B正确. 3.中国北斗卫星导航系统(BDS)是中国自行研制的全球卫星导航系统,是继美国全球定位系统(GPS)、俄罗斯格洛纳斯卫星导航系统(GLONASS)之后第三个成熟的卫星导航系统.预计2020年左右,北斗卫星导航系统将形成全球覆盖能力.如图所示是北斗导航系统中部分卫星的轨道示意图,已知a,b,c 三颗卫星均做圆周运动,a 是地球同步卫星,则( A )A.卫星a 的角速度小于c 的角速度B.卫星a 的加速度大于b 的加速度C.卫星a 的运行速度大于第一宇宙速度D.卫星b 的周期大于24 h解析:由题图可知,r a =r b >r c ,根据万有引力提供向心力有2GMm r =2mv r=mrω2=224πmr T =ma,则v=,ω=,T=,a=2GM r,故ωa <ωc ,a a =a b ,T b =T a =24 h,故A 正确,B,D 错误;a 的轨道半径大于地球半径,因此卫星a 的运行速度小于第一宇宙速度,选项C 错误.考点一 开普勒行星运动定律的理解与应用1.行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理.2.开普勒行星运动定律也适用于其他天体,例如月球、卫星绕地球的运动等.3.在开普勒第三定律32rT =k 中,k 值只与中心天体的质量有关,不同的中心天体k 值不同.[例1] 火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行,根据开普勒行星运动定律可知( C )A.太阳位于木星运行轨道的中心B.火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等C.火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方D.相同时间内,火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积解析:木星绕太阳运行的轨道为椭圆轨道,故太阳应位于其椭圆轨道的一个焦点上,A 项错误;由于火星和木星在不同的轨道上,且是椭圆轨道,速度大小变化,火星和木星的运行速度大小不一定相等,B 项错误;由开普勒第三定律可知,同一中心天体32R T 火火=32R T 木木=k,即22T T 火木=33R R 火木,C 项正确;开普勒第二定律是指,对同一行星而言,它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积,D项错误.[针对训练](2019·宁夏石嘴山模拟)2018年2月12日,我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭,以“一箭双星”方式成功发射第二十八、二十九颗北斗导航卫星.发射过程中“北斗”28星的某一运行轨道为椭圆轨道,周期为T0,如图所示.则( C)A.“北斗”28星的发射速度小于第一宇宙速度B.“北斗”28星在A→B→C的过程中,速率逐渐变大TC.“北斗”28星在A→B过程所用的时间小于04D.“北斗”28星在B→C→D的过程中,万有引力对它先做正功后做负功解析:绕地球运行的卫星,其发射速度都大于第一宇宙速度,故A错误;根据开普勒第二定律,卫星在A→B→C的过程中,卫星与地球的距离增大,速率逐渐变小,故B错误;卫星在A→C的过程中所用的时T,由于卫星在A→B→C的过程中,速率逐渐变小,A→B与B→C 间是02T,故C正确;卫的路程相等,所以卫星在A→B过程所用的时间小于04星在B→C→D的过程中,万有引力方向先与速度方向成钝角,过了C 点后与速度方向成锐角,所以万有引力对它先做负功后做正功,故D 错误.考点二万有引力定律的理解与应用1.万有引力与重力的关系地球对物体的万有引力F 表现为两个效果:一是重力mg,二是提供物体随地球自转的向心力F 向,如图所示. (1)在赤道上:G 2Mm R=mg 1+m ω2R.(2)在两极上:G 2Mm R=mg 2.(3)在一般位置:万有引力G 2Mm R等于重力mg 与向心力F 向的矢量和.越靠近南北两极g 值越大,由于物体随地球自转所需的向心力较小,常认为万有引力近似等于重力,即2GMm R=mg.2.天体表面重力加速度的计算(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转):mg=G 2Mm R,得g=2GM R.(2)在地球上空距离地心r=R+h 处的重力加速度为g′,mg′=2()GMmR h +,得g′=2()GM R h +,所以g g '=22()R h R +.3.有关万有引力的两个推论推论Ⅰ:在匀质球壳的空腔内任意位置处,质点受到球壳的万有引力的合力为零.推论Ⅱ:如图所示,在匀质球体内部距离球心r 处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r 的同心球体(M′)对它的引力,即F=G 2M mr'.[例2](多选)如图所示,三颗质量均为m 的地球同步卫星等间隔分布在半径为r 的圆轨道上,设地球质量为M,半径为R.下列说法正确的是( BC )A.地球对一颗卫星的引力大小为2()GMmr R -B.一颗卫星对地球的引力大小为2GMm rC.两颗卫星之间的引力大小为223Gm r D.三颗卫星对地球引力的合力大小为23GMm r解析:地球与卫星之间的距离应为地心与卫星之间的距离,选项A 错误,B 正确;两颗相邻卫星与地球球心的连线互成120°角,间距为3r,代入数据得,两颗卫星之间引力大小为223Gm r,选项C 正确;三颗卫星对地球引力的合力为零,选项D 错误.[针对训练] 某星球的质量约为地球的9倍,半径约为地球的三分之一,若从地球上高h 处平抛一物体,射程为 63 m,则在该星球上,从同样高度,以同样的初速度平抛同一物体,射程应为( C ) A.189 m B.21 m C.7 m D.567 m解析:设地球质量为M,半径为R,表面重力加速度为g.则在地球表面G 2Mm R =mg,在星球表面G 2M mR ''=mg′,即G 291(R)3Mm=mg′,解得g′=81g.根据平抛规律,在地球上x=v 0t=v 02h g.在星球上x′=v 0t′=v 02h g '=v 0281h g .所以x′=19x=7 m,故C 项正确.考点三 中心天体的质量和密度的估算1.中心天体质量和密度的计算方法方法 已知量利用公式 表达式备注利用运行天体r,TG2Mmr = mrM=2324πr GT 只能得到中心天体的质量r,vG2Mmr = m 2v rM=2rv Gv,TG2Mmr = m 2v r, G2Mmr = mrM=32πv T G利用天体 表面重力 加速度g,Rmg=2GMm RM=2gR G—利用运 行天体r,T, RG 2Mm r= mr, M=ρ·43πR 3ρ=3233πr GT R当r=R 时ρ=23πGT 利用近地卫星只需测出其运行周期利用天体 表面重力 加速度g,Rmg=2GMmR M=ρ·43πR 3ρ=3g4πGR—2.估算天体问题应注意三点(1)天体质量估算中常有隐含条件,如地球的自转周期为24 h,公转周期为365天等.(2)若已知地球表面重力加速度时,注意黄金代换式GM=gR 2的应用.(3)注意密度关系式ρ=23πGT 中的T 是近地卫星的周期.[例3] (多选)利用引力常量G 和下列有关数据,能计算出地球质量的是( ABC )A.地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转)B.人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期C.月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离D.地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离解析:A 项,因为不考虑地球的自转,所以相对地面静止的某一物体的万有引力等于重力,即2mGMR 地=mg,得M 地=2gR G,能求出地球的质量;B 项,根据2GM m R 卫地=m卫2v R和T=2πR v,得M 地=3T2πv G,可求出地球的质量;C 项,根据2GM m r 月地=m 月r,得M地=2324πr GT ,可求出地球的质量;D 项,根据20GM M r 太地=M 地r 02204πT ,得M 太=23024πr GT ,可求出太阳的质量,但不能求出地球质量.故A,B,C 正确,D 错误.[针对训练] (多选)公元2100年,航天员准备登陆木星,为了更准确了解木星的一些信息,到木星之前做一些科学实验,当航天器与木星表面相对静止时,航天员对木星表面发射一束激光,经过时间t,收到激光传回的信号,测得相邻两次看到日出的时间间隔是T,测得航天员所在航天器的速度为v,已知引力常量G,激光的速度为c,则( AD ) A.木星的质量M=3T2πv GB.木星的质量M=2332π2c tGTC.木星的密度ρ=23πGTD.木星的密度ρ=333πT(π)v G vT ct -解析:由题意知,航天器到木星表面的距离h=2ct ,航天器绕木星运动的周期为T,根据v=2πr T 可得,航天器的轨道半径r=2πvT ,根据万有引力提供向心力,有2GMm r =m 2v r ,得M=3T 2πv G,故A 正确,B 错误;木星的半径R=r-h=2πvT-2ct ,所以木星的密度ρ=M V=34π3MR =333πT (π)v G vT ct -,故C 错误,D 正确.考点四 卫星的运行规律1.卫星的各物理量随轨道半径变化的规律2.卫星运动中的机械能(1)只在万有引力作用下,卫星绕中心天体做匀速圆周运动和沿椭圆轨道运动,机械能均守恒,这里的机械能包括卫星的动能和卫星(与中心天体)的重力势能.(2)质量相同的卫星,圆轨道半径越大,动能越小,势能越大,机械能越大. [例4]如图所示,A 为近地气象卫星,B 为远地通讯卫星,假设它们都绕地球做匀速圆周运动.已知地球半径为R,卫星A 距地面高度可忽略不计,卫星B 距地面高度为h,不计卫星间的相互作用力.则下列说法正确的是( D )A.若两卫星质量相等,发射卫星B 需要的能量少B.卫星A 与卫星B运行周期之比为33()R R h +C.卫星A 与卫星B 运行的加速度大小之比为R hR +D.卫星A 与卫星B 解析:若两卫星质量相等,圆轨道半径越大,卫星所具有的机械能越大,所以发射卫星B 需要的能量大,选项A 错误;根据开普勒第三定律可知,所有行星的轨道的半长轴的立方跟它的公转周期的平方的比值都相等,即卫星A 与卫星B 故B 错误;由2GMm R =ma,则a=2GMR,所以卫星A 与卫星B 运行的加速度大小之比为22()R h R +,故C 错误;由2GMm R=2mvR ,得卫星A 与卫星B 运行速度所以D 正确.[针对训练]我国首颗量子科学实验卫星于2016年8月16日1点40分成功发射.量子卫星成功运行后,我国在世界上首次实现卫星和地面之间的量子通信,构建天地一体化的量子保密通信与科学实验体系.假设量子卫星轨道在赤道平面,如图所示.已知量子卫星的轨道半径是地球半径的m 倍,同步卫星的轨道半径是地球半径的n 倍,图中P 点是地球赤道上一点,由此可知( D )A.同步卫星与量子卫星的运行周期之比为33nmB.同步卫星与P 点的速度之比为1nC.量子卫星与同步卫星的速度之比为nmD.量子卫星与P解析:由开普勒第三定律33R R 同量=22T T 同量可知,T T 同量选项A 错误;由于同步卫星的周期与地球自转周期相同,由v=rω=2πr T可得,v同∶v P =n∶1,选项B 错误;由G2Mm r =m 2v r 得则v v 量同,选项C 错误;量子卫星与P 点的速度之比P v v 量=v v 量同·Pv v 同选项D 正确.1.(2015·福建卷,14)如图,若两颗人造卫星a 和b 均绕地球做匀速圆周运动,a,b 到地心O 的距离分别为r 1,r 2,线速度大小分别为v 1,v 2,则( A )A.12v vB.12vv C.12v v =(21r r ) 2 D.12v v =(12r r )2解析:万有引力提供卫星绕地球做匀速圆周运动的向心力,有G2Mm r =m 2v r ,所以12v v 项正确.2.(2019·全国Ⅱ卷,14)2019年1月,我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆,在探测器“奔向”月球的过程中,用h 表示探测器与地球表面的距离,F 表示它所受的地球引力,能够描述F 随h 变化关系的图象是( D )解析:根据万有引力定律可得F=2()GMmR h ,探测器与地球表面的距离h 越大,它所受的地球引力F 越小,故D 正确.3.(2019·全国Ⅲ卷,15)金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动,它们的向心加速度大小分别为a 金,a 地,a 火,它们沿轨道运行的速率分别为v 金,v 地,v 火.已知它们的轨道半径R 金<R 地<R 火,由此可以判定( A )A.a 金>a 地>a 火B.a 火>a 地>a 金C.v 地>v 火>v 金D.v 火>v 地>v 金解析:金星、地球和火星绕太阳做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供,由G 2Mm R=ma 可知,轨道半径越小,向心加速度越大,故A 正确,B 错误;由G 2MmR =m 2v R 得,可知轨道半径越小,运行速率越大,故C,D 错误.4.(2018·全国Ⅱ卷,16)2018年2月,我国500 m 口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318+0253”,其自转周期T=5.19 ms.假设星体为质量均匀分布的球体,已知万有引力常量为6.67×10-11N·m 2/kg 2.以周期T 稳定自转的星体的密度最小值约为( C ) A.5×109 kg/m 3 B.5×1012 kg/m 3C.5×1015 kg/m 3D.5×1018 kg/m 3解析:设脉冲星的质量为M,半径为r,密度为ρ,假设有一质量为m 的物体在脉冲星表面随脉冲星的自转而转动,物体所需的最大向心力为mr,则必须满足万有引力G 2Mm r≥mr,否则脉冲星将由于自转而瓦解.又知M=ρ·43πr 3,解得ρ≥5.2×1015 kg/m 3.故选项C 正确.5.(2019·河南南阳模拟)(多选)轨道平面与赤道平面夹角为90°的人造地球卫星被称为极地轨道卫星,它运行时能到达南北极的上空,需要在全球范围内进行观测和应用的气象卫星、导航卫星等都采用这种轨道.如图所示,若某颗极地轨道卫星从北纬45°的正上方按图示方向首次运行到南纬45°的正上方用时45分钟,则( AC ) A.该卫星的运行速度一定小于7.9 km/sB.该卫星绕地球运行的周期与地球同步卫星的周期之比为1∶4C.该卫星的轨道半径与地球同步卫星的轨道半径之比为1∶4D.该卫星的加速度与地球同步卫星的加速度之比为2∶1解析:由于卫星的轨道半径大于地球半径,所以卫星的线速度一定小于第一宇宙速度,即卫星的线速度小于 7.9 km/s,故A 正确;由题意可知,卫星的周期T=36090︒︒×45 min =180 min=3 h,而地球同步卫星的周期是 24 h,故它与地球同步卫星的周期之比为1∶8,故B 错误;根据万有引力提供向心力,有G2Mmr =mr(2πT)2,解得r=,则r r 同步===14,故C 正确;根据G 2Mm r =ma,解得a=2GMr,则a a 同步=22r r同步=161,故D 错误.。
万有引力与航天高考一轮复习教案
万有引力与航天 复习教案教学目标:1、理解万有引力定律的内容和公式2、掌握万有引力定律的适用条件3、掌握建立物理模型，解决对天体运动的分析重点:万有引力定律在天体运动问题中的应用一、本章知识脉络，构建课标知识体系二、要点总结1、开普勒行星运动定律第一定律：_____________________________________________________________第二定律：_____________________________________________________________。
第三定律：_____________________________________________________________-* 解决天体问题时一般把模型看成圆周运动.2、万有引力定律（1）开普勒对行星运动规律的描述（开普勒定律）为万有引力定律的发现奠定了基础。
（2）万有引力定律公式：____________________________________________________________________（3）万有引力定律适用于一切物体，但用公式计算时，注意有一定的适用条件。
#万有引力与重力的区别：3、万有引力定律在天文学上的应用。
（1）基本方法：①把天体的运动看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供：__________________________________________________________ 周期定律 开普勒行星运动定律 轨道定律 面积定律 发现 万有引力定律 表述G 的测定 天体质量、密度 发现未知天体 人造卫星、宇宙速度应用 万有引力定律②在忽略天体自转影响时，天体表面的重力加速度：_____________________________________________________________________（2）天体质量，密度的估算。
高考物理一轮复习 第四章 曲线运动 万有引力与航天 第4讲 万有引力与航天教案-人教版高三全册物理教
第4讲 万有引力与航天一、开普勒行星运动定律二、万有引力定律1.内容:自然界中任何两个物体都相互吸引,引力的方向在它们的连线上,引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成⑥ 正比 ,与它们之间距离r 的二次方成⑦ 反比 。
2.公式:F=⑧ Gm 1m 2m 2,其中G=6.67×10-11 N·m 2/kg 2。
3.适用条件:严格地说,公式只适用于⑨ 质点 间的相互作用,当两个物体间的距离⑩ 远大于 物体本身的大小时,物体可视为质点。
均匀的球体可视为质点,其中r 是 两球心 间的距离。
一个均匀球体与球外一个质点间的万有引力也适用,其中r 为 球心 到质点间的距离。
三、宇宙速度1.第一宇宙速度(环绕速度)(1)v 1= 7.9 km/s,是人造卫星的最小 发射 速度,也是人造卫星最大的 环绕 速度。
(2)第一宇宙速度的计算方法 ①由Gmm m 2=m m 2m得v= √mm R。
②由mg=m m 2m得v= √mm 。
2.第二宇宙速度(逃逸速度):v 2= 11.2 km/s,使物体挣脱 地球 引力束缚的最小发射速度。
3.第三宇宙速度:v 3= 16.7 km/s,使物体挣脱 太阳 引力束缚的最小发射速度。
四、经典力学时空观和相对论时空观(1)在经典力学中,物体的质量是不随速度的改变而改变的。
(2)在经典力学中,同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是相同的。
(1)在狭义相对论中,物体的质量随物体的速度的增加而增加,用公式表示为m=0√1-2m2(2)在狭义相对论中,同一物理过程的位移和时间的测量与参考系有关 ,在不同的参考系中不同。
3.经典力学的适用X围:只适用于低速运动,不适用于高速运动;只适用于宏观世界,不适用于微观世界。
1.判断以下说法对错。
(1)所有行星绕太阳运行的轨道都是椭圆。
(√)(2)行星在椭圆轨道上运行速率是变化的,离太阳越远,运行速率越大。
高考物理第一轮复习教案 第四章 曲线运动 万有引力与航天
第四章 曲线运动 万有引力与航天一、知识网络1．运动的合成和分解 Ⅱ 2．抛体运动 Ⅱ 3．匀速圆周运动、角速度、线速度、向心加速度 Ⅰ 4．匀速圆周运动的向心力 Ⅱ 5．离心现象 Ⅰ 6．万有引力定律及其应用 Ⅱ 7．环绕速度 Ⅱ 8．第二宇宙速度和第三宇宙速度 Ⅰ 9．经典时空观和相对论时空观 Ⅰ 三、复习提要本章知识点，从近几年高考看，主要考查的有以下几点：（1）平抛物体的运动。
（2）匀速圆周运动及其重要公式，如线速度、角速度、向心力等。
（3）万有引力定律及其运用。
（4）运动的合成与分解。
注意圆周运动问题是牛顿运动定律在曲线运动中的具体应用，要加深对牛顿第二定律的理解，提高应用牛顿运动定律分析、解决实际问题的能力。
近几年对人造卫星问题考查频率较高，它是对万有引力的考查。
卫星问题与现代科技结合密切，对理论联系实际的能力要求较高，要引起足够重视。
本章内容常与电场、磁场、机械能等知识综合成难度较大的试题，学习过程中应加强综合能力的培养。
四、命题热点与展望本章内容在高考题中常有出现，考查重点是对概念和规律的理解和运用。
内容主要集中在平抛运动和天体运动、人造卫星的运动规律等方面，且均有一定难度。
本章的圆周运动经常与电磁场、洛仑兹力等内容结合起来考查。
§1 运动的合成与分解 平抛物体的运动一、曲线运动1．曲线运动的条件：质点所受合外力的方向（或加速度方向）跟它的速度方向不在同一直线上。
当物体受到的合力为恒力（大小恒定、方向不变）时，物体作匀变速曲线运动 ，如平抛运动。
当物体受到的合力大小恒定而方向总跟速度的方向垂直，则物体将做匀速率圆周运动。
如果物体受到约束，只能沿圆形轨道运动，而速率不断变化，是变速率圆周运动。
合力的方向并不总跟速曲线运动万有引力与航天度方向垂直。
2．曲线运动的特点：（1）曲线运动中速度的方向沿曲线的切线方向，在曲线运动中速度方向是时刻改变的，所以曲线运动一定是变速运动。
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万有引力与航天一．考点整理基本概念1．开普勒行星运动定律：⑴开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个上．⑵开普勒第二定律：从太阳到行星的连线在相等的时间内扫过相等的．⑶开普勒第三定律：所有行星的轨道的的三次方跟它的的二次方的比值都相等．〖图解开普勒行星运动定律〗2．万有引力定律：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成，与它们之间距离r的平方成．⑴表达式：F = G为引力常量，G = 6.67×10－11；⑵适用条件：①公式适用于间的相互作用．当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点．②质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离．3．宇宙速度：⑴第一宇宙速度：又叫速度，它是人造地球卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度；它又是人造卫星的环绕速度，也是人造地球卫星的发射速度．推导过程为：由mg = mv2/R = GMm/R2得v = GMR= gR = km/s．⑵第二宇宙速度：又叫速度，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度；v2= km/s．⑶第三宇宙速度：又叫速度，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度；v3= km/s．4．卫星：⑴模型：某一天体周围有绕其做圆周运动的物体，该物体叫做该天体的卫星．在研究过程中，一般仅考虑两者之间的万有引力，其忽略其他星体对它们的作用，且视为匀速圆周运动．⑵基本原理：万有引力提供向心力F n= GMm/r2；F n= ma n其中a n= v2/r、a n= ω2r、a n= (2π/T)2r．⑶同步卫星：相对地球静止的卫星．其特点：①周期一定：与地球自转周期相同，即T = h；②角速度一定：与地球自转的角速度相同；③高度一定：卫星离地面的高度h= ；（写公式，下同）④速率一定：v = ；⑤轨道平面一定：轨道平面与共面．二．思考与练习思维启动1．太阳系中的8大行星的轨道均可以近似看成圆轨道．下列4幅图是用来描述这些行星运动所遵从的某一规律的图象．图中坐标系的横轴是lg(T/T0)，纵轴是lg(R/R0)；这里T和R分别是行星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径，T0和R0分别是水星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径．下列4幅图中正确的是（）2．关于万有引力公式F = Gm1m2/r2，以下说法中正确的是（）A．公式只适用于星球之间的引力计算，不适用于质量较小的物体B．当两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大C．两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律D．公式中引力常量G的值是牛顿规定的3．关于地球的第一宇宙速度，下列表述正确的是（）A．第一宇宙速度又叫脱离速度 B．第一宇宙速度又叫环绕速度C．第一宇宙速度跟地球的质量无关 D．第一宇宙速度跟地球的半径无关4．如图所示是牛顿研究抛体运动时绘制的一幅草图，以不同速度抛出的物体分别沿a、b、c、d轨迹运动，其中a是一段曲线，b是贴近地球表面的圆，c是椭圆，d是双曲线的一部分．已知引力常量为G、地球质量为M、半径为R、地球附近的重力加速度为g．以下说法中正确的是（）A．沿a运动的物体初速度一定小于gRB．沿b运动的物体速度等于GMRC．沿c运动的物体初速度一定大于第二宇宙速度D．沿d运动的物体初速度一定大于第三宇宙速度三．考点分类探讨典型问题〖考点1〗万有引力定律的应用【例1】假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体．一矿井深度为d．已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零．矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为（）A．1–dRB．1 +dRC．⎝⎛⎭⎪⎫R－dR2D．⎝⎛⎭⎪⎫RR－d2【变式跟踪1】美国航空航天局发射的“月球勘测轨道器”LRO，LRO每天在50 km的高度穿越月球两极上空10次．若以T表示LRO在离月球表面高度h处的轨道上做匀速圆周运动的周期，以R表示月球的半径，则（）A．LRO运行时的向心加速度为4π2R/T2 B．LRO运行时的向心加速度为4π2(R+h)/T2C．月球表面的重力加速度为4π2R/T2 D．月球表面的重力加速度为4π2(R+h)3/(T2R2)〖考点2〗对宇宙速度的理解及计算【例2】我国在西昌卫星发射中心，将巴基斯坦通信卫星1R（Paksat – 1R）成功送入地球同步轨道，发射任务获得圆满成功．关于成功定点后的“1R”卫星，下列说法正确的是（）A．运行速度大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度B．离地面的高度一定，相对地面保持静止C．绕地球运行的周期比月球绕地球运行的周期大D．向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相等【变式跟踪2】“静止”在赤道上空的地球同步气象卫星把广阔视野内的气象数据发回地面，为天气预报提供准确、全面和及时的气象资料．设地球同步卫星的轨道半径是地球半径的n倍，下列说法中正确的是（）A．同步卫星运行速度是第一宇宙速度的 1/n倍B．同步卫星的运行速度是地球赤道上随地球自转的物体速度的 1/n倍C．同步卫星运行速度是第一宇宙速度的1n倍D．同步卫星的向心加速度是地球表面重力加速度的1n倍〖考点3〗天体运动中的基本参量的求解及比较【例3】2011年8月，“嫦娥二号”成功进入了环绕“日地拉格朗日点”的轨道，我国成为世界上第三个造访该点的国家．如图所示，该拉格朗日点位于太阳和地球连线的延长线上，一飞行器处于该点，在几乎不消耗燃料的情况下与地球同步绕太阳做圆周运动，则此飞行器的（）A．线速度大于地球的线速度 B．向心加速度大于地球的向心加速度a3/T2 = k，k是一个与行星无关的常量C．向心力仅由太阳的引力提供 D．向心力仅由地球的引力提供【变式跟踪3】2012年6月24日，“神舟九号”飞船与“天宫一号”飞行器成功手动对接，“神舟九号”与“天宫一号”对接前按如图所示的轨道示意图运行，下列说法中正确的是（）A．“神舟九号”的加速度比“天宫一号”小B．“神舟九号”运行的速率比“天宫一号”小C．“神舟九号”运行的周期比“天宫一号”长D．“神舟九号”运行的角速度比“天宫一号”大〖考点4〗描述天体运动的五大物理量之间的关系【例4】一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v．假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为F．已知引力常量为G，则这颗行星的质量为（）A．mv2/GF B．mv4/GF C．Fv2/Gm D．Fv4/Gm【变式跟踪4】美国宇航局2011年12月5日宣布，他们发现了太阳系外第一颗类似地球的、能适合居住的行星——“开普勒－226”，其直径约为地球的2.4倍．至今其确切质量和表面成分仍不清楚，假设该行星的密度和地球相当，根据以上信息，估算该行星的第一宇宙速度等于（）A．3.3×103 m/s B．7.9×103 m/s C．1.2×104 m/s D．1.9×104 m/s〖考点5〗卫星的变轨问题【例5】航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B为轨道Ⅱ上的与地球相切的一点，如图所示．关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有（）A．在轨道Ⅱ上经过A的速度小于经过B的速度B．在轨道Ⅱ上经过A的动能小于在轨道Ⅰ上经过A的动能C．在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期D．在轨道Ⅱ上经过A的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A的加速度【变式跟踪5】如图所示，a为地球赤道上的物体，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，c为地球同步卫星．关于a、b、c做匀速圆周运动的说法中正确的是（）A．地球对b、c两星的万有引力提供了向心力，因此只有a受重力，b、c两星不受重力B．周期关系为T a = T c > T bC．线速度的大小关系为v a < v c < v bD．向心加速度的大小关系为a a > a b > a c四．考题再练高考试题1．【2013·江苏卷】火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知（）A．太阳位于木星运行轨道的中心B．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等C．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积【预测1】冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，质量比约为7∶1，同时绕它们连线上某点O做匀速圆周运动．由此可知，冥王星绕O点运动的（）A．轨道半径约为卡戎的1/7 B．角速度大小约为卡戎的1/7C．线速度大小约为卡戎的7倍 D．向心力大小约为卡戎的7倍2．【2013·新课标全国卷Ⅰ】2012年6月18日，神舟九号飞船与天宫一号目标飞行器在离地面343 km 的近圆形轨道上成功进行了我国首次载人空间交会对接．对接轨道所处的空间存在极其稀薄的大气．下列说法正确的是（）A．为实现对接，两者运行速度的大小都应介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间B．如不加干预，在运行一段时间后，天宫一号的动能可能会增加C．如不加干预，天宫一号的轨道高度将缓慢降低D．航天员在天宫一号中处于失重状态，说明航天员不受地球引力作用【预测2】“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为200 km的圆形轨道上运行，运行周期为127分钟．已知引力常量G = 6.67×10－11N·m2/kg2，月球半径约为1.74×103 km，利用以上数据估算月球的质量约为（）A．8.1×1010kg B．7.4×1013 kg C．5.4×1019 kg D．7.4×1022 kg 五．课堂演练自我提升1．“嫦娥一号”和“嫦娥二号”绕月飞行器的圆形轨道距月球表面分别约为200 km和100 km，运动速率分别为v1和v2，那么v1和v2的比值为（月球半径取1 700 km）（）A．1819B．1918C．1918D．18192．如图所示，飞船从轨道1变轨至轨道2.若飞船在两轨道上都做匀速圆周运动，不考虑质量变化，相对于在轨道1上，飞船在轨道2上的（）A．动能大 B．向心加速度大C．运行周期长 D．角速度小3．2011年中俄联合实施探测火星计划，由中国负责研制的“萤火一号”火星探测器将与俄罗斯研制的“福布斯—土壤”火星探测器一起由俄罗斯“天顶”运载火箭发射前往火星．已知火星的质量约为地球质量的1/9，火星的半径约为地球半径的1/2．下列关于火星探测器的说法中正确的是（）A．发射速度只要大于第一宇宙速度即可B．发射速度只有达到第三宇宙速度才可以C．发射速度应大于第二宇宙速度、小于第三宇宙速度D．火星探测器环绕火星运行的最大速度约为第一宇宙速度的1/24．经长期观测，人们在宇宙中已经发现了“双星系统”，“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的线度远小于两个星体之间的距离，而且“双星系统”一般远离其他天体．如图所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动．现测得两颗星之间的距离为L，质量之比为m1∶m2＝3∶2.则可知（）A．m1、m2做圆周运动的角速度之比为2∶3 B．m1、m2做圆周运动的线速度之比为3∶2C．m1做圆周运动的半径为2L/5 D．m2做圆周运动的半径为L5．我国在西昌成功发射第八颗北斗导航卫星，第八颗北斗导航卫星是一颗地球同步轨道卫星．如图所示，假若第八颗北斗导航卫星先沿椭圆轨道1飞行，后在远地点P处点火加速，由椭圆轨道1变成地球同步轨道2，下列说法正确的是（）A．第八颗北斗导航卫星在轨道2运行时完全失重，不受地球引力作用B．第八颗北斗导航卫星在轨道2运行时的向心加速度比在赤道上相对地球静止的物体的向心加速度小C．第八颗北斗导航卫星在轨道2运行时的速度大于7.9 km/sD．第八颗北斗导航卫星在轨道1上的P点和其在轨道2上的P点的加速度大小相等6．如图所示，三颗质量均为m的地球同步卫星等间隔分布在半径为r的圆轨道上，设地球质量为M，半径为R．下列说法正确的是（）A ．地球对一颗卫星的引力大小为GMm /(r - R )2B ．一颗卫星对地球的引力大小为GMm /r 2C ．两颗卫星之间的引力大小为Gm 2/3r 2D ．三颗卫星对地球引力的合力大小为3GMm /r 2参考答案：一．考点整理 基本概念1．焦点 面积 半长轴 公转周期2．连线 正比 反比 Gm 1m 2/r 2 N·m 2/kg 2质点 3．环绕 最大 最小 7.9 脱离 11.2 逃逸 16.74．24 3224πGMT–R GMR ＋h赤道平面 二．思考与练习 思维启动1．B ；根据开普勒周期定律：R 3/T 2 = R 03/T 03 = k k ，则T 2/T 02 = R 3/R 03，两式取对数，得：lg(T 2/T 02) = lg(R 3/R 03)，整理得2lg(T /T 0) = 3lg(R /R 0)，选项B 正确．2．C ；万有引力公式F = Gm 1m 2/r 2，虽然是牛顿由天体的运动规律得出的，但牛顿又将它推广到了宇宙中的任何物体，适用于计算任何两个质点间的引力．当两个物体的距离趋近于0时，两个物体就不能视为质点了，万有引力公式不再适用．两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律．公式中引力常量G 的值，是卡文迪许在实验室里实验测定的，而不是人为规定的．故正确答案为C ．3．B ；由于对第一宇宙速度与环绕速度两个概念识记不准，造成误解，其实第一宇宙速度是指最大的环绕速度． 4．AB ；b 是贴近地球表面的圆，沿此轨迹运动的物体满足GMm /R 2= mv 2/R ，解得v =GMR，或满足mg = mv 2/R ，解得v = gR ，以上得到的两个速度均为第一宇宙速度，发射速度小于第一宇宙速度则不能成为人造卫星，如a ，故A 、B 正确；发射速度大于第一宇宙速度而小于第二宇宙速度，卫星的轨道为椭圆，如c ，故C 错误；发射速度大于第二宇宙速度，轨迹将不闭合，发射速度大于第三宇宙速度，轨迹也不闭合，故d 轨迹不能确定其发射速度是否大于第三宇宙速度，D 错误．三．考点分类探讨 典型问题 例1 A ；设地球的密度为ρ，地球的质量为M ，根据万有引力定律可知，地球表面的重力加速度g = GM /R 2.地球质量可表示为M = (4πR 3/3)ρ，因质量分布均匀的球壳对球壳内物体的引力为零，所以矿井下以（R - d )为半径的地球的质量为M ′ = [4π(R –d )3/3]ρ，解得M ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫R －d R 3M ，则矿井底部处的重力加速度g ′ = G M ′/( R –d )2，则矿井底部处的重力加速度和地球表面的重力加速度之比为g′g= 1 – d R，选项A 正确，选项B 、C 、D 错误．变式1 BD ；LRO 运行时的向心加速度为a = ω2r = (2π/T )2(R + h )，B 正确；根据Gm 月m /(R + h )2=m (2π/T )2(R + h )，又Gm 月m ′/R 2 = mg ′，两式联立得g ′ = 4π2(R + h )3/(T 2R 2)，D 正确． 例2 B ；人造地球卫星(包括地球同步卫星)的发射速度大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度，而其运行速度小于第一宇宙速度，选项A 错误；地球同步卫星在赤道上空相对地面静止，并且距地面的高度一定，大约是3.6×104km ，选项B 正确；地球同步卫星绕地球运动的周期与地球自转周期相同，即T = 24 h ，而月球绕地球运行的周期大约是27天，选项C 错误；地球同步卫星与静止在赤道上物体的运行周期相同，角速度也相同，根据公式a = ω2r 可知，运行半径大的向心加速度大，所以地球同步卫星的向心加速度大于静止在赤道上物体的向心加速度，选项D 错误．变式2 C ；设地球半径为R ，质量为M ，则第一宇宙速度v 1 =GMR，根据万有引力等于向心力得同步卫星的运行速度v =GM nR ，所以同步卫星的运行速度是第一宇宙速度的 1n倍，A 错、C 对；同步卫星和地球赤道上随地球自转的物体角速度相同，根据v = ωr ，同步卫星的运行速度是地球赤道上随地球自转的物体速度的n 倍，B 错；由GMm /r 2= ma ，可得同步卫星的向心加速度a = GM /(nR )2，地球表面重力加速度g = Gm /R 2，所以同步卫星的向心加速度是地球表面重力加速度的1/n 2倍，D错．例3 AB ；飞行器与地球同步绕太阳做圆周运动，所以ω飞 = ω地，由圆周运动线速度和角速度的关系v = rω得v 飞 ＞ v 地，选项A 正确；由公式a = rω2知，a 飞 ＞ a 地，选项B 正确；飞行器受到太阳和地球的万有引力，方向均指向圆心，其合力提供向心力，故C 、D 选项错． 变式3 D ；由题图可知：“天宫一号”和“神舟九号”都在围绕地球做匀速圆周运动，且“天宫一号”比“神舟九号”的轨道半径大．由万有引力公式和向心力公式可得：GMm /r 2 = ma = mv 2/r = mω2r = m (2π/T )2r ，故卫星的轨道半径越大，其向心加速度、速率、角速度均越小，其周期越长，A 、B 、C 错误，D 正确．例4 B ；设卫星的质量为m ′，由万有引力提供向心力，得GMm ′/R 2 = m ′v 2/R ① m ′v 2/R = m ′g ②由已知条件：m 的重力为F 得F = mg ③ 由 ③ 得g = F /m ，代入②得：R = mv 2/F ，代入 ①得M = mv 4/GF ，故A 、C 、D 三项均错误，B 项正确．变式4 D ；设地球的密度为ρ，半径为R ，第一宇宙速度为v 1，“开普勒－226”的第一宇宙速度为v 2，G ρ(4π/)R 3m /R 2 = mv 12/R ，G ρ(4π/)(2.4R )3m 0/R 2 = m 0v 22/2.4R 得v 2 = 2.4 v 1 = 1.9×104 m/s ，故D 正确． 例5 ABC ；椭圆轨道远地点A 的速度小于近地点B 的速度，故选A ；在A 点由Ⅰ轨道变到Ⅱ轨道要减速，动能减小，故选B ；由开普勒第三定律a 3/T 2= 常数（其中a 为椭圆半长轴或圆轨道半径），知，因a Ⅱ<a Ⅰ，有T Ⅱ<T Ⅰ，故选C ；由GMm /r 2 = ma 知，两个轨道在A 点加速度相等，故不选D ． 变式5 BC ；a 物体在赤道上还受到地面对其支持力，b 、c 万有引力就可以看成其所受的重力，A 错；b 、c 的周期满足T = 2π r3GM，由于r b < r c ，得T b < T c ，a 、c 的周期都为地球的自转周期，B 对；b 、c 的速度满足v =GMr，由于r b < r c ，得v b > v c ，a 、c 的角速度相等，v = ωr ，由于r a < r c ，得v a < v c ，C 对；b 、c 的向心加速度满足a = GM /r 2，由于r b < r c ，得a b > a c ，a 、b 的角速度相等，a =ωr 2，由于r a < r c ，得a a < a c ，D 错．四．考题再练 高考试题1．C ；太阳应位于行星运行轨道的一个焦点上，而焦点不是圆心，A 错误．火星和木星绕太阳运行时是不在同一个轨道上的，根据开普勒第二定律可知，同一个行星与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积，D 错误．火星和木星绕太阳运行速度的大小也是不可能始终相等的，B 错误．根据开普勒第三定律 a 火3/T 火2 = a 木3/T 木2可知T 火2/ T 木2 = a 火3/ a 木3，C 正确．预测1 A ；设冥王星的质量、轨道半径、线速度大小分别为m 1、r 1、v 1，卡戎的质量、轨道半径、线速度大小分别为m 2、r 2、v 2，两星间的万有引力分别给两星提供做圆周运动的向心力，且两星的角速度相等，故B 、D 均错；由Gm 1m 2/L 2= m 1ω2r 1 = m 2ω2r 2（L 为两星间的距离），因此r 1/r 2 = m 2/m 1 = 1/7，v 1/v 2 = ωr 1/ωr 2 = m 2/m 1 = 1/7，故A 对、C 错．2．BC ；只要是绕地球运行的天体，其运行速率必定小于第一宇宙速度，故A 错误；如不加干预，由于轨道处稀薄大气的阻力，则天宫一号的速率减小而做向心运动，当达到新的轨道而万有引力又重新能提供向心力时，天宫一号在新的轨道做圆周运动，此时轨道高度降低，运行的速率增大，故B 、C 正确；天宫一号中的航天员不是不受地球引力，而是地球引力全部充当向心力，故D 错误．预测2 D ；由万有引力充当向心力，G mM （r ＋h ）2＝m 4π2（r ＋h ）T 2，可得环绕周期T ＝2π（r ＋h ）3GM，代入数据，解得月球质量M = 7.4×1022kg ，选项D 正确．五．课堂演练 自我提升 1．A ；根据v =GMr ，得v 1：v 2 = 12/r r = 1 700＋1001 700＋200 =1819，A 对． 2．CD ；飞船绕中心天体做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，即F 引 = F 向，所以GMm /r 2= ma 向 = mv 2/r= 4π2mr /T 2= mrω2，即a 向 = GM /r 2，E k = mv 2/2 = GMm /2r ，T = 2πGMr 3，ω = 3r GM （或用公式T = 2π/ω求解）．因为r 1<r 2，所以E k1>E k2，a 向1>a 向2，T 1<T 2，ω1>ω2，选项C 、D 正确．3．CD ；由宇宙速度的意义，可知选项A 、B 错误，选项C 正确；已知M 火 = M 地/9，R 火 = R 地/2，则v m /v 1=GM 火R 火∶ GM 地R 地＝23≈ 0.5，选项D 正确． 4．C ；由于T 1 = T 2，故ω相同，A 错．根据F 万 = F 向，对m 1得 Gm 1m 2/L 2= m 1v 12/r 1 = m 1r 1ω2① 对m 2得Gm 1m 2/L 2 = m 2v 22/r 2 = m 2r 2ω2 ② 又r 1 + r 2 = L ③ 由①②③得v 1/ v 2 = r 1/ r 2 = m 2/m 1，B 错；r 1 = 2L /5、r 2 = 3L /5，C 对、D 错．5．D ；第八颗北斗导航卫星在轨道2运行时引力完全提供向心力，处于完全失重状态，A 错；由a = ω2r可知B 错；由v =GMr知北斗导航卫星在轨道2运行时的速度小于第一宇宙速度，C 错；由a = GM /r 2知在两轨道在P 点的加速度相等，D 对．6．BC ；地球与一颗卫星的万有引力可由万有引力定律直接求出， F 地卫 = G Mm r2，故A 错误，B 正确．卫星间的万有引力也可由万有引力定律直接求出， F 卫卫 = G mm（3r ）2= G m23r 2，故C 正确．三颗卫星对地球的万有引力大小相等，相邻两个力的夹角均为120°，合力为零，故D 错误．。