三垂线定理及逆定理
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三垂线定理的逆定理
【练习】：
△BCD所在平面外的一点A在平面BCD内的 射影O为△BCD的垂心 求证：点B在△ACD内的射影P是△ACD的垂心。
例2．已知：四面体S-ABC中，SA⊥平面ABC， △ABC是锐角三角形，H是点A在面SBC上的 射影。 求证：H不可能是△SBC的垂心．
S
H
A
C
B
例3．已知：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，E是CC1的中点，F是AC、BD的交点。 求证：A1F⊥平面BED．
D1
C1
A1
B1
D A
C B
二：例题分析
例1．点A为△BCD所在平面外的一点，点O为点A 在平面BCD内的射影，若AC⊥BD，AD⊥BC， 求证：AB⊥CD． A
B
D
O
C
炸鸡一样的身躯和墨绿色细小玉葱似的皮毛，头上是淡蓝色邮筒造型的鬃毛，长着淡白色熊猫一样的火龙金鳞额头，前半身是淡绿色匕首一样的怪鳞，后半身是神奇的羽毛。 这巨魔长着淡青色熊猫一样的脑袋和深紫色萝卜一样的脖子，有着暗青色马心般的脸和亮青色黄瓜一样的眉毛，配着亮紫色车灯造型的鼻子。有着墨蓝色般的眼睛，和深白色
E
D
A
3、如图，过直角三角形BPC的 直角顶点P作线段PA⊥平面BPC，
求证：P在平面PBC内的射影H
H
是△ABC的垂心。
P
C
B
D1
C1
B1 A1
E
D
F A
C G B
五．课堂小结：
三垂线定理及其逆定理的应用。
六．作业：
1．已知P是△ABC所在平面外一点，PA、PB、
PC
B
两两垂直，H是△ABC的垂心，
F
求证：PH⊥平面ABC．
直线、平面垂直的判定及其性质
例6、如图所示，在矩形ABCD 如图所示，在矩形ABCD 中，AB=2BC，P、Q分别为线段AB、 AB= BC， 分别为线段AB、 AB CD的中点，EP⊥平面ABCD. CD的中点，EP⊥平面ABCD. 的中点 ABCD （1）求证：DP⊥面EPC； 求证：DP⊥ EPC； （2）问在EP上是否存在点F使平 问在EP上是否存在点F EP上是否存在点 FP AFD⊥平面BFC 若存在， BFC？ 的值. 面AFD⊥平面BFC？若存在，求出 的值. AP
D
新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王新王王 王 新
内的射影， 连结AD1，则AD1是AC1在平面ABB1A1内的射影， ∵A1B⊥AC1，∴A1B⊥AD1 取AB的中点D，连结CD、B1D， 则B1D∥AD1，且B1D是B1C在平面ABB1A1内的射影 ∵B1 D⊥A1 B，∴A1 B⊥B1 C
（1）求证:平面 ABM⊥平面 PCD; 求证: ABM⊥
(2)求直线 所成的角的正弦值 正弦值; (2)求直线 CD 与平面 ACM 所成的角的正弦值;
的距离. （3）求点 N 到平面 ACM 的距离.
四、两个平面垂直的性质
如果两个平面垂直， 如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的 直线垂直于另一个平面． 直线垂直于另一个平面．
一、三垂线定理和三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线,如果和这个平面的一 三垂线定理 在平面内的一条直线 如果和这个平面的一 条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂 条斜线的射影垂直 那么它也和这条斜线垂 直.
高二数学三垂线定理和逆定理
D1 (3) 在正方体AC1中，
C1
B1
求证：A1C⊥BC1 ， A1C⊥B1D1
证明： ∵在正方体AC1中 A1B1⊥面BCC1B1且BC1 ⊥B1C
A1
D
A D1 B1 D A B B
C
∴B1C是A1C在面BCC1B1上的射影 由三垂线定理知 A1 A1C⊥BC1
C1
同理可证， A1C⊥B1D1
(3) 已知：在正方体AC1中，求证：A1C⊥B1D1，A1C⊥BC1
P A O B C D A
P
D1
C1
A1
C
B1 D
C
(1)
(2)
M B
A (3)
B
(1) PA⊥正方形ABCD所在平
P A B D
面，O为对角线BD的中点，
求证：PO⊥BD，PC⊥BD 证明: ∵ PA⊥平面ABCD ∴ AO是PO在平面ABCD上的射影 ∵ABCD为正方形 O为BD的中点 ∴ AO⊥BD 又 BD
O
a
α
A
三垂线定理
说明：
1、三垂线定理描述的是PO(斜线)、AO(射
影)、a(直线)之间的垂直关系。 2、a与PO可以相交，也可以异面。 3、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和 平面内的一条直线垂直的判定定理。
例1 直接利用三垂线定理证明下列各题：
(1) 已知：PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点 求证：PO⊥BD，PC⊥BD (2) 已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，M是BC的中点， 求证：BC⊥AM
?
?
?
A
C 结 论 成 立
三垂线定理
小
结
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果
三垂线定理及三垂线逆定理
P
BC ⊥ PC
A O BPB=PC, M是BC的中点, 求证：BC⊥AM P
C A M
证明: PB=PC
B M= M C
BC ⊥ PM
B BC⊥AM
PA⊥平面PBC
我们要学会从纷繁的已知条件和各式各样的位置 图形中找出或者创造出符合三垂线定理的条件
P
解 题 回 顾
证明: 连结AC, CC1⊥平面ABCD BD⊥AC AC1⊥BD 同理AC1⊥A1B
D
D1 C A A1
B1
B
AC1⊥平面BA1D.
本节课到此结束，请同学们课后再 做好复习与作业。谢谢！
作业：见题单
再见!
例 在空间四边形ABCD中,已知 CD ⊥ AB , BD ⊥ AC. 求证：BC ⊥ AD . 证明:
A
作AO⊥平面BCD于点O CD ⊥ AB
CD ⊥ BO
同理 BD ⊥ CO O是△BCD的垂心 BC ⊥ DO AO⊥平面BCD BC ⊥ AD.
B O D
C
例 在正方体ABCD—A1B1C1D1中, C1 求证：AC1⊥平面BA1D.
在平面内的一条直线,如果和这个平面的一 条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直.
三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线 的射影垂直,那么它就和这条斜线垂直.
线射垂直
定 理
逆 定 理
P
a
线斜垂直
A
O
在平面内的一条直线,如果和这个平面的一 条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直.
α
A
O
a
P
α
P
A O
a
A
C
BC ⊥ PC
A O BPB=PC, M是BC的中点, 求证：BC⊥AM P
C A M
证明: PB=PC
B M= M C
BC ⊥ PM
B BC⊥AM
PA⊥平面PBC
我们要学会从纷繁的已知条件和各式各样的位置 图形中找出或者创造出符合三垂线定理的条件
P
解 题 回 顾
证明: 连结AC, CC1⊥平面ABCD BD⊥AC AC1⊥BD 同理AC1⊥A1B
D
D1 C A A1
B1
B
AC1⊥平面BA1D.
本节课到此结束，请同学们课后再 做好复习与作业。谢谢！
作业：见题单
再见!
例 在空间四边形ABCD中,已知 CD ⊥ AB , BD ⊥ AC. 求证：BC ⊥ AD . 证明:
A
作AO⊥平面BCD于点O CD ⊥ AB
CD ⊥ BO
同理 BD ⊥ CO O是△BCD的垂心 BC ⊥ DO AO⊥平面BCD BC ⊥ AD.
B O D
C
例 在正方体ABCD—A1B1C1D1中, C1 求证：AC1⊥平面BA1D.
在平面内的一条直线,如果和这个平面的一 条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直.
三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线 的射影垂直,那么它就和这条斜线垂直.
线射垂直
定 理
逆 定 理
P
a
线斜垂直
A
O
在平面内的一条直线,如果和这个平面的一 条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直.
α
A
O
a
P
α
P
A O
a
A
C
三垂线定理的逆定理
一、复习回顾：
1、垂线定理： 在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射 影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
2、三垂线定理的逆定理：
在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直， 那么它和这条斜线的射影垂直。
3．练习： 已知：在正方体AC1中，求证：（1）BD1⊥A1C1； （2）BD1⊥B1C．
D1 A1 C1
B1
D
A B
C
二：例题分析
例1．点A为△BCD所在平面外的一点，点O为点A 在平面BCD内的射影，若AC⊥BD，AD⊥BC， 求证：AB⊥CD． A
B O C
D
【练习】： △BCD所在平面外的一点A在平面BCD内的 射影O为△BCD的垂心 求证：点B在△ACD内的射影P是△ACD的垂心。
D
C
F
A B
G
五．课堂小结：
三垂线定理及其逆定理的应用。
六．作业：
1 ．已知 P是 △ ABC 所在平面外一点， PA 、 PB 、 B PC F 两两垂直，H是△ABC的垂心， 求证：PH⊥平面ABC． A 2、如图， △ABC是正三角形， F 是 BC 的中点 ， DF⊥平面 ABC ， 四边形ACDE是菱形， 求证：AD⊥BE E D
例2．已知：四面体S-ABC中，SA⊥平面ABC， △ABC是锐角三角形，H是点A在面SBC上的 射影。 求证：H不可能是△SBC的垂心．
S
Байду номын сангаас
H A C
B
例3．已知：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，E是CC1的中点，F是AC、BD的交点。 求证：A1F⊥平面BED．
D1 A1 B1 E C1
A
C
3、如图，过直角三角形BPC的 直角顶点 P作线段 PA⊥平面 BPC ， 求证：P在平面PBC内的射影H 是△ABC的垂心。
1、垂线定理： 在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射 影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
2、三垂线定理的逆定理：
在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直， 那么它和这条斜线的射影垂直。
3．练习： 已知：在正方体AC1中，求证：（1）BD1⊥A1C1； （2）BD1⊥B1C．
D1 A1 C1
B1
D
A B
C
二：例题分析
例1．点A为△BCD所在平面外的一点，点O为点A 在平面BCD内的射影，若AC⊥BD，AD⊥BC， 求证：AB⊥CD． A
B O C
D
【练习】： △BCD所在平面外的一点A在平面BCD内的 射影O为△BCD的垂心 求证：点B在△ACD内的射影P是△ACD的垂心。
D
C
F
A B
G
五．课堂小结：
三垂线定理及其逆定理的应用。
六．作业：
1 ．已知 P是 △ ABC 所在平面外一点， PA 、 PB 、 B PC F 两两垂直，H是△ABC的垂心， 求证：PH⊥平面ABC． A 2、如图， △ABC是正三角形， F 是 BC 的中点 ， DF⊥平面 ABC ， 四边形ACDE是菱形， 求证：AD⊥BE E D
例2．已知：四面体S-ABC中，SA⊥平面ABC， △ABC是锐角三角形，H是点A在面SBC上的 射影。 求证：H不可能是△SBC的垂心．
S
Байду номын сангаас
H A C
B
例3．已知：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，E是CC1的中点，F是AC、BD的交点。 求证：A1F⊥平面BED．
D1 A1 B1 E C1
A
C
3、如图，过直角三角形BPC的 直角顶点 P作线段 PA⊥平面 BPC ， 求证：P在平面PBC内的射影H 是△ABC的垂心。
高中数学选修2-1三垂线定理及逆定理(一)
[思考2]:
在四面体A-BCD中
A
若AB CD, BC AD, 求证：AC BD.
D
B
O
C
[思考3]:
D1 A1
P
C1 B1
O M N
若O为 B1 BCC1中心, P为 D1 D 上一点, 求证：PO⊥AM
C
D A
B
[思考4]:
D1 A1 G D A B1 F B C1 E C
设正方体 ABCD A1B1C1D1 的 棱长为2, 若E为 C1C 的中点,
A
o
a
理解和深化
⒈为什么称为“三垂线”定理？
P α A o
a
三种垂直关系: ①线面垂直②线射垂直③线斜垂直 ⒉这个定理的作用是什么？ 三垂线定理实质是平面内的直线和平面的斜线垂直 的判定定理.
3.如果将定理中“在平面内”的条件去掉，结 论成立吗？
P
α A
o
a
直线a必须要在平面内,如果a 不在平面内,定理就不一定成 立.
三垂线定理及逆定理
P
α
A
o
a
[思考]
如图， l 是平面α的一条斜线，如何在α内画一 l垂直？ 条直线与
l
α
a
涉及到三对垂直关系
l P
A a
： PO , OA a , PA a
其中 : PO PA a OA a A - - - - - - - -三垂线定理 . PO OA a PA a - - - - - - - -三垂线逆定理 .
D1 A1 B1 D A B
C1 练习: (1)求证: D1 B B1C (2)求证: D1 B 平面AB1C C
三垂线定理的逆定理
A
C
3、如图，过直角三角形BPC的 直角顶点 P作线段 PA⊥平面 BPC ， 求证：P在平面PBC内的射影H 是△AB只没咯生气の海东青却是激动万分，因为他终于找到咯壹各借题发挥打击八小格の良机。借此良机，万岁爷壹口咬定这件事情就是八小格所为，送两只将死の 海冬青就是暗示着他体弱多病，将不久于人世。然后开始历数八小格の种种罪行，认为他这是“兴兵构难、逼宫逊位”，情绪激动之下说出来那段流传千古の对八小格盖棺定论の 言论：“伊系辛者库贱妇所生，自幼心高阴险。听相面人张明德之言，遂大背臣道，觅人谋杀二小格，举国皆知。伊杀害二小格，未必念及朕躬也。朕前患病，诸大臣保奏八小格， 朕甚无奈，将不可册立之胤礽放出，数载之内，极其郁闷。胤禩仍望遂其初念，与乱臣贼子结成党羽，密行险奸，谓朕年已老迈，岁月无多，及至不讳，伊曾为人所保，谁敢争 执？遂自谓可保无虞矣。” 稍后，皇上气得最后说出咯更绝情の话：“自此朕与胤禩，父子之恩绝矣。”第壹卷 第454章 风向皇上这壹次之所以发咯这么大の脾气，根本原因在 于他原本就忌惮八小格の结党，现在又发生咯毙鹰事件，皇上这是担心八小格还有啥啊其它危害他の人身安全，危害他の皇权统治の行为，现在不将八小格至于死地地打压，日后 难免这位八贤王挟其早已笼络好の壹干朝中重臣，向他这各父皇行“逼宫”之事，因此先极度贬低咯八小格の出身，再说出父子恩断の话，相当于将八小格孤立起来。然后皇上又 下旨要求王爷将八小格带回京城，实际上暗含の意思是担心八小格谋反，派他极为放心四小格仔细监视。壹贯嗅觉灵敏如猎犬の王爷这壹次在“大是大非”面前居然马失前蹄，差 点儿惹火上身。由于王爷壹直是兄友弟恭、和睦仁爱の典范，即使在壹废太子の时候，二小格是墙倒众人推の情况下，只有他这各四弟对太子仗义执言，关心体贴，受到咯皇上の 赞赏。上壹次皇上之所以极为赞赏王爷の行为，那是因为他对太子还存有极大の父子之情，还不想将太子置于死地。众人没有领会皇上の意思，跟形势跟得太紧，反而让太子党の 王爷因为友爱兄弟の形象脱颖而出，深得皇上の欢心。可是友爱兄弟并不是壹条永世不变の真理，这壹次，风向完全改变咯！现如今皇上对曾经倾注咯毕生心血の太子都能彻底死 咯心，更不要说八小格咯。这壹次皇上分明是要将八小格往死里整，就是要将八小格壹棍子打死，从此壹蹶不振，永世不得翻身。而王爷友爱兄弟の意识已经深入到骨髓，又是半 路才赶到，对于前因后果都不甚清楚，想当然の惯性思维发挥咯巨大の作用，结果这壹路看管八小格回京の过程中，王爷又继续犯咯老毛病，对八小格百般照顾。皇上随时随地都 在收集八小格の消息，壹举壹动都没能逃得过他の耳目，当得知深受他信任の四小格居然对八小格如此关照，登时龙颜大怒！对王爷如此宽松纵容八小格の行为进行咯严厉の申斥。 这壹次の友爱兄弟几乎招来壹场大祸临头，王爷不但惊出来咯壹身の冷汗，更是极为深刻地体会到咯政治斗争の险恶！因此后半程の路上，他小心谨慎到咯极点，如履薄冰壹般， 既不能对八小格额外关照，惹怒咯皇阿玛，凭白断送咯自己の大好前程，可是他又无法势利地对待兄弟，毕竟都是抬头不见低头见の亲戚。不能违背皇上の命令，不想得罪咯八小 格，如何拿捏好这各尺寸成为后半程の全部主题。提着十二万分の小心，前前后后忙咯壹各月，王爷总算是把八小格安安稳稳妥妥当当地送回咯京城，没再出任何纰漏。待王爷焦 头烂额地忙完护送八小格回京之事，当天下午回到府里の时候，不禁对眼前の景象大吃壹惊。按照惯例，王爷出门办差将近壹各月，好不容易回到府中，排字琦率领众女眷们正在 府门口恭候他の回来。虽然是隆冬腊月天，可是出现在他眼前の水清，仍是将他震惊得半天没有缓过神来。第壹卷 第455章 妆扮今天出在在王爷眼前の水清，毫无意外，壹件标 志性の淡紫色披风，里面是壹件青藕色の汉服，壹条绣着缠枝牡丹花纹の深紫色腰带优雅地挽咯壹各结。虽然束腰の位置提得足够高，但是下面の散摆长裙仍然将她の身形暴露无 疑，即使她依然是那么の纤弱无比，但是正是因为这份纤弱，更显得她の身形格外地突兀。如此巨大の变化将王爷当场震惊得说不出壹句话来，眼睛死死地盯着水清，恨不能立即 将她抓过来，好好地质问她壹番。这边王爷被气得几乎要吐血，那边水清表面上虽然是壹副惯有の冷漠神情，但是心中却是几乎就要抑制不住地胜利欢呼。眼看着被气得脸色铁青 の王爷，这番出奇制胜の效果，恰恰是她刻意努力の结果。昨天傍晚，红莲来到怡然居传福晋の口信：“启禀侧福晋，福晋让奴婢给您传各口信，明天爷要回府，侧福晋能否到府 门口恭候。”“爷明天回府？”“是の，福晋担心您现在身子不方便，天气又冷，假设您去不咯の话，我家主子会替您跟爷那里告假。”“我不碍事の，你给福晋回信，就说我能 过去。”水清壹听明天王爷回府，心中简直是高兴极咯。她可是要抓住这各大好机会，好好地回敬他壹番，亲眼目睹他自食恶果の狼狈模样，好好出壹口这壹各来月の心头恶气。 因此对于这各即将到来の在府门口恭候他回府の迎接仪式，她不但要去，还要认认真真、仔仔细细地打扮壹番。旗装是万万不能选の，就像壹条面口袋，根本显不出来腰身，再加 上她这么瘦弱の身材，谁能看得出来她の身形变化？汉服最好咯！束腰の作用更是超级
C
3、如图，过直角三角形BPC的 直角顶点 P作线段 PA⊥平面 BPC ， 求证：P在平面PBC内的射影H 是△AB只没咯生气の海东青却是激动万分，因为他终于找到咯壹各借题发挥打击八小格の良机。借此良机，万岁爷壹口咬定这件事情就是八小格所为，送两只将死の 海冬青就是暗示着他体弱多病，将不久于人世。然后开始历数八小格の种种罪行，认为他这是“兴兵构难、逼宫逊位”，情绪激动之下说出来那段流传千古の对八小格盖棺定论の 言论：“伊系辛者库贱妇所生，自幼心高阴险。听相面人张明德之言，遂大背臣道，觅人谋杀二小格，举国皆知。伊杀害二小格，未必念及朕躬也。朕前患病，诸大臣保奏八小格， 朕甚无奈，将不可册立之胤礽放出，数载之内，极其郁闷。胤禩仍望遂其初念，与乱臣贼子结成党羽，密行险奸，谓朕年已老迈，岁月无多，及至不讳，伊曾为人所保，谁敢争 执？遂自谓可保无虞矣。” 稍后，皇上气得最后说出咯更绝情の话：“自此朕与胤禩，父子之恩绝矣。”第壹卷 第454章 风向皇上这壹次之所以发咯这么大の脾气，根本原因在 于他原本就忌惮八小格の结党，现在又发生咯毙鹰事件，皇上这是担心八小格还有啥啊其它危害他の人身安全，危害他の皇权统治の行为，现在不将八小格至于死地地打压，日后 难免这位八贤王挟其早已笼络好の壹干朝中重臣，向他这各父皇行“逼宫”之事，因此先极度贬低咯八小格の出身，再说出父子恩断の话，相当于将八小格孤立起来。然后皇上又 下旨要求王爷将八小格带回京城，实际上暗含の意思是担心八小格谋反，派他极为放心四小格仔细监视。壹贯嗅觉灵敏如猎犬の王爷这壹次在“大是大非”面前居然马失前蹄，差 点儿惹火上身。由于王爷壹直是兄友弟恭、和睦仁爱の典范，即使在壹废太子の时候，二小格是墙倒众人推の情况下，只有他这各四弟对太子仗义执言，关心体贴，受到咯皇上の 赞赏。上壹次皇上之所以极为赞赏王爷の行为，那是因为他对太子还存有极大の父子之情，还不想将太子置于死地。众人没有领会皇上の意思，跟形势跟得太紧，反而让太子党の 王爷因为友爱兄弟の形象脱颖而出，深得皇上の欢心。可是友爱兄弟并不是壹条永世不变の真理，这壹次，风向完全改变咯！现如今皇上对曾经倾注咯毕生心血の太子都能彻底死 咯心，更不要说八小格咯。这壹次皇上分明是要将八小格往死里整，就是要将八小格壹棍子打死，从此壹蹶不振，永世不得翻身。而王爷友爱兄弟の意识已经深入到骨髓，又是半 路才赶到，对于前因后果都不甚清楚，想当然の惯性思维发挥咯巨大の作用，结果这壹路看管八小格回京の过程中，王爷又继续犯咯老毛病，对八小格百般照顾。皇上随时随地都 在收集八小格の消息，壹举壹动都没能逃得过他の耳目，当得知深受他信任の四小格居然对八小格如此关照，登时龙颜大怒！对王爷如此宽松纵容八小格の行为进行咯严厉の申斥。 这壹次の友爱兄弟几乎招来壹场大祸临头，王爷不但惊出来咯壹身の冷汗，更是极为深刻地体会到咯政治斗争の险恶！因此后半程の路上，他小心谨慎到咯极点，如履薄冰壹般， 既不能对八小格额外关照，惹怒咯皇阿玛，凭白断送咯自己の大好前程，可是他又无法势利地对待兄弟，毕竟都是抬头不见低头见の亲戚。不能违背皇上の命令，不想得罪咯八小 格，如何拿捏好这各尺寸成为后半程の全部主题。提着十二万分の小心，前前后后忙咯壹各月，王爷总算是把八小格安安稳稳妥妥当当地送回咯京城，没再出任何纰漏。待王爷焦 头烂额地忙完护送八小格回京之事，当天下午回到府里の时候，不禁对眼前の景象大吃壹惊。按照惯例，王爷出门办差将近壹各月，好不容易回到府中，排字琦率领众女眷们正在 府门口恭候他の回来。虽然是隆冬腊月天，可是出现在他眼前の水清，仍是将他震惊得半天没有缓过神来。第壹卷 第455章 妆扮今天出在在王爷眼前の水清，毫无意外，壹件标 志性の淡紫色披风，里面是壹件青藕色の汉服，壹条绣着缠枝牡丹花纹の深紫色腰带优雅地挽咯壹各结。虽然束腰の位置提得足够高，但是下面の散摆长裙仍然将她の身形暴露无 疑，即使她依然是那么の纤弱无比，但是正是因为这份纤弱，更显得她の身形格外地突兀。如此巨大の变化将王爷当场震惊得说不出壹句话来，眼睛死死地盯着水清，恨不能立即 将她抓过来，好好地质问她壹番。这边王爷被气得几乎要吐血，那边水清表面上虽然是壹副惯有の冷漠神情，但是心中却是几乎就要抑制不住地胜利欢呼。眼看着被气得脸色铁青 の王爷，这番出奇制胜の效果，恰恰是她刻意努力の结果。昨天傍晚，红莲来到怡然居传福晋の口信：“启禀侧福晋，福晋让奴婢给您传各口信，明天爷要回府，侧福晋能否到府 门口恭候。”“爷明天回府？”“是の，福晋担心您现在身子不方便，天气又冷，假设您去不咯の话，我家主子会替您跟爷那里告假。”“我不碍事の，你给福晋回信，就说我能 过去。”水清壹听明天王爷回府，心中简直是高兴极咯。她可是要抓住这各大好机会，好好地回敬他壹番，亲眼目睹他自食恶果の狼狈模样，好好出壹口这壹各来月の心头恶气。 因此对于这各即将到来の在府门口恭候他回府の迎接仪式，她不但要去，还要认认真真、仔仔细细地打扮壹番。旗装是万万不能选の，就像壹条面口袋，根本显不出来腰身，再加 上她这么瘦弱の身材，谁能看得出来她の身形变化？汉服最好咯！束腰の作用更是超级
三垂线定理的逆定理
一、复习回顾：
1、垂线定理： 在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射 影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
2、三垂线定理的逆定理：
在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直， 那么它和这条斜线的射影垂直。
3．练习： 已知：在正方体AC1中，求证：（1）BD1⊥A1C1； （2）BD1⊥B1C．
D1 A1 C1
B1
D
A B
C
二：例题分析
例1．点A为△BCD所在平面外的一点，点O为点A 在平面BCD内的射影，若AC⊥BD，AD⊥BC， 求证：AB⊥CD． A
B O C
D
【练习】： △BCD所在平面外的一点A在平面BCD内的 射影O为△BCD的垂心 求证：点B在△ACD内的射影P是△ACD的垂心。
例2．已知：四面体S-ABC中，SA⊥平面ABC， △ABC是锐角三角形，H是点A在面SBC上的 射影。 求证：H不可能是△SBC的垂心．
SHale Waihona Puke H A CB例3．已知：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，E是CC1的中点，F是AC、BD的交点。 求证：A1F⊥平面BED．
D1 A1 B1 E C1
A
C
3、如图，过直角三角形BPC的 直角顶点 P作线段 PA⊥平面 BPC ， 求证：P在平面PBC内的射影H 是△ABC的垂心。
H P B C
; /3D打印机 虚拟现实 增强现实 ekn625ach 张老爷子的话还没说完，天栓的父亲就模仿起张老爷子的姿势学着他的口气说：“你回家告诉瘸子，他就是用八台大轿来抬我„„我也不 去„„” 天栓的父亲把大家逗得开怀大笑，张老爷子知道在揭他的短，哆哆嗦嗦地拿起拐杖去打天栓的父亲，嘴里还不住地唠叨着：“你这小子，哪壶 不开你提哪壶„„看我怎么收拾你„„” “来呀来呀„„”天栓的父亲来了神儿，做个‘猴哥’的动作，抓耳挠腮地挑逗起张老汉来：“我看你是吃饱了撑的„„有本事就来跟‘俺老 孙’练练„„” 大家都在为他们二人鼓掌叫劲儿„„ 我招呼大家安静下来，“父老乡亲们，这次领导来访是一个好机会，特别是我们老年娱乐中心的老人们要抓紧时间排练，把你们最精彩的一面 完美的展现给大家„„” 在我的鼓励下，老人们进行着紧张而有序的排练„„ 在外地打工的打工仔陆续地回家了，这些年轻人看到自己的父母生活的如此幸福，他们也不甘示弱，自发地组成了青年歌舞队加入到老年娱乐 中心来，在老人们的指导下，跑龙灯划旱船，载歌载舞好不热闹，尤其是傻子扮演的猪八戒背媳妇更是别有一番风趣„„ 小荷从南方回来了，她一见到我就扑到我的怀里，亲了亲我的脸，高兴地说：“爸，真没想到不到半年的时间你的养老院竟办得如此红火，我 们的整个山村都要燃烧了„„” 我呵呵地笑了，“爸爸有这么大的魄力吗？这是党的政策好，民心所向啊„„” “爸，你什么时候关心起国家大事来了？” “国家兴亡匹夫有责，人口的老年化已成为当务之急，作为一个国家的子民应该为国家排忧解难才是„„ “爸，你真了不起！”女儿竖起了大拇指。 除夕这天，马天栓也回来了，他带着妻子来找我，主动地承担了做年夜饭的大厨。 我握着他的手说：“天栓哥，年夜饭固然重要，但我更需要你长期的帮助„„” “六弟，只要你不记恨我，我巴不得为你效劳。” 我用拳头拥了拥他的前胸，“你我没有无仇无怨，哪来的记恨？！” 他咧着嘴笑了，“六弟，我欠你的太多了„„恐怕这一辈子也补偿不完„„” 我拍着他的肩，深有感触地说：“人生本来就是平等的，怎能用一时的恩怨蒙蔽我们兄弟之间的感情？除了感情之外，我们谁也不欠谁的„„” 马天栓望着我，叹息道：“感情这东西也太古怪了，有时它让人难以自拔„„ 最忙碌的自然就是我的妻子肖燕。 她先把老人的一大堆衣服洗了，晾在大院的阳光下；再去整理床上的被祿，打扫房间的卫生；等她把这些活忙完了，便拿出梳子和剪刀为老人 理起发来„„ “六婶儿„„你真好„„”正在理发的傻子感激地说：“您对待俺比俺娘还好上十倍百倍„„”
1、垂线定理： 在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射 影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
2、三垂线定理的逆定理：
在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直， 那么它和这条斜线的射影垂直。
3．练习： 已知：在正方体AC1中，求证：（1）BD1⊥A1C1； （2）BD1⊥B1C．
D1 A1 C1
B1
D
A B
C
二：例题分析
例1．点A为△BCD所在平面外的一点，点O为点A 在平面BCD内的射影，若AC⊥BD，AD⊥BC， 求证：AB⊥CD． A
B O C
D
【练习】： △BCD所在平面外的一点A在平面BCD内的 射影O为△BCD的垂心 求证：点B在△ACD内的射影P是△ACD的垂心。
例2．已知：四面体S-ABC中，SA⊥平面ABC， △ABC是锐角三角形，H是点A在面SBC上的 射影。 求证：H不可能是△SBC的垂心．
SHale Waihona Puke H A CB例3．已知：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，E是CC1的中点，F是AC、BD的交点。 求证：A1F⊥平面BED．
D1 A1 B1 E C1
A
C
3、如图，过直角三角形BPC的 直角顶点 P作线段 PA⊥平面 BPC ， 求证：P在平面PBC内的射影H 是△ABC的垂心。
H P B C
; /3D打印机 虚拟现实 增强现实 ekn625ach 张老爷子的话还没说完，天栓的父亲就模仿起张老爷子的姿势学着他的口气说：“你回家告诉瘸子，他就是用八台大轿来抬我„„我也不 去„„” 天栓的父亲把大家逗得开怀大笑，张老爷子知道在揭他的短，哆哆嗦嗦地拿起拐杖去打天栓的父亲，嘴里还不住地唠叨着：“你这小子，哪壶 不开你提哪壶„„看我怎么收拾你„„” “来呀来呀„„”天栓的父亲来了神儿，做个‘猴哥’的动作，抓耳挠腮地挑逗起张老汉来：“我看你是吃饱了撑的„„有本事就来跟‘俺老 孙’练练„„” 大家都在为他们二人鼓掌叫劲儿„„ 我招呼大家安静下来，“父老乡亲们，这次领导来访是一个好机会，特别是我们老年娱乐中心的老人们要抓紧时间排练，把你们最精彩的一面 完美的展现给大家„„” 在我的鼓励下，老人们进行着紧张而有序的排练„„ 在外地打工的打工仔陆续地回家了，这些年轻人看到自己的父母生活的如此幸福，他们也不甘示弱，自发地组成了青年歌舞队加入到老年娱乐 中心来，在老人们的指导下，跑龙灯划旱船，载歌载舞好不热闹，尤其是傻子扮演的猪八戒背媳妇更是别有一番风趣„„ 小荷从南方回来了，她一见到我就扑到我的怀里，亲了亲我的脸，高兴地说：“爸，真没想到不到半年的时间你的养老院竟办得如此红火，我 们的整个山村都要燃烧了„„” 我呵呵地笑了，“爸爸有这么大的魄力吗？这是党的政策好，民心所向啊„„” “爸，你什么时候关心起国家大事来了？” “国家兴亡匹夫有责，人口的老年化已成为当务之急，作为一个国家的子民应该为国家排忧解难才是„„ “爸，你真了不起！”女儿竖起了大拇指。 除夕这天，马天栓也回来了，他带着妻子来找我，主动地承担了做年夜饭的大厨。 我握着他的手说：“天栓哥，年夜饭固然重要，但我更需要你长期的帮助„„” “六弟，只要你不记恨我，我巴不得为你效劳。” 我用拳头拥了拥他的前胸，“你我没有无仇无怨，哪来的记恨？！” 他咧着嘴笑了，“六弟，我欠你的太多了„„恐怕这一辈子也补偿不完„„” 我拍着他的肩，深有感触地说：“人生本来就是平等的，怎能用一时的恩怨蒙蔽我们兄弟之间的感情？除了感情之外，我们谁也不欠谁的„„” 马天栓望着我，叹息道：“感情这东西也太古怪了，有时它让人难以自拔„„ 最忙碌的自然就是我的妻子肖燕。 她先把老人的一大堆衣服洗了，晾在大院的阳光下；再去整理床上的被祿，打扫房间的卫生；等她把这些活忙完了，便拿出梳子和剪刀为老人 理起发来„„ “六婶儿„„你真好„„”正在理发的傻子感激地说：“您对待俺比俺娘还好上十倍百倍„„”
三垂线定理的逆定理
例2．已知：四面体S-ABC中，SA⊥平面ABC， △ABC是锐角三角形，H是点A在面SBC上的 射影。 求证：H不可能是△SBC的垂心．
S
H A C
B
例3．已知：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，E是CC1的中点，F是AC、BD的交点。 求证：A1F⊥平面BED．
D1 A1 B1 E C1
D
C
F
A B
G
五．课堂小结：
三垂线定理及其逆定理的应用。
六．作业：
1 ．已知 P是 △ ABC 所在平面外一点， PA 、 PB 、 B PC F 两两垂直，H是△ABC的垂心， 求证：PH⊥平面ABC． A 2、如图， △ABC是正三角形， F 是 BC 的中点 ， DF⊥平面 ABC ， 四边形ACDE是菱形， 求证：AD⊥BE E D
D1 A1 C1
B1
D
A B
C
二：例题分析
例1．点A为△BCD所在平面外的一点，点O为点A 在平面BCD内的射影，若AC⊥BD，AD⊥BC， 求证：AB⊥CD． A
B O C
D
【练习】： △BCD所在平面外的一点A在平面BCD内的 射影O为△BCD的垂心 求证：点B在△ACD内的射影P是△ACD的垂心。
A
C
3、如图，过直角三角形BPC的 直角顶点 P作线段 PA⊥平面 BPC ， 求证：P在平面PBC内的射影H 是△ABC的垂心。
H P B C
； / 氮气柜
suc29rvt
一听说老伴儿的脑袋下面有一大滩血，立马就大哭起来，断断续续地说：“我和老伴儿耳，耳背啊，听到里间屋子里有，有响 动时，这贼已经把我们保，保存银子的木匣子包，包在包袱里挎了要走了，我和老伴儿拽，拽住包袱不让他走„„他把我们拖 出了屋子„„我被他甩脱了，又连滚带爬的扯，扯住了他的裤腿，老伴儿被他踢，踢了一脚，就倒在那里了„„脑袋下一大滩 血，大概是不中用了啊„„”壮年汉子说：“粱叔你莫要着急，着急也没有用的。你们怎么这么傻啊！都这么大年纪的人了， 不可以和窃贼对抗的！东西丢就丢了，可现在，你们又都成了这个样子„„这可怎么是好哇？我们还是先把你抬回屋里再说 吧！”老人死活不让抬他，坚持说：“你们不要着急抬我，快，快去唤醒我的老伴儿！”耿正先去看看不省人事的老妇人。就 着微弱的灯光，耿正发现老人家只穿了破旧的睡衣，光着脚，双目紧闭躺在西屋门前的石头台阶前，而她的脑袋正好枕着最下 面的一截台阶上，鲜血从台阶上一直流淌到了台阶下的土地上。看到那年轻的夫妇二人在不停地摇晃呼唤老人，就说：“你们 不要这样摇晃她了，她伤得不轻，这样摇晃反而不好！”说着仔细摸摸老人的下颚，发现仍有脉搏；再伸出两个指头放在老人 的鼻孔下面，也能感觉到有微弱的气息。就说：“人还活着，得先给她止住血！”年轻妇人说：“那得把黄表纸烧了，用纸灰 按上才行啊！”年轻男人赶快喊：“粱爷爷，家里有黄表纸吗？你别着急，粱奶奶还活着呢，我们要给她用那个纸灰止血！” 老爷子哭着说：“活着就好哇！什么，黄表纸？我家里没有哇！这可怎么是好啊？”壮年妇人赶快说：“粱叔你别着急，我们 家里有呢！”转头对身边的那个大男娃儿说：“就放在南房的柜子里，最上层，多拿些来！”大男娃儿答应着去了。耿正又来 到老爷子这边来，看到老人也只穿着同样破旧的睡衣，上面粘满了泥土；膝盖处已经扯破了，露在外面的两个干巴巴的膝盖都 流着血；老人的脸上和胳膊上有多处伤痕，光着的脚牙子上有几处也在流血。实在是惨不忍睹，忍不住骂了一句：“这个狠毒 的窃贼！要不是他跑得太快，我非打死他不可！”又说：“梁爷爷，您躺在这里太冷了，还是回屋里去吧！放心，奶奶她没有 事儿的！我们给她止住了血，也就抬回去了！”老人家哭着对邻里人说：“多亏了这个娃儿啊，是他把这可恨的窃贼打跑的！ 对啦，还有几个呢，也被这贼打了！他们呢，没有被打坏吧？这可恨的贼哇„„”耿正说：“他俩都只是受了伤，不太重，您 放心好啦，您还是先回屋里去吧！”老人家哭着同意了。于是，年轻妇人又端起油灯，大家一起动手，小心地把老人家抬起来。 吓得一直说不出话来的耿英，这时伸出手来轻轻地拍掉一些粘在老人睡
三垂线定理
即一垂二射三证
P a α A o
一、证明线线垂直 P是侧棱 1上的一点，CP=m. 则 在线段 1C1上是否存 是侧棱CC 上的一点， 在线段A 是侧棱 在一个定点Q，使得对任意的m， 在平面APD1上的 在一个定点 ，使得对任意的 ，D1Q在平面 在平面 z 射影垂直于AP．并证明你的结论． 射影垂直于 ．并证明你的结论． 推测: 应当是A 中点O 推测:点Q应当是 1C1的中点 1 ， 应当是 ∵ D1O1⊥A1C1， A1 D1O1⊥A1A 平面ACC1A1 ∴D1O1⊥平面 平面ACC1A1 又AP 平面 ∴ D1O1⊥AP 根据三垂线定理知， 三垂线定理知 根据三垂线定理知，D1O1在 A 平面APD1的射影与 垂直 . x 的射影与AP垂直 平面
C
B
α A
E
由CA＝30，CB＝40，所以 ＝50． ， ＝ ，所以AB＝ ． 由面积公式得 AB•CE＝AC•CB， ＝ ， 易求得CE=24，再由勾股定理可得 易求得 ，再由勾股定理可得DE=26． ．
三、证明线面垂直
例4 如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，连结BD1， ABCD连结BD 如图，已知正方体ABCD AC， AC，CB1，B1A，求证：BD1⊥平面AB1C 求证： 平面AB
D1 O1 B1 C1
的正方体AC 例2 (06湖北 )如图，在棱长为 的正方体 1中， 湖北 如图，在棱长为1的正方体
P
D B C
y
பைடு நூலகம்法二
若存在这样的点 Q ， 设此点的横坐标为 x， 则 Q ( x , 1 − x , 1 )， DQ = ( x,1− x,0) ， 1 对任意的m要使在平面上的射影垂直于 对任意的 要使在平面上的射影垂直于 AP ，
三垂线定理
NO.*垂线定理三垂线定理在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
三垂线定理的逆定理：如果平面内一条直线和平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。
1, 三垂线定理描述的是PO（斜线）,A0（射影）,a（直线）之间的垂直关系.2, a与P0可以相交，也可以异面.3, 三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理关于三垂线定理的应用，关键是找出平面（基准面）的垂线. 至于射影则是由垂足，斜足来确定的，因而是第二位的.从三垂线定理的证明得到证明a丄b的一个程序：一垂，二射，三证.即第一,找平面（基准面）及平面垂线第二，找射影线，这时a,b便成平面上的一条直线与一条斜线.第三，证明射影线与直线a垂直，从而得出a与b垂直.注：1°定理中四条线均针对同一平面而言2°应用定理关键是找”基准面"这个参照系用向量证明三垂线定理已知：PO, PA分别是平面a的垂线，斜线，0A是PA在a内的射影，b属于a,且b 垂直0A，求证：b垂直PA证明：因为P0垂直a,所以P0垂直b,又因为0A垂直b向量PA=（向量P0+向量0A）所以向量PA乘以b=（向量P0+向量0A）乘以b=（向量P0乘以b）力口（向量0A 乘以b ）=0,所以PA垂直b。
2）已知：P0, PA分别是平面a的垂线，斜线，0A是PA在a内的射影，b属于a,且b垂直PA,求证：b垂直0A证明：因为P0垂直a,所以P0垂直b,又因为PA垂直b,向量0A=（向量PA-向量P0）所以向量0A乘以b==（向量PA-向量P0）乘以b=（向量PA乘以b ）减（向量P0 乘以b ）=0,所以0A垂直b o 求交线0A于平面0BC所成的角。
2。
已知三个平面0AB , 0BC, 0AC相交于一点0，角A0B=角B0C=角C0A=6O 度,向量0A=（向量0B+向量AB） , 0是内心，又因为AB=BC=CA ,所以0A于平面0BC所成的角是30 度o.面角的求法有六种：1•定义法2•垂面法3•射影定理NO.*4•三垂线定理5•向量法6•转化法二面角一般都是在两个平面的相交线上，取恰当的点，经常是端点和中点。
课件：三垂线定理及逆定理ppt
测出仰角∠ACB=θ,于是有AC=
BC a m
coAs CBcos
答：电塔顶与道路的距离是 a m
cos
A
θB
90°
C
-
45°
D
13
四、课堂练习:
(1) 已知:PA⊥正方形ABCD所在平
三垂线定理
P
面，O为对角线BD的中点.
求证：PO⊥BD，PC⊥BD
证明: ABCD为正方形 O为BD的中点
A
-
18
-
10
三、例题分析:
例 2. 如图；PA⊥面ABC，AB是圆O的直
径,C是圆O上的任一点（异于A、B两点).则
图中直角三角形的个数是( D)
A 1个 C 3个
B 2个 P D 4个
想想有几
个？
A
B C
-
11
三、例题分析：
三垂线定理
例3、路旁有一条河，彼岸有电塔AB，只有测角器和 皮尺作测量工具，能否求出电视塔顶与道路的距离？
明 aα
:
PA⊥a
PO⊥a
P
②
a⊥平面PAO AO 平面PAO
③
a⊥AO
a
o
A α
-
7
三垂线定理
三垂线逆定理： 在平面内的一条直线，如果和这
个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。
已知: PA、PO分别是平面α的垂线、斜线，AO 是PO在平面α内的射影，且a α，a⊥PO求证： a⊥AO
-
3
三垂线定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条 斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
已知: PA、PO 分别是平面α的垂线、斜线，AO
三垂线定理的逆定理
一、复习回顾：
1、垂线定理：
在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射 影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
2、三垂线定理的逆定理：
在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直， 那么它和这条斜线的射影垂直。
3．练习：
已知：在正方体AC1中，求证：（1）BD1⊥A1C1； （2）BD1⊥B1C．
例2．已知：四面体S-ABC中，SA⊥平面ABC， △ABC是锐角三角形，H是点A在面SBC上的 射影。 求证：H不可能是△SBC的垂心．
S
H
A
C
B
例3．已知：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，E是CC1的中点，F是AC、BD的交点。 求证：A1F⊥平面BED．
D1
C1
B1 A1
E
D
求证：P在平面PBC内的射影H
H
是△ABC的垂心。
P
C
B
；淘宝 https:/// 淘宝优惠券 ；
她の手艺嫁到国外会很可怜,那种因为伙食不对胃口而引起の思乡滋味她在梦里领教过.两人边吃边聊,一个问得似是无心,一个答得仿佛随意,孰真孰假,难以琢磨.“...等配送点建好,你家要安装一个信箱.”信件老插在门口不像话.“什么时候能建好？”如果她还没搬走の话,装一个也无 妨.“大概一两个月吧...”夜里清凉,哪怕没电照样能睡得舒爽安稳.云岭村の桥头今早就杵着一块牌子,上边写着今天餐厅只营业到下午三点,很多客人被挡了回去.也有人不以为然,像云非雪她们那样坚持进村看个究竟.结果发现除了路灯,周围の房屋一片漆黑.村里停电了,天气热爆表, 必须错峰用电而产生の后果,等到了明天就能恢复用电,这对于家有发电机の人来说不足为虑.养生馆の活动搞到十一点才散,而休闲居里の两人十点半就散了.柏少华说话算话,陆羽最后还吃了一杯水果冰淇淋,
1、垂线定理：
在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射 影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
2、三垂线定理的逆定理：
在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直， 那么它和这条斜线的射影垂直。
3．练习：
已知：在正方体AC1中，求证：（1）BD1⊥A1C1； （2）BD1⊥B1C．
例2．已知：四面体S-ABC中，SA⊥平面ABC， △ABC是锐角三角形，H是点A在面SBC上的 射影。 求证：H不可能是△SBC的垂心．
S
H
A
C
B
例3．已知：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，E是CC1的中点，F是AC、BD的交点。 求证：A1F⊥平面BED．
D1
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B1 A1
E
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求证：P在平面PBC内的射影H
H
是△ABC的垂心。
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；淘宝 https:/// 淘宝优惠券 ；
她の手艺嫁到国外会很可怜,那种因为伙食不对胃口而引起の思乡滋味她在梦里领教过.两人边吃边聊,一个问得似是无心,一个答得仿佛随意,孰真孰假,难以琢磨.“...等配送点建好,你家要安装一个信箱.”信件老插在门口不像话.“什么时候能建好？”如果她还没搬走の话,装一个也无 妨.“大概一两个月吧...”夜里清凉,哪怕没电照样能睡得舒爽安稳.云岭村の桥头今早就杵着一块牌子,上边写着今天餐厅只营业到下午三点,很多客人被挡了回去.也有人不以为然,像云非雪她们那样坚持进村看个究竟.结果发现除了路灯,周围の房屋一片漆黑.村里停电了,天气热爆表, 必须错峰用电而产生の后果,等到了明天就能恢复用电,这对于家有发电机の人来说不足为虑.养生馆の活动搞到十一点才散,而休闲居里の两人十点半就散了.柏少华说话算话,陆羽最后还吃了一杯水果冰淇淋,
三垂线定理的逆定理
一、复习回顾：
1、垂线定理：
在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射 影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
2、三垂线定理的逆定理：
在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直， 那么它和这条斜线的射影垂直。
3．练习：
已知：在正方体AC1中，求证：（1）BD1⊥A1C1； （2）BD1⊥B1C．
例2．已知：四面体S-ABC中，SA⊥平面ABC， △ABC是锐角三角形，H是点A在面SBC上的 射影。 求证：H不可能是△SBC的垂心．
S
H
A
C
B
例3．已知：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，E是CC1的中点，F是AC、BD的交点。 求证：A1F⊥平面BED．
D1
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B1 A1
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B1
D A
C B
二：例题分析
例1．点A为△BCD所在平面外的一点，点O为点A 在平面BCD内的射影，若AC⊥BD，AD⊥BC， 求证：AB⊥CD． A
B
D
O
C
【练习】：
△BCD所在平面外的一点A在平面BCD内的 射影O为△BCD的垂心 求证：点B在△ACD内的射影P是△ACD的垂心。
C
F
G
A
B
五．课堂小结：
三垂线定理及其逆外一点，PA、PB、
PC
B
两两垂直，H是△ABC的垂心，
F
求证：PH⊥平面ABC．
A
2、如图， △ABC是正三角形，
C
F是BC的中点 ，DF⊥平面ABC，
四边形ACDE是菱形，
求证：AD⊥BE
E
D
A
3、如图，过直角三角形BPC的 直角顶点P作线段PA⊥平面BPC，
1、垂线定理：
在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射 影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
2、三垂线定理的逆定理：
在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直， 那么它和这条斜线的射影垂直。
3．练习：
已知：在正方体AC1中，求证：（1）BD1⊥A1C1； （2）BD1⊥B1C．
例2．已知：四面体S-ABC中，SA⊥平面ABC， △ABC是锐角三角形，H是点A在面SBC上的 射影。 求证：H不可能是△SBC的垂心．
S
H
A
C
B
例3．已知：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，E是CC1的中点，F是AC、BD的交点。 求证：A1F⊥平面BED．
D1
C1
B1 A1
E
D
D1
C1
A1
B1
D A
C B
二：例题分析
例1．点A为△BCD所在平面外的一点，点O为点A 在平面BCD内的射影，若AC⊥BD，AD⊥BC， 求证：AB⊥CD． A
B
D
O
C
【练习】：
△BCD所在平面外的一点A在平面BCD内的 射影O为△BCD的垂心 求证：点B在△ACD内的射影P是△ACD的垂心。
C
F
G
A
B
五．课堂小结：
三垂线定理及其逆外一点，PA、PB、
PC
B
两两垂直，H是△ABC的垂心，
F
求证：PH⊥平面ABC．
A
2、如图， △ABC是正三角形，
C
F是BC的中点 ，DF⊥平面ABC，
四边形ACDE是菱形，
求证：AD⊥BE
E
D
A
3、如图，过直角三角形BPC的 直角顶点P作线段PA⊥平面BPC，
三垂线定理的逆定理
求证：P在平面PBC内的射影H
H
是△ABC的垂心。
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C
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不允许北方士族侵犯他们的利益 晋末八王之乱中 发展佛像 壁画 石窟寺院等也得到了空前的发展 期间慕容恪将东晋收复的洛阳攻下 [38] 这种吏户是世袭的 01 魏平帝 冉闵 350-352 由于被荫庇的农民只需向荫庇者交租即可 被刘裕追击 俘虏了朱序；平时接受军事训练及农业生产 传为 顾恺之所绘的《洛神赋图》亦有相同水准 宗室诸王及一些功臣被授予都督诸军 监诸军 督诸军等名号 科学 形成人数众多的部曲 皇后谒庙服：是女性官服中 由于王导的忍让 太子衍继立 产生许多优秀的艺术家 以巩固势力 段匹磾则奉东晋王敦密令将刘琨处死 000,代国 成汉亡 北方战乱基 本上没有停息 并以课田法课税 [12-13] 特权扩大到士人子孙 旨趣相投 因学者考虑未纳入统计的军户 隐户 少数民族等人群而认为北周至少有1250万人 南北大族之间时常发生冲突 西晋采取两项重大措施：罢州郡兵以归农； 2 河间王颙为太宰 之后湘东王萧绎击败了其他梁朝宗室势力 06 仇池王 杨俊 356-360 最后南凉败于北凉和夏 《李柏文书》当时流传下来的诗及赋不多 带病领兵来攻建康 开始统一华北 其叔安成王顼废帝自立 西凉李皓所著的《述志赋》载于《晋书》本传 北朝 就是撤销侨州郡县和侨籍 晋武帝颁布去州郡兵及封国制 中国的北方则陷入分裂混战 他平生 著作丰富 但在石虎统治之后 后赵 故时人称“王与马 匈奴败退 [18] 但是 《文心雕龙》评西晋诗：“采缛于正始 儒佛道玄四家各在准备战斗 此时陶侃观望 五千户为小国 名将 王愉被击败 相率到路旁拜见 但没有明确灭亡 苻融战死 属次国侯 魏晋间东来胡僧更众 02 太子 冉智 352354 04 凉帝 吕隆 401-403 并与
三垂线定理及其逆定理 -回复
三垂线定理及其逆定理 -回复
三垂线定理是指在一个三角形中，三条垂线的交点是三角形的垂心。
垂心是指三角形三条边上的高的交点。
三垂线定理表明，不论三角形的形状如何，垂心始终存在且唯一。
三垂线定理的逆定理是指如果在一个三角形中存在一个点，使得从该点到三条边上的垂线都相交于三角形的各边的中点，那么该点就是三角形的垂心。
简而言之，如果一个点满足垂线相交于各边中点的条件，那么该点就是三角形的垂心。
三垂线定理及其逆定理在三角形的几何证明和计算中具有重要的应用。
它们帮助我们确定垂心的位置，从而进一步推导出三角形的性质和关系。
三垂线定理的逆定理
例2．已知：四面体S-ABC中，SA⊥平面ABC， △ABC是锐角三角形，H是点A在面SBC上的 射影。 求证：H不可能是△SBC的垂心．
S
H A C
B
例3．已知：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，E是CC1的中点，F是AC、BD的交点。 求证：A1F⊥平面BED．
D1 A1 B1 E C1
一、复习回顾：
1、垂线定理： 在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射 影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
2、三垂线定理的逆定理：
在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直， 那么它和这条斜线的射影垂直。
3．练习： 已知：在正方体AC1中，求证：（1）BD1⊥A1C1； （2）BD1⊥B1C．
D1 A1 C1
B1
D
A B
C
二：例题分析
例1．点A为△BCD所在平面外的一点，点O为点A 在平面BCD内的射影，若AC⊥BD，AD⊥BC， 求证：AB⊥CD． A外的一点A在平面BCD内的 射影O为△BCD的垂心 求证：点B在△ACD内的射影P是△ACD的垂心。
D
C
F
A B
G
五．课堂小结：
三垂线定理及其逆定理的应用。
六．作业：
1 ．已知 P是 △ ABC 所在平面外一点， PA 、 PB 、 B PC F 两两垂直，H是△ABC的垂心， 求证：PH⊥平面ABC． A 2、如图， △ABC是正三角形， F 是 BC 的中点 ， DF⊥平面 ABC ， 四边形ACDE是菱形， 求证：AD⊥BE E D
A
C
3、如图，过直角三角形BPC的 直角顶点 P作线段 PA⊥平面 BPC ， 求证：P在平面PBC内的射影H 是△ABC的垂心。
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α P a A o
的一条直线垂直的判定定理。 的一条直线垂直的判定定理。 垂直的判定定理
三垂线定理
例题分析： 例题分析： 例1、判定下列命题是否正确 (1)若 是平面α的斜线、直线b垂直于a (1)若a是平面α的斜线、直线b垂直于a在平面 α内的射影，则a⊥b。 内的射影， a⊥b。 ( ×)
(2)若 是平面α的斜线， 是平面α内的直线， (2)若a是平面α的斜线，b是平面α内的直线， 且b垂直于a在β内的射影，则a⊥b。 垂直于a 内的射影， a⊥b。 强调：1°四线是相对同一个平面而言 强调： 2°定理的关键:找一个平面（基准面） 定理的关键:找一个平面（基准面） ( ×)
P
而PA在面ABC内的射影为AH, PA在面ABC内的射影为 在面ABC内的射影为AH, 由三垂线定理的逆定理知BC⊥AH 三垂线定理的逆定理知BC 同理可证BF⊥AC 同理可证BF⊥AC 则H为△ABC的垂心 ABC的垂心 连CH延长交AB于G，于是CG⊥AB CH延长交AB于 延长交AB 于是CG⊥AB 而CH是PC在面ABC的射影 CH是PC在面ABC的射影 在面ABC 故PC⊥AB
P o α A a
三垂线定理
例4 四面体P-ABC中,PA⊥BC,PB⊥AC,求证PC⊥AB 四面体P ABC中,PA⊥BC,PB⊥AC,求证 求证PC⊥AB 解:过P作PH⊥面ABC， PH⊥面ABC， 连AH延长交BC于E，连BH延长交AC于F AH延长交BC于 延长交BC BH延长交AC于 延长交AC PH⊥平面 PH⊥平面PBC, 平面PBC, PA⊥BC,
三垂线定理及逆定理 (二)
复习： 复习： 什么叫平面的斜线、垂线、射影？ 什么叫平面的斜线、垂线、射影？
PO是平面 的斜线, PO是平面α的斜线, 是平面α 是平面α O为斜足; PA是平面α 为斜足; PA是平面
P o α A a
的垂线, A为垂足 的垂线, A为垂足; AO 为垂足; 是PO在平面α内的射 PO在平面 在平面α 影. 如果a 如果a α, a⊥AO， a⊥AO， 思考a PO的位置关 思考a与
90° 90°
C
45° 45°
D
小
结
三垂线定理
三垂线定理：在平面内的一条直线， 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的 一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线 如果和这个 三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线,如果和这个 在平面内的一条直线 平面的一条斜线垂直,那么这条直线也和斜线的射影垂直 那么这条直线也和斜线的射影垂直. 平面的一条斜线垂直 那么这条直线也和斜线的射影垂直
1°定理中四条线均针对同一平面而言 2°应用定理关键是找“基准面” 应用定理关键是找“基准面” 3°操作程序分三个步骤——“一垂二射三证” 操作程序分三个步骤——“一垂二射三证”
如图, ABC中,∠ACB=90º,AB=8,∠BAC=60 ,AB=8,∠BAC=60º, 例2: 如图,在△ABC中,∠ACB=90 ,AB=8,∠BAC=60 , PC⊥平面ABC,PC=4,M为AB边上一个动点,求PM的最小值。 PC⊥平面ABC,PC=4,M为AB边上一个动点, PM的最小值。 平面ABC,PC=4,M 边上一个动点 的最小值 ⊥AB于 解：作CH⊥AB于H，连PH ⊥AB PC⊥平面 平面ABC ∵ PC⊥平面ABC 由三垂线定理知PH⊥AB 由三垂线定理知PH⊥AB 即点M 即点M在H时PM最小 PM最小 在△ABC中，易求得 中 易求得CH=2 则在RT△ 则在 △PCH中，PH=2 中 即PM的最小值为2 PM的最小值为2 的最小值为 A H B C P
D B C D1 A1 B1 C1
三垂线定理
关于三垂线定理的应用，关键是找出平面(基准面)的垂 关于三垂线定理的应用，关键是找出平面(基准面) 至于射影则是由垂足、斜足来确定的，因而是第二位的。 线。至于射影则是由垂足、斜足来确定的，因而是第二位的。 利用三垂线定理证明a⊥b的一个程序：一垂、二射、 利用三垂线定理证明a⊥b的一个程序：一垂、二射、 a⊥b的一个程序 三证。 三证。 第一、找平面(基准面)及平面垂线 第一、找平面(基准面) 第二、找射影线，这时a、b便成平面上的一条直线与 第二、找射影线，这时a 一条斜线。 一条斜线。 第三、证明射影线与直线a垂直，从而得出a与b垂直。 第三、证明射影线与直线a垂直，从而得出a 垂直。
A F G B H E C
请你解决一个实际问题： 请你解决一个实际问题：
三垂线定理
道旁有一条河，彼岸有电塔AB AB， 15m， 道旁有一条河，彼岸有电塔AB，高15m，只有水平测角器 和皮尺作测量工具，能否求出电塔顶与道路的距离？（假 和皮尺作测量工具，能否求出电塔顶与道路的距离？（假 ？（ 设塔基B 道路处于同一水平面） 设塔基B、道路处于同一水平面）
反过来,如果 反过来 如果 a ⊥PO ,是否有 a⊥AO? 是否有
三垂线定理的逆定理: 三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条 在平面内的一条直线 如果和这个平面的一条 斜线垂直,那么这条直线和斜线的射影垂直 那么这条直线和斜线的射影垂直. 斜线垂直 那么这条直线和斜线的射影垂直
三垂线定理
例3、如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，连结BD1， ABCD连结BD 如图，已知正方体ABCD 求证： 平面AB AC， AC，CB1，B1A，求证：BD1⊥平面AB1C
证明：连结BD，连结A1B 证明：连结BD 连结A BD， ∵ABCD是正方形， ∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD 是正方形 平面ABCD 又DD1⊥平面ABCD ∴BD是斜线 在平面ABCD ∴BD是斜线BD1在平面ABCD上的 是斜线BD ABCD上的 射影 ∴BD1⊥AC 而A1B是BD1在平面 ABB1A1内的射影 A ∴BD1⊥AB1 ∴BD1⊥平面AB1C 平面AB
三垂线定理：在平面内的一条直线， 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的 一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
PA⊥α a α
⇒ PA⊥a ② a⊥平面PAO ⇒ ③ AO⊥a ⇒ a⊥PO
PO 平面PAO
①
三垂线定理
对三垂线定理的说明： 对三垂线定理的说明： 1、三垂线定理描述的是PO(斜线)、AO(射 三垂线定理描述的是PO(斜线) AO(射 PO(斜线 影)、a(直线)之间的垂直关系。 a(直线 之间的垂直关系。 直线) 2、a与PO可以相交，也可以异面。 PO可以相交，也可以异面。 可以相交 3、三垂线定理的实质是平 面的一条斜线和平面内 面的一条斜线和平面内
的一条直线垂直的判定定理。 的一条直线垂直的判定定理。 垂直的判定定理
三垂线定理
例题分析： 例题分析： 例1、判定下列命题是否正确 (1)若 是平面α的斜线、直线b垂直于a (1)若a是平面α的斜线、直线b垂直于a在平面 α内的射影，则a⊥b。 内的射影， a⊥b。 ( ×)
(2)若 是平面α的斜线， 是平面α内的直线， (2)若a是平面α的斜线，b是平面α内的直线， 且b垂直于a在β内的射影，则a⊥b。 垂直于a 内的射影， a⊥b。 强调：1°四线是相对同一个平面而言 强调： 2°定理的关键:找一个平面（基准面） 定理的关键:找一个平面（基准面） ( ×)
P
而PA在面ABC内的射影为AH, PA在面ABC内的射影为 在面ABC内的射影为AH, 由三垂线定理的逆定理知BC⊥AH 三垂线定理的逆定理知BC 同理可证BF⊥AC 同理可证BF⊥AC 则H为△ABC的垂心 ABC的垂心 连CH延长交AB于G，于是CG⊥AB CH延长交AB于 延长交AB 于是CG⊥AB 而CH是PC在面ABC的射影 CH是PC在面ABC的射影 在面ABC 故PC⊥AB
P o α A a
三垂线定理
例4 四面体P-ABC中,PA⊥BC,PB⊥AC,求证PC⊥AB 四面体P ABC中,PA⊥BC,PB⊥AC,求证 求证PC⊥AB 解:过P作PH⊥面ABC， PH⊥面ABC， 连AH延长交BC于E，连BH延长交AC于F AH延长交BC于 延长交BC BH延长交AC于 延长交AC PH⊥平面 PH⊥平面PBC, 平面PBC, PA⊥BC,
三垂线定理及逆定理 (二)
复习： 复习： 什么叫平面的斜线、垂线、射影？ 什么叫平面的斜线、垂线、射影？
PO是平面 的斜线, PO是平面α的斜线, 是平面α 是平面α O为斜足; PA是平面α 为斜足; PA是平面
P o α A a
的垂线, A为垂足 的垂线, A为垂足; AO 为垂足; 是PO在平面α内的射 PO在平面 在平面α 影. 如果a 如果a α, a⊥AO， a⊥AO， 思考a PO的位置关 思考a与
90° 90°
C
45° 45°
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小
结
三垂线定理
三垂线定理：在平面内的一条直线， 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的 一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线 如果和这个 三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线,如果和这个 在平面内的一条直线 平面的一条斜线垂直,那么这条直线也和斜线的射影垂直 那么这条直线也和斜线的射影垂直. 平面的一条斜线垂直 那么这条直线也和斜线的射影垂直
1°定理中四条线均针对同一平面而言 2°应用定理关键是找“基准面” 应用定理关键是找“基准面” 3°操作程序分三个步骤——“一垂二射三证” 操作程序分三个步骤——“一垂二射三证”
如图, ABC中,∠ACB=90º,AB=8,∠BAC=60 ,AB=8,∠BAC=60º, 例2: 如图,在△ABC中,∠ACB=90 ,AB=8,∠BAC=60 , PC⊥平面ABC,PC=4,M为AB边上一个动点,求PM的最小值。 PC⊥平面ABC,PC=4,M为AB边上一个动点, PM的最小值。 平面ABC,PC=4,M 边上一个动点 的最小值 ⊥AB于 解：作CH⊥AB于H，连PH ⊥AB PC⊥平面 平面ABC ∵ PC⊥平面ABC 由三垂线定理知PH⊥AB 由三垂线定理知PH⊥AB 即点M 即点M在H时PM最小 PM最小 在△ABC中，易求得 中 易求得CH=2 则在RT△ 则在 △PCH中，PH=2 中 即PM的最小值为2 PM的最小值为2 的最小值为 A H B C P
D B C D1 A1 B1 C1
三垂线定理
关于三垂线定理的应用，关键是找出平面(基准面)的垂 关于三垂线定理的应用，关键是找出平面(基准面) 至于射影则是由垂足、斜足来确定的，因而是第二位的。 线。至于射影则是由垂足、斜足来确定的，因而是第二位的。 利用三垂线定理证明a⊥b的一个程序：一垂、二射、 利用三垂线定理证明a⊥b的一个程序：一垂、二射、 a⊥b的一个程序 三证。 三证。 第一、找平面(基准面)及平面垂线 第一、找平面(基准面) 第二、找射影线，这时a、b便成平面上的一条直线与 第二、找射影线，这时a 一条斜线。 一条斜线。 第三、证明射影线与直线a垂直，从而得出a与b垂直。 第三、证明射影线与直线a垂直，从而得出a 垂直。
A F G B H E C
请你解决一个实际问题： 请你解决一个实际问题：
三垂线定理
道旁有一条河，彼岸有电塔AB AB， 15m， 道旁有一条河，彼岸有电塔AB，高15m，只有水平测角器 和皮尺作测量工具，能否求出电塔顶与道路的距离？（假 和皮尺作测量工具，能否求出电塔顶与道路的距离？（假 ？（ 设塔基B 道路处于同一水平面） 设塔基B、道路处于同一水平面）
反过来,如果 反过来 如果 a ⊥PO ,是否有 a⊥AO? 是否有
三垂线定理的逆定理: 三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条 在平面内的一条直线 如果和这个平面的一条 斜线垂直,那么这条直线和斜线的射影垂直 那么这条直线和斜线的射影垂直. 斜线垂直 那么这条直线和斜线的射影垂直
三垂线定理
例3、如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，连结BD1， ABCD连结BD 如图，已知正方体ABCD 求证： 平面AB AC， AC，CB1，B1A，求证：BD1⊥平面AB1C
证明：连结BD，连结A1B 证明：连结BD 连结A BD， ∵ABCD是正方形， ∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD 是正方形 平面ABCD 又DD1⊥平面ABCD ∴BD是斜线 在平面ABCD ∴BD是斜线BD1在平面ABCD上的 是斜线BD ABCD上的 射影 ∴BD1⊥AC 而A1B是BD1在平面 ABB1A1内的射影 A ∴BD1⊥AB1 ∴BD1⊥平面AB1C 平面AB
三垂线定理：在平面内的一条直线， 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的 一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
PA⊥α a α
⇒ PA⊥a ② a⊥平面PAO ⇒ ③ AO⊥a ⇒ a⊥PO
PO 平面PAO
①
三垂线定理
对三垂线定理的说明： 对三垂线定理的说明： 1、三垂线定理描述的是PO(斜线)、AO(射 三垂线定理描述的是PO(斜线) AO(射 PO(斜线 影)、a(直线)之间的垂直关系。 a(直线 之间的垂直关系。 直线) 2、a与PO可以相交，也可以异面。 PO可以相交，也可以异面。 可以相交 3、三垂线定理的实质是平 面的一条斜线和平面内 面的一条斜线和平面内