第三章 输运现象与分子动理学理论的非平衡态理论 2

的水平管将两个容器相联通，开始时左边容器中充有分压为
P0的一氧化碳和分压为 P-P0 的氮气所组成的混合气体，右边 容器器中装有压强为P的纯氮气，设一氧化碳向氮中扩散及氮
向一氧化碳中扩散的扩散系数都是D。
试 求出左边容器中一氧化碳分压随时间变化的函数关系。
解： 设n1和n2分别为左、右两容 器中一氧化碳的数密度
⑸
设截面A⊥扩散方向 dn ,
dz
且 JN
流体截面积 扩散粒子的分子质量
处处相等，则：
dN
D dn dAdt dz
AmJN
m dN dt A
A D dn m A dz
JN

dN dt dA

D dn dz
m dN D d A dM D d A
则一根长为L、截面积为A的均匀棒达到稳态传热时的傅
里叶定律为：
IT

UT
L
A

UT
1L
A
其中：
热阻率
T

1

UT
RT
热欧姆定律
热阻
RT

L
A

T
L A
热阻定律
说明： ⑴ 热欧姆定律、热阻定律适用于均匀物质的稳态传热。
非均匀物质的热阻、热流，应借助微分热欧姆定律解决。 ⑵ 可以证明，棒状或板状材料的稳态传热，其热阻满足类似
于电阻的串、并联公式
热阻串联 热阻并联
RT RT1 RT2 RT3 1 1 1 1 RT RT1 RT2 RT3
§3.3.3 多孔绝热技术
减少了气体热对流，增加了传热长度，减少了总截 面积，大大改善了绝热性能
例3： 有三块热导率分别为 1,2,3 ，厚度为 d1= d2= d3 = d ， 截面积都为A的相同形状的平板A、B、C整齐地叠合在一起
1. 线性输运：
结果
驱动力
牛顿黏性定律：
动量流密度
J
p


du dz
流层间流速不同迁移了动量
菲克定律：
粒子流密度
JN

D dn dz
粒子分布不均匀迁移了粒子或质量
傅立叶定律： 热流密度
JT


dT dz
物质温度不均衡迁移了能量
或：由于存在速度梯度、分子数密度梯度、温度梯度造成了
动量、质量、能量的输运传递，形成了动量流、粒子流、热流。
例4： 一半径为b的长圆柱形容器在它的轴线上有一根半径为 a、
单位长度电阻为R的圆柱形长导线。圆柱形筒维持在定温，
里面充有被测气体。当金属线内有一小电流 I 通过时，测出
容器壁与导线间的温度差为△T。假定此时已达到稳态传热，
因而任何一处的温度均与时间无关。
试问：待测气体的热导率是多少？
解： [法1] 傅立叶定律
扩散现象出现时存在宏观粒子流， 是非平衡现象，也是一种物质的输运现象
PV T CO2
O2+CO2

O2+CO2
§3.2.1 菲克定律 自扩散与互扩散
一、自扩散与互扩散 实际的扩散过程都是较为复杂的，常和其他输运过程伴随
着发生。
纯扩散过程必须是在密度均匀、压强均匀的条件下进行的。
纯扩散一般分为两种：自扩散和互扩散。
dP
Jp
du
dz
源自文库
dt
A
气体常压下的黏性是由于流层间流速不同造成的定向
动量迁移引起
扩散：扩散粒子数
dN

D
dn dz
Adt

JN
Adt
JN
D dn dz

dN dt A
或： dM D d A
dt
dz
气体常压下的扩散是由于粒子数密度空间不均匀造成 的宏观粒子迁移或质量迁移引起
[法2] 热欧姆定律
设筒长为L，将气体划分为许多圆筒
状薄层，考虑r ~r+dr 的一层： L
该层热阻：dRT

T
dr A
1 dr
2 rL
总的空气层热阻：
RT = dRT

1
2 L
b

a
dr r
1 ln b
2 L a
热欧姆定律：
Ia
dr
r
r
b

T RT Q

Q

Q

I 2RL
说明：
⑴ 黏性与扩散均依靠分子无规则热运动实现 ⑵ 液体、固体也有扩散现象，但由于微观结构不同使得其扩散
的机理也不同
§3.3 热传导现象的宏观规律 当系统与外界之间或系统内部各部分之间存在温度差时就有
热量的传输 热传递有三种本质不同的基本方式：热传导、对流与辐射。
§3.3.1傅里叶定律 线性输运与非线性输运
t )]

n1(t )

1 2
n0[1

exp(
2DA VL
t )]
CO分压： P1(t) n1(t)kT P0 n0kT

P1(t
)

1 2
P0[1

exp(
2DA VL
t
)]
且： t ,
P1(t )

1 2
P0
三、气体扩散的微观机理：
黏性： 黏性力
f


du dz
A

J pA
dt
L
又：n1

N1 V
dn1 D n1 n2 A
dt
VL
V A
L
V
CO N2 LA V N2
PCO P0
P
n1 n2 n0 n1 n2 n1 (n0 n1) 2n1 n0
PN2 P P0 dn1
CO : n1 dL n2
JT

dQ dt dA
常量
此时利用傅立叶定律计算传热十分方便。
系统未达到稳态时，应借助热传导方程解决问题
⑷ 热传导的微观机理：
⑷ 热传导的微观机理：
热传导是由于分子热运动强弱程度（即温度）不同所产生
的能量传递 气体：当存在温度梯度时，作杂乱无章运动的气体分子，在
空间交换分子对的同时交换了具有不同热运动平均能 量的分子，因而发生能量迁移
§3.2 扩散现象的宏观规律
当物质中粒子数密度不均匀时，由于分子的热运动使粒子从
数密度高的地方迁移到数密度低的地方,这种现象就是扩散。
eg：不会发生化学反应的氧气与二氧化碳的扩散
抽去隔板经足够长时间后，两气体均匀分布于两容
器中，且：
T O2
P nkT (P、T恒定）
PV
n(O2 CO2 ) nO2 nCO2


dT dz
⑶ 说明：

Q

dQ dt

JT
A


dT dz
A
① 傅立叶定律是法国科学家傅立叶于1822年在实验基础上提出的
② 比例系数 称为热导率，或导热系数。
单位：w／m·K 其数值由材料的性质决定
③ 式中负号表示热流方向与温度梯度方向相反，
即：热量总是由温度较高处流向温度较低处
④ 系统达到稳态时有：
JT

dQ dt dA
热流： 单位时间内通过的热量

Q

dQ
dt
温度梯度大小： dT
dz
⑵ 傅立叶定律：
方向：指向温度升高的方向。
A
z0
z
设物体的温度沿z轴方向变化，在z=z0处垂直于z轴取一截面A。
JT

dQ dt dA


dT dz

Q

dQ dt

JT
A


dT dz
A
傅立叶定律
JT

dQ dt dA
设筒长为L，则
L
Ia
dr
r
r
轴线上的导线电阻为 Rtot RL

b
设半径为r的圆柱面上通过的总热流为 Q ,
dT
半径为r ~r+dr 的圆筒形薄层气体中的温度梯度为 dr ，则：
JT


dT dr
Rtot RL
Ia
JT


dT dr
A 2 rL

L

Q

JT
A


dT dr
2 rL

dT


Q
2 L

dr r
dr
r
r
b
达到稳定态时任意位置的热流相同，则有：
Tb

Ta
dT

b

a

Q
2 L

dr r


Tb

Ta


Q
2 L
ln
b a
又： Q I 2Rtott I 2RLt


Q

Q

I
2RL
t
I 2R ln b 2T a
Tb Ta T
固体、液体： 分子的热运动形式为振动。 温度高处分子热运动能量较大，因而振动的振幅大；
温度低处分子振动的振幅小。 热运动能量就是借助于相互联接的分子的频繁振动逐
层地传递开去的。
通常液体和固体的热传导系数较低 金属： 金属或熔化金属中存在自由电子气体，
因而金属的导热性能远比一般的固体、液体高
二、线性输运与非线性输运
常温常压下 注意:
大多数气体： D ~ 104 ~ 105m2/s
低黏度液体： D ~ 108 ~ 109m2/s
固体：
D ~ 109 ~ 1015m2/s
对气体来说，当压强很低时的扩散与上述扩散不同。 属于克努曾扩散或称为分子扩散，eg：气体透过小孔的泻流就
属于分子扩散 .
例1：两个容器的体积都为V，用长为L、截面积A很小（LA<<V）
一、 傅里叶定律 1. 热传导：
相邻的两部分物质之间，不是由于净的物质流动，而仅仅 是由温度差引起的能量传输称为热传导
热传导过程存在热流 ，因而是非平衡态。 热传导过程存在能量迁移 ，因而是物质的输运现象。 2. 傅里叶定律：
⑴ 定义：
2. 傅里叶定律：
⑴ 定义：
热流密度：单位时间通过垂直热流方向的单位面积的热量。
这些输运中的“流”与产生这些流动的“驱动力”是线性关 系，称线性输运
2. 非线性输运：
若非平衡态不满足“流”与“驱动力”间的线性关系，或一 种“驱动”形成了另一种类的“流”。就成为非线性输运。
§3.3.2 热欧姆定律
傅立叶定律：

Q
dQ dt

JT A

dT dz
A
若：温度差△T 称为温压差； 记为-△UT ； 热流记为 IT
2. 自扩散 自扩散是互扩散的一种特例。是使发生互扩散的两种粒子的差 异尽量变小，使它们相互扩散的速率趋于相等的扩散过程.
2. 自扩散 eg: ① 同位素间的互扩散 ② CO、N2 的互扩散
二、菲克定律： (一) 菲克定律：
1. 分子数密度梯度矢量：
设扩散粒子的数密度n只沿一维方向变化(如z方向)，即：n=n(z)。 则定义分子数密度梯度矢量：

T

RT I 2RL

1
2 L
ln b a

后分别与温度为 T1 及 T2 的两个热源相接触。 试求：达稳态时在单位时间内流过的热量.
解： 利用热阻串联公式
RT

RT1
RT 2

RT 3

d1
1A
d2
2A

d3
3A

d1 (
A 1

1
2
1)
3

Q

IT

UT
RT

d(
1
T A
1
1
)
1 2 3
(T2 T1)A123 d(12 3 31)
dn1 D 2n1 n0 A
dt
VL
2dn1 2DA dt 2n1 n0 VL

n1 ( t

n0
)
d(2n1 ) 2n1 n0

t

0

2DA VL
dt
ln 2n1(t) n0 2DA t
n0
VL

n1(t )

1 2
n0[1

exp(
2DA VL
大小： d n
dz
若： d n 0 , 分子数密度梯度与z同向
dz
方向： 沿z轴方向，且 若： d n 0 , 分子数密度梯度与z反向
dz
即： 分子数密度梯度总是指向分子数密度 n 增加的方向。
2. 菲克定律： 设dA为与z轴垂直的小面元。 实验表明：
dA z
dt 时间内通过dA面净的向z轴方向运动的分子数 dN 与 dn／dz 成正比，与dA、dt 也成正比。则有：
dN D dn dAdt dz
定义粒子流密度为单位时间通过单位面积的粒子数，用JN表示，则：
JN

dN dt dA

D dn dz
3. 说明：
——菲克定律
⑴ 菲克定律是法国生物学家菲克于1855年提出的。
⑵ 公式中的负号表示粒子向着粒子数密度减少的方向扩散。
⑶ 扩散粒子流密度JN ，下标N表示输运的是粒子数。 ⑷ 比例系数D 称为扩散系数， 单位：m2/s
管道中CO净由左至右的数
V A
L
V
CO N2 LA V N2
PCO P0
P
密度梯度大小为：
dn1 n1 n2
dz
L
PN2 P P0 dn1
CO : n1 dL n2
则左→右CO粒子的流动率： dN1 D n1 n2 A
dt
L
则左→右CO粒子的流动率：dN1 D n1 n2 A
1. 互扩散： 发生在混合物质成分中，是由于物质各成分的空间分布不
均匀而造成的各组分分子从高密度区向低密度区迁移的现象 由于发生互扩散的各组分分子的大小、形状不同，因而他们
的扩散速率、能力也各不相同。 在扩散过程中，同类分子的相互碰撞不会改变这些分子原来
的输运规律，但当大分子与小分子相互碰撞时，小分子的运动方 向较容易发生偏转甚至被折回，从而影响到它的输运规律。
dt
dz
dt
dz
——菲克定律的第三种数学表达式
反映了单位时间扩散的总质量与密度梯度d／dz的关系
⑹ 菲克定律也可以用于互扩散：
若dt 时间输运的扩散粒子1的质量为dM1，则：
dM1 dt

D12
d1
dz
A
扩散粒子1的密度梯度
扩散粒子1在粒子2中的一维互扩散系数
(二) 扩散系数D 扩散系数的大小反映了扩散过程的快慢，即反映了粒子的扩散能力。