2012年贵州省高考文科数学试卷(word版)和答案

2012年高考数学试题（文） 第1页【共10页】
2012年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅱ卷）
文 科 数 学
第Ⅰ卷
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．已知集合A ={x |x 2-x -2<0}，B ={x |-1<x <1}，则（ ）
A ．A ⊂≠B
B ．B ⊂≠A
C ．A =B
D ．A ∩B =∅
2．复数32i
z i
-+=
+的共轭复数是（ ） A ．2+i
B ．2-i
C ．-1+i
D ．-1-i
3．在一组样本数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ）（n ≥2，x 1, x 2,…, x n 不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i ，y i ）(i =1, 2,…,n )都在直线1
12
y x =+上，则这组样本数据的样本相关系数为 （ ） A ．-1
B ．0
C ．
12
D ．1
4．设F 1、F 2是椭圆E ：22
221x y a b +=(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线32
a x =上一点，△F 1PF 2
是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（ ） A ．
1
2
B ．
23
C ．
34
D ．
45
5．已知正三角形ABC 的顶点A (1,1)，B (1,3)，顶点C 在第一象限，若点（x ，y ）在△ABC 内部，则z x y =-+的取值范围是（ ）
A
．(1- B ．(0，2) C
．1,2)
D. 1) 6．如果执行右边的程序框图，输入正整数N (N ≥2)和实数a 1，a 2，…，a N ，输出A 、B ，则（ ） A ．A +B 为a 1，a 2，…，a N 的和
B ．2
A B +为a 1，a 2，…，a N 的算术平均数
C ．A 和B 分别为a 1，a 2，…，a N 中的最大数和最小数
2012年高考数学试题（文） 第2页【共10页】
D ．A 和B 分别为a 1，a 2，…，a N 中的最小数和最大数 7．如图，网格上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ） A ．6
B ．9
C ．12
D ．18
8．平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距
） A
π
B ．
C ．
π
D ．
9．已知ω>0，0ϕπ<<，直线x =4
π和x =54π是函数()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相
邻的对称轴，则ϕ=（ ） A ．π4
B ．π3
C ．π2
D ．3π4
10．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2=16x 的准线交于A ，B 两
点，||AB =C 的实轴长为（ ） A
B
．
C ．4
D ．8
11．当0<x ≤
12
时，4log x
a x <，则a 的取值范围是（ ） A ．(0
B ．
1)
C ．(1
D ．
2)
12．数列{n a }满足1(1)21n n n a a n ++-=-，则{n a }的前60项和为（ ）
A ．3690
B ．3660
C ．1845
D ．1830
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分. 第13题～第21题为必考题，每个试题考生必须做答. 第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答. 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．曲线(3ln 1)y x x =+在点（1,1）处的切线方程为 . 14．等比数列{n a }的前n 项和为S n ，若S 3+3S 2=0，则公比q = . 15．已知向量a ，b 夹角为45º，且|a |=1
，|2-a b |b |=
.
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16．设函数22(1)sin ()1
x x
f x x ++=+的最大值为M ，最小值为m ，则M +m = .
三、解答题：（解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17．（本小题12分）已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，3sin cos c a C c A =-. （Ⅰ）求A ；
（Ⅱ）若a =2，△ABC 的面积为3，求b ，c .
18.（本小题12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售. 如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理.
（Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n （单位：枝，n ∈N ）的函数解析式。

（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数
10
20
16
16
15
13
10
(i)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的
平均数；
(ii)若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率.
19．（本小题12分）如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB =90°，112AC BC AA ==，D 是棱AA 1的中点.
（Ⅰ） 证明：平面BDC 1⊥平面BDC ；
（Ⅱ）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比. 20．（本小题12分）设抛物线C ：x 2=2py (p >0)的焦点为F ，准
线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，F A 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点. （Ⅰ）若∠BFD =90º，△ABD 的面积为42求p 的值及圆F 的方程；
（Ⅱ）若A ，B ，F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值. 21．（本小题12分）设函数f (x ) = e x -ax -2 （Ⅰ）求f (x )的单调区间
（Ⅱ）若a =1，k 为整数，且当x >0时，(x -k ) f ´(x )+x +1>0，求k 的最大值
请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑.
D
E A
B C
B
A
C D
B 1
C 1
A 1
2012年高考数学试题（文） 第4页【共10页】
22. （本小题10分）【选修4-1：几何证明选讲】
如图，D ，E 分别为△ABC 边AB ，AC 的中点，直线DE 交于△ABC 的外接圆于F ，G 两点，若CF //AB ，证明： (Ｉ) CD = BC ； （Ⅱ）△BCD ∽△GBD .
23. （本小题10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
已知曲线C 1的参数方程是2cos 3sin x y ϕ
ϕ=⎧⎨
=⎩
（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的
正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ=2. 正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为)3
,2(π
.
（Ⅰ）点A ，B ，C ，D 的直角坐标；
（Ⅱ）设P 为C 1上任意一点，求|P A |2+ |PB |2 + |PC |2+ |PD |2的取值范围. 24. （本小题10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数f (x ) = |x + a | + |x -2|.
(Ⅰ) 当a =-3时，求不等式f (x ) ≥ 3的解集；
(Ⅱ) 若f (x ) ≤ | x -4 |的解集包含[1, 2]，求a 的取值范围.
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2012年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅱ卷）
文 科 数 学【参考答案】
一、选择题： 1. 【答案B 】
解析：A =（-1，2），故B ⊂≠A ，故选B. 2. 【答案D 】 解析：∵z =32i
i
-++=1i -+，∴z 的共轭复数为1i --，故选D. 3. 【答案D 】
解析：样本相关系数的绝对值越接近于1，相关性就越强，现在所有的样本都在直线
1
+12
y x =
上，故这组样本数据完全正相关，随意其相关系数为1，故选D. 4. 【答案C 】
解析：∵△F 2PF 1是底角为30º的等腰三角形，260PF A ∴∠=︒，
212||||2PF F F c ==，∴2||AF =c ，3
22
c a ∴=
，34e ∴=，故选C.
5. 【答案A 】
解析：有题设知C (1+3,2)，作出直线l 0：0x y -+=，平移直线l 0，有图像知，直线:l z x y =-+过B 点时，max z =2，过C 时，min z =13-，∴z x y =-+取值范围为(13-，2)，故选A. 6. 【答案C 】
解析：由框图知其表示的是判断x >A 得A 应为a 1，a 2，…，
a N 中的最大数，由x <B 得B 应为a 1，a 2，…，a N 中的最小数，故A 和B 分别为a 1，a 2，…，a N 中的最大数和最小数，故选C. 7. 【答案B 】
解析：由三视图知，其对应几何体为三棱锥，其底面为一边长为6，这边上高为3，棱锥的高为3，故其体积为
11
63332
⨯⨯⨯⨯=9，故选B. 开始 A =x
B =x
x ＞A
否 输出A ，B 是 输入a 1,a 2,…,a N 结束
x <B k ≥N k =1,A =a 1,B=a 1
k =k+1
x =a k 是 否 否
是
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8. 【答案B 】
解析：设求圆O 的半径为R
，则R ==
34
3
V R π∴==. 9. 【答案A 】
解析：由题设知，πω=544
ππ-，∴ω=1，∴4πϕ+=2k ππ+（k Z ∈）
，∴ϕ=4k π
π+（k Z ∈），∵0ϕπ<<，∴ϕ=4
π
，故选A.
10. 【答案C 】
解析：由题设知抛物线的准线为：4x =，设等轴双曲线方程为：2
2
2
x y a -=，将4x =代入等轴双曲线方程解得y
=，∵||AB
=
=得a =2，∴C 的实轴长为4，故选C. 11. 【答案A 】
解析：由指数函数与对数函数的图像知1201
1log 4
2
a a <<⎧⎪⎨>⎪⎩
，解得02a <<，故选A. 12. 【答案D 】
解析：【法1】有题设知21a a -=1①，32a a +=3②，43a a -=5③，54a a +=7，65a a -=9，
76a a +=11，87a a -=13，98a a +=15，109a a -=17，1110a a +=19，121121a a -=，……∴②－①得13a a +=2，③+②得42a a +=8，同理可得57a a +=2，68a a +=24，911a a +=2，1012a a +=40，…，∴13a a +，57a a +，911a a +，…，是各项均为2的常数列，24a a +，
68a a +，1012a a +，…是首项为8，公差为16的等差数列，∴{n a }的前60项和为
1
1521581615142
⨯+⨯+⨯⨯⨯=1830.
【法2】14142434443424241616n n n n n n n n n n b a a a a a a a a b +++++---=+++=++++=+ 11234151514
1010151618302
b a a a a S ⨯=+++=⇒=⨯+⨯= 二、填空题：
13. 【答案430x y --=】
解析：∵3ln 4y x '=+，∴切线斜率为4，则切线方程为：430x y --=. 14. 【答案 -2】
解析：当q =1时，3S =13a ，2S =12a ，由S 3+3S 2=0得，19a =0，∴1a =0与{n a }是等
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比数列矛盾，故q ≠1，由S 3+3S 2=0得，
3211(1)3(1)
011a q a q q q
--+=--，解得q =－2. 15. 【答案
解析：
∵|2-a b |=224410-⋅=a a b +b
，即260--=|b |b |
，解得
|b |=
16. 【答案 2】
解析：()f x =22sin 11x x x ++
+，设()g x =()1
f x -=22sin 1
x x
x ++，则()g x 是奇函数， ∵()f x 最大值为M ，最小值为m ，∴()g x 的最大值为M -1，最小值为m -1，
∴110M m -+-=，M m +=2. 三、解答题：
17. 解析：
（Ⅰ）由sin cos c C c A =-
sin cos sin sin A C A C C -=，由于sin 0C ≠，所以1sin()6
2A π
-=
，又0A π<<，故3
A π
=. （Ⅱ）ABC ∆的面积S =
1
sin 2
bc A
bc =4，而 2222cos a b c bc A =+-，故22c b +=8，解得b c ==2. 18. 解析：（Ⅰ）当日需求量17n ≥时，利润y =85；当日需求量17n <时，利润1085y n =-，
∴y 关于n 的解析式为1085,17
()85, 17
n n y n N n -<⎧=∈⎨
≥⎩.
（Ⅱ）(i)这100天中有10天的日利润为55元，20天的日利润为65元，16天的日利润为75元，54天的日利润为85元，所以这100天的平均利润为
1
(5510652075168554)100
⨯+⨯+⨯+⨯=76.4 . (ii)利润不低于75元当且仅当日需求不少于16枝，故当天的利润不少于75元的概率为
0.160.160.150.130.10.7p =++++=
19. 解析：（Ⅰ）由题设知BC ⊥CC 1，BC ⊥AC ，CC 1∩AC =C ,∴BC ⊥面ACC 1A 1，又∵DC 1⊂面ACC 1A 1，∴DC 1⊥BC ，由题设知∠A 1DC 1=∠ADC =45º，∴∠CDC 1=90º,即DC 1⊥DC ，又∵DC ∩BC =C , ∴DC 1⊥面BDC ，∵DC 1⊂面BDC 1，∴面BDC ⊥面BDC 1 .
（Ⅱ）设棱锥B -DACC 1的体积为1V ，AC =1，由题意得，
1112111322
V +=⨯⨯⨯=，由三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积1V =，
∴11():1:1V V V -=，∴平面BDC 1分此棱柱为两部分体积之比为1:1.
B
A
C D
B 1
C 1
A 1
2012年高考数学试题（文） 第8页【共10页】
20. 解析：（Ⅰ）设准线l 于y 轴的焦点为E ，圆F 的半径为r ，则|FE |=p ，|F A |=|FB |=|FD |=r ，E 是BD 的中点，∵090BFD ∠=，∴||||=||2FA FB FD p ==，|BD |=2p ，设A (0x ，0y )，根据抛物线定义得，|F A |=
02
p
y +，∵ABD ∆的面积为42，∴ABD S ∆=01||()22p BD y +=1
222
p p ⨯⨯=42，解得p =2，
∴F (0,1), |F A |=22，∴圆F 的方程为：2
2
(1)8x y +-=.
（Ⅱ）【方法1】∵A ，B ，F 三点在同一条直线m 上, ∴AB 是圆F 的直径，
090ADB ∠=，由抛物线定义知1
||||||2AD FA AB ==，∴030ABD ∠=，∴m 的斜率为
33或－3
3，∴直线m 的方程为：332p y x =±
+，∴原点到直线m 的距离1d =
34p ，设直线n 的方程为：3
3y x b =±+，代入22x py =得，223203x x pb ±
-=，∵n 与C 只有一个公共点， ∴∆=24
803p pb +=，∴6
p b =-
，∴直线n 的方程为：336p
y x =±
-，∴原点到直线n 的距离2d =312p ，∴坐标原点到m ，n 距离的比值为
33
:3412
p p =. 【方法2】由对称性设2
000(,)(0)2x A x x p >，则(0,)2p
F ，点,A B 关于点F 对称得：22
2
20000(,)3222x x p B x p p x p p p --⇒-=-⇔=得3(3,)2
p A p ，
直线332
2:30223p p
p p m y x x y p
-
=+⇔-+=， 22
33
2233
x x x py y y x p p p '=⇔=⇒==⇒=⇒切点3(
,)36p p P ， 直线333
:()306336
p p n y x x y p -
=-⇔--=，
2012年高考数学试题（文） 第9页【共10页】
坐标原点到,m n
距离的比值为
:326
=. 21．解析：（Ⅰ）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，()x f x e a '=-，若0a ≤，则()0f x '>，所以
()f x 在(,)-∞+∞单调递增. 若0a >，则当(,ln )x a ∈-∞时，()0f x '<；当(ln ,)
x a ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(,ln )a -∞单调递减，在(ln ,)a +∞单调递增.
（Ⅱ）由于1a =，所以()()1()(1)1x x k f x x x k e x '-++=--++. 故当0x >时，()()10x k f x x '-++>等价于1
(0)
(1)
x x k x x e +<
+>-①. 令1
()(1)
x x g x x e +=+-，则
22
1(2)()1(1)(1)x x x x x xe e e x g x e e ----'=+=
--.
由（Ⅰ）知，函数()2x
h x e x =--在(0,)+∞单调递增，而(1)0h <，(2)0h >，所以()h x ，在(0,)+∞存在唯一的零，故()g x '在(0,)+∞存在唯一的零点. 设此零点为
a ，则(1,2)a ∈. 当(0,)x a ∈时，()0g x '<；当(,)x a ∈+∞时，()0g x '>. 所以()
g x 在(0,)+∞的最小值为()g a . 又由()0g a '=，可得2a
e a =+，所以()1(2,3)g a a =+∈. 由于①式等价于()k g a <，故整数k 的最大值为2.
22．解析：（Ⅰ）∵D ，E 分别为△ABC 边AB ，AC 的中点，∴DE //BC .
∵CF //AB ，DF //BC ，∴CF //BD 且CF =BD ，∵又D 为AB 的中点，
∴CF //AD 且CF =AD ，∴CD =AF . ∵CF //AB ，∴BC =AF ，∴CD =BC . （Ⅱ）由（Ⅰ）知，BC // GF ，∴GB = CF = BD ，∠BGD =∠BDG =
∠DBC =∠BDC ，∴△BCD ∽△GBD . 23．解析：（Ⅰ）依题意，点A ，B ，C ，D 的极坐标分别为5411(2,),(2,
),(2,),(2,)3
66
π
πππ
. 所以点A ，B ，C ，D 的直角坐标分别为、(、(1,-、1)-. （Ⅱ） 设()2cos ,3sin P ϕϕ，则222222||||||||(12cos )3sin )PA PB PC PD ϕϕ+++=-+
222222(2cos )(13sin )(12cos )(3sin )2cos )(13sin )ϕϕϕϕϕϕ++-+--+++--
[]22216cos 36sin 163220sin 32,52ϕϕϕ=++=+∈.
所以2222||||||||PD PC PB PA +++的取值范围为[]32,52.
24．解析：（Ⅰ） 当3a =-时，不等式3)(≥x f ⇔|3||2|3x x -+-≥()()2323
x x x ≤⎧⎪⇔⎨
----≥⎪⎩或()()23323x x x <<⎧⎪⎨-++-≥⎪⎩或()()3
323x x x ≥⎧⎪⎨-+-≥⎪⎩
⇔或4x ≥. 所以当3a =-时，不等
式3)(≥x f 的解集为{
1x x ≤或}4x ≥.
（Ⅱ）()|4|f x x ≤-的解集包含]2,1[，即|||2||4|x a x x ++-≤-对[]1,2x ∈恒成立，即||2x a +≤对[]1,2x ∈恒成立，即22a x a --≤≤-对[]1,2x ∈恒成立，所以。