不等式恒成立求参数的范围

不等式恒成立求参数的范围
一、最值的直接应用
例1、已知函数f(X)= (x-k)29
⑴求/(x)的单调区间；
⑵若对于任意的都有/求k的取值范围.
例久已知函数f(x)=x + - + b(x^0)9其中a^beR.
x
⑴若曲线y = /(Q在点P(2,/⑵)处切线方程为＞'=3x +1,求函数/⑴的解析式;
(2)讨论函数/⑴的单调性；
⑶若对于任意的占訶，不等式几讥1°在刖上恒成立，求b的取值范围.
例3、已知函数f(x) = (x 2
-a)e\
⑴若“ =3,求/W 的单调区间；
⑵已知X p X 2是/(A)的两个不同的极值点， 3
3/(") <(e+-a 2-3a + b 恒成立，求实数的取值范围。

二、恒成立之分离常数
例4.已知函数/(x) = - + lnx-l,« e R ・ x
(1)若.v = fW 在P(l,儿)处的切线平行于直线y = -x + \ 间； ⑵ 若G>0,且对.2 (0,2刃时，/(A ) > 0恒成立，求实数"的取值范围.
且 1召 +x 21>1^%21 ,若 求函数y = /(X )的单调区
Y"
例5、已知函数f(x ) = e x - — -ax-i,(其中"ER,为自然对数的底数).
⑴当« = 0时,求曲线y = /(劝在(0,/(0))处的切线方程；
(2)当x Ml 时,若关于x 的不等式/(A ) M0恒成立，求实数Q 的取值范围.
(1) 求/(x)的单调区间；
(2) 求/(x)的取值范围；
(3) 已知2占＞仁+ 1)川对任意"(7°)恒成立，求实数加的取值范围。

例人已知函数/(劝=匕旦.
(I )若函数在区间(G4 + 】)其中">0,上存在极值，求实数&的取值范围;
2
(H)如果当x>\时，不等式fM>^-恒成立，求实数励取值范围；
例6. 设函数/(A)=
(x + l)ln(x + l) 2—1且心0)
x + 1
例&已知函数f(x) = x2+bx + c(b,ceR).对任意的xeR.恒有广(x)W/(x).
⑴证明：当/(x)^(x + c)2;
(2)若对满足题设条件的任意从6不等式f(c)-/0)WM(c2-庆)恒成立，求确最小值。

例9.已知函数f(x) = (x3 - 6x2+3x + t)e x, teR.
(1 )若函数v = /(x)依次在x = a,x = h,x = c(a<b<c>)处取到极值.
①求f的取值范围；②若“+ C =2ZA求/的值.
(2)若存在实数疋[0,2],使对任意的xe[l,/«],不等式/(x) < x恒成立.求正整数加的最大值.
例10.已知函数f(x) = x2 + a\nx(a^j实常数)•
⑴若"=-2,求证：函数/⑴在(1,+8)上是増函数;
(2)求函数/(X)在[1, e]上的最小值及相应的X值；
⑶若存在xe[\,e]9使得f(x)<(a + 2)x成立，求实数"的取值范围.
例11、设函数f(x) = a\nx-bx2.
⑴若函数/(%)在工=1处与直线y = 相切：
2
①求实数("的值；②求函数在［丄,e］上的最大值；
e
⑵当b = o时，若不等式f(x)工m + x对所有的“ e ［0,即“ ［1, y ］都成立，求实数m 的取值范围.。