高二数学直线与平面平面与平面的位置关系

第2讲：直线与平面，平面与平面的位置关系

【知识整合】

一、直线与平面的位置关系： 1. 直线与平面平行：

（1）直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行（即线线平行，则线面平行）

（2）直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行（即线面平行，则线线平行）

2. 直线与平面垂直：

（1）直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。（即线线垂直，则线面垂直）

（2）直线与平面垂直的性质定理：①如果两条直线垂直于一个平面，那么这两条直线平行；②如果一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线（即线面垂直，则线线垂直）

3. 平面的斜线及直线与平面所成的角：

（1）过一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面内的射影，这点与垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段。

（2）平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角，范围是]90,0[

。

4. 三垂线定理：如果平面内的一条直线和一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直。

二、平面与平面的位置关系： 1. 两平面平行：

（1）两平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。（即线面平行，则面面平行）

（2）两平面平行的性质：①如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意直线均平行与另一个平面（即面面平行，则线面平行）；②如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行。（即面面平行，则线线平行）

2. 二面角的大小：

以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角，范围是]180,0[

。

3. 两平面垂直：

（1）两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。（即线面垂直，则面面垂直）

（2）两平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。（即面面垂直，则线面垂直）

【典例精析】

1. 空间四边形ABCD 中，若AB AD AC CB CD BD =====，则AC 与BD 所成角为 。

Q P F E

D

C

B

A

2. 如图长方体中，AB=AD=23，CC 1=2，则二面角 C 1—BD —C 的大小为（ ）

3. 已知空间四边形ABCD ，P ，Q 分别是ABC ∆和BCD ∆的重心，求证ACD PQ 平面//

4. 正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB ，在AE ，BD 上各取一点P ，Q ，且DQ AP =，求证BCE PQ 平面//。

5. 如图，P 是边长为1的正六边形ABCDEF 所在平面外一点，1PA =，P 在平面ABC 内的射影为BF 的中点O 。证明 PA ⊥BF

6. 如图，已知四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为等腰梯形，//,AB DC

,AC BD AC ⊥与BD 相交于点O ，且顶点P 在底面上的

射影恰为O 点，又2,BO =2,PO PB PD =

⊥.

（１）求异面直线PD 与BC 所成角的余弦值； （２）设点M 在棱PC 上，且

,PM

MC

λλ=问为何值时，PC ⊥平面BMD 。

A

B

C D

A 1

B 1

C 1

D 1

7. 在正方体

1111D C B A A B C D -中，Ｍ，Ｎ，Ｐ分别是

11111,,D C C B C C 的中点，求证：

（１）MN AP ⊥

（２）BD A MNP 1//平面平面

8. 在三棱锥ABC S -中，A B C ∆是等腰三角形，

120,2=∠==ABC a BC AB ，且

a SA ABC SA 3,=⊥平面，求点A 到平面SBC 的距离。

9. 如图，四棱锥ABCD P -的底面是边长为a 的正方形，ABCD PA 底面⊥，E 为AB 的中点，且PA=AB 。

（1）求证PCD PCE 平面平面⊥ （2）求点D 到平面PCE 的距离。

10. 如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，12AA AB =，

点D 是11B A 的中点，点E 在11C A 上，且AE DE ⊥。 （1）求证，11A ACC ADE 平面平面⊥ （2）求直线AD 和平面1ABC 所成角的正弦值。

【重点题型强化】

1. 如图，三棱柱111C B A ABC -中D 是BC 的中点，求证：

D AC B A 11//平面

2. 如图，在ABC ∆中，

90=∠ACB ，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，沿DE 将ADE ∆折起，使A 到'A 的位置，M 是B A '的中点，求证

CD A ME '//平面

A

'

M

E

D

C

B

A

3. 如图，ABC DC 平面⊥，22,//====DC EB BC AC DC EB ，

120=∠ACB ，P ，Q 分别为AE ，AB 的中点，求证：ACD PQ 平面//

4. 如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，

AB AC ⊥，PA ⊥平面ABCD ，且P A A B =，

点E 是PD 的中点.

（Ⅰ）求证：AC PB ⊥；

（Ⅱ）求证：//PB 平面AEC ；

5. 在四棱锥P －ABCD 中，底面是边长为2的菱形，∠DAB ＝60

，对角线AC 与BD 相交于点O ，PO ⊥平面ABCD ，PB 与平面ABCD 所成的角为60

．

（1）求四棱锥P －ABCD 的体积；

（2）若E 是PB 的中点，求异面直线DE 与PA 所成角的余弦值

Q

P

E

D

C

B

A