B知识讲解直线与双曲线地位置关系(理)

直线与双曲线的位置关系

【学习目标】

1.能正熟练使用直接法、待定系数法、定义法求双曲线的方程；

2.能熟练运用几何性质（如范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）解决相关问题；

3.能够把直线与双曲线的位置关系的问题转化为方程组解的问题，判断位置关系及解决相关问题.

【知识网络】

【要点梳理】

要点一、双曲线的定义及其标准方程双曲线的定义

在平面内，到两个定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于常数2a （a 大于0且122a

F F ）的动点P 的

轨迹叫作双曲线.这两个定点

1F 、2F 叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距

.

双曲线的标准方程：

焦点在x 轴上的双曲线的标准方程

说明：焦点是F 1(-c ，0)、F 2(c ，0)，其中c 2=a 2-b

2

焦点在y 轴上的双曲线的标准方程

说明：焦点是

F 1(0，-c)、F 2(0，c)，其中c 2=a 2-b

2

双曲线

双曲线的定义与标准方程

双曲线的几何

性质

直线与双曲线的位

置关系

双曲线的综合

问题

双曲线的弦问题

双曲线离心率及渐近线问题

222

2

1(0,0)

x y a b a

b

222

2

1(0,0)

y x a b a

b

要点诠释：求双曲线的标准方程应从“定形”、“定式”和“定值”三个方面去思考.“定形”是指对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”根据“形”设双曲线方程的具体

形式；“定量”是指用定义法或待定系数法确定a,b的值.

要点二、双曲线的几何性质

标准方程

22

22

1

x y

a b

(0,0)

a b

22

22

1

y x

a b

(0,0)

a b

图形

性质

焦点

1

(,0)

F c，

2

(,0)

F c

1

(0,)

F c，

2

(0,)

F c

焦距22

12

||2()

F F c c a b22

12

||2()

F F c c a b

范围{}

x x a x a

或，y R{}

y y a y a

或，x R 对称

性

关于x轴、y轴和原点对称

顶点(,0)

a(0,)a 轴实轴长=a2，虚轴长=2b

离心

率

(1)

c

e e

a

渐近

线方程

x

a

b

y

a

y x

b

要点三、直线与双曲线的位置关系直线与双曲线的位置关系

将直线的方程y kx m与双曲线的方程

22

22

1

x y

a b

(0,0)

a b联立成方程组，消元转化为关于x

或y的一元二次方程，其判别式为Δ.

2

222

222

22

()20

b

a k x

a mkx a m a b

若2

22

0,b a k 即b k a ，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；若22

2

0,b

a k

即b k

a

，

①Δ＞0直线和双曲线相交直线和双曲线相交，有两个交点；②Δ＝0直线和双曲线相切直线和双曲线相切，有一个公共点；③Δ＜0

直线和双曲线相离

直线和双曲线相离，无公共点．

直线与双曲线的相交弦

设直线y kx m 交双曲线

222

2

1x y a

b

(0,0)a b

于点111222(,)

,(,),P x y P x y 两点，则2

2

121

212||()

()

PP x x y y =2

2

121

21

2()[1(

)]y y x x x x =2

1

21||

k x x 同理可得121221||1||(0)

PP y y k k

这里1

2||,x x 12||,y y 的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：

2

121212||()

4x x x x x x 2

1

21

212

||

()

4y y y y y y 双曲线的中点弦问题

遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.

在双曲线

22

2

2

1x y a

b

(0,0)a

b

中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率

2

02

b x k

a y ；

涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍

.

解题的主要规律可以概括为

“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”.

要点四、双曲线的实际应用与最值问题对于双曲线的实际应用问题，我们要抽象出相应的数学问题，

即建立数学模型，一般要先建立直角坐标

系，然后利用双曲线定义，构建参数

a,b,c 之间的关系，得到双曲线方程，利用方程求解

双曲线中的最值问题，按照转化途径主要有以下三种：（1）利用定义转化（2）

利用双曲线的几何性质