含参变量的积分

§12.3 .含参变量的积分
教学目的 掌握含参变量积分的连续性，可微性和可积性定理，掌握含参变量正常积分的求导法则． 教学要求
(1)了解含参变量积分的连续性，可微性和可积性定理的证明，熟练掌握含参变量正常积分的导数的计算公式．
(2)掌握含参变量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的证明．
一、含参变量的有限积分
设二元函数(,)f x u 在矩形域(,)R a x b u αβ≤≤≤≤有定义，[,],u αβ∀∈一元函数(,)f x u 在[,]a b 可积，即积分
(,)b
a
f x u dx ⎰
存在.[,]u αβ∀∈都对应唯一一个确定的积分（值）(,)b
a
f x u dx ⎰.于是，积分(,)b
a
f x u dx ⎰是定义在区间[,]αβ的函数，表为
()(,),
[,]b
a
u f x u dx u ϕαβ=∈⎰
称为含参变量的有限积分，u 称为参变量.
定理1.若函数(,)f x u 在矩形域(,)R a x b u αβ≤≤≤≤连续，则函数()(,)b
a u f x u dx ϕ=⎰在区间
[,]αβ也连续.
★说明：若函数(,)f x u 满足定理1的条件，积分与极限可以交换次序.
定理2 .若函数(,)f x u 与f
u
∂∂在矩形域(,)R a x b u αβ≤≤≤≤连续，则函数()(,)b a u f x u dx ϕ=⎰在
区间[,]αβ可导，且[,]u αβ∀∈，有
(,)()b a d
f x u u dx du u
ϕ∂=∂⎰，
或
(,)(,)b
b a a d f x u f x u dx dx du u
∂=∂⎰⎰. 简称积分号下可微分.
★说明：若函数(,)f x u 满足定理2的条件，导数与积分可以交换次序.
定理3 .若函数(,)f x u 在矩形域(,)R a x b u αβ≤≤≤≤连续，则函数()(,)b
a u f x u dx ϕ=⎰在区间
[,]αβ可积，且
{}
{}
(,)(,)b
b
a
a
f x u dx du f x u du dx β
β
αα
=⎰⎰
⎰
⎰
.
简称积分号下可积分.
★说明：若函数(,)f x u 满足定理3的条件，关于不同变数的积分可以交换次序.
一般情况，含参变量的有限积分，除被积函数含有参变量外，积分上、下限也含有参变量，即
(),()a a u b b u ==.但[,]u αβ∀∈，对应唯一一个积分（值）()()
(,)b u a u f x u dx ⎰
，它仍是区间[,]αβ的函数，
设 ()
()
()(,),
[,]b u a u u f x u dx u ψαβ=∈⎰
.
下面给出函数()u ψ在区间[,]αβ的可微性.
定理4.若函数(,)f x u 与
f
u
∂∂在矩形域(,)R a x b u αβ≤≤≤≤连续，而函数()a u 与()b u 在区间[,]αβ可导，[,]u αβ∀∈，有
(),()a a u b a b u b ≤≤≤≤，
则函数()
()
()(,),[,]b u a u u f x u dx u ψαβ=∈⎰
在区间[,]u αβ∈可导，且
()''()(,)()[(),]()[(),]()b u a u d
f x u u dx f b u u b u f a u u a u du u
ψ∂=+-∂⎰
二、例（I ）
例1. 求函数1
220()ln()F y x y dx =+⎰的导数(0)y >
解：0y ∀>，暂时固定，0ε∃>，使1
y εε
≤≤
，显然，被积函数
22ln()x y +与
22222ln()y
x y y x y
∂+=∂+ 在矩形域1
(01,)R x y εε
≤≤≤≤都连续，根据定理2，有
1
1'
22
22002()ln()y F y x y dx dx y x y ∂=+=∂+⎰⎰
11200122arctan 2tan 1x d y x atrc y y x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭===⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
⎰. 因为0,0,y ε∀>∃>使1
y εε
≤≤
，所以0y ∀>，有
'1()2tan
F y atrc y
=. 例2 .求0
()ln(1cos ),
1I r r x dx r π
=+<⎰.
解：:1r r ∀<，暂时固定，0k ∃>，使1r k ≤<，显然，被积函数及其关于r 的偏导数，即
(,)ln(1cos )f x r r x =+ 与
cos 1cos f x
r r x
∂=
∂+ 在矩形区域(0,)R x k r k π≤≤-≤≤连续，根据定理2 ，有
'00cos ()ln(1cos )1cos x
I r r x dx dx r r x π
π∂=+=∂+⎰
⎰ =0011cos 111(1)1cos 1cos r x dx dx r r x r r x ππ+-=-++⎰⎰
01.(0)1cos dx r r r r x
ππ=-≠+⎰ 设tan 2
x
t =（万能换元），有
222222111cos (1)(1)11dx t dt dt t r x r r t r
t +==-+++-++⎰⎰⎰
=
2
21121dt x C r r t r
⎫
=+⎪⎪+-⎭+-⎰ 从而，
00
1cos 2dx x r x π
π⎫==⎪⎪+⎭⎰于是，
'()0)I r r r
π
=
≠ （3）
又有
'
00lim ()lim 0r r I r r π→→⎛⎫== ⎝
.
将'()I r 在0r =做连续开拓.令'(0)0.I =函数'()I r 在区间[,]k k -连续，对等式（3）等号两端求不定积分，有
1()((ln ln I r dr r C r r
ππ==++⎰
ln(1C π=+.
已知'(0)0.I =，有 1
ln 2ln 2
C ππ=-=.
于是 ，
1()ln(1ln ln 2I r πππ=+=.
例3 .证明：若函数()f x 在区间[,]a b 连续，则函数
1
1()()(),[,](1)!
x n a y x x t f t dt x a b n -=
-∈-⎰
是微分方程()()()n y x f x =的解，并满足条件'(1)()0,()0
,()0n y a y a y a -===.
证明： 逐次应用定理4，求函数()y x 的n 阶导数，有
'22'11()(1)()()()().()(1)!(1)!
x n n a y x n x t f t dt x t f x x n n --=
--+---⎰ =21
()()(2)!x n a x t f t dt n ---⎰， ''31()()(),(3)!
x n a y x x t f t dt n -=
--⎰
(1)()(),x
n a y x f t dt -=⎰
()()()n y x f x =，
即函数()y x 是微分方程()()()n y x f x =的解，显然，当x a =时，
'()()0,()0,
()0n y a y a y a ===.
例4. 证明：若函数()f x 存在二阶导数，函数()F x 存在连续导数，则函数
11(,)[()()]()22x at
z at
u x t f x at f x at F z dz a +-=-+++⎰
是弦振动方程22
222u u a t x
∂∂=∂∂的解. 证明：根据定理4，有
''11
[()()()][()()()]22u f x at a f x at a F x at a F x at a t a
∂=--++++---∂ ''1
[()()]['()()]22
a f x at f x at F x at F x at =+--+++- 22"'''2[()()][()()]22
u a a f x at f x at F x at F x at t ∂=+++++--∂ ''11
[()()][()()]22u f x at f x at F x at F x at x a
∂=++-++--∂ 2""''
211[()()][()()]22u f x at f x at F x at F x at x a
∂=++-++--∂ 于是，22""''211[()()][()()]22u a f x at f x at F x at F x at x a ∂⎧⎫
=++-++--⎨⎬∂⎩⎭
22
2
u a x
∂=∂ 即(,)u x t 是弦振动方程22
222
u u a t x ∂∂=∂∂的解 例5 .求积分1
,0ln b a
x x dx a b x
-<<⎰
.
解法一 应用积分号下积分法.
解： 函数()ln b a
x x y x x -=的原函数不是初等函数，函数()y x 在0与1没定义，却有极限
0lim
0ln b a
x x x x
+→-=. 11111lim lim lim()1ln b a b a b a
x x x x x bx ax bx ax b a x
x
-----→→→--==-=-. 将函数()y x 在0与1作连续开拓，即
0,
0,(),01,ln ,
1.b
a
x x x y x x x b a x =⎧⎪-⎪=<<⎨⎪
-=⎪⎩
从而，函数()y x 在区间[0,1]连续.已知
()ln ln b
b a y
b y a a
x x x y x x dy x x -===⎰
而函数(,)y f x y x =在闭矩形域(01,)R x a y b ≤≤≤≤连续，根据定理3，有
{}{}1
11
00
ln b a
b
b
y
y
a
a
x x dx x dy dx x dx dy x
-==⎰
⎰⎰⎰⎰
1
101ln 111y b
b a
a x dy b
dy y y a
++===+++⎰
⎰.
解法二 应用积分号下微分法. 解： 设 1
(),ln y a
x x y dx a y b x
-Φ=≤≤⎰
根据定理2，有
'
1
11
10001()ln 11y a y y
y
x x x y dx x dx x y y +⎛⎫-Φ==== ⎪++⎝⎭⎰⎰. 两端求不定积分，有
()ln(1).1
dy
y y C y Φ==+++⎰ 令 y a =，有
()0ln(1)a a C Φ==++，即 ln(1).C a =-+ 于是， 1
()ln(1)ln(1)ln
.1
y y y a a +Φ=+-+=+ 令 y b =，有 1
1
()ln .ln 1
b a x x b b dx x a -+Φ==+⎰
三、含参变量的无穷积分
设二元函数(,)f x u 在区域(,)D a x u αβ≤<+∞≤≤有定义。

[,]a αβ∀∈，无穷积分(,)a
f x u dx
+∞
⎰都收敛，即[,]u αβ∀∈都对应唯一一个无穷积分（值）(,)a
f x u dx +∞⎰.于是，(,)a
f x u dx +∞
⎰
是区间[,]
αβ的函数，表为
()(,),
[,]a
u f x u dx u ϕαβ+∞
=∈⎰
，
称为含参变量的无穷积分，有时也简称无穷积分，u 是参变量.
定义 设u I ∀∈，无穷积分(,)a
f x u dx +∞⎰
收敛，若000,(0,,,A A A u I ε∀>∃>∀>∀∈通用）有
(,)(,)(,)A
a a
A
f x u dx f x u dx f x u dx ε+∞
+∞
-=
<⎰
⎰⎰
则称无穷积分(,)a
f x u dx +∞
⎰
在区间I 一致收敛。

例6 .证明：无穷积分dx ue xu ⎰
+∞
-0
在区间[a,b](a>0)一致收敛. 证明：设0A >,求无穷积分（将u 看做常数） xu A
ue dx
+∞
-⎰
设1
,,xu t dx dt u ==
有 1
xu
t
t Aa A
Aa
Aa ue
dx ue dt e dt e u +∞
+∞
+∞----===⎰
⎰
⎰
已知,a u b ≤≤有
xu Au Aa A
ue dx e e +∞
---=≤⎰
0,ε∀>使不等式Aa e ε-<成立，解得11ln A a ε>。

取011
ln .A a ε
= 于是，0011
0,ln ,,[,],A A A u a b a εε
∀>∃=
∀>∀∈有 xu Aa A
ue dx e ε+∞
--≤<⎰
即无穷积分0
(,)f x u dx +∞⎰
在区间[,]a b 一致收敛.
定理5 （柯西一致收敛准则）无穷积分0
(,)f x u dx +∞⎰
在区间I 一致收敛
(,)f x u dx +∞
⎰
010200,0,,,A A A A A u I ε⇔∀>∃>∀>>∀∈与，有
2
1
(,)A A f x u dx ε<⎰
.
定理6 .若0,,,B x B u I ∃>∀>∀∈有 (,)()f x u F x ≤，且无穷积分()a
F x dx +∞⎰
收敛，则无穷积
分0
(,)f x u dx +∞
⎰
在区间一致收敛。

例7. 证明：无穷积分2
ux e dx +∞
-⎰在区间[,)a +∞一致收敛(0)a >
证明： [,),u a ∀∈+∞有 2
2
ux ax e e --≤
已知无穷积分2
ax e
dx +∞
-⎰收敛，根据定理6，则无穷积分2
ux e dx +∞
-⎰在区间[,)a +∞一致收敛.
例8.证明： 无穷积分22
1
cos xy
dx x y +∞
+⎰在R 一致收敛 证明：y R ∀∈，有
222
cos 1
xy x y x ≤
+. 已知无穷积分2
1
1
dx x ∞+
⎰
，则无穷积分221cos xy dx x y +∞+⎰在R 一致收敛。

定理7 .若函数(,)f x u 在区域),(I u x a D ∈+∞<≤
(a>0)，连续且
(,)(,)x
a F x u f t u dt =⎰
在D 有界，即0,(,)C x u D ∃>∀∈，有
(,)(,)x
a
F x u f t u dt C =
≤⎰
则当0λ>时，无穷积分
dx x
u x f a
⎰
∞
+λ
)
,( 在区间I 一致收敛.
例9 .证明：无穷积分0sin yx
x
e dx x
+∞
-⎰在区间[0,)+∞一致收敛。

证明： 因为[0,),y ∀∈+∞有0sin lim 1yx x x
e x
-→=，所以0不是被积函数的瑕点，因此将被积函数
在0作连续开拓。

首先证明无穷积分1sin yx x
e dx x
+∞-⎰在区间[0,)+∞一致收敛
由§7.2例6 ，有
2
1
1
(sin cos )(,)sin 1x
yt x
yt
e y t t F x y e tdt y ---+==+⎰
22
(sin cos )(sin1cos1)11yt y e y x x e y y y ---+-+=+++
(,)(1,0)x y D x y ∀∈≤<+∞≤<+∞,有
222
(1)(1)2(1)(.)0()111yx y y
e y e y y F x y e y y y y ---+++≤+≤→→∞+++
于是，函数(,)F x y 在区域D 有界，根据定理7，无穷积分1
1sin sin (10)yx
yx
x e x e
dx dx x x
λ-+∞
+∞-==>⎰⎰
在区间[0,)+∞一致收敛，再根据柯西一致收敛准则，无穷积分
sin yx
x
e dx x
+∞
-⎰
在区间[0,)+∞一致收敛.
定理8. 若函数(,)f x u 在区域(,)D u x u αβ≤<+∞≤≤，连续且无穷积分 ()(,)a
u f x u dx ϕ+∞=⎰
在区间[,]αβ一致收敛。

则函数()u ϕ在区间[,]αβ连续。

定理9 .若函数(,)f x u 在区域(,)D u x u αβ≤<+∞≤≤，连续且无穷积分 ()(,)a
u f x u dx ϕ+∞=⎰
在区间[,]αβ一致收敛，则函数()u ϕ在区间[,]αβ可积，且
{}
()(,)a
u du f x u du dx β
β
α
α
ϕ+∞
=⎰⎰
⎰
，
即
{}
{}
(,)(,)a
a
f x u dx du f x u du dx β
β
αα
+∞
+∞
=⎰⎰
⎰
⎰
.
简称积分号下可积分.
定理10.若函数(,)f x u 与'(,)u f x u 在区域(,)D u x u αβ≤<+∞≤≤，连续且无穷积分 ()(,)a
u f x u dx ϕ+∞=⎰
在区间[,]αβ收敛，而无穷积分'(,)u a
f x u dx +∞
⎰
在区间[,]αβ一致收敛，则函数
()u ϕ在区间[,]αβ可导，且
'
'()(,)u a
u f x u dx ϕ+∞
=⎰
即
(,)(,)a
a d f x u dx f x u dx du u +∞
+∞∂=∂⎰⎰. 简称积分号下可微分. 四、例（II ）
例10 .证明：0
ln ,(0)ax bx e e b
dx a b x a
--+∞
-=<<⎰
证明： 将被积函数表积分，即
b
ax bx bx ax yx
a
e e e e e x x x -------=-=--
'
yx b
b yx
a a
y
e dy e dy x --⎛⎫=-= ⎪⎝⎭⎰⎰. 已知[,],y a b ∀∈有 .yx ax e e --≤
而无穷积分0
ax e dx +∞
-⎰收敛。

根据定理6，无穷积分0
ax e dx +∞
-⎰在区间[,]a b 一致收敛，根据定理9，
交换积分次序，有{}{}
00
ax bx
b
b
yx
yx a
a
e e dx e dy dx e dx dy x
--+∞
+∞+∞
---==⎰
⎰⎰⎰⎰
ln ln ln b
a
dy b
b a y a
==-=⎰
例11. 求无穷积分0
sin x I dx x
+∞
=⎰
解：§12.1例11证明了无穷积分0
sin x
dx x
+∞⎰收敛（条件收敛） 因为被积函数
sin x
x
不存在初等函数的原函数，所以不能直接求这个无穷积分，为此在被积函数中引入一个收敛因子(0)yx e y -≥，讨论无穷积分 0sin ()(7)yx
x
I y e dx x
+∞
-=⎰ 显然，(0)I I =。

无穷积分（７）的被积函数及其关于ｙ的偏导数，即
sin yx
x
e x
-与sin sin yx yx x e e x y x --∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭ 在区域(0,0)D x y ≤<+∞≤<+∞连续（连续开拓），已知无穷积分
sin yx
x
e dx x
+∞
-⎰
在区间[0,)+∞一致收敛（见例９），下面证明。

0ε∀>，无穷积分
0sin sin yx yx
x e dx e xdx y x +∞
+∞--∂⎛⎫=- ⎪∂⎝⎭
⎰
⎰ 在区间[,)ε+∞一致收敛，事实上[,),y ε∀∈+∞有
sin yx yx x e x e e ε---≤≤
已知无穷积分0
x e dx ε+∞-⎰收敛，由定理６，无穷积分0
sin x e xdx ε+∞
-⎰在区间[,)ε+∞一致收敛，根据定
理10，[,),y ε∀∈+∞，有
'0
0sin ()sin yx yx
x I y e dx e xdx y x +∞
+∞--∂⎛⎫==- ⎪∂⎝⎭
⎰
⎰ 22
(sin cos )1
11yx e y x x y y +∞
-+==++ 从而2
1
()arctan (8)1I y dy y c y
=-=-++⎰
下面确定常数C ，0,y ∀>等式8都成立，有
0sin sin ()yx
yx x x I y e
dx e dx x x
+∞
+∞--=
≤⎰
⎰
1
0()yx yx
e e dx y y
y
+∞
-+∞
-≤=-
=
→→+∞⎰
即lim ()0y I y →+∞
=，对等式（8）等号两端取极限()y →+∞，有
lim ()lim arctan y y I y y c →+∞
→+∞
=-+
即02
c π
=-
+或2
C π
=
，于是
()arctan 2I y y π
=-+
.
下面证明函数()I y 在0y =右连续，事实上，已知无穷积分（7）在区间[0,)+∞一致收敛，根据定理8，函数()I y 在()I y 在0y =右连续，对等式（9）等号两端取 极限(0)y +→,有
lim ()lim(arctan )2
y y I y y π
++
→→=-+，
即 (0)2I π
=
.
于是 0sin (0)2x I I dx x π
+∞===⎰ 例12. 求无穷积分0sin yx
dx x +∞⎰
解：显然，y=0时，0sin yx
dx x
+∞⎰=0
当0y ≠，设1
,,yx t dx dt y
==
由例11，有 00sin sin 0,2yx t y dx dt x t π
+∞
+∞>==⎰⎰
000sin sin sin 0,2
yx t u y dx dt du x t u π+∞-∞+∞<==-=-⎰⎰⎰
于是，
0,0
2sin 0,02
y yx dx y x
π
π+∞⎧>⎪⎪
==⎨⎪⎪-⎩⎰ 例13 .求无穷积分2
sin x dx x +∞
-∞
⎛⎫
⎪⎝⎭
⎰ 解： 被积函数2
sin x x ⎛⎫
⎪⎝⎭
是偶函数，有
2
2
200sin sin 1cos 22x x x dx dx dx x x x +∞
+∞+∞-∞-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰ 由分布公式与例12，有
2
200sin 1cos 21(1cos 2)x x dx dx x d x x x +∞
+∞+∞-∞-⎛⎫⎛⎫==-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰ 00
1cos 22sin 2x x dx x x +∞
+∞-=-+⎰
sin 2 2.2
x dx x π
π+∞
===⎰
五、Γ函数和B 函数 （一） Γ函数
函数10
()x x e dx αα+∞--Γ=⎰
称为Γ函数
Γ函数的两个性质： 1、Γ函数在区间(0,)+∞连续 2、递推公式 0,α∀>有
(1)x x x e dx x de ααα+∞
+∞
---Γ+==⎰⎰
10
()x
x x e x e dx ααααα+∞+∞---=-+=Γ⎰
（二）B 函数
函数1
110(,)(1)p q p q x x dx --B =-⎰称为B 函数
(,)p q B 的性质
1.对称性(,)(,)p q q p B =B
10
11110
1
1
11
(,)(1)(1)(1)(,)
p q p q p q p q x x dx t t dt
t t dt q p ------B =-=--=-=B ⎰⎰⎰
2.递推公式
0,1,p q ∀>>有1
(,)(,1)1
q p q p q p q -B =
B -+-
1
1
1
1
1
(,)(1)
(1)
p p q q x p q x
x dx x d p ---⎛⎫B =-=- ⎪⎝⎭
⎰⎰ 1
11120
01(1)(1)p q p q x q x x x dx p p ----=-+-⎰ 11120
1[(1)](1)p p q q x x x x dx p ----=---⎰ 111121001(1)(1)q p q p q x x dx x x dx p
-----=---⎰⎰ 11
(,1)(,)q q p q p q p p
--=
B --B 即1
(,)(,1)1
q p q p q p q -B =
B -+-
3、212120
0,1,(,)2cos sin p q p q p q d π
ϕϕϕ--∀>>B =⎰
事实上，设2cos ,2sin cos x dx d ϕϕϕϕ==-，有
1
1121210
2
(,)(1)(cos )(sin )(2sin cos )p q p q p q x x dx d πϕϕϕϕϕ----B =-=-⎰⎰
212120
2cos sin p q d π
ϕϕϕ--=⎰ （11）
由公式（11），在下面有几个简单公式：0,1p q ∀>>，有
21212
1()()cos sin (,)22()
p q p q d p q p q π
ϕϕϕ--ΓΓ=
B =Γ+⎰
（12） 在公式（12）中，令12n q +=
与1
2p =，1,n ∀>-有 2011()()22sin 2(1)
2
n
n d n π
ϕϕ+ΓΓ=Γ+⎰ （13）
在公式（13）中，令0n =，有
22
11
()()
1122()2(1)22d π
ϕΓΓ⎡⎤
==Γ⎢⎥Γ⎣⎦
⎰
或 2
1()2π⎡⎤
Γ=⎢⎥⎣⎦
，即1()2Γ=六、例（III ）
例14.求概率积分2
0x e
dx +∞
-⎰与2
x e dx +∞
--∞
⎰.
解：
设2,x t dx ==
有
2
120
0111()222x t e
dx t e dt +∞
+∞---==Γ=⎰
⎰
于是2
2
02x x e
dx e
dx +∞
+∞
---∞==⎰⎰
例15. 求1
,0,0(1)p p q
x dx p q x -+∞
+>>+⎰
解： 设
211
,1t dx dt x t
==-+，有 1
1
02
111
..
(1)p p p q p q x t dx t dt x t t --+∞
++-⎛⎫=- ⎪+⎝⎭
⎰
⎰ 1
110
(1)(,)q p t t p q --=-=B ⎰
例16.
证明：欧拉等式21
1
4
π
=
⎰
⎰
证明： 分别求等号左端的两个积分
设3
4
41,4
t x dx t dt -==，有
311
14
20
1111(1)(,)4442t t dt --=-=B ⎰⎰
11
21
1420
01131
(1)(,)4442t t dt --=-=B ⎰
⎰
于是，21
1
111131
(,)(,)442442
=B B ⎰
⎰
113114242.351644⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ΓΓΓΓ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫ΓΓ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
113114242.31116444⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ΓΓΓΓ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=⎛⎫
⎛⎫ΓΓ ⎪ ⎪
⎝⎭
⎝⎭
2
11424
π
⎡⎤⎛⎫=Γ= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 例17.证明：若0,0,b a αβ>>>有
()()()
()1
11()()b
a a
x a b x dx b a αββαβαβ+---ΓΓ--=
-Γ+⎰
.
证明： 设()()(),,1,x a
u x a b a u b x b a u b a
-=
-=--=---()dx b a du =-，有 11()()b
a a
x a b x dx β----⎰
()[]()1
1
1
0()(1)a b a u b a u b a du β--=----⎡⎤⎣
⎦⎰
()
()
1
1
1
10
1b a u u du αββα+---=--⎰
()
()1
,b a αβαβ+-=-B
()
()()
()
1
b a αβαβαβ+-ΓΓ=-Γ+
例18. 证明：勒让德公式：0,a ∀>有
(
)()122a αα⎛
⎫ΓΓ+= ⎪⎝
⎭.
证明： 1
1
1110
(,)(1)[(1)]a a a a x x dx x x dx α---B =-=-⎰⎰
()()1
1
1
1
210
2
11a x x dx x x dx α--=-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦
⎣⎦⎰⎰
对等号右端第二个积分做变换，设1,x t dx dt =-=-，有
()()1
1
1
1
12
211a x x dx t t dt α---=--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
⎰
⎰
()1
1
20
1x x dx α-=-⎡⎤⎣⎦
⎰
()()1
1
2
1
1
220
11,21242a a x x dx x dx αα--⎡⎤⎛⎫B =-=--⎡⎤⎢⎥
⎪⎣⎦
⎝⎭⎢⎥⎣⎦
⎰⎰
设12x -=
=有 ()()
111
2
212101
1
1,1,222a a a a a t
t dt a -
---⎛⎫B =
-=
B ⎪⎝⎭
⎰ 由 公式（10）,有
()()()()211121222a a a a a a -⎛⎫
ΓΓ ⎪ΓΓ⎝⎭=Γ⎛
⎫Γ+ ⎪
⎝
⎭
已知12⎛⎫
Γ= ⎪⎝⎭
(
)()122a a a ⎛
⎫ΓΓ+= ⎪⎝
⎭，
特别是，令1
4
a =
，有
131442⎛⎫⎛⎫
⎛⎫ΓΓ== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。