第7讲 向量线性相关性与秩PPT课件

反之，由有限Baidu Nhomakorabea同维的向量所组成的向量组
可以构成一个矩阵.
m 个 n 维 列 向 量 所 组 成 的 向 量 组 1 ,2 , ,m ,
构 成 一 个 n m 矩 阵
A (1 ,2 , ,m )
m个n维行向量所组成
T 1
的向量组1T , 2T ,mT ,
构成一个m n矩阵
B
T 2
m
T
例如：
(1,2,3, ,n)
( 1 2 i , 2 3 i , , n ( n 1 ) i )
第2个分量 第1个分量
第n个分量
n维实向量 n维复向量
向量通常写成一行： a 1,a 2, ,a n 称为行向量。
a1
有时也写成一列：
a2
a
n
称为列向量。
分量全为零的向量 0,0, ,0 称为零向量。
k1 km0时 ,才 有
k11k22 km m0成 立 .
2对 . 于任一 ,不向 是 性 量 线 无 组 关就
线性.相关
3向 . 量组只包含 时 ,若 一 个 0则 向说 量 线性,相 若 关 0,则说 线性无 . 关
4包 . 含零向量的 组任 是何 线向 性量 .相
5.对于含有两个向量 量组 的 ,它向线性相关的 充要条件是两向量 量对 的应 分成比例，义 几何 是两向量共线；量 三相 个关 向的几何意向 义是 量共面 .
(3) 0
(4) 0
(7)k l k l (8)k k k
注：（1）对任意的向量 , 存在唯一的零向量 o , 使得 o （2）对任意的向量 , 存在唯一的负向量 , 使得 ()o （3） 0 0 ; ( 1 ) ;0 0 . （4）如果 0, 则 0或 0
一. n维向量空间
1. n 维向量
定义：n 个有次序的数a1,a2, ,an 所组成的有序数组
a1,a2, ,an 称为一个n 维向量。
这 n 个数称为该向量的 n 个分量，第 i 个数 a i
称为第 i 个分量。
分量全为实数的向量称为实向量，
分量为复数的向量称为复向量.
以后我们用小写希腊字母 ,, 来代表向量。
类,似 矩 A 地 阵 (a i)jm n 又 m 个 有 n 维行
a 11 a 21
a 12 a 22
a 1 n a2n
T 1
T 2
A a i1
ai2
a in
T i
a m 1 a m 2 a mn
T m
向量组
T 1
,
T 2
,
…，
T m
称为矩阵A的行向量组．
使 得 k 1 1 k i 1 i 1 ( 1 ) i k i 1 i 1 k m m 0
二、线性相关性的概念
定义2 给定向 A:量 1,组 2,,m,如果存在
全为零 k1,的 k2, 数 ,km使
k11k22kmm0
则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关．
注意 1.若 1,2, ,m线 性 无 关 ,则 只 有 当
2. 向量的运算和性质
向量相等：如果 n 维向量 a 1,a 2, ,a n b 1,b 2, ,b n
的对应分量都相等，即 a i b i i 1 ,2 , ,n
就称这两个向量相等，记为
向量加法：向量 a 1 b 1 , a 2 b 2 ,, a n b n
称为向量 a 1,a 2, ,a n b 1,b 2, ,b n
的和，记为
负向量：向量 a 1 , a 2 , , a n称为向量 的负向量
向量减法： ( )
数乘向量：设k为实数，向量 k a 1,k a 2, ,k a n
称为向量 a 1,a 2, ,a n
与数k的数量乘积。记为 k
满足运算律：
(1)
(5)1
(2)( ) ( ) (6)k(l ) (kl )
如 果 1,2, ,m 中 有 一 个 向 量 （ 不 妨 设 i） 能 用 其 余 向 量 线 形 表 示 ，
则 存 在 一 组 数 k 1 , k i 1 ,k i 1 , k m ,满足 i k 1 1 k i 1 i 1 k i 1 i 1 k m m
即 存 在 不 全 为 0 的 数 k 1 ,k i 1 , 1 ， k i 1 ,k m ,
一、线性表示
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量） 所组成的集合叫做向量组．
例A如矩 aaa121 11A 阵 aaa122(22ai )jm n有 aaa12j jn j 个 m 维 aaan12nn列向量 am1 am2 amj amn
向量 a 1,a 2 ,组 ,a n 称为 A 的 矩列 阵 .向
a21x1a22x2 a2nxn b2,
2
am1x1am2x2 amnxn bm. m
(方 a11(程 ,a a2 112 组 ,,a(2中 a 2,m a1 1,有 na ,ab m 21 没 2 n),b有 2)am 多 n,b余 m)的方程，相
当于对应的向量组1,2, ,m中有没
有一个向量能用其余向量来线形表示.
线性方程组
x1 2 x2 2 x1 x2
x3 x3
2 1
3 x1 x2 1
(1,2,1,2)1
(2, 1,1, 1)2
(3,1,0,1)3
方程1加方程2可以消去方程3，说明方程3多余．
向量间的线性运算关系：
123
定义１ 给 定 向 量 组 A :1 ,2 , ,m ， 如 果 存 在 一
组 数 k 1 ， k 2 ， ,k m ， 使 得
k11k22 km m
则 称 向 量 可 以 由 向 量 组 1,2， ,m 的 线 性 表 示 ，
或 称 向 量 是 向 量 组 1 , 2 ,, m 的 线 性 组 合 .
线性方程组的向量表示
a11x1a12x2 a1nxn b1, 1
n维向量的实际意义
确定飞机的状态，需
要以下6个参数：
机身的仰角
()
机翼的转角
( 2 2)
机身的水平转角 (0 2 )
飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z)
所以，确定飞机的状态，需用6维向量
a (x ,y ,z ,, ,)
思考题
若一个本科学生大学阶段共修36门课程,成 绩描述了学生的学业水平，把他的学业水平用一 个向量来表示，这个向量是几维的？请大家再多 举几例,说明向量的实际应用．