【VIP专享】第三章生命年金的精算现值

t px
xtdt
-
0
v
t
d(t
p
x
)
1
0
vt
t
pxdt
1
ax
Ax 1 ax , or 1 ax Ax
2020/5/27 其中，dvt d (e t ) d (e t ) dvt
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[ 例1] 设死力是常值μ=0.04, 利力δ=0.06,在此假设 条件下 , 求 : (1) 终身生命年金的精算现值(2) 终身 生命年金现值的标准差 ;(3)终身生命年金现值超过其 精算现值的概率(所收取的趸缴纯保费将小于支付实际 给付年金额为 1 元的终身生命年金的概率 )。
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生命年金的种类
离散型与连续型；期初支付与期末支付；即期与延期；
终身与定期以及变额生命年金与生命年金。
精算现值的计算方法
保险金额为 1 个单位的 n 年生存保险 , 其给付保险金 现值的期望 ，称为趸缴纯保费 ( 这是与保险相联的缘 故）。
而在生命年金中 ,n 年期生存保险的期望现值 E(Z)( 即 建缴纯保费 ) 称为精算现值，" 精算 " 一词意味着除 含利率外 , 还含有死亡率等 其他因素
解: 利用现时支付法
ax
v t
0
t
pxdt
exp t exp tdt
0
1
exp 0
t dt
1
10
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8
2Ax 1 ax 1 0.0610 0.4
2Axຫໍສະໝຸດ 0exp2t
exp
2t
dt
2
0.25
Var a T
1
2
2
2
Ax A x
25,
Var a T
(x) 未来寿命 T= T(x),
则 T=T(x)的密度函数是 fT t t pxxt
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其支付年金的现值记作Y，则Y a T vtdt
T
0
利用总额支付法，则ax
E
a T
0
a T
t
px xtdt
利用现时支付法，则a x
0
v
t
t
p
x
dt
利用总额支付法和利用现时支付法是等价的，
利用现时支付法 , 则
a x:n
n 0
v
t
t
p
x
dt,
记此项生存年金的现值为Y,
则Y
a
T
a
n
0 T n T n
记连续型n年期两全保险，保险金额为1元的现值为Z, 则
vT 0 T n
Z
vn
T n
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10
利用总额支付法，则
a x: n
E Y
E
1
Z
1
1
EZ
1
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在生命年金中 , 保险金额为 1 个单位的 n 年生存保险
的精算现值
E(Z)
用符号nEx
表示,
即
n
E
x
vn n
px
精算现值的计算方法
对于生命年金的精算现值 , 其计算方法有两种 : 其一是 现时支付法 , 其二是总额支付法
现时支付法的计算步骤是 :
求出时刻 t 时生命年金的给付数额 ;确定时刻 t 时给付 数额的精算现值 ; ·对给付年金的精算现值按所有可能 的给付时间进行相加或积分。
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§ 3.1 连续型生命年金
连续型生命年金是指每时每刻连续不断地进行支付 的生命年金。这类生命年金一般地 分为定期生命年 金、终身生命年金、延期定期生命年金和延期终身 生命年金等
以终身生命年金为例 , 考察定额终身生命年金的精 算现值。假设 (x) 按连续方式 支付年金额为 1 元
的终身生命年金 , 其精算现值用符号表示 a x
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总额支付法的计算步骤是 : 求出从开始支付至死亡或停止支付这段时间 t 内所有年 金给付额的现值 , 这一现值仅与利率有关 ;将求出的现 值乘以相应的死亡概率或概率密度 ;对第二步得到的结 果按所有可能的死亡时间 t 进行相加或积分.
精算现值的两种计算方法是等价的。
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3.1.4 n年确定期生命年金
n年确定期生命年金是一种保证在前n年一定有支付的终 身生命年金。该年金支付的现值随机变量为：
上述两式可以相互转化
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为衡量支付连续型的终身生命年金的风险 , 我们可
以考虑支付终身生命年金现值的方差。
Var a T
Var
T 0
vt
dt
Var1
v
t
1
2
Var
vT
1
2
2 Ax
Ax 2
关于Ax与a x之间的关系，可以通过Ax表示式得到
Ax
0
vt
1 Ax:n
即1 a x:n Ax:n，
var Y
var
1
Z
1
2
varZ
1
2
2Ax
2
Ax
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n 0
vt
t
px dt
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3.1.3 延期生命年金
考虑(x)的延期n年的终身生命年金，这种年金在(x)活过 x+n岁的情况下，从x+n岁开始，直到(x)死亡时为止一 直以年率1进行支付
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比较“延期n年的终身生命年金”、“终身生命年金”和“n年期 定期生命年金”，可以发现：“终身生命年金”=“延期n年的终身 生命年金”+“n年期定期生命年金”
例3-3已知死亡概率在（0.100）上均匀分布，i=4%。 年龄为40岁的人购买每年给付额为3000元的连续给付 型生命年金，求下列各种生命年金的精算现值。（1） 终身生命年金（2）20年定期生命年金（3）延期10年 的终身生命年金（4）延期10年的10年定期生命年金
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3Pr a T
ax
Pr
1
v
t
10 Pr vt 0.4
PrT ln0.4 PrT 15.2715 exp tdt
lnv
15.27
exp t 0.5429
15.27
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类似地 , 对于 (x) 按连续方式领取的年金额为 1 元的
n 年定期生命年金 , 其精算现值用符号a x:n 表示.
第三章 生命年金的精算现值
第一节 生命年金概述
生命年金（生存年金）的概念与种类 ： 生命年金是指按预先约定的金额 , 以一定的时间为周期绵
延不断地进行一系列的给 付 , 且这些给付必须以原指 定的领取人的生存为前提条件 , 一旦原指定的领取人死 亡 , 或 预先约定给付期届满时 , 给付即宣告结束 生命年金在人寿保险、退休金体系、残疾保险及抚恤保险 中均起着重要作用。如在人 寿保险中保险费通常是以 生命年金的方式分期缴纳的 , 在退休金体系中退休金通 常是以生 存年金的方式分期给付的