大学微积分l知识点总结一

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学微积分l 知识点总结
【第一部分】大学阶段准备知识 1、不等式：
ab 2b
a ≥+
2121n n 2211......a a b a ...b a b a n n b b b a +++++≤+++
()时取等号
为常数，当且仅当，n ...3,2,1i b a i i ==λλ
2、函数周期性和对称性的常用结论
1、若f （x+a ）=±f （x+b ），则f （x ）具有周期性；若f （a+x ）=±f （b-x ），
则f （x ）具有对称性。

口诀：“内同表示周期性，内反表示对称性” 2、周期性
（1）若f （x+a ）=f （b+x ），则T=|b-a| （2）若f （x+a ）=-f （b+x ），则T=2|b-a| （3）若f （x+a ）=±1/f （x ），则T=2a
（4）若f （x+a ）=【1-f （x ）】/【1+f （x ）】，则T=2a
x ）
l n sin =
∂正弦 l m cos =∂余弦 m n
tan =
∂正切
n m cot =
∂余切 m l sec =∂正割 n l
csc =
∂余割
倒数关系：
∂=
∂cot 1tan ∂=∂csc 1sin ∂=
∂sec 1
cos
商的关系：
∂∂=∂=∂∂csc sec tan cos sin ∂∂=∂=∂∂sec csc cot sin cos
半角公式：
()()sina cosa 1cosa -1sina 2a cot sina cosa -1cosa 1sina 2a tan cosa 12
1
2a cos cosa -121
2a sin 22+=
=⎪⎭⎫
⎝⎛=
+=⎪⎭⎫
⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛ 三倍角公式：
两角和公式：
()()()()()()ββ
βββββ
βββββββββββtan tan 1tan -tan -tan tan tan -1tan tan tan sin sin cos cos -cos sin sin -cos cos cos sin cos -cos sin -sin sin cos cos sin sin •∂+∂=
∂•∂+∂=
+∂•∂+•∂=∂•∂•∂=+∂•∂•∂=∂•∂+•∂=+∂ 和差化积公式：
()()[]
()()[]
()()[]
21
-sin sin cos sin 21
-cos cos cos cos 21-cos -cos -sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβα++=•++=•+=• 口诀：奇变偶不变，符号看象限
()()原式得证
，由题，证：设，其中证明：222
2
22b a x x b cos x a sin 1x b x a sin x b cos x a x bsin acos sin x bsin acos b
a
tan sin b a bsin acoa +=∴===⎪
⎭⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪
⎭⎫
⎝⎛+=+∴+•=+=++=+M M A A A A M A A A M M A A A
对于某个与自然数有关的命题P （n ） ①验证n=n 0时P （n ）成立
②假设n 0≤n ＜k 时P （n ）成立，并在此基础上，推出P （k+1）成立 （3）倒推归纳法
①验证对于无穷多个自然数n 命题P （n ）成立
②假设P （k+1）成立，并在此基础上，推出P （n ）成立
（4）螺旋式归纳法
对两个与自然数有关的命题
①验证n=n
0时P
（n）
成立
②假设P
（k）（k＞n
）成立，能推出Q
（k）
成立，假设Q
（k）
成立，能推出P
（k）
成立。

5、初等函数的含义
①倒代换
把原式中的一个变元或原式中的一部分用另一个变元的倒数来代替，此种方法被称为“倒代换”法
②增量代换
若题目中已知x＞m，则引入辅助元x=m+a（a＞0），再将辅助元代入题中解题。

此种代换方法称为“增量代换法”
③三角代换
222222a x x a a x +--、、
④双代换
n n
n y
x ∞→lim
既1常用结论（等价无穷小很重要）
()nx
1x 1n +≥+
()
x n 11x 1n
1+
≤+
x
1e x +≥
：引入两个辅助元进行代换
()时成立＜1x x 1e x -11
x +≥≥
()x ln x 1x
x 1≤≤++
e n 11n ＜⎪⎭⎫ ⎝⎛+ e 1n 1-1n
＜
⎪⎭⎫ ⎝⎛
e
11n
→⎪⎫
⎛+()()()()
()
b
x v x x x x x x a x u lim b a b x v lim 0a x u lim 0
===→→→，则为常数、，＞若
()[]
()
e x
f 1x f 1
→+
一些重要数列的极限：
()x ln x 1→+ x 1-e x → xlna 1-a x →
()x 1-x 1∂→+∂ x arcsinx → x arctanx →
另一些重要的数列极限：
()0k 0n 1
lim
k n ＞=∞→ ()为常数＜1q 0q lim n n =∞→ ()1a 1a lim n n ＞=∞→ ()为常数！a 0n a lim n
n =∞→ 1n lim n n =∞
→
则 x →a 时，lim (f(x)/F(x))=lim (f'(x)/F'(x)) （2）等价无穷小
一般要将变量的取值变为趋向于0的代数式，如x —∞，令t=1/x 无穷小的概念：
①高阶无穷小：当A lim =0时，如果lim （B/A)=0,就说B 是比A 高阶的无穷小 ②低阶无穷小：当A lim =0时，如果lim （B/A)=∞,就说B 是比A 低阶的无穷小
2
c
411lim lim ,lim 1++=
+=+==-∞
→∞
→∞
→A A C A x c x A x n n n n n n ，所以，知对（☆）两侧求极限可设（8）在计算极限题目中，若题目中同时出现x sin 、x arcsin 、或者x cos 、arcsosx 时，令t=x sin 或x cos
（9）在求极限的过程中如果遇到n 次项等高次项而无法解题时，一般可以通过借助x e 进行消去高次项的运算，有的也可以使用泰勒公式。

（10）计算极限时出现出现)
sin(sin x的形式，应用泰勒公式计算。

tan(tan x或者)
存在
左右极限均第一类间断点的特点是点统称第一类间断点。

可去间断点和跳跃间断称为跳跃度
的跳跃间断点，为函数则称。

但②若已经不是原函数。

处连续，此时在的函数值，使在充定义或改变的可去间断点，只需补为函数可去间断点。

若的
，则称为但处没有定义或者有定义在而①若x f x f x f x x x f x f x f x f x f x f x f x x x f x x x f x f x x x f A x f x x x f A x f x x x x x x )()()
(),()()()(lim ),()(lim )()()()()()()(,)(lim 0000000000000
-=≠=====≠==-
++
+
-
→+
→→-+'、
()'u ...'u 'u 'u ...u u n 21n 21+++=+++
()'u ...u u ...u '...u u u ...u 'u 'u ...u u n 21n 21n 21n 21⋅++⋅+=⋅⋅⋅
反函数求导：反函数导数×原函数导数=1
或写成：
y y x x dy
dx 1dx
dy ===
常见的函数的导数（基础函数求导）：
()()为常数c 0'c = ()1-x 'x ααα⋅= ()lna a 'a x x ⋅=
()x
x
e
'e = (
)
1'log x
a =
()1
'lnx =
y=f （x ）亦称为“零阶导数”（函数的零阶导数就是其本身）
隐函数：F （x ，y ）=0，y=f （x ）带入即可得到F 【x ，f （x ）】=0，满足该恒等式
即为隐函数
国际数学通用标记：
[]()()[]{}[]()()[]{}
[]()()[]{}[]()()[]{}
内二次可导、在、的区间上连续
、的二阶导数在、上可导、在、上的连续函数
、是、b a x f x f b a b a x f x f b a b a x f x f b a b a x f x f b a 2
2====D C D C 易错点：求导时，不能将y 与f （x ）等同。

二者导数未必一致 【带有绝对值的函数该如何求导？】
0)1(,,(0221221
212112
22
=+-+==+⋅+⋅+y a dt
dy
a dt y d e x a a y a dx
dy
x a dx dy x a dx y d x t 方程化成如下的形式：证明可将为常数）中令）在方程（
t
t t e e dt dy dt
dx dt dy dx dt dt dy dx y d e dt dy dx dt dt dy dx dy ---⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⋅=⋅=⋅=⋅='1'';22证：
t t t t t e dt
dy e dt y d e e dt dy e dt y d 222222)(-----⋅-⋅=⋅⋅-⋅=
)1(0
)(2122
2122222=+-+=++-=---y a dt
dy
a dt y d y a e dx
dy e a e dx dy e dx y d e t t t t t
所以：原式
（2）【浅谈高阶导数的求法】
高阶导数求法一般包括6种方法，即①根据高阶导数定义求之；②利用高阶导数
公式求之；③利用莱布尼茨公式求之；④用复合函数的求导法则求之；⑤用泰勒公式求之；⑥交叉法，等等。

①定义法：运用求导公式，求导法则求导，n 阶导数一般比较其规律性 ②高阶求导公式：把高阶求导公式化为代函数之和，分别求之
③莱布尼茨公式求导：当所求导数的函数是两个函数的乘积时，宜用莱布尼茨公式求之。

特别地，当其中一个函数的高阶导数为0，可以用此公式求之；两个因子中，其中有一个函数的各阶导数有明显的规律性时，可以用此公式。

④复合函数求导法：复合函数求导法则还可以推广到多次复合的情形。

在求导时，能从外层向内层逐层求导，一直求到对自变量求导数为止。

若存在单值反函数，常用复合函数求导法则，求其反函数的高阶导数。

【名词释义】单值反函数：若对定义域每一个自变量x ，其对应的函数值f （x ）是唯一的，则称f （x ）是单值函数。

反过来，对于任何一个函数值y ，都有唯一
()()()[]()()()()()()()()()()()()⎪
⎭
⎫ ⎝
⎛⋅+=⎪
⎭⎫ ⎝
⎛⋅+=⋅⋅=+⋅⋅==+2n x cos cosx 2n x sin sinx x 1-n 1-lnx x 11-n 1-ln e
e n n n
-1-n n n
-1-n n
x
1x
n
x
ππ！！
()[]()
()()b ax f a b ax f n n n +⋅=+线性复合公式：
一阶导数：切线斜率
二阶导数：曲线曲率
关于曲线凹凸性的两个定理及应用
b
x a x ＜＜＜设
（2）函数的二阶导数等于原函数，求该函数表达式
()
2222a
y dx
dy
a y p a 2
a
y 21p 21dy
y dp p y ''y dy
dp p ,dy dp p dx dy dy dp dx dp 'y'y 'y'p 'y +±=+±=+=⋅=⋅==⋅∴⋅=⋅==
==⎰⎰，即则是任意常数展开：，解：设=0；()()()()()()()1
x f -x g e 2
1e 21x g e 2
1-e 21x f 10'f e c -e c x f 0c c 00f 22x
-x x
-x x -1x 1212121=∴+=
=∴===+∴=同理，，又，，ΘΘ
【微分：】自变量的改变量等于自变量的微分
导数又称“微商”。

() ()dx
x
f'
dy dx
x
'f
dx
x
dy
x
dx
⋅
=
∴⋅
=
⋅
=
⋅
=
→
=A
A△
△
Θ
微分四则运算：
设u=u（x）、v=v（x）在点x处均可微，则u±v、u×v、u/v（v≠0）在x处都可微，且：
可导 <==> 可微
可导(可微） ==> 连续 ==> 极限存在 <==> 左极限、右极限都存在且相等（箭头反方向的话不一定成立）
可导 ==> 左导数、右导数都存在且相等
连续 ==> 左连续且右连续 + 极限值等于函数值
连续 <==> 极限存在且等于函数值
极限存在 <==> 左极限、右极限都存在且相等
在某点处（左、右）极限是否存在与该点处函数是否有定义无关【第四部分】微分中值定理及导数的应用
（1）费马定理
设f（x）在点x
0处取到极值，且f’（x
）存在，则f（x
）=0。

……+f(n)(x.)/n!·(x-x.)^n+Rn
其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!·(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。

麦克劳林公式：若函数f(x)在开区间(a，b)有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于x多项式和一个余项的和:
f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!·x^2,+f'''(0)/3!·x^3+……+f(n)(0)/n!·x^n+Rn
其中Rn=f(n+1)(θx)/(n+1)!·x^(n+1),这里0<θ<1.
两个重要且特殊的麦克劳林公式：
()()()n x ...x x 1x -1x
-11n x 1-...x -x x -1x 1x 11n 21-n n 321-R R +++++==+⋅+++=+=+ （6）函数的单调区间与极值
单调区间：
不动点：g （t ）=t 的点叫做不动点
f （x ）
g （x ）
f （x ） =
g （x ）
f ’（x ） =
g ’（x ）
f ’’（x ） =
g ’’（x ）
... 满足此条件，即可证明f （x ）、g （x ）在x 0处n 阶相切
f (n)（x ）=
g (n)（x ）
曲率： ()232'y 1'
'y k 1+=）曲率公式为：（
()
⎪⎧+='y 1'y -x 2
ξ（1）凑导数法
例如：设函数f （x ）在【a 、b 】上连续，在（a 、b ）内可导，证明：存在ξ∈（a 、b ），使得2ξ【f （b ）-f （a ）】=（b 2-a 2）·f ’（ξ）
证明：令F （x ）=x 2【f （b ）-f （a ）】-（b 2-a 2）·f （x ）即可
（2）几何直观法
例如：如果f （x ）在【0、1】上可导，且0＜f （x ）＜1，对于任何x ∈（0,1）都有f ’（x ）≠1，试证在（0,1）有且仅有一点ξ，使得f （ξ）=ξ
证：①令g （x ）=f （x ）-x
②再用反证法证明其唯一性
（3）常数值法（K ）
在构造函数时，若表达式关于端点处的函数值具有对称性，通常用常数K 值法来构造辅助函数。

这种方法一般选取所政等式中含ξ的部分作为K ，即将常数部分分离出来令其得K ，恒等式变形，令一端为a 与f （a ）的代数式，另一端为b 与f （b ）的代数式，将所证等式中的端点值（a 或b ）改为变量x ，移项即为辅助函数F （x ）。

再用中值定理，待定系数法等方法确定K 。

一般来说，当问
证：构造函数：f ’（ξ）·ξ+f （ξ）=0即可
（5）乘积因子法
对于某些要证明的结论，往往出现函数的导数与函数之间关系的证明。

直接构造函数往往比较困难，将所证的结论两端同时乘以或除以一个恒为正或负的函数，证明的结论往往不受影响。

因子是常数）是一个很好的（λλx e
例如：若f （x ）在【a 、b 】上连续，在（a 、b ）内可导，且f （a ）=f （b ）
）（）（），使，（证明：ξλξξf 'f b a .0⋅=∈∃=
）（）（）（，然后令证：结论两侧同时乘以x f e -x 'f e x e x -x -x -⋅⋅=λλλλF
（6）介值法
证明中，引入辅助函数g （x ）=f （x ）-η·x 。

将原问题转化为【a 、b 】内可导函数g （x ）的最大值或最小值至少有1个必在内点达到，从而可通过g
b ）δ是否分别拉格朗日公式的右侧。

[]
即使应用拉格朗日定理得：和对令）（变为：证明：将待证明结论转使得：）
，（），则存在。

（，）＞（例如：设)('1ln ln ),(')()(),()()(),(')
(1)('ln )(,)()(')(')()()(-b f ln
)()()()('g b a b x a 0)('g 0x g )()()
()
()(ξξξξξξξξξg f a f b f b a x g x f x g x g x G x g g g f a g b g m a f g a f b f x a g b g x g a g b g ⋅=-=-∈∃⋅===⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-∈≤≤≠ x ）[])(')(0
)(')()()()('0
)(),(),(0)(),(,x ),()()()
()()(),()()1ξξξξξξξξξξf a b f f b f b a F F b a b F a F b a b a F x f x b x F x f x b x F x f x b c a a a a a -==⋅-+⋅-⋅-==∈==⋅-=⋅-=⋅-=∴-所以：所以：，使得在所以由罗尔定理知，存且内可导，上连续，在）在（因为证：设求得辅助函数为：
（2）使用拉格朗日定理用“单边积分法”构造辅助函数。

所谓的单边积分法就是：
①若所要证明的等式中只含有ξ，就是把有ξ的函数式与常数项分离到两边，将ξ换成x 后进行单侧积分求出原函数即为辅助函数。

②若所要证明的等式中含有ξ和η，就把含有ξ的函数式与含有η的函数式分离到等式两边，将ξ换成x 后进行单侧积分求出原函数即为辅助函数；将η换成x 后进行单侧积分求出原函数即为另一辅助函数。

[]
2
)()(')()()(b a ),(,)(0ξξξξξf f a b ab a bf b af b a b a x f a b -=--∈），使，（存在内可导，试证明
上连续，在在，且已知＞＞例如：设,分别对分子分母进行积分求出原函数（a+b ）f （x ）和x 2，作为可使用柯西定理的两个辅助函数。

证明：因为f(x)在[]b a ,上连续，在（a ，b ）内可导，且a ＞0，所以f （x ）在[]b a ,上满足拉格朗日定理的条件，存在ξ和η∈（a ，b ）
使a
b a f b f f --=)()()('ξ
又对f(x)和x 2使用柯西定理有：存在η∈（a ，b ），使ηη2)(')()(22f a b a f b f =-- 即：)('2)()(ηη
f b a a b a f b f ⋅+=-- 所以：)('2)('ηηξf b a f +=
如果想证明不等式中或者题设中含有一阶以上的导数时，一般利用泰勒定理比较方便。

泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广，随着研究导数的深入，高阶导数也经常出现，然而也正是泰勒定理体现的价值之处，去分析高阶导数的有关问题时，泰勒中值定理的应用非常广泛，它除了在高阶导数一些简单的应用以外，在证明不等式时应用也很方便。

特别在已知某点的函数或高阶导数的符号时，用泰勒公式证明某些不等式较为方便。