最新数列必会常见题型归纳

数列必会基础题型

题型一：求值类的计算题(多关于等差等比数列)

A )根据基本量求解(方程的思想)

1、已知S n为等差数列a 涵前n项和，a4 =9,a9 - -6,S n =63，求n ；

2、等差数列订鳥中，a4 =10且a3, a6,印。成等比数列，求数列前20项的和S2g.

3、设江［是公比为正数的等比数列，若a i =1,a5 =16，求数列Ia n?前7项的和.

4、已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37 , 中间两数之和为36，求这四个数.

5在等差数列｛a n｝中，

(1)已知a15= 10, a45= 90，求a60；

⑵已知Si2= 84, S20 = 460,求$8；

⑶已知a6= 10, S5= 5,求a8和S8.

6、有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四

个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12,求这四个数.

7、已知△ ABC中，三内角A、B、C的度数成等差数列，边a、b、c依次成等比数列.求证：△ ABC是等边三角形.

B)根据数列的性质求解(整体思想)

1、____________________________________________________________________ 已知S n为等差数列乩［的前n项和，a6 =100，则％二_________________________________ ；

2、设S n、T n分别是等差数列「a n I'a ［的前n项和，d =山 -，则殳二——

T n n + 3 b5

3、设S n是等差数列・［的前n项和，若生=5,则色=( )

a3 9 S5

Q Q N A

4、等差数列｛a n｝,｛b n｝的前n项和分别为S n,T n，若」——，则」=( )

T n 3n+1 b n

5、已知S n为等差数列、a n匚的前n项和，5 =m, S m= n(n m),则

S m n _ ----------------- .■:------- -----

6、已知等比数列｛a n｝中，a1 •a 9= 64, a3+ a7= 20,则a“= _______________________ .

题型二：求数列通项公式： (A )给出前n 项和求通项公式 1、⑴ S n =2n 2 3n ；⑵ S n = 3n 1.

2、设数列：a n /满足a 1 3a 2 32a 3 •…+3n-1a^-(N *)，求数列 订」的通项公

3

式

B )给出递推公式求通项公式 ⑴已知关系式a n “ a n f (n)，可利用迭加法或迭代法；

an =(a^ —anj) ■ (an j^-an_2) ■ (a*_2 ~■ a*A ) ■…■ (a^ —^a1) a1

1 1

1•已知数列｛a n ｝满足印 , a n 1二a n 2

，求数列｛a n ｝的通项公式。

2 4n -1

2.已知数列｛a n ｝满足a n a n 2n • 1, a =1，求数列｛a .｝的通项公式。

3•已知数列｛a n ｝满足a n 1二a n • 2 3n -1, a —3，求数列｛a n ｝的通项公式。 4.设数列｛a n ｝满足a 1 =2 , a n 1 - a n =3 -22nJ ，求数列｛a n ｝的通项公式 (2)、已知关系式a n ^=a n 'f(n)，可利用迭乘法• 1.已知数列｛a n ｝满足a n = 2(n 1)5n a n , =3，求数列｛a n

｝的通项公式。

2.已知数列 a n *满足, a n 1 a n

，求a n

。

3

n +1

(3)倒数变换法 适用于分式关系的递推公式，分子只有一项

2a

1.已知数列｛a n ｝满足a n d n ,a 1 =1，求数列｛a n ｝的通项公式。

a n +2

C )构造新数列待定系数法

1. 已知数列｛a n ｝中，a 1 =1,a n =2a n 「1(n - 2)，求数列 曲 的通项公式。

2. 在数列订奁中，若a 1 =1,务^2a n 3(n 一1),则该数列的通项

a n = _______________________

3.已知数列 & 1 满足印=1,a^ =2a n +1(n ^ N *).求数列｛aj 的通项公式;

4.已知数列｛a n ｝满足a “1 =2a n 3 5n ,印=6，求数列：a n 的通项公式。 题型三：证明数列是等差或等比数列 A ） 证明数列等差

3.已知a^3,

3n -1 办1 _ 3 n 2冇

(n -1)，求 a n 。

例1、已知S n为等差数列”Gn涵前n项和，b n =玉（n，N ）.求证：数列「b n ［是等

n

差数列.

1 1

例2、已知数列｛a n｝的前n项和为S n，且满足a n+2S n，S n-1=0（n》2） , a i=.求证：｛

｝

2 S n

是等差数列；

B）证明数列等比

（1 f n

1、设｛a n｝是等差数列，b n= — i ,求证：数列｛b n｝是等比数列；

、、2）

2、设S n为数列「a n ［的前n项和，已知ba n-2n = b-1 &

⑴证明：当b=2时，'a- n 2n r是等比数列；⑵求® 的通项公式

3、已知数列〈a n ?满足a1=1,a2=3,a n .2 =3a n-2a n（n・ N*）. ⑴证明：数列:a n 1 -a「是等比数列；⑵求数列® 的通项公式;

⑶若数列仏［满足4b1」4“...4bn」=（a n，1）bn（ n・N*）,证明心是等差数列.

题型四：求数列的前n项和基本方法：

1）公式法,

na r （q = 1）

S’n^w+^Fd S n= a1（1—q n）（”、公比含字母时一

2 2 —（q=1）

I 1-q

定要讨论

例：1.已知等差数列｛a n｝满足a^1, a2-3，求前n项和｛S n｝

2.等差数列｛a n｝中，a1=1, a3+a5=14,其前n项和S=100,则n=（）

A. 9 B . 10 C . 11 D . 12

3.已知等比数列｛a n｝满足a1=1, a2= 3，求前n项和｛ S n｝

1 1 1 1

2 ）裂项相消法，数列的常见拆项有：（）；

n（n +k） kn n + k

—―1:=空n +1 -1 n ;

，n i n ■ 1