重庆大学高等数学(2-1)课程期末试卷2

重 庆 大 学

《 高等数学 》（II-1）期末试卷参考答案

2013~ 2014 学年 第 一 学期

一．单项选择题（每小题3分，共15分）

（1

）设()1f x =，则当0x →时，有（ C ）

。 （A ）()f x 与x 是等价无穷小

（B ）()f x 与x 是同价无穷小，但不等价 （C ）()f x 是x 的高价无穷小 （D ）()f x 是x 的低价无穷小

（2）设()f x 为可导函数，且满足条件0(2)(2)lim 22x f x f x x

→+--=-，则曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的法线的斜率为（ C ）。

（A ）2 （B ）1- （C ）1

2 （D ）2-

（3）设2s ()sin x co x x

F x e xdx π

+=

⎰

，则()F x （ A ）。

（A ）恒为零 （B ）为负常数 （C ）为正常数 （D ）不为常数

（4）11

lim 32x x

x x →∞

⎛⎫- ⎪⎝⎭为（ B ）。 （A ）2ln 3 （B ）3

ln 2

（C ）0 （D ）不存在

（5）设函数()2

()ln 1f x x =+，其表示的曲线的拐点个数为（ B ）。

（A ）3 （B ）2 （C ）1 （D ）0

二．填空题（每空3分，共15分）

（1）tan 01lim ()1x

x x

+→=。 （2）设()y x 是由方程1y

y xe =-确定的可导函数，则()1y

y

e y x xe -'=

+。

（3）1

ln tan sin cos dx x c x x

=+⎰。 （4）设，则 -10

学院 专业、班 年级 学号 姓名

公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊

封

线

密

（5

）

24

4

sec )x dx π

π-

+=⎰

2

三．计算题（每小题8分，共40分） 1．求数列()

12345

n

n

n

n n

n x =+++的极限。

解：1545n

n x ≤

≤ ，....................4分

1lim 455n

n →∞

∴=，.......................7 分

lim 5n n x →∞

∴=。..........................8分

2．设函数()22

1x x

y x x -=-，求()y x 的间断点，并指出间断点类型。 解：()

22

1x x

y x x -=-，间断点为0,1x x ==±。 ()()()0011

lim ()lim 112x x x x y x x x x ++→→-==-+，.......................................2 分()()()0011lim ()lim 112

x x x x y x x x x --→→-==---+ ，故0x =为跳跃间断点。..... 4分 1

lim ()x y x →-=∞，故1x =-为第二类中的无穷间断点。.................... 6分

11

lim ()2

x y x →=，故1x =为可去间断点。..........................................8分 3.计算不定积分1

1sin I dx x

=+⎰。

解：1

1cos 2I dx x π=⎛⎫

+- ⎪

⎝⎭

⎰

.............................................2分

22cos ()42dx x π=-⎰242cos 42x d x ππ⎛⎫

- ⎪

⎝⎭

=-⎛⎫- ⎪⎝⎭

⎰............................5分 tan()42x c π=--+（或1

tan cos I x c x

=-+）..............8分

4.

求定积分

1

。

解：令tan x t =

，x =3t π=

，1x =时4

t π

=。............2分

故有：

23

2

1

4

sec tan sec t

dt t t

π

π=⎰...............................5分

3

3

3

224

44

sec cos 1tan sin sin t t dt dt t t t

π

π

π

π

ππ

===-=⎰⎰。 .......8分 5.讨论积分

1

1

(ln )

e

p

dx x x ⎰

的敛散性.. 解：

1

111ln (ln )(ln )e

e p

p dx d x x x x =⎰

⎰ 令ln x t =，

1,0,1

x t x e t ====

11

01

1(ln )e

p

p dx dt x x t =⎰

⎰

（1）1

01

0,p p dt t <⎰是常义积分，收敛 （2）111000011

1,lim lim ln |lim (0ln )p p dt dt t t t εεεεεε+++

→→→====-=+∞⎰⎰，发散.................3分 （3）01p <≠，

1

1

11100001

,11111lim lim |lim (1)11,1

p p p

p p p dt t dt t t p p p εεεεεε+++---→→→⎧<⎪-===-=⎨--⎪+∞>⎩

⎰⎰ ........ 6分 综合（1），（2），（3）我们得到：

1

1

(ln )e

p

dx x x ⎰

在1p <时收敛，1p ≥时发散。........................................................8分