4、多轴强度和本构关系

若取f t 0.1 f c a 12759 , b 3.1962 , 1 11.7365 , 2 0.9801
过-王准则（我国规范采用）
b 0 d 0 a( ) c 0
0 oct / f c
0 oct / f c
2
c ct (cos1.5 )
1 2 12 2 E 0 23 (1 )(1 2 ) 0 23 0 1 2 2 0 0 11 0 22 1 2 33 2 八面体应力表示的拉压子午面
( f1 f 2 f 3 ) / 3 3 oct
r ( f1 f 2 ) 2 ( f 2 f 3 ) 2 ( f 3 f1 ) 2 / 3 3 oct cos (2 f1 f 2 f 3 ) /( 6 r )
极限强度

抗压强度及峰值应变增长的幅度很大 如：
当f1 / f 3 f 2 / f 3 0.2时 f3 5 fc
3 p 5010 30 p
3
2、真三轴受压
(0 1 2 3 )
三轴抗压强度
最高抗压强度发生在 σ2/σ3=0.3~0.6之间； 最高和最低强度相差 20~25%。 σ1/σ3较小时，强度 等值线右端高； σ1/σ3较大时，强度 等值线左端高；
拉-压 明显降低 拉-拉
2 / 3 0 ~ 0.2
f 3随应力比而快速增长
2 / 3 0 .2 ~ 0 .7
f 3变化平缓
f1 f t
稍有降低
f 3 f c , f1 f t
f cc (1.15 ~ 1.35) f c
压-压 明显提高
f3 fc
2 / 3 0.7 ~ 1.0
c12 c22 c32
c13 11 c23 22 33 c33

12 c 44 23 0 31 0
0 c55 0
0 12 0 23 31 c66
常规三轴试验机
真三轴试验装置
三个垂直 方向单独 设液压加 载系统
三个方向可以施加任意比例的荷载
试验方法

消减试件表面摩擦的措施：减摩垫层；刷形加载板；
柔性加载板；金属箔液压垫。

施加拉力的方法：用高强粘结胶将试件与加载板牢固的
粘结在一起，要求试块尺寸大且切除掉表层。

应力、应变的量测：采用液压传感器或荷载传感器测
多轴受压或拉压状态 三轴受压， σ1与σ2均较 大，三向压缩变形 σ 2为压， σ1较小
多轴受拉或 拉压状态
多轴受压或拉 压状态σ 3较大
三轴受压σ 1较大， σ1与σ3的差值大
破坏形态的界分
典型破坏形态的应力范围
4.4 破坏准则

将混凝土的破坏包络曲面用数学函数 加以描述，作为判定混凝土是否达到 破坏状态或极限强度的条件，称为破 坏准则或强度准则。
加载途径的影响

抗压强度
变途径之前试件应力水平不很高时，内部微裂缝还处 于稳定发展阶段，改变应力途径后的多轴强度与应力 途径无关。

多轴应变
应力途径不同，应变差别明显，因为应力途径和加载 次序影响混凝土内部微裂缝的方向和发展程度。
不同应力途径下混凝土二轴受压应变比较
4.3 典型破坏形态及其界分
应力、采用粘贴应变片直接测量应变或测量加载板间相对 位移计算应变

应力应变途径的控制：大多数是三轴等比例单调加载
到破坏，有的可以变比例、变途径加载。
4.2 强度和变形的一般规律
f1 f 2 f 3
拉为正 压为负
1 p 2 p 3 p
一般规律的总结见教材97页
4.2.1 二轴应力状态
高等混凝土结构原理
授课教师：彭亚萍
济南大学土木建筑学院
第四章 多轴强度和本构关系
实际结构均处于二维、三维受 力状态，采用单轴强度进行计算是 不合理的。
符号规定
1 2 3
拉为正 压为负
1 2 3
4.1 试验设备和方法

1 2 3 或 1 2 3
Ottosen准则（模式规范采用）
J2 J2 I1 2 b 1 0 fc fc fc
1 1 0 1 30 时， cos[ cos ( 2 cos3 )] 1 r 3 1 0 30 时， 1 cos[ cos1 ( 2 cos3 )] 3 3

破坏准则的表达复杂，不便于计 算； 混凝土多轴计算强度图，方便设 计查取，给出的多轴强度值偏低， 保留了适当的安全冗余度。

Ottosen准则的多轴强度计算图
查出f3 ,代入公
式4-8计算出f2、
f3
Kupfer-Gerstle二轴破坏准则
AB段：
f3 f3A 1 3.65 f c 0.96 f c 2 (1 ) 1.1625f c
4.4.1 破坏包络面的形状和表达
破坏包络曲面 偏平面 拉压子午面
包络曲面与坐标面的交 线就是二轴破坏包络线
与各坐标轴保持 等距，等夹角 静水压力
( 1 2 3 ) / 3
二轴破坏包络线
偏平面
偏应力
rc rt
拉压子午面
60
( , r , )
( f1 , f 2 , f 3 )
f 3 max 1.2568f c
CD段：
BC段：
f1 f t
f1 (1 0.8
f3 fc
) ft
f 3 B 0.96 f c f1B 0.232 f t
我国规范的三轴抗压强度图
忽略了中间应力σ 的影响
2
f3 1 1.8 1.2 33( ) fc 3
我国规范的二轴强度包络线
2 fc 3
2 f3 3
4.5 本构关系



混凝土在多轴应力状态下的本构关系非 常复杂； 学者们基于试验与理论分析，提出了各 种本构模型，表达各异，适用范围和计 算结果相差较大，难以统一； 实际工程中应用最多的是非线弹性类本 构模型。
4.5.1 线弹性类本构模型
[ E ]
f3

将多轴应力状态下的参数及特征值代入单轴受 压应力应变方程，可得到多轴应力应变关系； 利用多轴应力应变关系表达式可求出多轴加卸 载曲线上任意点的割线模量和割线泊松比。

s i 0.2
Ef
Ep 1 4( A 1) x
Ei A Ep
s f ( f i ) 1 (5 4) f 0.36
4.5.2 非线弹性类本构模型
优点：能反映混凝土的变 形特点，表达简明、直观。
缺点：加卸载没有区别， 不考虑残余应变。 此类具有代表性的本构模 型见表4-9（P120）
1、Ottosen 的三维、各向同性全量模型

引入非线性指数β ，表示当前应力距破坏包络 面的远近，以反映塑性变形的发展程度。
1及 2 保持不变时， 3
1.5
cc (sin1.5 )
取f t 0.1 f c , f cc 1.28 f c , f ttt 0.9 f t , 60 a 6.9638 , b 0.09, d 0.9297 ct 12.2445 , cc 7.3319
0
4.4.3 多轴强度计算图

试验破坏准则

特点：较为准确，但数学形式复杂，参数多。
按照子午线和偏平面包络线形状分类见表4-6； 这些破坏准则采用了不同的应力量作为变量表达， 通过统一换算后基本有三种形式，具体表达见表 4-7；

通过全面的比较（试验值与计算值），较好的有 过-王、Ottosen、Podgorski准则。
Yii ,ij ii Gij ,ij ij
剪切模量
2、正交异性本构模型

正交异性材料在正应力作用 11 c11 下不产生剪应变，剪应力作 22 c21 33 c 用下不产生正应变，且不在 31 其它平面产生剪应变，刚度 矩阵里只有9个独立弹性常数。 本构模型可分解简化为：
4、三轴受拉

三轴等拉时：
f1 f ttt (0.7 ~ 1.0) f t
f1 f t
4.2.3 不同材料和加载途径




材料的脆性越明显，多轴抗压强度提高幅度越小； 高强混凝土多轴抗压强度的相对值随其强度等级 的提高而减小； 轻质混凝土二轴抗压强度的提高幅度低于普通混 凝土； 钢纤维混凝土多轴受压应力状态、应力应变曲线 形状、极限强度相对值均与普通混凝土一致。
试验子午 线和偏平 面包络线
教材106页
4.4.2 破坏准则
破坏准则：破坏曲面的函数表达式
来源类别：

古典强度理论 多轴强度试验 包络曲面特征
古典强度理论

表4-5（ P108）列出了各种古典强度 理论的破坏准则； 破坏包络面的几何形状简单，计算简明， 参数少，主要针对特定材料提出，不适 应于混凝土。
f 2 (1)
2 f3 3
f1 f t
1. 2 f3 fc 1 .2 2 / 3
2 f2 f1 3
0.96 f t f c f3 f t (0.048 0.96 2 / 3 ) f c f1
f 3 1.2 f c
f 2 1 .2
2
Ottosen 的三维、各向同性全量模型
将上述 非线性的多 轴割线模量 Es及割线泊 松比ν s带入 各向同性的 全量模型， 就可得到此 模型。
s 11 1 s s 11 Es 1 22 s s s 22 33 (1 s )(1 2 s ) 33 1 s s s
0.3 0.6
应力应变曲线
曲线平缓、尖峰不突出， 极限应变值很大
峰值应变
峰值应变随
σ1/σ3的加 大而增长极 快
3、三轴拉压（T/C/C,T/T/C)


任意应力比例下的三轴拉/压强度均分别不超 过其单轴强度； 随应力比σ1/σ3的加大,f3很快降低； 第二主应力无论拉压、大小均对f3的影响较小； 峰值主拉应变稍大于单轴受拉的峰值应变； 破坏形态多为拉断，应力应变曲线与单轴受拉 相似。
应用范围： 混凝土应力水平较低时； 预应力结构开裂前； 复杂结构近似计算时； 对本构模型不敏感的结构
1、各向异性本构模型
结构中任一点有6个应力分量，相应有6个应变 分量，刚度矩阵中有36个材料弹性常数（见P117公 式4-17a）。一般本构关系可简写为： 耦合变形模量 弹性模量
ii Eii ,ii H ij ij ,ii
f 3随应力比增大而降低
二轴受压应力应变曲线
形状与单轴 受压相似， 但特征指标 均提高。
二轴受压的变形
体积膨胀
体积缩小
峰值应变
体积应变

图4-5、4-6自学
4.2.2 三轴应力状态
1、常规三轴受压 (0 1 2 3或 1 2 3 )
曲线丰 满平直
应力-应变曲线
广义虎克定律表达式见教材
3、各向同性本构模型


各向同性材料 的三方向弹性 常数值相等， 刚度矩阵里只 有相互独立的2 个弹性常数。 本构模型可表 达为：
11 1 11 E 1 22 22 33 (1 )(1 2 ) 33 1