4、多轴强度和本构关系

f 3 max 1.2568f c
CD段：
BC段：
f1 f t
f1 (1 0.8
f3 fc
) ft
f 3 B 0.96 f c f1B 0.232 f t
我国规范的三轴抗压强度图
忽略了中间应力σ 的影响
2
f3 1 1.8 1.2 33( ) fc 3
我国规范的二轴强度包络线
2
Ottosen 的三维、各向同性全量模型
将上述 非线性的多 轴割线模量 Es及割线泊 松比ν s带入 各向同性的 全量模型， 就可得到此 模型。
s 11 1 s s 11 Es 1 22 s s s 22 33 (1 s )(1 2 s ) 33 1 s s s
应力、采用粘贴应变片直接测量应变或测量加载板间相对 位移计算应变

应力应变途径的控制：大多数是三轴等比例单调加载
到破坏，有的可以变比例、变途径加载。
4.2 强度和变形的一般规律
f1 f 2 f 3
拉为正 压为负
1 p 2 p 3 p
一般规律的总结见教材97页
4.2.1 二轴应力状态
多轴受压或拉压状态 三轴受压， σ1与σ2均较 大，三向压缩变形 σ 2为压， σ1较小
多轴受拉或 拉压状态
多轴受压或拉 压状态σ 3较大
三轴受压σ 1较大， σ1与σ3的差值大
破坏形态的界分
典型破坏形态的应力范围
4.4 破坏准则

将混凝土的破坏包络曲面用数学函数 加以描述，作为判定混凝土是否达到 破坏状态或极限强度的条件，称为破 坏准则或强度准则。
加载途径的Leabharlann Baidu响

抗压强度
变途径之前试件应力水平不很高时，内部微裂缝还处 于稳定发展阶段，改变应力途径后的多轴强度与应力 途径无关。

多轴应变
应力途径不同，应变差别明显，因为应力途径和加载 次序影响混凝土内部微裂缝的方向和发展程度。
不同应力途径下混凝土二轴受压应变比较
4.3 典型破坏形态及其界分
2 fc 3
2 f3 3
4.5 本构关系



混凝土在多轴应力状态下的本构关系非 常复杂； 学者们基于试验与理论分析，提出了各 种本构模型，表达各异，适用范围和计 算结果相差较大，难以统一； 实际工程中应用最多的是非线弹性类本 构模型。
4.5.1 线弹性类本构模型
[ E ]
试验子午 线和偏平 面包络线
教材106页
4.4.2 破坏准则
破坏准则：破坏曲面的函数表达式
来源类别：

古典强度理论 多轴强度试验 包络曲面特征
古典强度理论

表4-5（ P108）列出了各种古典强度 理论的破坏准则； 破坏包络面的几何形状简单，计算简明， 参数少，主要针对特定材料提出，不适 应于混凝土。
广义虎克定律表达式见教材
3、各向同性本构模型


各向同性材料 的三方向弹性 常数值相等， 刚度矩阵里只 有相互独立的2 个弹性常数。 本构模型可表 达为：
11 1 11 E 1 22 22 33 (1 )(1 2 ) 33 1
4.5.2 非线弹性类本构模型
优点：能反映混凝土的变 形特点，表达简明、直观。
缺点：加卸载没有区别， 不考虑残余应变。 此类具有代表性的本构模 型见表4-9（P120）
1、Ottosen 的三维、各向同性全量模型

引入非线性指数β ，表示当前应力距破坏包络 面的远近，以反映塑性变形的发展程度。
1及 2 保持不变时， 3
c12 c22 c32
c13 11 c23 22 33 c33

12 c 44 23 0 31 0
0 c55 0
0 12 0 23 31 c66
f 3随应力比增大而降低
二轴受压应力应变曲线
形状与单轴 受压相似， 但特征指标 均提高。
二轴受压的变形
体积膨胀
体积缩小
峰值应变
体积应变

图4-5、4-6自学
4.2.2 三轴应力状态
1、常规三轴受压 (0 1 2 3或 1 2 3 )
曲线丰 满平直
应力-应变曲线
极限强度

抗压强度及峰值应变增长的幅度很大 如：
当f1 / f 3 f 2 / f 3 0.2时 f3 5 fc
3 p 5010 30 p
3
2、真三轴受压
(0 1 2 3 )
三轴抗压强度
最高抗压强度发生在 σ2/σ3=0.3~0.6之间； 最高和最低强度相差 20~25%。 σ1/σ3较小时，强度 等值线右端高； σ1/σ3较大时，强度 等值线左端高；

试验破坏准则

特点：较为准确，但数学形式复杂，参数多。
按照子午线和偏平面包络线形状分类见表4-6； 这些破坏准则采用了不同的应力量作为变量表达， 通过统一换算后基本有三种形式，具体表达见表 4-7；

通过全面的比较（试验值与计算值），较好的有 过-王、Ottosen、Podgorski准则。
应用范围： 混凝土应力水平较低时； 预应力结构开裂前； 复杂结构近似计算时； 对本构模型不敏感的结构
1、各向异性本构模型
结构中任一点有6个应力分量，相应有6个应变 分量，刚度矩阵中有36个材料弹性常数（见P117公 式4-17a）。一般本构关系可简写为： 耦合变形模量 弹性模量
ii Eii ,ii H ij ij ,ii
高等混凝土结构原理
授课教师：彭亚萍
济南大学土木建筑学院
第四章 多轴强度和本构关系
实际结构均处于二维、三维受 力状态，采用单轴强度进行计算是 不合理的。
符号规定
1 2 3
拉为正 压为负
1 2 3
4.1 试验设备和方法

1 2 3 或 1 2 3
1 2 12 2 E 0 23 (1 )(1 2 ) 0 23 0 1 2 2 0 0 11 0 22 1 2 33 2

破坏准则的表达复杂，不便于计 算； 混凝土多轴计算强度图，方便设 计查取，给出的多轴强度值偏低， 保留了适当的安全冗余度。

Ottosen准则的多轴强度计算图
查出f3 ,代入公
式4-8计算出f2、
f3
Kupfer-Gerstle二轴破坏准则
AB段：
f3 f3A 1 3.65 f c 0.96 f c 2 (1 ) 1.1625f c
0.3 0.6
应力应变曲线
曲线平缓、尖峰不突出， 极限应变值很大
峰值应变
峰值应变随
σ1/σ3的加 大而增长极 快
3、三轴拉压（T/C/C,T/T/C)


任意应力比例下的三轴拉/压强度均分别不超 过其单轴强度； 随应力比σ1/σ3的加大,f3很快降低； 第二主应力无论拉压、大小均对f3的影响较小； 峰值主拉应变稍大于单轴受拉的峰值应变； 破坏形态多为拉断，应力应变曲线与单轴受拉 相似。
Ottosen准则（模式规范采用）
J2 J2 I1 2 b 1 0 fc fc fc
1 1 0 1 30 时， cos[ cos ( 2 cos3 )] 1 r 3 1 0 30 时， 1 cos[ cos1 ( 2 cos3 )] 3 3
4.4.1 破坏包络面的形状和表达
破坏包络曲面 偏平面 拉压子午面
包络曲面与坐标面的交 线就是二轴破坏包络线
与各坐标轴保持 等距，等夹角 静水压力
( 1 2 3 ) / 3
二轴破坏包络线
偏平面
偏应力
rc rt
拉压子午面
60
( , r , )
( f1 , f 2 , f 3 )
4、三轴受拉

三轴等拉时：
f1 f ttt (0.7 ~ 1.0) f t
f1 f t
4.2.3 不同材料和加载途径




材料的脆性越明显，多轴抗压强度提高幅度越小； 高强混凝土多轴抗压强度的相对值随其强度等级 的提高而减小； 轻质混凝土二轴抗压强度的提高幅度低于普通混 凝土； 钢纤维混凝土多轴受压应力状态、应力应变曲线 形状、极限强度相对值均与普通混凝土一致。
Yii ,ij ii Gij ,ij ij
剪切模量
2、正交异性本构模型

正交异性材料在正应力作用 11 c11 下不产生剪应变，剪应力作 22 c21 33 c 用下不产生正应变，且不在 31 其它平面产生剪应变，刚度 矩阵里只有9个独立弹性常数。 本构模型可分解简化为：
若取f t 0.1 f c a 12759 , b 3.1962 , 1 11.7365 , 2 0.9801
过-王准则（我国规范采用）
b 0 d 0 a( ) c 0
0 oct / f c
0 oct / f c
2
c ct (cos1.5 )
拉-压 明显降低 拉-拉
2 / 3 0 ~ 0.2
f 3随应力比而快速增长
2 / 3 0 .2 ~ 0 .7
f 3变化平缓
f1 f t
稍有降低
f 3 f c , f1 f t
f cc (1.15 ~ 1.35) f c
压-压 明显提高
f3 fc
2 / 3 0.7 ~ 1.0
0
r

等分线
八面体应力表示的拉压子午面
( f1 f 2 f 3 ) / 3 3 oct
r ( f1 f 2 ) 2 ( f 2 f 3 ) 2 ( f 3 f1 ) 2 / 3 3 oct cos (2 f1 f 2 f 3 ) /( 6 r )
f3

将多轴应力状态下的参数及特征值代入单轴受 压应力应变方程，可得到多轴应力应变关系； 利用多轴应力应变关系表达式可求出多轴加卸 载曲线上任意点的割线模量和割线泊松比。

s i 0.2
Ef
Ep 1 4( A 1) x
Ei A Ep
s f ( f i ) 1 (5 4) f 0.36
f 2 (1)
2 f3 3
f1 f t
1. 2 f3 fc 1 .2 2 / 3
2 f2 f1 3
0.96 f t f c f3 f t (0.048 0.96 2 / 3 ) f c f1
f 3 1.2 f c
f 2 1 .2
1.5
cc (sin1.5 )
取f t 0.1 f c , f cc 1.28 f c , f ttt 0.9 f t , 60 a 6.9638 , b 0.09, d 0.9297 ct 12.2445 , cc 7.3319
0
4.4.3 多轴强度计算图
常规三轴试验机
真三轴试验装置
三个垂直 方向单独 设液压加 载系统
三个方向可以施加任意比例的荷载
试验方法

消减试件表面摩擦的措施：减摩垫层；刷形加载板；
柔性加载板；金属箔液压垫。

施加拉力的方法：用高强粘结胶将试件与加载板牢固的
粘结在一起，要求试块尺寸大且切除掉表层。

应力、应变的量测：采用液压传感器或荷载传感器测