一元三次方程

一元三次方程

对于一般的一元三次方程，上式除以a ，并设，则可化为（1），其中. （1）的根为：

其中为根的判别式。 当时，有一个实根与两个复根；

当时，有三个实根；当时，有一个三重零根；当时，三个实根中有两个相等；

当时，有三个不等实根。

韦达定理：

()3200ax bx cx d a +++=≠3b x y a

=-3

0y py q ++=223

2332792,327ac b a d abc b p q a a --+=

=123y y y ωω===

231,()()223

q p ω-+=∆=+0∆>0∆=0p q ==0p q =≠0∆<123122331123,,.b x x x a

c x x x x x x a

d x x x a

++=-++=

=-

圆锥曲线统一性质

从课本中，我们已经得出圆锥曲线的一条统一性质，就是圆锥曲线的第二定义，其内容是：动点到定点的距离与到定直线的距离之比为一常数e ，当01时，动点的轨迹为双曲线。其中e 被称为离心率，定点称为焦点，定直线称为准线，焦点到准线的距离称为焦准距，焦点到动点的线段称为焦半径。如果我们以焦点为原点，过焦点垂直于准线的直线为x 轴，建立直角坐标系，便可以由此得出圆锥曲线的统一直角坐标方程。

如图所示，l 为准线，PM ⊥l ，由第二定义可得： ，即，两边平方化简可得： 这就是圆锥曲线的统一直角坐标方程，其中p 就是焦准距，为

了保证得到的是圆锥曲线，自然有p >0。

我们将使用此方程来讨论一下圆锥曲线的弦长。

设一直线过x 轴上一点(d ,0)，且倾角为，则此直线的参数方

程为：，并设此直线交圆锥曲线于两点。将直线方程带入统

一方程中去，可得：

于是弦长， 其中，A 不等于0。 我们不妨称为圆锥曲线统一弦长公式。

由于直线的斜率，由便可以用斜率来求解。 特别的，当d = 0时，即直线AB 通过焦点，此时，便得到圆锥曲线的焦点弦长公式：

，对于椭圆和双曲线的标准方程，焦准距。 定理：过圆锥曲线准线与对称轴的交点引其切线，则切线与对称轴的夹角的正切值等于离心率。

由我们对圆锥曲线统一直角坐标方程的推导中，x 轴就是对称轴，准线方程为，O 为焦点，则有。

||||PO e PM =22x y e +=222222(1)20e x y e px e p -+--=αcos sin x d t y t αα

=+⎧⎨=⎩1122(,),(,)A x y B x y 222222(1cos )2[()]cos (12)0e t d e d p t e p d αα-⋅+-+⋅-+=2214||||||||

B A

C AB t t a A ∆+=-==222221cos ,2[()]cos ,(12)A e B d e d p C e p d αα=-=-+=+tan k α=2211tan cos αα

+=222|||1cos |

ep AB e α=-2b p c =x p =-tan ABO e ∠=

证明：设直线AB 的方程为，代入统一方程中，消去y 得：

由于AB 是切线，所以，即：，所以，即。

由于切线可以引上下两条，所以有正负。

tan (),y x p ABO αα=+=∠222222222(1tan )2(tan )tan 0e x p e p x e p p ααα-++--+=0∆=222

...4(tan )0p e α=-=22tan e α=|tan |e α=tan α

离心率常见的有关模型

【经典模型一】

【例题1】【定义法】双曲线的左右焦点分别为，若P 为双曲线上一点，且PF 1=2PF 2，求离心率的取值范围。【答案：】 【例题2】【定义法】已知椭圆的左右焦点分别为，e 为离心率，若P 为椭圆上一点，且PF 1=ePF 2，求离心率e 的取值范围。【答案：】

【经典模型二】 【定理1】设点F 时离心率为e ，焦点在x 轴上的圆锥曲线的一个焦点，过F 的弦AB 与x 轴

的夹角为，F 分所成的比为，则. 【证明】如图，设直线l 是焦点F 相应的准线，过A ，B 作直线l 的垂线，垂足分别为A 1，B 1，由圆锥曲线的第二定义得过B 作BH ⊥AA 1于H ，则， 又，

由. 容易验证当时，等式也成立。

若焦点在y 轴，F 分所成的比为，则. 【例题3】若抛物线的焦点F 且斜率为1的直线与抛物线交于A ，B 两点，设F A >FB ，则

的值为__________.【答案：】 12||||PF PF λ=22

221(,0)x y a b a b

-=>12,F F 13e <≤22

221(0)x y a b a b

+=>>12,F F 211e -≤<1||||cos 1

AF BF e λλαλ-=⇒=+αAB u u u r λ1cos 1

e λαλ-=+1111||||||||||,||,||||AF BF AF BF e AA BB AA BB e e

==⇒==11||||(1)||||||||AF BF BF AH AA BB e e e

λ-=-=-=||||||(1)||AB AF BF BF λ=+=+||1cos ||(1)AH HAB AB e λααλ-∠=⇒==⇒+1cos 1

e λαλ-=+02π

α=∨AB u u u r (1)λλ>1sin 1

e λαλ-=+24y x =||||

FA FB 322+