计数原理试题汇总
(完整版)(数学选修23)第一章计数原理测试题
(数学选修2--3)第一章计数原理一、选择题1．将3个不同的小球放入4个盒子中，不同放法种数有〔〕A．81B．64C．12D．142．从4台甲型和5台乙型机中任意取出3台，其中至少有甲型与乙型机各1台，不同的取法共有〔〕A．140种3．5个人排成一排,其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有〔〕A．A33B．4A33C．A55A32A33D．A22A33A21A31A334．a,b,c,d,e共5个人，从中1名1名副，但a不能当副，不同的法数是〔B．16C．10D．65．有男、女学生共8人，从男生中2人，从女生中1人分参加数学、物理、化学三科，共有90种不同方案，那么男、女生人数分是〔〕A．男生2人，女生6人B．男生3人，女生5人C．男生5人，女生3人D．男生6人，女生2人.x186．在的展开式中的常数是〔〕23xB．7C．28D．287．(12x)5(2x)的展开式中x3的的系数是〔〕B．120C．100D．1002n8．x展开式中只有第六二式系数最大,展开式中的常数是〔〕x2A．180B．90C．45D．360二、填空题1．从甲、乙，⋯⋯，等6人中出4名代表，那么〔1〕甲一定当，共有种法．〔2〕甲一定不入，共有种法.〔3〕甲、乙二人至少有一人当，共有种法.2．4名男生，4名女生排成一排，女生不排两端，有种不同排法.3．由0,1,3,5,7,9六个数字成_____个没有重复数字的六位奇数.4．在(x3)10的展开式中，x6的系数是.5．在(1x2)20展开式中，如果第4r和第r 2的二式系数相等，r，T4r.6．在1,2,3,...,9的九个数字里，任取四个数字排成一个首末两个数字是奇数的四位数，的四位数有_________________个？7．用1,4,5,x四个不同数字成四位数,288,.所有些四位数中的数字的和x8．从1,3,5,7,9中任取三个数字，从0,2,4,6,8中任取两个数字，成没有重复数字的五位数，共________________个？三、解答1．判断以下是排列是合？并算出果.1〕高三年学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？2〕高二年数学外小10人：①从中一名正和一名副，共有多少种不同的法？②从中2名参加省数学，有多少种不同的法？2．7个排成一排，在以下情况下，各有多少种不同排法？1〕甲排，（2〕甲不排，也不排尾，〔3〕甲、乙、丙三人必须在一起，4〕甲、乙之间有且只有两人，5〕甲、乙、丙三人两两不相邻，6〕甲在乙的左边〔不一定相邻〕，7〕甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序，8〕甲不排头，乙不排当中。
专题13计数原理与概率统计(原卷版)
大数据之十年高考真题（20142023）与优质模拟题（北京卷）专题13计数原理与概率统计1．【2023年北京卷05】(2x −1x )5的展开式中x 的系数为（ ）．A ．−80B ．−40C ．40D ．802．【2022年北京卷08】若(2x −1)4=a 4x 4+a 3x 3+a 2x 2+a 1x +a 0，则a 0+a 2+a 4=（ ） A ．40B ．41C ．−40D ．−413．【2020年北京卷03】在(√x −2)5的展开式中，x 2的系数为（ ）． A ．−5 B ．5C ．−10D ．104．【2016年北京文科06】从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（ ） A ．15B ．25C ．825D ．9255．【2015年北京文科04】某校老年、中年和青年教师的人数见如表，采用分层插样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为（ ） 类别 人数 老年教师 900 中年教师 1800 青年教师 1600 合计 4300A ．90B ．100C ．180D ．3006．【2021年北京11】(x 3−1x)4展开式中常数项为__________．7．【2016年北京理科10】在（1﹣2x ）6的展开式中，x 2的系数为 ．（用数字作答） 8．【2015年北京理科09】在（2+x ）5的展开式中，x 3的系数为 （用数字作答）9．【2015年北京文科14】高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生． 从这次考试成绩看，①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 ；②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是．10．【2014年北京理科13】把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有种．11．【2023年北京卷18】为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同．用频率估计概率．(1)试估计该农产品价格“上涨”的概率；(2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；(3)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明）12．【2022年北京卷18】在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9．50m以上（含9．50m）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，935，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）；(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）13．【2021年北京18】为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“k合1检测法”，即将k个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现有100人，已知其中2人感染病毒．（1）①若采用“10合1检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；②已知10人分成一组，分10组，两名感染患者在同一组的概率为1，定义随机变量X为总检测次数，求检11测次数X的分布列和数学期望E(X)；（2）若采用“5合1检测法”，检测次数Y的期望为E(Y)，试比较E(X)和E(Y)的大小(直接写出结果)．14．【2020年北京卷18】某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；（Ⅲ）将该校学生支持方案的概率估计值记为p0，假设该校年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为p1，试比较p0与p1的大小．（结论不要求证明）15．【2019年北京文科17】改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：不大于2000元大于2000元仅使用A 27人 3人 仅使用B24人1人（Ⅰ）估计该校学生中上个月A ，B 两种支付方式都使用的人数；（Ⅱ）从样本仅使用B 的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B 的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元．结合（Ⅱ）的结果，能否认为样本仅使用B 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．16．【2019年北京理科17】改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A ，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下：（0，1000] （1000，2000]大于2000仅使用A 18人 9人 3人 仅使用B10人14人1人（Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率；（Ⅱ）从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1人，以X 表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A 的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．17．【2018年北京理科17】电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表： 电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 140 50 300 200 800 510 好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．假设所有电影是否获得好评相互独立．（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等．用“ξk＝1”表示第k类电影得到人们喜欢．“ξk＝0”表示第k类电影没有得到人们喜欢（k＝1，2，3，4，5，6）．写出方差Dξ1，Dξ2，D ξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6的大小关系．18．【2018年北京文科17】电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（Ⅱ）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；（Ⅲ）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）19．【2017年北京理科17】为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成如图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者．（1）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；（2）从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E（ξ）；（3）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小．（只需写出结论）20．【2017年北京文科17】某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30），[30，40）， (80)90]，并整理得到如下频率分布直方图：（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50）内的人数；（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．21．【2016年北京理科16】A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如表（单位：小时）：A班 6 6.5 7 7.5 8B班 6 7 8 9 10 11 12C班 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5（Ⅰ）试估计C班的学生人数；（Ⅱ）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一个人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙．假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；（Ⅲ）再从A，B，C三班中各随机抽取一名学生，他们该周锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1，表格中数据的平均数记为μ0，试判断μ0和μ1的大小．（结论不要求证明）22．【2016年北京文科17】某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图频率分布直方图：（1）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w＝3时，估计该市居民该月的人均水费．23．【2015年北京理科16】A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：A组：10，11，12，13，14，15，16B组；12，13，15，16，17，14，a假设所有病人的康复时间相互独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．（Ⅰ）求甲的康复时间不少于14天的概率；（Ⅱ）如果a＝25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；（Ⅲ）当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）24．【2015年北京文科17】某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．甲乙丙丁100√×√√217×√×√200√√√×300√×√×85√×××98×√××（1）估计顾客同时购买乙和丙的概率；（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？25．【2014年北京理科16】李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下（假设各场比赛相互独立）；场次投篮次数命中次数场次投篮次数命中次数主场12212客场1188主场21512客场21312主场3128客场3217主场4238客场41815主场52420客场52512（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；（2）从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；（3）记x是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X为李明在这场比赛中的命中次数，比较EX与x的大小（只需写出结论）．26．【2014年北京文科18】从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：排号分组频数1[0，2）62[2，4）83[4，6）174[6，8）225[8，10）256[10，12）127[12，14）68[14，16）29[16，18）2合计100（Ⅰ）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；（Ⅱ）求频率分布直方图中的a，b的值；（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写结论）1．【北京市延庆区2023届高三一模】已知f(x)=1+C41x+C42x2+C43x3+C44x4，则f(2)等于（）A．16B．80C．81D．2432．【北京市东城区2023届高三二模】某社区计划在端午节前夕按如下规则设计香囊：在基础配方以外，从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中至少选择一味添加到香囊，则不同的添加方案有（）A．13种B．14种C．15种D．16种3．【北京师范大学附属实验中学2023届高三三模】某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（）A．6升B．8升C．10升D．12升4．【中学生标准学术能力诊断性测试2023届高三上学期12月测试】“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，某单位龙舟队欲参加端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨．现要选派3人划左桨、3人划右桨共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（）．A．26种B．31种C．36种D．37种5．【北京市第二中学2023届高三校模】市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为30%,20%,50%，且三家工厂的次品率分别为3%,3%,1%，则市场上该品牌产品的次品率为（）A．0.01B．0.02C．0.03D．0.056．【北京市海淀区2023届高三二模】芯片是科技产品中的重要元件，其形状通常为正方形．生产芯片的原材料中可能会存在坏点，而芯片中出现坏点即报废，通过技术革新可以减小单个芯片的面积，这样在同样的原材料中可以切割出更多的芯片，同时可以提高芯片生产的产品良率．产品良率=切割得到的无坏点的芯片数切割得到的所有芯片数×100%．在芯片迭代升级过程中，每一代芯片的面积为上一代的12．图1是一块形状为正方形的芯片原材料，上面有4个坏点，若将其按照图2的方式切割成4个大小相同的正万形，得到4块第3代芯片，其中只有一块无坏点，则由这块原材料切割得到第3代芯片的产品良率为25%．若将这块原材料切割成16个大小相同的正方形，得到16块第5代芯片，则由这块原材料切割得到第5代芯片的产品良率为（）A．50%B．62．5%C．75%D．87．5%7．【北京市西城区2023届高三二模】某放射性物质的质量每年比前一年衰减5%，其初始质量为m0，10年后的质量为m′，则下列各数中与m′m0最接近的是（）A．70%B．65%C．60%D．55%8．【北京市海淀区北京大学附属中学2023届高三三模】现从3名男同学和2名女同学中选取两人加入“数学兴趣小组”，用A表示事件“抽到两名同学性别相同”，B表示事件“抽到两名女同学”，则在已知A事件发生的情况下B事件发生的概率即P(B|A)=（）A．14B．13C．25D．129．【北京大兴精华学校2023届高三高考适应性测试】在某区高三年级举行的一次质量检测中，某学科共有3000人参加考试．为了解本次考试学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，样本容量为n．按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出频率分布直方图（如图所示）．已知成绩落在[50,60)内的人数为16，则下列结论正确的是（）A．样本容量n=1000B．图中x=0.025C．估计全体学生该学科成绩的平均分为70.6分D．若将该学科成绩由高到低排序，前15%的学生该学科成绩为A等，则成绩为78分的学生该学科成绩肯定不是A等10．【北京市第一零九中学2023届高三高考冲刺】有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（）A．12种B．24种C．32种D．40种11．【北京市丰台区2023届高三二模】某地区教育研究部门为了解当前本地区中小学教师在教育教学中运用人工智能的态度、经验、困难等情况，从该地区2000名中小学教师中随机抽取100名进行了访谈．在整理访谈结果的过程中，统计他们对“人工智能助力教学”作用的认识，得到的部分数据如下表所示：假设用频率估计概率，且每位教师对“人工智能助力教学”作用的认识相互独立．(1)估计该地区中小学教师中认为人工智能对于教学“没有帮助”的人数；(2)现按性别进行分层抽样，从该地区抽取了5名教师，求这5名教师中恰有1人认为人工智能对于教学“很有帮助”的概率；(3)对受访教师关于“人工智能助力教学”的观点进行赋分：“没有帮助”记0分，“有一些帮助”记2分，“很有帮助”记4分．统计受访教师的得分，将这100名教师得分的平均值记为μ0，其中年龄在40岁以下（含40岁）教师得分的平均值记为μ1，年龄在40岁以上教师得分的平均值记为μ2，请直接写出μ0,μ1,μ2的大小关系．（结论不要求证明）12．【北京市2023届高三高考模拟预测考试】2023世界人工智能大会拟定于七月初在我国召开，我国在人工智能芯片、医疗、自动驾驶等方面都取得了很多成就.为普及人工智能相关知识，红星中学组织学生参加“人工智能”知识竞赛，竞赛分为理论知识竞赛、实践能力竞赛两个部分，两部分的成绩分为三档，分别为基础、中等、优异．现从参加活动的学生中随机选择20位，统计其两部分成绩，成绩统计人数如表：(1)若从这20位参加竞赛的学生中随机抽取一位，抽到理论或实践至少一项成绩为优异的学生概率为1．求a，2b的值；(2)在（1）的前提下，用样本估计总体，从全市理论成绩为优异的学生中，随机抽取2人，求至少有一个人实践能力的成绩为优异的概率；(3)若基础、中等和优异对应得分为1分、2分和3分，要使参赛学生理论成绩的方差最小，写出b的值．（直接写出答案）13．【北京市第四中学2023届高三数学保温测试】某中学为了解高二年级中华传统文化经典阅读的情况，从高二年级随机抽取10名学生进行了两轮测试，并把两轮测试成绩的平均分作为该名学生的考核成绩.记录的数据如下：(1)从该校高二年级随机选取一名学生，试估计这名学生考核成绩大于90分的概率；(2)为进一步研究这10名同学的成绩，从考核成绩小于90分的学生中随机抽取两人，记这两人中两轮测试至少有一次大于90分的人数为X，求X的分布列与数学期望；(3)记抽取的10名学生第一轮测试的平均数和方差分别为x̅1,s12，考核成绩的平均数和方差分别为x̅2,s22，试比较x̅1与x2,s12与s22的大小.（只需写出结论）14．【2023届北京市海淀区教师进修学校附属实验学校高考三模】2023年9月23日至2023年10月8日，第19届亚运会将在中国杭州举行.杭州某中学高一年级举办了“亚运在我心”的知识竞赛，其中1班，2班，3班，4班报名人数如下：该年级在报名的同学中按分层抽样的方式抽取10名同学参加竞赛，每位参加竞赛的同学从预设的10个题目中随机抽取4个作答，至少答对3道的同学获得一份奖品.假设每位同学的作答情况相互独立.(1)求各班参加竞赛的人数；(2)2班的小张同学被抽中参加竞赛，若该同学在预设的10个题目中恰有3个答不对，记他答对的题目数为X，求X的分布列及数学期望；(3)若1班每位参加竞赛的同学答对每个题目的概率均为1，求1班参加竞赛的同学中至少有1位同学获得奖3品的概率.15．【北京市西城区2023届高三二模】体重指数（Body Mass Index，简称BMI）是国际上衡量人体胖瘦程度的一项常用指标．已知BMI=W，其中W表示体重（单位：kg），H表示身高（单位：m）．对成人，若BMIH2≥28，则身体处于肥胖状态．某企业为了解员工的身体状况，从全体员工中随机抽取30人，测量他们的体重（单位：kg）和身高（单位：cm），得到如下散点图（图中曲线表示BMI=28时体重和身高的关系），假设用频率估计概率．(1)该企业员工总数为1500人，试估计该企业员工身体处于肥胖状态的人数；(2)从该企业身体处于肥胖状态的员工中随机抽取3人，设其中体重在80kg以上的人数为X，估计X的分布列和数学期望E(X)；(3)从样本中身高大于或等于a( a∈{155,160,165,170,175,180} )的员工中随机抽取1人，若其身体处于肥胖状态的概率小于10%，写出a的所有可能取值．（结论不要求证明）16．【北京市密云区2023届高三考前保温练习（三模）】为了解某地区居民每户月均用电情况，采用随机抽样的方式，从该地区随机调查了100户居民，获得了他们每户月均用电量的数据，发现每户月均用电量都在50~350kW⋅h之间，进行适当分组后（每组为左闭右开区间），得到如下频率分布直方图：(1)记频率分布直方图中从左到右的分组依次为第1组，第2组，…，第6组.从第5组，第6组中任取2户居民，求他们月均用电量都不低于300kW⋅h的概率；(2)从该地区居民中随机抽取3户，设月均用电量在50~150kW⋅h之间的用户数为X，以频率估计概率，求X 的分布列和数学期望E(X)；(3)该地区为提倡节约用电，拟以每户月均用电量为依据，给该地区月均用电量不少于w kW⋅h的居民用户每户发出一份节约用电倡议书，且发放倡议书的数量为该地区居民用户数的2%.请根据此次调查的数据，估计w应定为多少合适？（只需写出结论）.17．【北京航空航天大学实验学校中学部2023届高三三模】某汽车专卖店试销A，B，C三种品牌的新能源汽车，销售情况如下表所示：(1)从前三周随机选一周，若A品牌销售量比C品牌销售量多，求A品牌销售量比B品牌销售量多的概率；(2)为跟踪调查新能源汽车的使用情况，根据销售记录，从该专卖店第二周和第三周售出的新能源汽车中分别随机抽取一台．求抽取的两台汽车中A品牌的台数X的分布列和数学期望；(3)直接写出一组A4,B4,C4的值，使得表中每行数据方差相等．18．【北京市丰台区第二中学2023届高三三模】某企业因技术升级，决定从2023年起实现新的绩效方案.方案起草后，为了解员工对新绩效方案是否满意，决定采取如下“随机化回答技术”进行问卷调查：一个袋子中装有三个大小相同的小球，其中1个黑球，2个白球.企业所有员工从袋子中有放回的随机摸两次球，每次摸出一球.约定“若两次摸到的球的颜色不同，则按方式一回答问卷，否则按方式二回答问卷”.方式一：若第一次摸到的是白球，则在问卷中画“○”，否则画“×”；方式二：若你对新绩效方案满意，则在问卷中画“○”，否则画“×”.当所有员工完成问卷调查后，统计画○，画×的比例.用频率估计概率，由所学概率知识即可求得该企业员工×100%.对新绩效方案的满意度的估计值.其中满意度=企业所有对新绩效方案满意的员工人数企业所有员工人数(1)求每名员工两次摸到的球的颜色不同的概率(2)若该企业某部门有9名员工，用X表示其中按方式一回答问卷的人数，求X的数学期望；(3)若该企业的所有调查问卷中，画“○”与画“×”的比例为4:5，试估计该企业员工对新绩效方案的满意度. 19．【北京市第一零九中学2023届高三高考冲刺】甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军，已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立.(1)求甲学校获得冠军的概率；(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望.(3)设用Y表示甲学校的总得分，比较DX和DY的大小（直接写出结果）.20．【北京市门头沟区2023届高三综合练习】周末李梦提出和父亲､母亲､弟弟进行羽毛球比赛，李梦与他。
计数原理综合习题(有答案)
选修2-3第一章计数原理单元质量检测时间：120分钟 总分：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．小王打算用70元购买面值分别为20元和30元的两种IC 电话卡．若他至少买一张，则不同的买法一共有( )A ．7种B ．8种C ．6种D ．9种2．设某班有男生30人，女生24人，现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，则不同的选法种数是( )A ．360B ．480C ．720D ．2403.设P ＝1＋5(x ＋1)＋10(x ＋1)2＋10(x ＋1)3＋5(x ＋1)4＋(x ＋1)5，则P 等于( )A ．x 5B ．(x ＋2)5C ．(x －1)5D ．(x ＋1)54.⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2y 5的展开式中x 2y 3的系数是( ) A ．－20 B ．－5 C ．5 D ．205．20个不同的小球平均分装在10个格子中，现从中拿出5个球，要求没有两个球取自同一个格子中，则不同的拿法一共有( )A ．C 510种B ．C 520种 C ．C 510C 12种D ．C 510·25种 6．在(1－x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n 中，若2a 2＋a n －5＝0，则n 的值是( )A ．7B ．8C ．9D ．107．7人站成一排照相，甲站在正中间，乙、丙与甲相邻且站在甲的两边的排法共有( )A．120种B．240种C．48种D．24种8．(2＋33)100的展开式中，无理项的个数是()A．83 B．84 C．85 D．869．某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()A．72 B．120 C．144 D．16810．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()A．144 B．120 C．72 D．2411．在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记x m y n项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝()A．45 B．60 C．120 D．21012．设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x ＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝() A．5 B．6 C．7 D．8第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．某学校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有________种(用数字作答)．14．(x＋a)6的展开式中含x2项的系数为60，则实数a＝________.15．在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答)．16.设a ≠0，n 是大于1的自然数，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x a n 的展开式为a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n .若点A i (i ，a i )(i ＝0,1,2)的位置如图所示，则a ＝________.三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)4位学生与2位教师坐在一起合影留念，根据下列条件，求各有多少种不同的坐法：(1)教师必须坐在中间；(2)教师不能坐在两端，但要坐在一起；(3)教师不能坐在两端，且不能相邻．18．(12分)从1到100的自然数中，每次取出不同的两个数，使它的和大于100，则不同的取法有多少种？19.(12分)已知⎝⎛⎭⎪⎫2x i ＋1x 2n ，i 是虚数单位，x >0，n ∈N ＋. (1)如果展开式的倒数第三项的系数是－180，求n 的值；(2)对(1)中的n ，求展开式中的系数为正实数的项．20.(12分)若⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x n 的展开式中含x 的项为第6项，设(1－3x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，求a 1＋a 2＋…＋a n 的值．21.(12分)已知(a 2＋1)n的展开式中的各项系数之和等于⎝ ⎛⎭⎪⎫165x 2＋1x5的展开式的常数项，而(a 2＋1)n 的展开式的系数最大的项等于54，求a 的值．22.(12分)用0,1,2,3,4,5这六个数字：(1)可组成多少个无重复数字的自然数？(2)可组成多少个无重复数字的四位偶数？(3)组成无重复数字的四位数中比4 023大的数有多少？答案1．C 要完成“至少买一张IC 电话卡”这件事，可分三类：第一类是买1张IC 卡；第二类是买2张IC 卡；第三类是买3张IC 卡．而每一类都能独立完成“至少买一张IC 电话卡”这件事．买1张IC 卡有2种方法，买2张IC 卡有3种方法，买3张IC 卡有1种方法．不同的买法共有2＋3＋1＝6(种)．2．C 由分步乘法计数原理，得N ＝30×24＝720(种)．3．B P ＝[1＋(x ＋1)]5＝(x ＋2)5，故选B.4．A 由已知，得T r ＋1＝C r 5⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 5－r (－2y )r ＝C r 5⎝ ⎛⎭⎪⎫125－r ·(－2)r x 5－r y r (0≤r ≤5，r ∈Z)，令r ＝3，得T 4＝C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫122(－2)3x 2y 3＝－20x 2y 3.故选A.5．D 分两步：第一步先从10个格子中选中5个格子，有C 510种方法；第二步从每个格子中选一个球，不同的拿法有2×2×2×2×2＝25(种)．由分步乘法计数原理共有C 510·25种不同的拿法． 6．B T r ＋1＝C r n (－1)r x r ，则a 2＝C 2n ，a n －5＝(－1)n －5C n －5n ，因为2a 2＋a n －5＝0，a 2>0，所以a n －5＝－C 5n ，所以2C 2n ＝C 5n 且n 为偶数，将各选项代入验证知n＝8，故选B.7．C由题意知，甲的位置确定，而乙、丙的位置有2种排法，再排其他4人，有A44种不同的排法，故不同的排法总数为A44·2＝48(种)．8．B先求展开式中的有理项．∵T r＋1＝C r100(2)100－r·(33)r＝C r100·2100－r2·3r3，∴要使展开式中的项为有理项，r必为6的倍数．又∵0≤r≤100，且r∈N，∴r的取值为0,6,12，…，96，它构成了以0为首项，6为公差，96为末项的等差数列，设它有n项，则96＝6(n－1)．∴n＝17.∵展开式中共有101项，其中有17项是有理项，∴无理项有84项．9．B解决该问题分为两类：第一类分两步，先排歌舞类A33，然后利用插空法将剩余3个节目排入左边或右边3个空，故不同排法有A33·2A33＝72.第二类也分两步，先排歌舞类A33，然后将剩余3个节目放入中间两空排法有C12A22A22，故不同的排法有A33A22A22C12＝48，故共有120种不同排法，故选B.10．D插空法．在已排好的三把椅子产生的4个空当中选出3个插入3人即可．故排法种数为A34＝24.故选D.11．C因为(1＋x)6展开式的通项公式为T r＋1＝C r6x r，(1＋y)4展开式的通项公式为T h＋1＝C h4y h，所以(1＋x)6(1＋y)4展开式的通项可以为C r6C h4x r y h.所以f(m，n)＝C m6C n4.所以f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝C36＋C26C14＋C16C24＋C34＝20＋60＋36＋4＝120.故选C.12．B由题意可知，a＝C m2m，b＝C m2m＋1，又因为13a ＝7b ，所以13·(2m )！m ！m ！＝7·(2m ＋1)！m ！(m ＋1)！， 即137＝2m ＋1m ＋1.解得m ＝6.故选B. 13．30解析：方法1：可分以下两种情况：(1)A 类选修课选1门，B 类选修课选2门，有C 13C 24种不同的选法；(2)A 类选修课选2门，B 类选修课选1门，有C 23C 14种不同的选法．所以不同的选法共有C 13C 24＋C 23C 14＝18＋12＝30(种)．方法2：C 37－C 33－C 34＝30(种)．14．±2解析：通项T r ＋1＝C r 6(x )6－r a r ＝a r C r 6x 3－r 2， 令3－r 2＝2，得r ＝2.故a 2C 26＝60，解得a ＝±2. 15．60解析：不同的获奖情况分为两种，一是一人获两张奖券一人获一张奖券，共有C 23A 24＝36(种)；二是有三人各获得一张奖券，共有A 34＝24(种)．因此不同的获奖情况有36＋24＝60(种)．16.3解析：由题意得a 1＝1a ·C 1n ＝n a ＝3，所以n ＝3a ；a 2＝1a 2C 2n ＝n (n －1)2a 2＝4，所以n 2－n ＝8a 2.将n ＝3a 代入n 2－n ＝8a 2得9a 2－3a ＝8a 2，即a 2－3a ＝0，解得a ＝3或a ＝0(舍去)．所以a ＝3.17．解：(1)分步完成：教师先坐中间，有A22种方法，学生再坐其余位置，有A44种方法．根据分步乘法计数原理，不同的坐法共有A22·A44＝48(种)．(2)将2名教师看作一个元素，问题变为5个元素排列的问题．先将教师排好，有A13·A22种方法，再排学生，有A44种方法，故不同的坐法共有A13·A22·A44＝144(种)．(3)插空法：先排学生，有A44种方法，教师从4名学生之间的3个空位选2个进行排列，有A23种方法，故不同的坐法共有A44·A23＝144(种)．18．解：若从1,2,3，…，97,98,99,100中取出1，有1＋100>100，有1种取法；若取出2，有2＋100>100,2＋99>100，有2种取法；取出3，有3种取法；…；若取出50，有50＋51>100,50＋52>100，…，50＋100>100，有50种取法；所以取出数字1至50，共有不同的取法N1＝1＋2＋3＋…＋50＝1 275(种)．若取出51，有51＋52>100,51＋53>100，…，51＋100>100，有49种取法；若取出52，则有48种取法；…；若取出99，只有1种取法．所以取出数字51至100(N1中取过的不再取)，有不同取法N2＝49＋48＋…＋2＋1＝1 225(种)．故总的取法共有N＝N1＋N2＝2 500(种)．(2i)2＝－180，即4C2n＝180，19.解：(1)由已知，得C n－2n化简得n2－n－90＝0，又n∈N＋，解得n＝10.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x i ＋1x 210展开式的通项为 T r ＋1＝C r 10(2x i)10－r x －2r ＝C r 10(2i)10－r x 10－5r 2， ∵展开式中的系数为正实数，且r ∈{0,1,2，…，10}，∴r 的取值为10,6,2，故所求的项为T 11＝x －20，T 7＝3 360x －10，T 3＝11 520.20．解：T 6＝C 5n (x 2)n －5⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 5＝－C 5n x 2n －15， 令2n －15＝1，则n ＝8，令x ＝1，则a 0＋a 1＋…＋a n ＝(－2)8＝256，令x ＝0，则a 0＝1，所以a 1＋a 2＋…＋a n ＝255.21.解：⎝⎛⎭⎪⎫165x 2＋1x 5的展开式的通项是 T r ＋1＝C r 5⎝ ⎛⎭⎪⎫165x 25－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1655－r ·C r 5·x 20－5r 2， 令20－5r ＝0，解得r ＝4，故常数项T 5＝C 45×165＝16，又(a 2＋1)n 的展开式的各项系数之和等于2n ，由题意得2n ＝16，解得n ＝4，由二项式系数的性质可知，(a 2＋1)4的展开式中系数最大的项是中间项，即第三项， 由C 24a 4＝54，解得a ＝±3.22．解：(1)组成无重复数字的自然数共有C 15A 55＋C 15A 45＋C 15A 35＋C15A25＋C15A15＋C16＝1 631(个)．(2)无重复数字的四位偶数中个位数是0的有A35＝60(个)，个位数是2或4的有2C14A24＝96(个)，所以无重复数字的四位偶数共有60＋96＝156(个)．(3)无重复数字的四位数中千位数字是5的共有A35＝60(个)，千位数字是4的有A35＝60(个)，其中不大于4 023的有5个，故比4 023大的数共有60＋60－5＝115(个)．。
计数原理测试题(含答案)
圆梦教育中心 高中数学选修2-3计数原理第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若m 为正整数，则乘积()()()=+++2021m m m m （ ）A ．20m AB ．21m AC ．2020+m AD ．2120+m A2．若直线0=+By Ax 的系数B A ,同时从0,1,2,3,5,7六个数字中取不同的值,则这些方程表示不同的直线条数 （ ） A ． 22 B ． 30 C ． 12 D ． 153．四个编号为1，2，3，4的球放入三个不同的盒子里，每个盒子只能放一个球，编号为1的球必须放入，则不同的方法有 （ ） A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．96种4．用0，1，2，3，4组成没有重复数字的全部五位数中，若按从小到大的顺序排列，则数字12340应是第几个数 （ ） A ．6 B ．9 C ．10 D ．8 5．把一个圆周24等分,过其中任意三个分点可以连成圆的内接三角形,其中直角三角形的个数是 （ ） A ．2024 B ．264 C ．132 D ．1226. 在(a-b)99的展开式中，系数最小的项为( )A.T 49B.T 50C.T 51D.T 52 7. 数11100-1的末尾连续为零的个数是( )A.0B.3C.5D.78. 若425225+=x x C C ，则x 的值为 （ ）A ．4B ．7C ．4或7D ．不存在9．以正方体的顶点为顶点，能作出的三棱锥的个数是 （ ） A ．34CB ．3718C CC ．3718C C -6D ． 1248-C10．从长度分别为1，2，3，4，5的五条线段中，任取三条的不同取法共有n 种．在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的钝角三角形的个数为m ，则nm等于（ ） A ．101B ．51 C ．103 D ．52第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11．设含有8个元素的集合的全部子集数为S，其中由3个元素组成的子集数为T，S的值为___________．则T12．有4个不同的小球，全部放入4个不同的盒子内，恰好有两个盒子不放球的不同放法的总数为．13．在(x-1)11的展开式中，x的偶次幂的所有项的系数的和为.14．六位身高全不相同的同学在“一滩”拍照留念，老师要求他们前后两排各三人，则后排每个人的身高均比前排同学高的概率是．三、解答题（共计76分）15．（12分）平面上有9个点，其中4个点在同一条直线上，此外任三点不共线．（1）过每两点连线，可得几条直线?（2）以每三点为顶点作三角形可作几个?（3）以一点为端点作过另一点的射线，这样的射线可作出几条?（4）分别以其中两点为起点和终点，最多可作出几个向量?16．（11分）在二次项12)(n mbx ax (a ＞0,b ＞0,m,n ≠0)中有2m+n ＝0，如果它的展开式中系数最大的项恰是常数项，求它是第几项? 17．（12分）由1，2，3，4，5，6，7的七个数字，试问： （1）能组成多少个没有重复数字的七位数？（2）上述七位数中三个偶数排在一起的有几个？（3）（1）中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？ （4）（1）中任意两偶然都不相邻的七位数有几个？18．（12分）2006年6月9日世界杯足球赛将在德国举行，参赛球队共32支，（1）先平均分成8个小组，在每组内进行单循环赛（即每队之间轮流比赛一次），决出16强（即取各组前2名）。
常德市选修三第一单元《计数原理》测试(含答案解析)
一、选择题1．4(1)x +的展开式中2x 的系数是（ ）A ．8B ．7C ．6D ．42．有5名同学从左到右站成一排照相，其中中间位置只能排甲或乙，最右边不能排甲，则不同的排法共有（ ） A ．42种 B ．48种C ．60种D ．72种3．已知（x x ﹣a x）5的展开式中，常数项为10，则a ＝（ ） A ．﹣1B ．1C ．﹣2D ．24．根据中央对“精准扶贫”的要求，某市决定从3名男性党员、2名女性党员中选派2名去甲村调研，则既有男性又有女性的不同选法共有（ ） A ．7种B ．6种C ．5种D ．4种5．把五个标号为1到5的小球全部放入标号为1到4的四个盒子中，并且不许有空盒，那么任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中的概率是（ ） A ．320B ．720C ．316D ．256．某煤气站对外输送煤气时，用1至5号五个阀门控制，且必须遵守以下操作规则： ①若开启3号，则必须同时开启4号并且关闭2号； ②若开启2号或4号，则关闭1号； ③禁止同时关闭5号和1号. 则阀门的不同开闭方式种数为（ ） A ．7 B ．8 C ．11 D ．147．设2019220190122019(12)x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则201920182017012201820192222a a a a a ⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+的值为（ ）A ．20192B ．1C ．0D ．-18．如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L 形（每次旋转90°仍为L 形的图案），那么在56⨯个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L 形需案的个数是（）A ．36B ．64C ．80D ．969．在二项式(2n x x的展开式中，当且仅当第5项的二项式系数最大，则系数最小的项是A ．第6项B ．第5项C ．第4项D ．第3项10．在2310(1)(1)(1)x x x ++++⋅⋅⋅++的展开式中，含2x 项的系数为（ ） A ．45B ．55C ．120D ．16511．在某互联网大会上，为了提升安全级别，将5名特警分配到3个重要路口执勤，每个人只能选择一个路口，每个路口最少1人，最多3人，且甲和乙不能安排在同一个路口，则不同的安排方法有（ ） A ．180种B ．150种C ．96种D ．114种12．在622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为（ ） A ．15-B ．15C ．60-D ．60二、填空题13．若变量x ，y 满足约束条件202020x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，22n x y =+-，则n取最大值时，1nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭二项展开式中的常数项为______．14．设122012(1)(1)(1)n n n x x x a a x a x a x ++++++=++++，其中n *∈N ，且2n ≥，若0121022n a a a a ++++=，则n =_____15．有4位同学参加学校组织的政治、地理、化学、生物4门活动课，要求每位同学各选一门报名（互不干扰），则地理学科恰有2人报名的方案有______． 16．若()316*2323C n n C n N ++=∈，()20123nn n x a a x a x a x -=++++且，则()121nn a a a -+-+-的值为____________.17．设0(cos sin )a x x dx π=-⎰，则二项式6(的展开式中含2x 项的系数为______．18．已知33210n n A A =，那么n =__________．19．若二项式nx ⎛⎝展开式中各项系数的和为64，则该展开式中常数项为____________.20．25(32)x x ++的展开式中3x 的项的系数是________.三、解答题21．已知()2*12nx n N x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭的展开式中所有偶数项的二项式系数和为64. （1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求221122nx x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭展开式中的常数项. 22．用0，1，2，3，4，5这六个数字，完成下面三个小题． （1）若数字允许重复，可以组成多少个不同的五位偶数；（2）若数字不允许重复，可以组成多少个能被5整除的且百位数字不是3的不同的五位数；（3）若直线方程0ax by +=中的a ，b 可以从已知的六个数字中任取2个不同的数字，则直线方程表示的不同直线共有多少条?23．已知)23nx展开式中各项系数和比它的二项式系数和大992，其中,2n N n +∈≥．（Ⅰ）求n 的值；（Ⅱ）求其展开式中的有理项．24．（1）求91x ⎛- ⎝的展开式的常数项；（2）若1nx ⎛ ⎝的展开的第6项与第7项的系数互为相反数，求展开式的各项系数的绝对值之和.25．记2nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（*n ∈N ）的展开式中第m 项的系数为m b .（1）求m b 的表达式； （2）若3412b b =，求n ； （3）若6n =，求展开式中的常数项.26．已知22)nx的展开式中，只有第六项的二项式系数最大 （1）求该展开式中常数项；（2）求展开式中系数最大的项为第几项？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据二项式定理展开式的通项公式，令2r 即可得出答案．【详解】4(1)x +的展开式中，14,(0,1,2,3,4)r r r r T x +==，令2r ，2x ∴的系数为246C =．故选：C ． 【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查推理能力与计算能力，属于基础题．2．A解析：A 【分析】根据题意，分2种情况讨论：①甲在最中间，将剩余的4人全排列，②乙在中间，分析可得此时的排法数目，由加法原理计算可得答案． 【详解】根据题意，中间只能排甲或乙，分2种情况讨论：①甲在中间将剩余的4人全排列，有4424A =种情况，②乙在中间，甲不能在最右端，有3种情况，将剩余的3人全排列，安排在剩下的三个位置，此时有33318A ⨯=种情况，则一共有241842+=种排法。
高考数学《计数原理》综合复习练习题(含答案)
高考数学《计数原理》综合复习练习题（含答案）一、单选题1．若(x －1)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 0＋a 2＋a 4的值为（ ） A ．9B ．8C ．7D ．62．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则不同的排列顺序有（ ）种 A ．6B ．4C ．3D ．23．中国古代的五经是指：《诗经》、《尚书》、《礼记》、《周易》、《春秋》，甲、乙、丙、丁、戊5名同学分别选取了其中一本不同的书作为课外兴趣研读，若甲乙都没有选《诗经》，乙也没选《春秋》，则5名同学所有可能的选择有 A ．18种B ．24种C ．36种D ．54种4．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，如果规定每位同学必须报名，则不同的报名方法共有（ ） A ．10种B ．20种C ．25种D ．32种5．若2228n n n A C --=，则n =（ ）A ．6B ．7C ．8D ．96．演讲社团里现有水平相当的4名男生和5名女生，从中随机选出3名同学作为代表队到市里参加“最美逆行者”的演讲比赛，代表队中既有男生又有女生的不同选法共有（ ） A ．140种B ．80种C ．70种D ．35种7．在(1－x )5－(1－x )6的展开式中，含x 3的项的系数是（ ） A ．－5B ．5C ．－10D ．108．我国拥有包括民俗、医药、文学、音乐等国家级非物质文化遗产3000多项，下图为民俗非遗数进前10名省份排名，现从这10个省份中任取2个，则这2个省份民俗非遗数量相差不超过1个的概率为（ ）A ．215B ．15C ．415 D ．259．()()5131x x +-的展开式中3x 的系数为（ ） A ．0B ．20C ．10D ．3010．某旅行社有A 、B 、C 、D 、E 共五条旅游线路可供旅客选择，其中A 线路只剩下一个名额，其余线路名额充足．现甲、乙、丙、丁四人前去报名，每人只选择其中一条线路，四人选完后，恰选择了三条不同的线路．则他们报名的情况总共有（ ） A ．720种B ．360种C ．320种D ．288种11．我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2013是“六合数”)，则“六合数”中首位为3的“六合数”共有（ ） A ．18个 B ．15个 C ．10个D ．9个12．设100210001210032)x a a x a x a x -=++++（， 若02410012a a a a m k +++++=()k ∈Z ，则实数m 可能是（ ） A ．3B ．9C ．10D ．11二、填空题13．若2110n P =，则n =______．14．6432⎭的展开式中系数为有理数的各项系数之和为________. 15．412x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式的常数项是___________．16．学校拟安排6位老师在今年6月12日至14日端午值班，每天安排2人，每人值班1天；若6位老师中的甲不值12日，乙不值14日且甲、乙不在同一天值班，则不同的安排方法共有__________种.三、解答题17．（1）求9212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项；（2）9a x ⎛ ⎝的展开式中3x 的系数为94．求常数a 的值．18．在下列三个条件中任选一个条件，补充在问题中的横线上，并解答．条件①：展开式中前三项的二项式系数之和为22；条件②：展开式中所有项的二项式系数之和减去展开式中所有项的系数之和等于64；条件③：展开式中常数项为第三项．问题：已知二项式1nx ⎫⎪⎭，若______，求：(1)展开式中二项式系数最大的项； (2)展开式中所有的有理项．19．已知()2nn N x *⎫∈⎪⎭的展开式中前三项的二项式系数之和为46，(1)求n ；(2)求展开式中系数最大的项．20．已知在n的展开式中，前3项的系数成等差数列，求：(1)展开式中二项式系数最大项的项； (2)展开式中系数最大的项；(3)展开式中所有有理项.21．在二项式12nx ⎫⎪⎭的展开式中，恰好第五项的二项式系数最大．(1)求展开式中各项的系数和； (2)求展开式中的有理项．22．求()2123x -的展开式中： (1)各项系数之和； (2)各项系数的绝对值之和； (3)系数最小的项.23．已知二项式()23nx x +．（1）若它的二项式系数之和为512．求展开式中系数最大的项； （2）若3,2020x n ==，求二项式的值被7除的余数．24．已知函数()()20121nn n n f x x a a x a x a x λ=+=++++，其中R λ∈．（1）若2,2020n λ=-=，求0242020a a a a ++++的值；（2）若78,1024n a ==，求()0,1,2,3,,8i a i =的最大值；（3）若1λ=-，求证：()0nkknn k k k Cx f x x n -==∑参考答案1．B2．A3．D4．D5．C6．C7．D8．A9．B10．D11．C12．D 13．11 14．117 15．70 16．3617．（1）由题意，二项式9212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为()9218319911C C 22r rrrr r r T x xx --+⎛⎫⎛⎫=⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令1830r -=，可得6r =， 6679121C 216T ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以展开式的常数项为2116． （2）由二项式9a x ⎛ ⎝展开式为93992199C C rrrr r r r r a T a x x ---+⎛⎛⎛⎫==⋅ ⎪ ⎝⎭⎝⎝， 令3932r -=，解得8r =，因为9a x ⎛ ⎝的展开式中3x 的系数为94，可得88994(C a ⋅=⋅，解得4a =. 18．(1)解：选①，由012C C C 22n n n ++=，得6n =（负值舍去）．选②，令1x =，可得展开式中所有项的系数之和为0．由010264n n n n n C C C +++-==，得6n =．选③，设第1r +项为常数项，()321C 1n r r r r nT x-+=-，由2302r n r =⎧⎪⎨-=⎪⎩，得6n =．由6n =得展开式的二项式系数最大为36C ，则展开式中二项式系数最大的项为()33332246C 120T xx --=-=-．(2)解：设第1r +项为有理项，()63216C 1r rr r T x-+=-，因为06r ≤≤，r ∈N ，632rZ -∈，所以0,2,4,6r =，则有理项为03316C T x x ==，2036C 15T x ==，43356C 15T x x --==，66676C T x x --==．19．(1)由题意得：()01211462n n n n n C C C n -++=++=，解得：9n =或10-，因为n N *∈，所以10n =-（舍去），从而9n = (2)二项式的展开式通项为：()9192rrr r T C x x -+⎛⎫==⎪⎝⎭，则系数为92r rC ⋅，要求其最大值，则只要满足119911992222r r r r r r r r C C C C --++⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩，即，解得：172033r ≤≤，因为r N ∈，所以6r =，所以系数最大项为693627925376T C x x x -⎛⎫== ⎪⎝⎭ 20．（1）32nx x 展开式的通项公式为13C 2kn kkk n T x x -+=⋅3561C 2n kk n k x -=， 依题意得122112C 1C 22n n ⋅⋅=+⋅，即2C 4(1)n n =-，得8n =，所以832x x 的展开式有9项，二项式系数最大的项为5项，所以22433584135C 28T x x ==. （2）由（1）知，2456181C 2kk k k T x -+=，设展开式中系数最大的项为第1k +项，则1881188111C C 2211C C 22k k k k k k k k --++⎧≥⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，即()()()()()()8!8!2!8!1!9!8!8!2!8!1!7!k k k k k k k k ⎧≥⋅⎪⋅--⋅-⎪⎨⎪⋅≥⎪⋅-+⋅-⎩，即92228k k k k -≥⎧⎨+≥-⎩，解得23k ≤≤，所以2k =或3k =， 所以展开式中系数最大的项为737x 和327x .（3）由2456181C 2kk k k T x -+=(0,1,2,3,4,5,6,7,8)k =为有理项知，2456k -为整数，得0k =，6.所以展开式中所有有理项为4x 和716x. 21．(1)恰好第五项的二项式系数最大，则展开式有9项，∴ 8n =，∴ 二项式812x ⎫⎪⎭中，令1x = ，展开式中各项的系数和为81112256⎛⎫-= ⎪⎝⎭．(2)通项为 848318811()()22r r rr r r r T C C x x --+=-=- ，r=0，1，2，…，8. 当843r-为整数，即2,5,8r =时，展开式是有理项，有理项为第3、6、9项，即22038172T C x ⎛⎫=-⋅⋅= ⎪⎝⎭；5544681724T C x x --⎛⎫=-⋅⋅=- ⎪⎝⎭；888898112256T C x x --⎛⎫=-⋅⋅= ⎪⎝⎭.22．（1）解：设()21201901212122...3a x a x a x a x =++++-， 令1x =，得()2122110.213..1a a a a ++++⨯-==-； 所以()2123x -的展开式各项系数之和为-1； （2）令=1x -，得()210122211...5213a a a a --+-++==-⨯-， 两式相减得：()0220211 (152)a a a +++=-+， 两式相加得：()1321211 (152)a a a +++=--， 所以()2123x -的展开式各项系数的绝对值之和为()()012102201321.........a a a a a a a a a +++=+++-+++，()()221112111515522=-+---=； （3）()2123x -的展开式的通项公式为：()()()212121212112233rrrr rr r r x T x C C ---+=-=-，系数的绝对值为212123rr r C -，设第r +1项的系数绝对值最大，则2112012121211221212123232323r r r r r r r r r r r r C C C C -+-+----⎧≥⎨≥⎩，解得616655r ≤≤， 则13r =，即系数的绝对值的最大值为131321823C ， 因为13为奇数，所以()131313132181822323C C -=-，即第14项的系数最小， 所以系数最小的项为1313821823x C -23．（1）二项式2(3)n x x +的二项式系数之和为512，2512n ∴=，9n ∴=．由1999119133,1,2,,933r r r r r r r r C C r C C --++⎧⋅⋅=⎨⋅⋅⎩，解得：7r =，展开式中系数最大的项为第8项，为6777789922161(3)787323T C x x C x x ⋅===．（2）若3x =，2020n =， 220202020(3)30(282)n x x +==+202012019201920192020202020202020282822822282C C K =+⋅++⋅+⋅+⋅=问题转化为20202被7除的余数，202067367306731672267167267367367367367236732282(71)2[77771]C C C C C ⋅⋅⋅=⋅=+=⋅++⋯++⋅⋅+272k =⨯+，即余数为2．24．（1）2λ=-，2020n =时，()()2020220202020012202012f x x a a x a x a x =-=+++⋅⋅⋅+， 令1x =，得()2020012320192020121a a a a a a -=++++⋅⋅⋅++=，令=1x -，得()20202020012320192020123a a a a a a +=-+-+⋅⋅⋅-+=，两式相加可得202002420182020312a a a a a ++++⋅⋅⋅++=． （2）()()828801281f x x a a x a x a x λ=+=+++⋅⋅⋅+，777810242a C λλ==⇒=，不妨设t a 为i a (0,1,2,3,,8)i =⋅⋅⋅中的最大值，则11t t t t a a a a -+≥⎧⎨≥⎩，118811882222t t t t t t t t C C C C --++⎧≥∴⎨≥⎩，解得：65t t ≤⎧⎨≥⎩，5t ∴=或6， i a 中最大值为55665688221792a a C C ====．（3）若1λ=-，()()1nn f x x =-，()()()()()12000112200121111nn n n kk n n nn k n n n n k k n Cx f x C x x C x x C x x C x x n n n n n---==-+-+-+⋅⋅⋅+-∑， 因为()()()()()()()()111!1!!!!1!!1!11!kk nn n n k n k C C n k n k n k n k k n k ----=⋅===--⋅-----⎡⎤⎣⎦所以()()()()1200122111100111nn n kk n nnn k n n n k k C x f x C x x C x x C x x n-------==+-+-+⋅⋅⋅+-∑． ()()()120001111111111n n n n n n n x C x x C x x C x x -------⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎣⎦()11n x x x x -=+-=⎡⎤⎣⎦．。
计数原理专题检测+答案
故选：C．
2．【答案】B
【解析】从 4 男 2 女共 6 名学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，普通队员 2 人组成 4 人服务队有
C61
C51
C42
65
43 2
180
种选法，服务队中没有女生的选法有
C41 C31 C22 4 31 12 种，所以要求服务队中至少有 1 名女生，
不含 的共有
，
正偶数因数的个数有
个，
即
的正偶数因数的个数是 ，故选 A.
12．【答案】B
【解析】
故选：B
13．【答案】C
【解析】若 颜色相同，先涂 有 种涂法，再涂 有 种涂法，再涂 有 种涂法， 只有一种涂法，共有
种；若颜色 不同，先涂 有 种涂法，再涂 有 种涂法，再涂 有 种涂法，当 和 相同时，
种排法，所以满足条件的共有
种排法，故选 A.
【解析】 根据题意，组成四位数的百位数字为 5，分 2 步进行分析： ①组成四位数的千位数字不能为 0，则千位数字有 4 种选法，
②在剩下的 4 个数字中选出 2 个，安排在是十位、个位，有 A42 12 种选法， 则符合条件的四位数有12 4 48 个；
种。
故答案选 A。 4．【答案】C 【解析】由题可分两种情况讨论：
①甲可能在 A 组，组内分到其他四人中的 1 人,2 人或 3 人，则有 C41 C42 C43 14 种分法；
②甲可能在 B 组，组内分到其他四人中的 1 人,2 人或 3 人，则有 C41 C42 C43 14 种分法； 一共有14 14 28 种分法。
故选 C. 5．【答案】A
【解析】根据题意，先将 4 项工作分成 3 组，有 C42=6 种分组方法， 将分好的三组全排列，对应 3 名志愿者，有 A33=6 种情况， 则有 6×6=36 种不同的安排方式； 故选：A． 6．【答案】C
专题68计数原理全章综合测试卷(举一反三)(基础篇)(人教A版2019选择性)(原卷版)
第六章 计数原理全章综合测试卷（基础篇）【人教A 版2019】考试时间：90分钟；满分：150分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时90分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）（2022秋·福建龙岩·高二阶段练习）某校开设A 类选修课4门,B 类选修课3门,一同学从中选1门,则该同学的不同选法共有（ ）A ．7种B ．12种C ．4种D ．3种2．（5分）（2022春·云南昆明·高二阶段练习）若3A n 3−6A n 2=4C n+12，则n =（ ）A ．5B ．8C ．7D ．63．（5分）（2022秋·吉林长春·高二阶段练习）已知n ，m 为正整数，且n ≥m ，则在下列各式中，正确的个数是（ ）①A 63=120；②A 127=C 127⋅A 77；③C n m +C n+1m =C n+1m+1；④C n m =C nn−m A ．1 B ．2C ．3D ．4 4．（5分）（2023秋·北京·高二期末）在(√x 3−2x)8的展开式中，常数项为（ ） A ．112 B ．112 C ．1120 D ．11205．（5分）（2022春·江西抚州·高二期末）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年.在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中（如图），记第2行的第3个数字为a 1，第3行的第3个数字为a 2,⋯，第n(n ≥2)行的第3个数字为a n−1，则a 1+a 2+a 3+⋯+a 9=（ ）A ．165B ．180C ．220D ．2366．（5分）（2023·全国·高三专题练习）如图，湖北省分别与湖南、安徽、陕西、江西四省交界，且湘、皖、陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有5种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为（ ）A ．480B ．600C ．720D ．8407．（5分）（2023秋·湖南怀化·高三期末）已知C n 1011=C n1012，设(2x −3)n =a 0+a 1(x −1)+a 2(x −1)2+⋯+a n (x −1)n ，下列说法：①n =2023，②a n =−32023，③a 0+a 1+a 2+⋯+a n =1，④展开式中所有项的二项式系数和为1. 其中正确的个数有（ ）A ．0B ．1C ．2D ．38．（5分）2022年8月某市组织应急处置山火救援行动，现从组织好的5支志愿团队中任选1支救援物资接收点服务，另外4支志愿团队分配给“传送物资、砍隔离带、收捡垃圾”三个不同项目，每支志愿团队只能分配到1个项目，且每个项目至少分配1个志愿团队，则不同的分配方案种数为（ ）A ．36B ．81C ．120D ．180二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）（2022秋·吉林长春·高二阶段练习）（多选）C 9896+2C 9895+C 9894=（ ）A ．C 9997B ．C 992 C ．C 10096D ．C 100410．（5分）（2022春·广东佛山·高二期中）现有3名老师，8名男生和5名女生共16人，有一项活动需派人参加，则下列命题中正确的是（ ）A ．只需1人参加，有16种不同选法B ．若需老师、男生、女生各1人参加，则有120种不同选法C ．若需1名老师和1名学生参加，则有39种不同选法D ．若需3名老师和1名学生参加，则有56种不同选法11．（5分）（2022·高二课时练习）甲、乙、丙、丁、戊五人站成一排．（）A．若甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，则不同的排法有24种B．若最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法有42种C．甲、乙不相邻的排法有82种D．甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有20种12．（5分）若二项式(x+2√x )n的展开式中二项式系数之和为64，则下列结论正确的是（）A．二项展开式中各项系数之和为35B．二项展开式中二项式系数最大的项为160x32 C．二项展开式中无常数项D．二项展开式中系数最大的项为240三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2022·全国·高三专题练习）解下列不等式或方程(1)A8x<6A8x−2(2)1C5m −1C6m=710C7m18．（10分）（2023·全国·高二专题练习）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，如图所示．将一个正四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法种数．19．（12分）（2022·高二课时练习）某电视台连续播放6个广告，其中有3个商业广告、2个宣传广告和1个公益广告，要求最后播放的不能是商业广告，宣传广告与公益广告不能连续播放，2个宣传广告也不能连续播放，则有多少种不同的播放方式？20．（12分）（2022春·上海黄浦·高一期末）已知对任意给定的实数x，都有(1−2x)100=a0+a1(x+1)+ a2(x+1)2+⋯+a100(x+1)100.求值：(1)a0+a1+a2+⋯+a100；(2)a1+a3+a5+⋯+a99.21．（12分）（2022秋·辽宁朝阳·高二阶段练习）已知二项式(√x−3x2)n，且C n2=15．(1)求(√x−3x2)n的展开式中的第5项；(2)求(√x−3x2)n的二项式系数最大的项．22．（12分）（2022秋·辽宁铁岭·高二期中）从集合A={1,3,5,7}中取一个数字和集合B={0,2,4,6,8}中取两个数字，问：(1)可组成多少个三位数?(2)可组成可重复一个数字的四位数多少个?。
历年(2020-2023)全国高考数学真题分类(计数原理)汇编(附答案)
历年(2020‐2023)全国高考数学真题分类(计数原理)汇编【2023年真题】1. （2023·新课标I 卷 第13题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有_______种(用数字作答).2. （2023·新课标II 卷 第3题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400和200名学生，则不同的抽样结果共有 A. 4515400200C C ⋅种B. 2040400200C C ⋅种C. 3030400200C C ⋅种D. 4020400200C C ⋅种【2022年真题】3.（2022·新高考I 卷 第13题）8(1)y x y x-+的展开式中26x y 的系数为__________(用数字作答).4.（2022·新高考II 卷 第5题）甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有( ) A. 12种B. 24种C. 36种D. 48种【2020年真题】5.（2020·新高考I 卷 第3题）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有( ) A. 120种B. 90种C. 60种D. 30种6.（2020·新高考II 卷 第6题）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有( ) A. 2种 B. 3种C. 6种D. 8种参考答案1. （2023·新课标I 卷 第13题）解：当从这8门课中选修2门课时，共有1144.16C C =； 当从这8门课中选修3门课时，共有12214444..48C C C C +=；综上，共有64种． 2. （2023·新课标II 卷 第3题）解：结合题意初中部和高中部所占的比例为2:1，抽取初中部40人，高中部20人，故不同的抽样结果为4020400200C C ⋅ 种，故选.D3.（2022·新高考I 卷 第13题）解：因为8()x y +展开式的通项818r r r r T C x y -+=，令5r =，则35x y 的系数为5856C =；令6r =，则26x y 的系数为6828C =，所以26x y 的系数为562828.-+=- 4.（2022·新高考II 卷 第5题）解：先利用捆绑法排乙丙丁成四人，再用插空法选甲的位置，则有23123224A A C =种. 5.（2020·新高考I 卷 第3题）解：可以按照先选1名志愿者去甲场馆，再选择2名志愿者去乙场馆，剩下3名安排到丙场馆，安排方法有123653C C C 60.=故选：.C6.（2020·新高考II 卷 第6题）解：要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有：212312 6.C C A =故选：.C。
计数原理专项练习(含详解)
计数原理专项练习一、单选题（本大题共20小题，共100.0分）1. 从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为()A. 224B. 112C. 56D. 282. A ，B ，C ，D 四位妈妈相约各带一名小孩去观看花卉展，她们选择共享电动车出行，每辆车只能带一位大人和一名小孩，其中孩子们表示都不坐自己妈妈的车，则A 的小孩坐C 妈妈或D 妈妈的车的概率是()A.13B.12C.59D.233. 袋中有5个黑球和3个白球，从中任取2个球，则其中至少有1个黑球的概率是()A.B.C.D.4. 已知的最小值为，则二项式展开式中项的系数为A.B.C.D.5.2.5PM 是指大气中直径小于或等于0.0000025米的颗粒物，数0.0000025用科学计数法表示为() A. 72510-⨯ B. 62.510-⨯ C. 50.2510-⨯ D. 72.510-⨯6. 若集合1A ，2A 满足12A A A =，则称12(,)A A 为集合A 的一个分拆，并规定：当且仅当12A A =时，12(,)A A 与21(,)A A 为集合A 的同一种分拆，则集合12{,}A a a =的不同分拆种数是()A. 8B. 9C. 16D. 187. 已知1021001210(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+-+-++-，则9a 等于()A. 10B. 10-C. 20D. 20-8. 如图，在杨辉三角形中，斜线的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列：1，3，3，4，6，5，10，…，记此数列的前项之和为，则的值为()A. 361B. 295C. 153D. 669. 设2012(1)n x a a x a x -=+++…nn a x +，若12||||...||127n a a a +++=，则展开式中二项式系数最大的项为A. 第4项B. 第5项C. 第4项或第5项D. 第7项10. 二项式(1)()nx n N ++∈的展开式中2x 的系数为15，则()n =A. 4B. 5C. 6D. 711. 二项式的展开式中二项式系数最大的项为()A. 第 3 项B. 第 6 项C. 第 6 、 7 项D. 第 5 、 7 项12. 甲、乙、丙3位教师安排在周一至周五中的3天值班，要求每人值班1天且每天至多安排1人，则恰好甲安排在另外2位教师前面值班的概率是A.B.C.D.13. 212nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中只有第4项的二项式系数最大，展开式中的所有项的系数和是()A. 0B. 256C. 64D.16414. 9.若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有A. 66种B. 65种C. 63种D. 60种15. 102012(2)x a a x a x -=+++ (10)10.a x +则123a a a +++…10()a +=A. 1B. 1-C. 1023D. 1023-16. 腾冲第八中学数学组有实习老师共5名，现将他们分配到高二年级的90、91、92三个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有()A. 30种B. 90种C. 180种D. 270种17. 从3名语文老师、4名数学老师和5名英语老师中选派5人组成一个支教小组，则语文、数学和英语老师都至少有1人的选派方法种数是()A. 590B. 570C. 360D. 21018. 若*n N ∈，且521235n n n C A ---=，则n 的值为()A. 8B. 9C. 10D. 1119. 我们把各位数字之和等于6的三位数称为“吉祥数”，例如123就是一个“吉祥数”，则这样的“吉祥数”一共有()A. 28个B. 21个C. 35个D. 56个20. 将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的分配方案共有()种.A. 252B. 112C. 20D. 56二、单空题（本大题共10小题，共50.0分） 21. 如图，它满足：(1)第n 行首尾两数均为n ；(2)表中的递推关系类似杨辉三角，则第n 行()2n 第2个数是________22. 设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为34和45，且各次射击相互独立，若按甲、乙、甲、乙的次序轮流射击，直到有一人击中目标就停止射击，则停止射击时，甲射击了两次的概率是__________.23. 二项式51(2)x x+的展开式中3x 的系数为______.24. 已知4男3女排队，每名男生至多与一名女生相邻，共有______ 种不同的排法．(结果用数值表示)25. 被4除，所得的余数为________.26. 若22242n C A =，则!3!3!n n =-________.27. 2015年世博会在意大利米兰举行，其中某大学要从6名男生和2名女生中选出3人作为奥运会的志愿者，若男生甲与女生乙至少有一个入选，则不同的选法共有__________________________种(结果用数字表示).28. 3位男生和3位女生共6位同学站成一排，则3位男生中有且只有2位男生相邻的概率为____________29. __________.30. 已知3828128(1)(2)(1)(1)...(1)x x a a x a x a x ++-=+-+-++-，则6a 的值为_____.答案和解析1.【答案】B试题分析：根据分层抽样，从8个人中抽取男生1人，女生2人；所以取2个女生1个男生的方法：.2.【答案】D解： 记A ，B ，C ，D 四位妈妈的小孩分别为a ，b ，c ，d ， 由于孩子都不坐自己妈妈的车， 假设A 与b 一辆车，则有3种情况，同理A 与c 一辆车及A 和d 一辆车，都有3种情况， 所以不同的坐车方式有3339++=种，而A 的小孩a 坐C 妈妈或D 妈妈的车的情况有336+=种情况， 所以所求概率为62.93P == 3.【答案】B解：至少有1个黑球，包括1个黑球、2个黑球，其方法数为 11205353C C C C +袋中有5个黑球和3个白球，从中任取2个球，∴共有方法数为 28C∴至少有1个黑球的概率是1120535328C C C C C +.4.【答案】A解：因为函数的最小值为，即.展开式的通项公式为，由，得，所以，即项的系数为15.5.【答案】B6.【答案】B解：12A A A =，对1A 分以下几种情况讨论：①若1A =∅，必有212{,}A a a =，共1种拆分；②11{}A a =，则22{}A a =或12{,}a a ，共2种拆分；同理12{}A a =时，有2种拆分； ③若112{,}A a a =，则2A =∅、1{}a 、2{}a ，12{,}a a ，共4种拆分；∴共有12249+++=种不同的拆分．7.【答案】D 8.【答案】A解：从杨辉三角形的生成过程，可以得到你的这个数列的通项公式.n 为偶数时，，n 为奇数时，02221c C ==，12333C C ==，246C =，325510C C ==，….然后求前21项和，偶数项和为75， 奇数项和为最后.9.【答案】C解：令0x =，可得01a =，令1x =-，可得0122n n a a a a ++++=，所以1221127n n a a a +++=-=，解得7n =，所以展开式中二项式系数最大的项为第4项，第5项.10.【答案】C因为(1)nx +的展开式中2x 的系数为2n C ，即215n C =，亦即230n n -=，解得6(5n n ==-舍).11.【答案】C解：，在二项式的展开式中二项式系数最大的项为第 6 、 7 项，12.【答案】A解：依题意，甲、乙、丙3人的相对顺序共有人种，其中甲位于乙、丙前面的共有种，因此所求的概率为，13.【答案】D解：根据21()2nx x-的展开式中只有第4项的二项式系数最大， 得展开式中项数是2417⨯-=，716n ∴=-=；令1x =，得展开式中的所有项的系数和是611(1).264-=14.【答案】A解：由题意知本题是一个分类计数问题，要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况， 当取得4个偶数时，有1=种结果，当取得4个奇数时，有5=种结果， 当取得2奇2偶时有61060=⨯=∴共有156066++=种结果，15.【答案】D解：令1x =代入二项式102012(2)x a a x a x -=+++…1010a x +，得1001(21)a a -=++…101a +=，令0x =得1002a =，10122a a ∴+++…101a +=，12a a ∴++…101023a +=-，16.【答案】B解：把5名实习老师分成三组，一组1人，另两组都是2人，有1225422215C C C A =种方法，再将3组分到3个班，共有331590A ⋅=种不同的分配方案，17.【答案】A解：直接法：3名语文、1名数学和1名英语，有31134520C C C =种， 1名语文、3名数学和1名英语1名，有13134560C C C =种， 1名语文、1名数学和1名英语3名，有113345120C C C =种， 2名语文、2名数学和1名英语1名，有22134590C C C =种，1名语文、2名数学和2名英语1名，有122345180C C C =种， 2名语文、1名数学和2名英语1名，有212345120C C C =种，共计206012090180120590+++++=种18.【答案】B解：*n N ∈，且521235n n n C A ---=，()()05122(1)(2)(3)(4)35234321n n n n n n n n n ⎧⎪--⎪∴-⎨⎪----⎪⋅=--⨯⨯⨯⎩， 即()()5(1)(2)(3)(4)35234321n n n n n n n ⎧⎪----⎨⋅=⨯--⎪⨯⨯⨯⎩，因此5(1)(4)40n n n ⎧⎨--=⎩，即255360n n n ⎧⎨--=⎩，解得9n =， 所以n 的值为9.19.【答案】B解：因为1146++=，1236++=，2226++=，0156++=，0246++=，0336++=，0066++=， 所以可以分为7类，当三个位数字为1，1，4时，三位数有3个，当三个位数字为1，2，3时，三位数有336A =个，当三个位数字为2，2，2时，三位数有1个， 当三个位数字为0，1，5时，三位数有4个， 当三个位数字为0，2，4时，三位数有4个， 当三个位数字为0，3，3时，三位数有2个， 当三个位数字为0，0，6时，三位数有1个，根据分类计数原理得三位数共有361442121.++++++=20.【答案】B解：分两步去做：第一步，先把学生分成两组，有两种分组方法，第一种是：一组2人，另一组5人，有2721C =种分法；第二一种是：一组3人，另一组4人，有3735C =种分法；第二步，把两组学生分到甲、乙两间宿舍，第一种有222A =种分配方法，第二种也有222A =种分配方法；最后，把两步方法数相乘，共有22327272212352112C A C A +=⨯+⨯=种方法.21.【答案】222n n -+解：设第(2)n n 行的第2个数构成数列{}n a ，则有322a a -=，433a a -=，544a a -=，…，11n n a a n --=-，相加得()()2122123(1)(2)22n n n n a a n n +-+--=+++-=⨯-=， 则()()21222.22nn n n n a +--+=+=22.【答案】19400解：设A 表示甲命中目标，B 表示乙命中目标，则A 、B 相互独立， 停止射击时甲射击了两次包括两种情况：①第一次射击甲乙都未命中，甲第二次射击时命中，此时的概率13433()(1)(1)45480P P A B A =⋅⋅=-⨯-⨯=， ②第一次射击甲乙都未命中，甲第二次射击未命中，而乙在第二次射击时命中，此时的概率234341()(1)(1)(1)4545100P P A B A B =⋅⋅⋅=-⨯-⨯-⨯=， 故停止射击时甲射击了两次的概率12311980100400P P P =+=+=， 23.【答案】80解：二项式51(2)x x+的展开式的通项公式为5552155(2)2r r r r r r r T C x x C x ----+=⋅⋅=⋅⋅， 令523r -=，1r =，故展开式中3x 的系数为 415280C ⋅=，24.【答案】2304解：第一类，把4男生捆绑在一起，插入到3名女生排列所形成的4个空的1个空中，故有431434576A A A =种，第二类，把4男生平均分为2组，分别插入到3名女生排列所形成的4个空的2个空中，故有232434864A A A =种，第三类，把4男生分为(3,1)两组，把把1名男生插入到3名女生排列所形成的4个空的头或尾，把在一起的3个男生插入到剩下的3个空中的1个，故有1133124333864A A A A A =种，根据分类计数原理得，5768648642304++=25.【答案】0解：显然能被4整除，余数为0.26.【答案】35解：222(1)42n C A n n =-=，解得7n =，或6(n =-舍去)，337!353!(3)!n n C C n ∴===-， 27.【答案】36解：从6名男生和2名女生中选出3名志愿者，，男生甲与女生乙至少有一个入选，则不同的选法共有， 28.【答案】0.6解：从3名男生中任取2人“捆”在一起记作A ，(A 共有22326C A =种不同排法)，剩下一名男生记作B ，将A ，B 插入到3名女生全排列后所成的4个空中的2个空中，故有22233243432C A A A =种，则3位男生中有且只有2位男生相邻的概率为664324320.6.720P A === 29.【答案】40-解：，30.【答案】28解：3(1)x +展开后不会出现6x ， 又88(2)[(1)1]x x -=--， 所以6a 表示6(1)x -的系数， 所以6268(1)28.a C =-=。
第一章计数原理基础选择30道
15． 展开式中第6项的二项式系数为（）
A． B． C． D．
16．若将6本不同的书放到5个不同的盒子里，有多少种不同的放法（）
A． B． C． D．
17．一个三层书架，分别放置语文书12本，数学书14本，英语书11本，从中任取一本，则不同的取法共有（ ）
A．37种B．1848种C．3种D．6种
15．C
【分析】
写出展开式的通项 ，然后将 代入通项即可．
【详解】
由已知得通项为： ，
，故第六项的二项式系数为： ．
故选： ．
【点睛】
本题考查二项式展开式的通项，二项式系数的求法．属于基础题．
16．C
【分析】
将6本不同的书放到5个不同的盒子里，每本书都有5种放法，然后由乘法原理可得答案.
【详解】
将6本不同的书放到5个不同的盒子里，每本书都有5种放法，
故选：A.
【点睛】
本题主要考查分类加法原理，合理分类是求解的关键，题目比较简单.
18．B
【分析】
直接利用列举法得解.
【详解】
当乙在周一时有：乙甲丁丙，乙丙丁甲，乙丙甲丁，乙丁甲丙；
当丙在周一时有：丙甲乙丁，丙甲丁乙，丙丁甲乙，丙丁乙甲；
当丁在周一时有：丁甲乙丙，丁丙甲乙，丁丙乙甲.
所以共11种.
故选：B
A．12B．24C．81D．64
10．数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读.数学中有回文数，如343，12521等.两位数的回文数有11，22，3，……，99共9个，则在三位数的回文数中偶数的个数是（）
A．40B．30C．20D．10
11．3本不同的课外读物分给3位同学，每人一本，则不同的分配方法有（）
计数原理题目及详细答案
第一章 计数原理[基础训练A 组]一、选择题1．将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有（ ） A ．81 B ．64 C ．12 D ．142．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型与乙型电视机 各1台，则不同的取法共有（ ）A ．140种 B.84种 C.70种 D.35种3．5个人排成一排,其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有（ ）A ．33AB ．334AC ．523533A A A -D ．2311323233A A A A A +4．,,,,a b c d e 共5个人，从中选1名组长1名副组长，但a 不能当副组长， 不同的选法总数是（ ）A.20 B ．16 C ．10 D ．65．现有男、女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、 物理、化学三科竞赛，共有90种不同方案，那么男、女生人数分别是（ ） A ．男生2人，女生6人 B ．男生3人，女生5人 C ．男生5人，女生3人 D ．男生6人，女生2人.6．在82x ⎛- ⎝的展开式中的常数项是（ ） A.7 B ．7- C ．28 D ．28-7．5(12)(2)x x -+的展开式中3x 的项的系数是（ ）A.120 B ．120- C ．100 D ．100-8．22nx ⎫⎪⎭展开式中只有第六项二项式系数最大,则展开式中的常数项是（ ）A ．180B ．90C ．45D ．360二、填空题1．从甲、乙，……，等6人中选出4名代表，那么（1）甲一定当选，共有 种选法．（2）甲一定不入选，共有 种选法.（3）甲、乙二人至少有一人当选，共有 种选法.2．4名男生，4名女生排成一排，女生不排两端，则有 种不同排法. 3．由0,1,3,5,7,9这六个数字组成_____个没有重复数字的六位奇数.4．在10(x 的展开式中，6x 的系数是 .5．在220(1)x -展开式中，如果第4r 项和第2r +项的二项式系数相等，则r = ，4r T = .6．在1,2,3,...,9的九个数字里，任取四个数字排成一个首末两个数字是奇数的四位数，这样的四位数有_________________个？7．用1,4,5,x 四个不同数字组成四位数,所有这些四位数中的数字的总和为288,则x . 8．从1,3,5,7,9中任取三个数字，从0,2,4,6,8中任取两个数字，组成没有重复数字的五位数，共有________________个？ 三、解答题1．判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果.（1）高三年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？（2）高二年级数学课外小组10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？（3）有2,3,5,7,11,13,17,19八个质数：①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？2．7个排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法？ （1）甲排头，（2）甲不排头，也不排尾，（3）甲、乙、丙三人必须在一起，（4）甲、乙之间有且只有两人，（5）甲、乙、丙三人两两不相邻，（6）甲在乙的左边（不一定相邻），（7）甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序，（8）甲不排头，乙不排当中。
计数原理(习题及答案)
计数原理（习题）例题示范例1：现有3辆公交车、3位司机和3位售票员，若要求每辆车配1位司机和1位售票员，则车辆、司机、售票员的搭配方案共有多少种？思路分析：可以把3辆车看成排了顺序的三个空：，然后把3名司机和3名售票员分别填入．因此可认为事件分两步完成，每一步都是一个排列问题．A=6种安排方法；第一步，把3名司机安排到3辆车中，有33A=6种安排方法．第二步，把3名售票员安排到3辆车中，有33A A⋅=36种．故搭配方案共有3333例2：5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法共有（）A．480种B．240种C．120种D．96种思路分析：首先把5本书转化成4本书，然后分给4个人．C种方法；第一步：从5本书中任意取出2本捆绑成一本书，有25A种方法．第二步：再把4本书分给4个学生，有44C A⋅=240种方法，故选B．由乘法原理，共有2454巩固练习1.（1）4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有_______种报名方法．（2）4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有_____种可能的结果．2.已知a ∈{0，3，4}，b ∈{1，2，7，8}，r ∈{8，9}，则方程(x -a )2+(y -b )2=r 2表示__________个不同的圆．3.满足a ，b ∈{-1，0，1，2}，且关于x 的方程ax 2+2x+b =0有实数解的有序数对(a ，b )共有（）A ．14个B ．13个C ．12个D ．10个4.某校一年级有5个班，二年级有7个班，三年级有4个班，分年级举行班与班之间的篮球单循环赛，共需进行比赛的场数是（）A ．222574C C C ++B ．222574C C C ⋅⋅C ．222574A A A ++D ．216C 5.将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）A ．12种B ．10种C ．9种D ．8种6.用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（）A ．144个B ．120个C ．96个D ．72个7.计划在某画廊展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行展出，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不能放在两端，则不同的展出方式共有（）种．A ．4545A A ⋅B ．345345A A A ⋅⋅C ．145345C A A ⋅⋅D ．245245A A A ⋅⋅8.现有8个人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人不能相邻的排法有（）种．A ．3565A A ⋅B ．863863A A A -⋅C ．3353A A ⋅D ．8486A A -9.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有（）A ．24对B ．30对C ．48对D ．60对10.填空：（1）有10个运动员名额，分给7个班，每班至少分1个，共有__________种分配方案．（2）由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字且1，3都不与5相邻的六位偶数，这样的六位偶数共有__________个．（3）6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有__________种．11.某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种，现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上的不同选择，则餐厅至少还需准备__________种不同的素菜．12.3个女生和5个男生排成一排．（1）如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法？（2）如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？（3）如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？（4）如果两端不能都排女生，有多少种不同的排法？13.某街道有十只路灯，为节约用电又看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只，且在两端的灯也不能关掉，求满足条件的关灯方法共有多少种？【参考答案】1．（1）81；（2）642．243．B4．A5．A6．B7．D8．A9．C10．（1）84；（2）108；（3）48011．712．（1）4320；（2）14400；（3）14400；（4）36000 13．20。
概率论中的计数原理例题和知识点总结
概率论中的计数原理例题和知识点总结在概率论中，计数原理是非常重要的基础知识，它帮助我们在解决各种概率问题时确定可能的结果数量。
下面我们将通过一些具体的例题来深入理解计数原理，并对相关知识点进行总结。
一、知识点梳理1、加法原理如果完成一件事情有 n 类办法，在第 1 类办法中有 m1 种不同的方法，在第 2 类办法中有 m2 种不同的方法，……，在第 n 类办法中有mn 种不同的方法，那么完成这件事情共有 N ＝ m1 ＋ m2 ＋… ＋ mn 种不同的方法。
2、乘法原理如果完成一件事情需要 n 个步骤，做第 1 步有 m1 种不同的方法，做第 2 步有 m2 种不同的方法，……，做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事情共有 N ＝m1 × m2 × … × mn 种不同的方法。
3、排列从 n 个不同元素中取出 m（m ≤ n）个元素的排列数，记作 Anm ，Anm ＝ n(n 1)（n 2)…（n m ＋ 1) 。
4、组合从 n 个不同元素中取出 m（m ≤ n）个元素的组合数，记作 Cnm ，Cnm ＝ n! ／ m!（n m)！。
二、例题解析例 1：从 0 到 9 这 10 个数字中，任取 3 个数字组成一个没有重复数字的三位数，共有多少种取法？解法：首先确定百位数字，因为百位不能为 0，所以有 9 种选择；十位数字可以从剩下的 9 个数字中任选一个，有 9 种选择；个位数字可以从剩下的 8 个数字中任选一个，有 8 种选择。
根据乘法原理，共有 9×9×8 ＝ 648 种取法。
例 2：一个小组有 10 名同学，从中选 3 名同学分别担任组长、副组长和学习委员，共有多少种不同的选法？解法：这是一个排列问题。
从 10 名同学中选 3 名同学进行排列，即 A103 ＝ 10×9×8 ＝ 720 种不同的选法。
例 3：从 5 名男生和 3 名女生中选 3 名同学参加数学竞赛，要求至少有一名女生，共有多少种选法？解法：用总的选法减去全是男生的选法。
(完整版)高中数学《计数原理》练习题
a1 0, a2 0, a3 0, a4 0, a5 0, a6 0, a7 0 ，
所以 a1 a2 L a7 = a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7
令x
1， 1
7
2x
7
12
37
a0
a1
a2
a3 a4
a5
a6 a7
而 a0 1 , 所以 a1 a2 L a7 = a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 = 37 1 2186
路可通；从甲地到丁地有 4 条路可通，从丁地到丙地有 2 条路可通。则从甲地到丙
地不同的走法共有
种。
10. 从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人参加某个座谈会，若这 4 人中必须既有男生
又有女生，则不同的选法共有
种。
14. 1
x2
1
x
5
的展开式中
x3 的系数为
三、解答题： 15（12 分） 假设在 100 件产品中有 3 件次品，从中任意抽取 法各有多少种？ （I ）没有次品； （II ）恰有两件是次品； （III ）至少有两件是次品； （IV ）至多有两件是次品；
）
A
C
4 21
B
C
3 21
C
C230 D
C240
8. 一个口袋内装有 4 个不同的红球， 6 个不同的白球，若取出一个红球得 2 分，取 出一个白球得 1 分，问从口袋中取出 5 个球，使总分不少于 7 分的取法种数有（ ） A 15 B 16 C 144 D 186
二、填空题
9. 开车从甲地出发到丙地有两种选择，一种是从甲地出发经乙地到丙地，另一种是 从甲地出发经丁地到丙地。其中从甲地到乙地有 2 条路可通，从乙地到丙地有 3 条
计数原理近三年高考真题(带解析)
计数原理近三年高考真题（带解析）一、单选题1．（2021·江苏·高考真题）下图是某项工程的网络图(单位:天)，则从开始节点①到终止节点⑧的路径共有（）A．14条B．12条C．9条D．7条【答案】B【解析】【分析】根据分步乘法计算原理即可求解.【详解】由图可知，由①→④有3条路径，由④→⑥有2条路径，由⑥→⑧有2条路径，根据⨯⨯=条路径.分步乘法计算原理可得从①→⑧共有32212故选：B2．（2021·全国·高考真题（文））将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8【答案】C【解析】【分析】利用古典概型的概率公式可求概率.【详解】解：将3个1和2个0随机排成一行，可以是：00111,01011,01101,01110,10011,10101,10110,11001,11010,11100，共10种排法，其中2个0不相邻的排列方法为：01011,01101,01110,10101,10110,11010，共6种方法，故2个0不相邻的概率为6=0.6 10，故选：C.3．（2021·全国·高考真题（理））将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A．60种B．120种C．240种D．480种【答案】C【解析】【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有25C种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有254!240C⨯=种不同的分配方案，故选：C.【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解.4．（2020·海南·高考真题）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（）A．2种B．3种C．6种D．8种【答案】C【解析】【分析】首先将3名学生分成两个组，然后将2组学生安排到2个村即可.【详解】第一步，将3名学生分成两个组，有12323C C=种分法第二步，将2组学生安排到2个村，有222A=种安排方法所以，不同的安排方法共有326⨯=种 故选：C 【点睛】解答本类问题时一般采取先组后排的策略.5．（2020·北京·高考真题）在52)的展开式中，2x 的系数为（ ）． A ．5- B ．5C ．10-D ．10【答案】C 【解析】 【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定2x 的系数即可. 【详解】)52展开式的通项公式为：()()55215522r rrrrr r T CC x--+=-=-，令522r -=可得：1r =，则2x 的系数为：()()11522510C -=-⨯=-. 故选：C. 【点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．6．（2020·全国·高考真题（理））25()()x x y x y ++的展开式中x 3y 3的系数为（ ）A ．5B ．10C ．15D ．20【答案】C 【解析】 【分析】求得5()x y +展开式的通项公式为515r rrr T C xy -+=（r N ∈且5r ≤），即可求得2y x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭与5()x y +展开式的乘积为65r rr C xy -或425r r r C x y -+形式，对r 分别赋值为3，1即可求得33x y 的系数，问题得解. 【详解】5()x y +展开式的通项公式为515r rr r T C xy -+=（r N ∈且5r ≤）所以2y x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的各项与5()x y +展开式的通项的乘积可表示为：56155r rrr rrr xT xC xy C xy --+==和22542155r r rr r r r T C x y xC y y y x x --++==在615rrr r xT C xy -+=中，令3r =，可得：33345xT C x y =，该项中33x y 的系数为10，在42152r r r r T C x xy y -++=中，令1r =，可得：521332T C y x x y =，该项中33x y 的系数为5所以33x y 的系数为10515+= 故选：C 【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属于中档题.7．（2019·全国·高考真题（文））两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是 A ．16B ．14C ．13D ．12【答案】D 【解析】男女生人数相同可利用整体发分析出两位女生相邻的概率，进而得解. 【详解】两位男同学和两位女同学排成一列，因为男生和女生人数相等，两位女生相邻与不相邻的排法种数相同，所以两位女生相邻与不相邻的概率均是12．故选D ． 【点睛】本题考查常见背景中的古典概型，渗透了数学建模和数学运算素养．采取等同法，利用等价转化的思想解题．8．（2019·全国·高考真题（理））我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A ．516B ．1132C ．2132D ．1116【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算． 【详解】由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有62情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有36C ，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为3662C =516，故选A ．【点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题．9．（2019·全国·高考真题（理））（1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为 A ．12 B ．16 C ．20 D ．24【答案】A 【解析】 【分析】本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数． 【详解】由题意得x 3的系数为314424812C C +=+=，故选A ．【点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．10．（2011·全国·高考真题（理））512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 A ．-40 B ．-20C ．20D ．40【答案】D 【解析】 【分析】【详解】令x =1得a =1.故原式=511()(2)x x xx+-．51(2)x x-的通项521552155(2)()(1)2----+=-=-r r r r r r r r T C x x C x ，由5-2r=1得r=2,对应的常数项=80，由5-2r=-1得r=3,对应的常数项=-40， 故所求的常数项为40 ， 故选D 二、双空题11．（2021·浙江·高考真题）已知多项式344321234(1)(1)x x x a x a x a x a -++=++++，则1a =___________，234a a a ++=___________.【答案】 5; 10. 【解析】 【分析】根据二项展开式定理，分别求出43,(1(4))x x -+的展开式，即可得出结论. 【详解】332(1)331x x x x -=-+-， 4432(1)4641x x x x x +=++++，所以12145,363a a =+==-+=， 34347,110a a =+==-+=，所以23410a a a ++=. 故答案为：5,10.12．（2019·浙江·高考真题）在二项式9)x 的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______.【答案】 5 【解析】 【分析】本题主要考查二项式定理、二项展开式的通项公式、二项式系数，属于常规题目.从写出二项展开式的通项入手，根据要求，考察x 的幂指数，使问题得解. 【详解】9)x 的通项为919(0,1,29)rr r r T C x r -+==可得常数项为0919T C == 因系数为有理数，1,3,5,7,9r =，有246810T , T , T , T , T 共5个项 【点睛】此类问题解法比较明确，首要的是要准确记忆通项公式，特别是“幂指数”不能记混，其次，计算要细心，确保结果正确. 三、填空题13．（2022·上海·高考真题）已知有1、2、3、4四个数字组成无重复数字，则比2134大的四位数的个数为________ 【答案】17 【解析】 【分析】先分类再分步，按千位为3,4,2分为三类，再逐次安排百位和十位，即可计算出满足条件的四位数个数. 【详解】千位为3和4时，组成的四位数都比2134大，有33212A =个，千位为2时，百位为3或4的四位数都比2134大，有2224A =个，千位为2时，百位为1，只有2143比2134大，有1个， 则组成的四位数比2134大的一共有17个. 故答案为：17.14．（2022·上海·高考真题）在1231x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，含41x 项的系数为________【答案】66 【解析】 【分析】写出展开式的通项，令x 的指数为4-，求出参数的值，代入通项后即可得解. 【详解】1231x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项为()123364112121C C rrr rr r T x x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅ ⎪⎝⎭， 令3644r -=-，可得10r =，因此，展开式中含41x项的系数为1012C 66=.故答案为：66.15．（2021·天津·高考真题）在6312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，6x 的系数是__________．【答案】160 【解析】 【分析】求出二项式的展开式通项，令x 的指数为6即可求出. 【详解】6312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为()636184166122rrr r rr r T C x C x x ---+⎛⎫=⋅=⋅ ⎪⎝⎭， 令1846r -=，解得3r =，所以6x 的系数是3362160C =.故答案为：160.16．（2020·天津·高考真题）在522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数是_________． 【答案】10 【解析】 【分析】写出二项展开式的通项公式，整理后令x 的指数为2，即可求出． 【详解】因为522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()5531552220,1,2,3,4,5rr r r r r r T C x C x r x --+⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭，令532r -=，解得1r =． 所以2x 的系数为15210C ⨯=． 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查二项展开式的通项公式的应用，属于基础题．17．（2020·全国·高考真题（理））262()x x+的展开式中常数项是__________（用数字作答）． 【答案】240 【解析】 【分析】写出622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭二项式展开通项，即可求得常数项.【详解】622xx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭其二项式展开通项：()62612rrrr C xx T -+⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭= 1226(2)r r r r x C x --⋅=⋅1236(2)r r r C x -=⋅当1230r -=，解得4r =∴622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是：664422161516240C C ⋅=⋅=⨯=.故答案为：240. 【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握()na b +的展开通项公式1C rn rr r n T ab -+=，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.18．（2020·全国·高考真题（理））4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种. 【答案】36 【解析】 【分析】根据题意，有且只有2名同学在同一个小区，利用先选后排的思想，结合排列组合和乘法计数原理得解. 【详解】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学∴先取2名同学看作一组，选法有：246C =现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：336A =根据分步乘法原理，可得不同的安排方法6636⨯=种故答案为：36.【点睛】本题主要考查了计数原理的综合应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.。
计数原理全章十大基础题型归纳(基础篇)
计数原理全章十大基础题型归纳（基础篇）1．中国人民解放军东部战区领导和指挥江苏､浙江､上海､安徽､福建､江西的武装力量.某日东部战区下达命令，要求从江西或福建派出一架侦察机对台海空域进行侦查，已知江西有m 架侦察机，福建有n 架侦察机，则不同的分派方案共有（）A ．()m n +种B ．mn 种C ．m 种D ．n 种2．如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（）A ．48B ．18C ．24D ．363．用1、2、3、4、5这五个数字可以组成多少个十位数字大于个位数字的两位数？4．某市的有线电视可以接收中央台12个频道、本地台10个频道和其他省市46个频道的节目．(1)当这些频道播放的节目互不相同时，一台电视机共可以选看多少个不同的节目？(2)如果有3个频道正在转播同一场球赛，其余频道正在播放互不相同的节目，一台电视机共可以选看多少个不同的节目？5．用1，2，3，4可以组成无重复数字的三位数的个数为（）A ．16B ．24C ．36D ．486．甲、乙、丙、丁四位同学决定去黄鹤楼、东湖、汉口江滩游玩，每人只能去一个地方，则不同游览方案的种数为（）A ．65B ．81C ．64D ．607．（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？（3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？8．已知0，1，2，3，4，5这六个数字．(1)可以组成多少个不重复的三位数字？(2)可以组成多少个允许重复的三位数字？9．32545A 4A 等于（）A ．107B ．323C ．320D ．34810．54886599A A A A +=-（）A ．58B ．527C ．49D ．1211．求证：()12111A A 1A A m m m m n n n n m m m ----+++-=（n ，N m ∈，且2n m ≥>）．12．求证：(1)434778A 4A A +=；(2)11A A A m m m n n n m -++=．13．若332A 10A n n =，则n =（）A ．1B ．6C ．7D ．814．不等式2886x x A A -<⨯的解集为（）A ．{2，8}B ．{2，6}C ．{7，12}D ．{8}15．（1）解不等式：3221326x x x A A A +≤+；（2）解方程：4321140x x A A +=16．解下列方程或不等式．(1)1893A 4A x x -=(2)22A 2x x -+≥17．33333456C C C C +++=（）A ．35B ．56C ．70D ．8418．已知2A 30n =（*N n ∈，且2n ≥），则012C 2C C n n n ++=（）A ．28B ．42C ．43D ．5619．m 是自然数，n 为正整数，且1m n +≤，求证：11C C m m n n m n m++=-．20．证明下列各等式．(1)C m n ＝11m n ++11C m n ++；(2)01211121C C C C C m m n n n n m n m --+++-+++++= .21．已知363434C C x x -=，则x =（）A ．3或10B ．3C ．17D ．3或1722．若46C C n n >，则n 的取值集合是（）A ．{}6,7,8,9B ．{}6,7,8C ．{}*6,N|n n n ≥∈D ．{}7,8,923．解不等式188C 3C m m ->；24．解关于正整数x 的方程：(1)2551616C C x x x --=；(2)2332231C C 4x x x x x --++++=．25．二项式62x ⎫⎪⎭的展开式中常数项为（）A ．60-B ．60C ．210D ．210-26．在7(3的展开式中，3x 的系数为（）A ．21-B ．21C ．189D ．189-27．已知65x⎛ ⎝．(1)展开式中的中间一项；(2)展开式中常数项的值．28．已知在n的展开式中，第6项为常数项．(1)求n ；(2)求含2x 项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．29．62ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为－160，则a ＝（）A ．－1B ．1C ．±1D ．230．已知2nx ⎫⎪⎭的展开式中第3项是常数项，则n =（）A ．6B ．5C ．4D ．331．已知21n x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，第4项为10x -．(1)求正整数n 的值；(2)求21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数．32．在212nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，(1)若7n =，且第3项与第6项相等，求实数x 的值；(2)若第5项系数是第3项系数的10倍，求n 的值.33．若()()542x m x --的展开式中的3x 的系数为600-，则实数m =（）A ．8B ．7C ．9D ．1034．在()622x a x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数为120-，则该二项展开式中的常数项为（）A ．3204B ．160-C ．160D ．320-35．已知423401234(2)x a a x a x a x a x-=++++(1)求024a a a ++的值;(2)求4(1)(2)x x +-的展开式中含4x 的系数.36．已知21nax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中所有项的二项式系数和为128，各项系数和为1-.(1)求n 和a 的值；(2)求22112nx ax x x ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中的常数项.37．在325(351)x x -+的展开式中，5x 项的系数为（）A ．299B ．300C ．300-D ．302-38．设()22201221n n n x x a a x a x a x ++=++++ ，则0242n a a a a ++++= （）．A ．3n B ．32n C ．312n -D ．312n +39．求512x x ⎛+ ⎝的展开式的常数项．40．已知2521001210(32)x x a a x a x a x ++-++=+ .(1)求2a ；(2)求1210a a a +++ ；(3)求22024681013579()()a a a a a a a a a a a +++++-++++.参考答案：1．A【分析】根据题意，结合分类计数原理，即可求解.【详解】根据题意，由分类加法计数原理，不同的分派方案共有()m n +种.故选：A.2．D【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理列式计算作答.【详解】正方体的两个顶点确定的直线有棱、面对角线、体对角线，对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有21224⨯=（个）；对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个，不存在四个顶点确定的平面与体对角线垂直，所以正方体中“正交线面对”共有241236+=（个）.故选：D3．10个【分析】根据题意，由分类加法计数原理代入计算，即可得到结果.【详解】十位数字大于个位数字的两位数可以分成四类：十位为5，有51、52、53、54共4个；十位为4，有41、42、43共3个；十位为3，有31、32共2个；十位为2，只有21一个．根据加法原理，十位数字大于个位数字的两位数共有4＋3＋2＋1＝10个．4．(1)68(2)66【分析】利用分类加法计数原理进行求解【详解】（1）当所有频道播放的节目互不相同时，一台电视机选看的节目可分为3类：第一类，选看中央台频道的节目，有12个不同的节目；第二类，选看本地台频道的节目，有10个不同的节目；第三类，选看其他省市频道的节目，有46个不同的节目．根据分类加法计数原理，一台电视机共可以选看12104668++=个不同的节目．（2）因为有3个频道正在转播同一场球赛，即这3个频道转播的节目只有1个，而其余频道共有()1210463++-个正在播放互不相同的节目，所以一台电视机共可以选看()1121046366+++-=个不同的节目．5．B【分析】根据分步乘法计数原理进行计算即可.【详解】先从4个数中选1个排在百位，有4种；然后从剩下的3个数中选1个排在十位，有3种；最后从剩下的2个数中选1个排在个位，有2种；根据分步乘法计数原理可得组成无重复数字的三位数的个数为43224⨯⨯=.故选：B.6．B【分析】分析可知，每个人都有三种选择，利用分步乘法计数原理可得结果.【详解】甲、乙、丙、丁四位同学决定去黄鹤楼、东湖、汉口江滩游玩，每人只能去一个地方，每个人都有三种选择，则不同的游览方案种数为4381=种.故选：B.7．（1）43；（2）34；（3）34【分析】分别根据分步乘法计数原理求解即可.【详解】（1）每一名学生都有3种不同的报法，根据分步乘法计数原理，共有433333⨯⨯⨯=种不同的报名方法.（2）问题相当于把数学、物理、化学竞赛冠军分别安排给4名同学，根据分步乘法计数原理，共有34444⨯⨯=种不同的安排方法.（3）每一封信投入4个邮筒都有4种不同的投法，根据分步乘法计数原理，共有34444⨯⨯=种不同的投法.8．(1)100(2)180【分析】根据分步乘法原理，结合特殊位置法求解即可；【详解】（1）解：分3步：①先选百位数字，由于0不能作为百位数，因此有5种选法；②十位数字有5种选法；③个位数字有4种选法．所以，由分步计数原理知所求三位数共有5×5×4＝100个．（2）解：分3步：①先选百位数字，由于0不能作为百位数，因此有5种选法；②十位数字有6种选法；③个位数字有6种选法．所以，由分步计数原理知所求三位数共有5×6×6＝180个．9．D【分析】根据排列数计算即可；【详解】32545A 4A 5543443348+=⨯⨯⨯+⨯⨯=.故选：D.10．B【分析】用排列数公式展开，约分化简即可求解．【详解】54886599A A 876548765415A A 9876549876594927+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+===-⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯-.故选：B.11．证明见解析【分析】利用排列数计算公式化简计算等式左边即可得证.【详解】依题意，左边()()()()()()()()1!1!!1!11!12!n n n m m m n m n m n m --=+⋅+-⋅-------⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()()()1!11!!!!1!m n m m n n n m n m n m ⋅--⋅-=++--+-()()()()()()1!11!!1!n m n m m n n m n m +⋅--⋅-=+-+-()()()()()()()()()()()()11!11![11]1!1!1!1!n m n m n m m n n m n m m m n n m n m n m +-+⋅--⋅-+-++-⋅-=+=+-+-+-()()()()1(1)!1!1!1!n n n n n m n m +⋅-+==+-+-1A m n +==右边，所以原等式成立．12．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用排列数公式化简可证得等式成立；（2）利用排列数公式化简可证得等式成立.【详解】（1）证明：4347787!47!47!28!A 4A A 3!4!4!4!⨯⨯⨯+=+===.（2）证明：()()()()()()111!!1!!!A A A !1!1!1!m m m n n n n m n m n n n m n m n m n m n m n m -+-+⨯+⨯+⨯+=+===--+-+-+.13．D【分析】根据排列数公式，将已知条件展开，即可得出答案.【详解】由已知，3n ≥.因为()()()()32A 221224211n n n n n n n =--=--，()()3A 12n n n n =--.则由332A 10A n n =可得，()()()()42111012n n n n n n --=--，整理可得42510n n -=-，解得8n =.故选：D.14．D【解析】直接根据排列数公式展开，再解不等式，即可得答案.【详解】8!8!6(8)!(10)!x x <⨯--219840x x ∴-+<，解得：712x <<.又8,20x x ≤-≥，*78,x x N ∴<≤∈，即8x =.故选：D【点睛】本题考查排列数公式的计算、不等式求解，考查基本运算求解能力.15．（1）{}3,4,5；（2）3x =.【解析】（1）利用排列数公式可得出关于x 的不等式，结合x ∈N 且3x ≥可得出x 的取值集合；（2）由已知得出x ∈N 且3x ≥，根据排列数公式可得出关于x 的方程，进而可解得x 的值.【详解】（1）由题意可知，x ∈N 且3x ≥，因为()()312x A x x x =--，()211x A x x +=+，()21x A x x =-，所以原不等式可化为()()()()3122161x x x x x x x --≤++-，整理得()()3250x x --≤，所以，35x ≤≤，所以原不等式的解集为{}3,4,5；（2）易得2143x x x N +≥⎧⎪≥⎨⎪∈⎩，所以3x ≥，x ∈N ，由4321140x x A A +=得()()()()()212212214012x x x x x x x +⋅⋅--=--,整理得2435690x x -+=，即()()42330x x --=，解得3x =或234x =（舍去）.所以，原方程的解为3x =.【点睛】易错点点睛：本题考查排列数方程与不等式的求解，在解题时容易忽略参数的取值范围，从而导致求出不合乎要求的答案，所以在解题时，首先就可以根据组合数的定义得出参数的取值范围，进而列等式或不等式求解.16．(1)6x =(2){}*|4N x x ∈≥【分析】（1）根据排列数的计算公式化简已知条件，由此求得方程的解.（2）根据排列数的计算公式化简已知条件，由此求得不等式的解集..【详解】（1）由于1893A 4A x x -=，所以()()38!49!8!10!x x ⨯⨯=--，整理得219780x x -+=，解得6x =或13x =（舍去）.（2）由于22A 2x x -+≥，所以()()232x x x --+≥，整理得()220x -≥，由于22x -≥，所以4x ≥，所以不等式的解集为{}*|4N x x ∈≥.17．A【分析】根据组合数性质化简，再应用组合数公式计算即可.【详解】3333333333345645656444445667C C C C C C C C C C C =C =C C =+++=++++++ ,477654==3512C 34⨯⨯⨯⨯⨯⨯ ,33333456C C C C 35∴+++=.故选：A.18．A【分析】先根据排列数得出n ,再计算组合数即可.【详解】()()()22*A 130,30650,N 6n n n n n n n n n =-=--=-+=∈∴= ,01201266665C 2C C C 2C C =1+26+=1+12+15=282n n n ⨯++=++⨯.故选:A.19．证明见解析【分析】利用组合数公式计算即可得到本题答案.【详解】根据组合数公式，可以得到()()()111!!C C 1!1!!!m m n n m m n n n m n m m n m m n m +++=⋅==--+---．20．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）直接利用组合数的阶乘公式对右边化简即可得到证明；（2）利用组合数的性质公式11C C C m m m n n n -+=+和001C C n n +=，对右边化简即可得到证明.【详解】（1）由!C ()!!m n n n m m =-，知右边[]1(1)!!C 1(1)(1)!(1)!()!!m n m n n n n m m n m m ++=⋅=++-++-所以，左边=右边，故原式成立．（2）由组合数的性质11C C C m m m n n n -+=+，知左边01211211121221C C C C C C C m m n n n n m n n n m --++++-+++-=++++=+++ 21131C C C m m n n m n m--++-+=++= 所以，左边=右边，故原式成立．21．A【分析】根据组合数的性质求解即可【详解】因为363434C C x x -=，故36x x =-或3634x x -=+，即3x =或10x =故选：A22．A【分析】根据组合数的运算公式及性质化简不等式求其解集即可.【详解】∵46C C n n >，∴()()!!4!4!6!6!6n n n n n ⎧>⎪⨯-⨯-⎨⎪≥⎩即29100,n n ⎧--<⎨解得610n ≤<.∵*N n ∈，∴6,7,8,9n =.∴n 的取值集合为{}6,7,8,9.故选：A.23．{}78，【分析】根据给定条件利用组合的意义及组合数计算公式化简不等式，再解不等式即可.【详解】在不等式188C 3C m m ->中，0≤m -1≤8，且0≤m ≤8，m ∈N ，即有1≤m ≤8，m ∈N ，原不等式化为：()()()8!38!1!9!!8!m m m m ⨯>---，即139m m>-，解得274m >，则m =7或8，所以不等式的解集为{}78，.24．(1)1x =或3x =(2)6x =【分析】（1）（2）根据组合数的性质以及公式即可求解.【详解】（1）x 为正整数，由2551616C C x x x --=可得255x x x -=-或25516x x x -+-=，故2650x x -+=或24210x x +-=，解得1x =或5x =或3x =或7x =-（舍去），又2,55x x x --均为整数，且2016,05516x x x ≤-≤≤-≤，所以1x =或3x =符合要求，5x =不符合要求，故1x =或3x =（2）由组合数的性质可得24352222=,C C C C x x x x x x --++++=，455223C C C x x x +++=+所以由2332231C C 4x x x x x --++++=可得53331C A 4x x ++=，进而可得()()()()()3!3!11111305!2!4!5!41x x x x x x x x ++=⇒=-=--，解得6x =或5x =-（舍去），由于20303020x x x x +>⎧⎪+>⎪⎨-≥⎪⎪-≥⎩，所以3x ≥，故只取6x =，5x =-舍去，25．B【详解】展开式的通项为()611216=C 2k kk k T x x --+骣琪-琪桫，所以()()161022k k k ´-+-´=Þ=，常数项为()2665C 24602k ´-=´=，故选：B.26．B【分析】利用二项展开式的通项公式可得解.【详解】由二项展开式的通项公式得11772277C 3()C 3(1)r r r r r r x x ---=-，令132r =得6r =，所以3x 的系数为667C 3(1)21-=.故选：B.27．(1)322500x -(2)375【分析】（1）先求出展开式的通项，再求其第4项即可.（2）令展开式的通项中x 系数为零，解出r ，再代入通项求解即可.【详解】（1）65x⎛⎫ ⎪⎝⎭展开式的通项为()()36662166C 5C 51r r r r r r r r T x x ---+⎛=-=⋅⋅-⋅ ⎝，0,1,2,,6r = ，展开式一共7项，中间一项为第4项，3r =，()9363332246C 512500T x x -=⋅⋅-⋅=-.（2）令3602r -=，解得4r =.()442056C 51375T x =⋅⋅-⋅=，故展开式中常数项的值375.28．(1)10；(2)405；(3)()222103C x ⋅-⋅，()55103C ⋅-，()882103C x -⋅-⋅.【分析】()1利用二项展开式的通项公式求出通项，令=5r 时x 的指数为0，即可得出结果；()2将n 的值代入通项，令x 的指数为2，即可求出结果；【详解】（1）解：通项公式为()()2333133n r rn r r r r r r n n T C x x C x ---+=⋅⋅-⋅=-⋅⋅.因为第6项为常数项，所以=5r 时，有203n r -=，解得10n =.（2）解：由()1可知10n =，令223n r -=，解得2r =.所以含2x 项的系数为()22103405C -⋅=.（3）解：由题意可知，1023010r Zr r N -⎧∈⎪⎪≤≤⎨⎪∈⎪⎩，则r 可能的取值为2，5，8.所以第3项，第6项，第9项为有理项，分别为()222103C x ⋅-⋅，()55103C ⋅-，()882103C x -⋅-⋅.29．B【分析】写出该二项展开式的通项公式，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得常数项，再根据常数项等于-160求得实数a 的值.【详解】62ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式通项为62166662()(06),2)(r r r r r rr r T C ax C x r r N x a +---=-⎛⎫=-≤≤∈ ⎪⎝⎭，∴令620r -=，解得3r =，∴62ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项为366336346(266)1010T C x a a --==-=--，∴31a =∴1a =故选：B.30．A【分析】求出()3212C n k k k k n T x-+=-，解方程602n -=即得解.【详解】解：2n x ⎫-⎪⎭的展开式的通项()3212C n k k k k n T x -+=-，当2k =时，()62223212C n n T T x-+==-则602n -=，解得6n =．故选：A31．(1)5【分析】（1）由二项式定理求得第4项，由已知第4项的系数与指数列方程组可得；（2）写出展开式通项公式，确定4x 所在项数，从而得结论．【详解】（1）21n x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，第4项为()33323291n n n n C x C x x --⎛⎫⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，可得310291n C n ⎧-=-⎨-=⎩，解得5n =，故正整数n 的值为5．（2）21n x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中第1r +项为()()5210315511r r r r r r r T C x C x x --+⎛⎫=⨯⨯-=⨯⨯- ⎪⎝⎭，其中0r =，1，2，3，4，5，令1034r -=，可求得2r =，故21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的4x 的系数为()425110C -⨯=．32．(2)8【分析】（1）当7n =时，求得展开式的通项314172C r r r r T x -+=⋅，根据题意列出方程，即可求解；（2）求得展开式的通项31412C r r r r n T x -+=⋅，根据题意，得到方程44222C 102C n n ⋅=⨯⋅，结合组合数的计算公式，即可求解.【详解】（1）解：当7n =时，可得7212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项73141277C ()(2)21C r r r r r r r T x x x --+=⋅=⋅，令2r =，可得228372C T x -=⋅，令=5r ，可得55672C T x =⋅，因为第3项与第6项相等，可得22855772C 2C x x -⋅=⋅，解得2x =.（2）解：由二项式212nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项731124C ()(21)2C r r r r r r r n n T x x x --+=⋅=⋅，可展开式中第5项的系数为442C n ⋅，第3项的系数为222C n ⋅，因为第5项系数是第3项系数的10倍，可得44222C 102C n n ⋅=⨯⋅，即422C 5C n n ⋅=⋅，即(1)(2)(3)(1)25432121n n n n n n ----⨯=⨯⨯⨯⨯⨯，可得25240n n --=，解得8n =或3n =-（舍去），所以n 的值为8.【分析】求出()52x -展开式的通项公式，进而根据3x 的系数得到方程，求出答案.【详解】由题意知，()52x -展开式的通项公式为()55C 2rr r x --，故3x 的系数为()()3232554C 2C 232040600m m ⨯---=--=-，解得7m =.故选：B ．34．D【分析】根据二项式定理即可求解.【详解】62x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为6621662C C 2k k k k k k k T x x x --+⎛⎫=⋅⋅⋅ =⋅⎪⎝⎭，若672112C 2kk k k T x x -++⋅=⋅⋅由N k ∈，得722k -≠不成立，若6621C 2k k k k a T a x-+⋅=⋅⋅令622k -=，解得2k =则226C 260120a a ⋅==-解得2a =-因为720k -≠，在12k T +-中，令620k -=，解得3k =，所以展开式中的常数项为3632C 2320-⋅=-.故选：D35．(1)41；(2)7-.【分析】（1）利用赋值法列式计算作答.（2）求出二项式4(2)x -展开式的通项公式，再分情况求解作答.【详解】（1）在423401234(2)x a a x a x a x a x -=++++中，令1x =时，012341a a a a a ++++=，当1x =-时，401234381a a a a a -+-+==，两式相加得02441a a a ++=，所以024a a a ++的值是41.于是4(1)(2)x x +-的展开式中含4x 的项为131********C (2)C (2)7xT T x x x x +=⋅-+-=-，所以4(1)(2)x x +-的展开式中含4x 的系数是7-.36．(1)72n a =⎧⎨=-⎩(2)448【分析】（1）根据结论得到方程组2128(1)1n n a ⎧=⎨+=-⎩，解出即可；（2）首先对原式整理为()()72221211222nx ax x x x x x x --⎛⎫⎛⎫-+=--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，写出()7212x x --+展开式的通项，再求出其常数项即可得到答案.【详解】（1）∵由条件可得2128(1)1n n a ⎧=⎨+=-⎩，∴解得72n a =⎧⎨=-⎩.（2）()()72221211222nx ax x x x x x x --⎛⎫⎛⎫-+=--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.∵()7212x x --+展开式的通项为：()()()7721143177C 2C 2k k k k k k k T x x x ----+=-=-.∴①当1431k -=-即5k =时，()25172C 2168x x-⋅-=；②当1432k -=即4k =时，()32427C 2280x x --⋅-=；∴所求的常数项为168280448+=.37．C【分析】根据给定条件，利用组合应用问题列式求出5x 项的系数.【详解】325(351)x x -+的展开式中，5x 项是从5个多项式32351x x -+中任取1个用33x ，再余下4个多项式中任取1个用25x -，最后3个多项式都用1相乘的积，即13123554C 3C (5)1300x x x ⋅⋅-⋅=-，所以5x 项的系数为300-.故选：C【分析】()22201221n n n x x a a x a x a x ++=++++ 中，分别令1x =和=1x -，将所得两个方程相加即可得到结果．【详解】在()22201221n n n x x a a x a x a x ++=++++ 中，令1x =，得012323n n a a a a a =+++++ ，令=1x -，得012321n a a a a a =-+-++ ，∴()()012320123231n n n a a a a a a a a a a +=++++++-+-++ ，∴31n +()02422n a a a a =++++ ，∴0242n a a a a ++++= 312n +．故选：D ．39【分析】方法一：551122x x x x ⎡⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣，利用二项式定理展开，并依次求解展开式中的每项的常数项，再求和即可得答案；方法二：原式(105132x x =+，进而求解(10x 的展开式中含5x 的项的系数即可得答案.【详解】解：方法一：由二项式定理得555401551111C C 2222x x x x x x x x ⎡⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=⋅++⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣322323455555111C C C C 222x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．其中为常数项的有4151C 2x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭3项：212541C C 2⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭23351C 2x x ⎛⎫⋅+⋅ ⎪⎝⎭中的第2项：331521C C 2⨯⨯；展开式的最后1项：555C ⨯．综上可知，常数项为23512315545251163C C C C C 222⎛⎫⨯⨯⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭．方法二：原式()(52510255211223232x x x x x x ⎛⎫++==⋅++=+ ⎝⎭．求原式中展开式的常数项，转化为求(10x 的展开式中含5x 的项的系数，即5510C ⋅．所以所求的常数项为5510322C ⋅=．故答案为：2【点睛】易错警示：解决三项式问题有两种方法：方法一，反复利用二项式定理，先把三项式中的某两项视为一项，用二项式定理展开，再利用二项展开式求解．方法二，转化为二项式．常见的有两种转化形式：三项式恰好是二项式的平方，则可转化为二项式定理求解；三项式可分解因式，则可转化为两个二项式的积的形式．利用二项式定理求特定项，注意题型的变化．40．(1)800；(2)32-；(3)0.【分析】（1）利用多项式乘法法则，结合组合应用问题列式计算作答.（2）利用赋值法计算作答.（3）变形计算表达式，再利用赋值法计算作答.【详解】（1）在25(32)x x -+展开式中，含2x 的项为124422332225453C C 2C (3)C 280720800x x x x x ⋅+-⋅=+=，所以2800a =.（2）令2521001210()(32)f x x x a a x a x a x -+=++++= ，当0x =时，50(0)232a f ===，当1x =时，01210(1)0a f a a a ++++== ，所以1210(1)(0)32f a a a f +=-++=- .（3）22024681013579()()a a a a a a a a a a a +++++-++++01210012130()()(1)(1)a a a a a a a a a f f =++-=⋅+++-++- .因为(1)0f =，所以(1)(1)0f f ⋅-=，故22024681013579()()0a a a a a a a a a a a +++++-+++=+。
计数原理试题汇总
计数原理常考要点与核心问题排列组合解排列组合题的基本思路：将具体问题抽象为排列组合问题，是解排列组合应用题的关键一步对“组合数”恰当的分类计算是解组合题的常用方法；是用“直接法”还是用“间接法”解组合题，其前提是“正难则反”；解排列组合题的基本方法：优限法：元素分析法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；排异法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉．分类处理：某些问题总体不好解决时，常常分成若干类，再由分类计数原理得出结论；注意：分类不重复不遗漏．分步处理：对某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决；在解题过程中，常常要既要分类，以要分步，其原则是先分类，再分步．插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间．捆绑法：把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列．穷举法：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来；这种方法常用于方法数比较少的问题．解决计数(查数)问题的核心思想1数(shǔ)2乘法，加法原理3容斥原理(加法原理的推广)4找对应命题规律排列组合的知识在高考中经常以选择题或填空题的形式出现，难度属中等．二项式定理要求掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问题．对二项式定理的考查主要有以下两种题型：1．求二项展开式中的指定项问题：方法主要是运用二项式展开的通项公式；2．求二项展开式中的多个系数的和：此类问题多用赋值法；要注意二项式系数与项的系数的区别；命题规律历年高考二项式定理的试题以客观题的形式出现，多为课本例题、习题迁移的改编题，难度不大，重点考查运用二项式定理去解决问题的能力和逻辑划分、化归转化等思想方法．为此，只要我们把握住二项式定理及其系数性质，会把实际问题化归为数学模型问题或方程问题去解决，就可顺利获解．*我们在证明二项式展开式时用到了一个有关多项式的结论，希望大家注意：几个多项式相乘得到一个多项式，在合并同类项前，所得的多项式中的每一项是从每个因子多项式中取出一项后所作的乘积即要生成多项式中的一项，只需要从每个因子多项式中取出一项，再将所得项作乘积.基础篇10全国 I (6)某校开设A 类选修课3门，B 类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有A ．30种B ．35种C ．42种D ．48种考点：分类计数原理、组合知识规律方法：分类讨论解析：可分以下2种情况：(1)A 类选修课选1门，B 类选修课选2门，有2413C C 种不同的选法；(2)A 类选修课选2门，B 类选修课选1门，有1423C C 种不同的选法.所以不同的选法共有14232413C C C C +301218=+=种. 答案：A(09 北京理)用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为( )A ．324B ．328C ．360D ．648考点：排列组合知识以及分类计数原理和分步计数原理知识. 属于基础知识、基本运算的考查.规律方法：先考虑有限制的元素和位置，分类讨论或者采用间接法求解解析：法1：首先应考虑“0”是特殊元素，当0排在末位时，有728929=⨯=A (个)，当0不排在末位时，有256884181814=⨯⨯=⋅⋅A A A (个)，于是由分类计数原理，得符合题意的偶数共有32825672=+(个).法2：采用间接法，三个数字没有重复组成偶数为360895181915=⨯⨯=⋅⋅A A A ，再考虑首位是零的情况，32841814=⨯=⋅A A ，360-32=328.答案：B10 全国II (6)将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有A ．12种B ．18种C ．36种D ．54种考点：排列组合知识.解析：标号1，2的卡片放入同一封信有13C 种方法；其他四卡片放入两个信封，每个信封两个有222224A A C 种方法，13C 1824=⋅C ，共有18种． 答案：B10 北京 4，8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法总数为A ．2988A AB ．2988C A C ．2788A AD ．2788C A 考点：排列组合规律方法：插空法解析：基本的插空法解决的排列组合问题，将所有学生先排列，有88A 种排法，然后将两位老师插入9个空中，共有29A 种排法，因此一共有2988A A 种排法．答案：B10 湖北8现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜四项工作，则不同安排方案的种数是A ．152B ．126C ．90D ．54考点：分类记数原理规律方法：特殊位置优先考虑，打捆法解析：分类讨论：若有2人从事司机工作，则方案有183323=⨯A C ；若有1人从事司机工作，则方案有108332413=⨯⨯A C C 种，所以共有18＋108＝126种 答案：B10 全国 I (5)()()533121x x -+的展开式中x 的系数是（答案有错）A ．－4B ．－2C ．2D ．4考点：本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况，尤其是展开式的通项公式的灵活应用，以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数，同时也考查了考生的一些基本运算能力.解析：()()533121xx -+()()53181261x x x x x -+++= 故()()533121x x -+的展开式中含x 的项为()33351x C -⨯＋0512C x ⋅x 10-=x 12+=x 2，所以x 的系数为2.答案：C10全国 II (14)若9⎪⎭⎫ ⎝⎛-x a x 的展开式中3x 的系数是－84，则=a _________．考点：本试题主要考查二项展开式的通项公式和求指定项系数的方法.解析：该二项展开式的通项公式为99()r r r a C xx --，即929()r r r C x a --，所以展开式中3x 的系数是()84843339-=-=-a a C ，1=∴a .答案：110湖北 11．在()2043y x +展开式中，系数为有理数的项共有_______________项.考点：二项展开式的通项公式和求指定项系数方法的灵活运用 解析：二项式展开式的通项公式为()()r r r r r r r r y x C y x C T --+==2042042020133()200≤≤r 要使系数为有理数，则r 必为4的倍数，所以r 可为0、4、8、12、16、20共6种，故系数为有理数的项共有6项.答案：610江西6．()82x -展开式中不含．．4x 项的系数的和为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2考点：二项式定理和二项展开式的性质，考查实践意识和创新能力规律方法：赋值法解析：正难则反．4x 项是最高项，其系数为1；采用赋值法，令x ＝1得：系数和为1，减去4x 项系数()1128088=-C 即为所求，答案为0 答案：B .10四川 (13)6312⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 的展开式中的第四项是_________ 考点：二项式定二项展开式的通项公式和求指定项的求法 解析：x x C T 16012333364-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-= 答案：—x160（负号没念） 提高篇10江西 14．将6位志愿者分成4组，其中两个各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有_______种(用数字作答)．考点：分类计数原理平均分组分配问题规律方法：归转化和应用知识解析：先分组，考虑到有2个是平均分组，得两个两人组222426A C C 两个一人组221112A C C ，再全排列得：222426A C C 221112A C C ⋅44A ⋅＝1080． 答案：108010广东 8．为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装了5个彩灯，他们闪亮的顺序不固定，每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同.记这5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁，在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒，如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是A ．1205秒B ．1200秒C ．1195秒D ．1190秒考点：排列组合基本排列公式与计数方法。
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计数原理常考要点与核心问题排列组合解排列组合题的基本思路：将具体问题抽象为排列组合问题，是解排列组合应用题的关键一步对“组合数”恰当的分类计算是解组合题的常用方法；是用“直接法”还是用“间接法”解组合题，其前提是“正难则反”；解排列组合题的基本方法：优限法：元素分析法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；排异法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉．分类处理：某些问题总体不好解决时，常常分成若干类，再由分类计数原理得出结论；注意：分类不重复不遗漏．分步处理：对某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决；在解题过程中，常常要既要分类，以要分步，其原则是先分类，再分步．插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间．捆绑法：把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列．穷举法：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来；这种方法常用于方法数比较少的问题．解决计数(查数)问题的核心思想1数(shǔ)2乘法，加法原理3容斥原理(加法原理的推广)4找对应命题规律排列组合的知识在高考中经常以选择题或填空题的形式出现，难度属中等．二项式定理要求掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问题．对二项式定理的考查主要有以下两种题型：1．求二项展开式中的指定项问题：方法主要是运用二项式展开的通项公式；2．求二项展开式中的多个系数的和：此类问题多用赋值法；要注意二项式系数与项的系数的区别；命题规律历年高考二项式定理的试题以客观题的形式出现，多为课本例题、习题迁移的改编题，难度不大，重点考查运用二项式定理去解决问题的能力和逻辑划分、化归转化等思想方法．为此，只要我们把握住二项式定理及其系数性质，会把实际问题化归为数学模型问题或方程问题去解决，就可顺利获解．*我们在证明二项式展开式时用到了一个有关多项式的结论，希望大家注意：几个多项式相乘得到一个多项式，在合并同类项前，所得的多项式中的每一项是从每个因子多项式中取出一项后所作的乘积即要生成多项式中的一项，只需要从每个因子多项式中取出一项，再将所得项作乘积.基础篇10全国 I (6)某校开设A 类选修课3门，B 类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 A ．30种 B ．35种 C ．42种 D ．48种考点：分类计数原理、组合知识 规律方法：分类讨论解析：可分以下2种情况：(1)A 类选修课选1门，B 类选修课选2门，有2413C C 种不同的选法；(2)A 类选修课选2门，B 类选修课选1门，有1423C C 种不同的选法.所以不同的选法共有14232413C C C C +301218=+=种.答案：A(09 北京理)用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为( ) A ．324 B ．328 C ．360 D ．648考点：排列组合知识以及分类计数原理和分步计数原理知识. 属于基础知识、基本运算的考查.规律方法：先考虑有限制的元素和位置，分类讨论或者采用间接法求解解析：法1：首先应考虑“0”是特殊元素，当0排在末位时，有728929=⨯=A (个)， 当0不排在末位时，有256884181814=⨯⨯=⋅⋅A A A (个)，于是由分类计数原理，得符合题意的偶数共有32825672=+(个).法2：采用间接法，三个数字没有重复组成偶数为360895181915=⨯⨯=⋅⋅A A A ，再考虑首位是零的情况，32841814=⨯=⋅A A ，360-32=328.答案：B10 全国II (6)将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有 A ．12种 B ．18种 C ．36种 D ．54种 考点：排列组合知识.解析：标号1，2的卡片放入同一封信有13C 种方法；其他四卡片放入两个信封，每个信封两个有222224A A C 种方法，13C 1824=⋅C ，共有18种．答案：B10 北京 4，8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法总数为A ．2988A A B ．2988C AC ．2788A AD ．2788C A考点：排列组合 规律方法：插空法解析：基本的插空法解决的排列组合问题，将所有学生先排列，有88A 种排法，然后将两位老师插入9个空中，共有29A 种排法，因此一共有2988A A 种排法．答案：B10 湖北8现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜四项工作，则不同安排方案的种数是 A ．152 B ．126 C ．90 D ．54考点：分类记数原理规律方法：特殊位置优先考虑，打捆法解析：分类讨论：若有2人从事司机工作，则方案有183323=⨯A C ；若有1人从事司机工作，则方案有108332413=⨯⨯A C C 种，所以共有18＋108＝126种答案：B10 全国 I (5)()()533121x x -+的展开式中x 的系数是（答案有错）A ．－4B ．－2C ．2D ．4 考点：本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况，尤其是展开式的通项公式的灵活应用，以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数，同时也考查了考生的一些基本运算能力.解析：()()533121xx -+()()53181261x x x x x -+++=故()()533121x x -+的展开式中含x的项为()33351xC -⨯＋0512C x ⋅x 10-=x 12+=x 2，所以x 的系数为2.答案：C10全国 II (14)若9⎪⎭⎫ ⎝⎛-x a x 的展开式中3x 的系数是－84，则=a _________．考点：本试题主要考查二项展开式的通项公式和求指定项系数的方法.解析：该二项展开式的通项公式为99()r rr a C xx--，即929()r r r C x a --，所以展开式中3x 的系数是()84843339-=-=-a a C ，1=∴a .答案：110湖北 11．在()2043yx +展开式中，系数为有理数的项共有_______________项.考点：二项展开式的通项公式和求指定项系数方法的灵活运用解析：二项式展开式的通项公式为()()r rrr rrr r y xC y xC T --+==2042042020133()200≤≤r 要使系数为有理数，则r 必为4的倍数，所以r 可为0、4、8、12、16、20共6种，故系数为有理数的项共有6项.答案：610江西6．()82x -展开式中不含．．4x 项的系数的和为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2考点：二项式定理和二项展开式的性质，考查实践意识和创新能力 规律方法：赋值法解析：正难则反．4x 项是最高项，其系数为1；采用赋值法，令x ＝1得：系数和为1，减去4x 项系数()112888=-C 即为所求，答案为0答案：B .10四川 (13)6312⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 的展开式中的第四项是_________ 考点：二项式定二项展开式的通项公式和求指定项的求法解析：x x C T 16012333364-=⎪⎭⎫⎝⎛-= 答案：—x160（负号没念） 提高篇10江西 14．将6位志愿者分成4组，其中两个各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有_______种(用数字作答)． 考点：分类计数原理平均分组分配问题 规律方法：归转化和应用知识解析：先分组，考虑到有2个是平均分组，得两个两人组222426A C C 两个一人组221112A C C ，再全排列得：222426A C C 221112A C C ⋅44A ⋅＝1080． 答案：108010广东 8．为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装了5个彩灯，他们闪亮的顺序不固定，每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同.记这5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁，在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒，如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是A ．1205秒B ．1200秒C ．1195秒D ．1190秒 考点：排列组合基本排列公式与计数方法。
解析：需要的时间至少，即每一种闪烁没有重复的灯，一共有55A =5!共120种闪烁.每次闪烁时间5秒，共5×120＝600s ，每两次闪烁之间的间隔为5s ，共5×(120－1)＝595s ．总共就有600＋595＝1195s ．答案：C10浙江 (17)有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复. 若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人.则不同的安排方式共有______________种(用数字作答).考点：本题主要考察了排列与组合的相关知识点规律方法：分类讨论思想和数学思维能力，属较难题 解析：方法1：上午测试安排有44A 种方法，下午测试分为(1)若上午测试“台阶”的同学下午测试“握力”，其余三位同学有2种方法测试；(2)若上午测试“台阶”的同学下午不测“握力”，则有13C 种，其余三位同学选一人测“握力”，有13C 种方法，则共有9种方法，因此测试方法共有()2649244=+⋅A 种，当然，利用容斥原理可以给出更简洁的计算方法方法2：容斥原理：设k A ，k ＝1，2，…，n 为n 个有限集合，|A |表示集合A 的元素个数则这n 个集合的并集满足： ()k nk kj i n k j iji j ink kk nk A A A A A A A A 11111=<<->==∑∑∑-+++-=I ΛI IIY其中，当n ＝2时，上一公式就是B A B A B A I Y -+= 当n ＝3时，上一公式就是：()C B A C B C A B A C B A C B A I I I I I Y Y +++-++=解释一下：这一公式的意思就是n 个集合并的元素个数＝n 个集合元素个数之和(这时肯定算多了，要减一下)－n 个集合中两两交集的个数和(这时又减多了，要加一下)＋n 个集合中三三相交的所有交集元素个数之和……(仿此继续，知道所有集合的交集)如果不理解，可以先看n ＝2和n ＝3时的特殊情形.如右图，将测试项目标号为1，2，3，4，5.对于甲乙丙丁四位同学，上下午不能测试相同的项目上午测试项目安排好后(共有44A 种方法)，安排下午的测试.此时，可以设上午甲测试1，乙测试2，丙测试3，丁测试4下午测试安排的方法种数为x ，(这里要求下午甲不测试1.乙不测试2，丙不测试3)x ＝44A (下午测试项目的全排)－33A (下午甲测试1的安排法数)－33A (下午测试2的安排法数)－33A (下午丙测试3的安排法数)＋22A (下午甲测试1且乙测试2的安排法数)＋22A (下午甲测试1且丙测试3的安排法数)＋22A (下午乙测试2。