阻尼振动受迫振动共振
大学物理学-阻尼振动与受迫振动
v
弹性力
粘滞阻力: f r v
粘滞阻力
x
dx
d 2x
kx
m 2
dt
dt
令k / m 0 , / m 2
2
d2x
dx
2
2
0 x 0
2
dt
dt
大学物理学
k （固有频率）
0
m
（阻尼系数）
2m
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4.3 阻尼振动与受迫振动
4.3 阻尼振动与受迫振动
一、 阻尼振动
振幅随时间减小的振动叫阻尼振动。
形成阻尼振动的原因：
振动系统受摩擦、粘滞等阻力作用，造成热损耗；
振动能量转变为波的能量向周围传播或辐射。
大学物理学
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4.3 阻尼振动与受迫振动
1. 阻尼振动的微分方程
弹性力:
F kx
(以液体中的水平弹簧振子为例)
阻尼＝0
阻尼较小
pr 02 2 2
阻尼较大
共振振幅 :
Ar
大学物理学
f0
2 02 2
O
p
0
共振曲线
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4.3 阻尼振动与受迫振动
2. 速度共振
受迫振动的速度的振幅出现极大值的现象
v pA sin( pt )
大学物理学
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r
d2x
k
x0
2
2
dt
m J r
17.3 阻尼振动与阻尼受迫振动
2
2 特征方程： 特征方程： λ 2 + 2 βλ + ω0 = 0
x(t ) = A0 e
−β t
cos (ω t + ϕ0 )
2
7 第17章 振 动
π Aω cos(ω t + ϕ + π ) + 2 β Aω cos(ω t + ϕ + ) 2 + ω 02 A cos(ω t + ϕ ) = h cos ω t
2
当ϕ = 0
2 h2 = (2β Aω )2 + (ω0 A − ω 2 A)2
A ω
2
2 β Aω
2 0
β = γ / 2m ω02 = k / m
3. 振动表达式和振动曲线 如果能振动起来（欠阻尼情况） 如果能振动起来（欠阻尼情况） 上述方程的解是什么形式呢？ 上述方程的解是什么形式呢？
2 第17章 振 动
d x dx 2 + 2β + ω0 x = 0 2 特征根为： 特征根为： λ = − β ± β 2 − ω0 dt 2 dt
2
2
ω共振 = ω − 2β
2 0
2
的情况下， 在弱阻尼即β << ω 0的情况下， 弱阻尼即
当ω = ω 0 时，
系统的振动速度和振幅都达到最大值 — 共振 共振现象 •普遍 普遍 •有利有弊 有利有弊 •160年前 拿破仑入侵西班牙 桥塌 年前 •几十年后 圣彼德堡卡坦卡河 几十年后 •1940年 美国 桥 大风 流速 年
阻尼振动受迫振动共振
2 0
2
x 阻尼振动位移时间曲线
A
Ae t
Aet cost
O
T A
t ( 0)
3
* 6– 6 阻尼振动 受迫振动 共振
三种阻尼的比较
(a)欠阻尼
2 0
2
(b)过阻尼
2 0
2
(c)临界阻尼
2 0
2
x
b
oc
t
a
4
* 6– 6 阻尼振动 受迫振动 共振
二 受迫振动
m d2 x C dx kx F cos t
dt 2 dt
p
驱动力
k
0
m
2 C m f F m
d2x dt 2
2
dx dt
2 0
x
f
cospt
5
* 6– 6 阻尼振动 受迫振动 共振
d2x dt 2
2
dx dt
2 0
x
f
cospt
驱动力的 角频率
（2）速度共振(速度振幅取极值)
vm B
f
(2 02 )2 4 22
共振频率 : 0
共振速度振幅 :
vm
f
2
9
* 6– 6 阻尼振动 受迫振动 共振
• 160年前 拿破仑入侵西班牙 桥塌 • 几十年后 圣彼德堡卡坦卡河 • 1940年 美国 桥 大风 流速
10
x
A et 0
cos(t
)
Acos(pt
)
A
f
阻尼振动与受迫振动教案
三、共振的危害与应用
1、共振的危害与防止
例1、（图片说明）１８世纪中叶，法国昂热市附近一座长102m的桥，因一队骑兵在桥上经过。他们在指挥官的口令下迈着整齐的步伐过桥，引起桥梁共振，桥梁突然断裂，造成２２６名官兵和行人丧生。此后，各国都规定大队人马过桥，要便步通过。
例3、（图片说明）微波炉：微波炉加热食品时,炉内有很强的交变电磁场,它使得食物分子中的带电微粒做受迫振动.由于分子间的相互作用,振动的能量最终成为食物分子热运动的动能,提高了食物的温度。
四、思考
对于一个振动系统，如果其位移做的是一个无阻尼简谐振动，则其速度的运动也是简谐振动。
在受迫振动中，位移也在做一个类似于简谐振动的周期性振动
3、知道共振的应用和防止的实例。
教学重点
1、什么是阻尼振动以及阻尼振动的特点。
2、什么是受迫振动，什么是共振及共振产生的条件。
教学难点
1、简谐振动、阻尼振动及受迫振动的区别。
2、共振发生的条件。
教学方法
1、多媒体课件与黑板板书相结合。
2、图片举例，了解共振的应用和防止；
3、实际演示，了解阻尼振动的特点及共振现象。
振动方程
振动特点
特征量
无阻尼简谐振动
等幅振动
机械能守恒
初始条件
系统自身性质
阻尼振动
减幅振动
能量不断衰减
初始条件
阻尼因子
系统自身性质
受迫振动
等幅振动，
需要外界不断补充能量
与策动力的幅值、
频率及阻尼因子有关
1、在张紧的水平绳上挂7个单摆，先让D摆振动起来，其余各摆也随之振动，已知A、D、G三摆的摆长相同，则下列判断正确的是
5-5阻尼振动 受迫振动 共振
两项都衰减，都不是周 期振动（如单摆放在粘 滞的油筒中摆到平衡位 置须很长时间）。
不能往复运动。
o
7
t
5-5* 阻尼振动 受迫振动 共振
第五章 机械振动
3.临界阻尼振动
0
2 ( 2 0 )t
由通解
x c1e
c2e
2 ( 2 0 )t
2 02 0
乐器、收音机…… 共振现象的危害:马达底座共振……
16
5-5* 阻尼振动 受迫振动 共振
第五章 机械振动
小号发出的声波足以使酒杯破碎
17
5-5* 阻尼振动 受迫振动 共振
第五章 机械振动
共振现象的危害
1940 年华盛顿的塔科 曼悬索大桥建成
同年7月的一场大风引 起桥的共振使桥摧毁
本节 18 结束
通解 三
x c1e
2 ( 2 0 )t
c2e
2 ( 2 0 )t
三种阻尼振动
1.欠阻尼振动—阻尼很小
0
2 0 2
2
2 0
为虚数，令
通解
xe
t
(c1e
it
c2e
it
)
3
i 1
5-5* 阻尼振动 受迫振动 共振
5-5* 阻尼振动 受迫振动 共振
第五章 机械振动
一 阻尼振动
简谐振动是无阻尼的自由振动，无能量损失，振 幅不变。
阻尼：消耗振动系统能量的原因。
在流体中运动的物体受到的阻力称为粘滞力。 当物体低速运动时，阻力
f r v
：阻力系数
弹簧、单摆振动过程，受到的空气阻力与速度成正 比且反向。 当物体高速运动时，阻力
阻尼振动 受迫振动 共振
阻尼振动
受迫振动
共振
一、无阻尼振动（等幅振动） 所有的简谐振动都是无阻尼振动.
二、阻尼振动（减幅振动）
dx 阻力: f dt
dx F合 F弹力 f kx dt
d x dx m 2 kx dt dt
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2
d 2 x dx k x0 2 dt m dt m
阻尼振动中欠阻尼情况下的解
A
h 2 2 2 4 2 2 0
1 2
2 arctan 2 2 0
上页 下页
四、共振 1、共振：受迫振动的振幅达到最大值的现象叫共振.
2 2 2、条件： r 0 2
弱阻尼情况下:
0
k 令 m
2 0
2
2
m
——阻尼振动的微分方程
d x dx 2 2 0 x 0 2 dt dt
1、 0
阻尼作用较小——欠阻尼
t
x A0e
cos( t )
上页 下页
x
A
O
t
A
上页
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2、 0
阻尼作用较大——过阻尼
2 ( 2 0 )t
x C1e
3、 0
C2 eBiblioteka 2 ( 2 0 )t
——临界阻尼
t
x C1 C2t e
x
x
o
t
o
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t
下页
x
A
O
t
A
上页
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三、受迫振动 驱动力:
2
F驱动力 F0 cos t
大学物理(下册) 9.5阻尼振动 受迫振动 共振
A
( 0)
2 2 b.过阻尼： 0 2 2 c.临界阻尼： 0
x
o c
b
三种阻尼的比较
t
a
9.5.2 受迫振动
共振
受迫振动：施加周期性外力作用的振动；
周期性外力有时不可避免：周期性阵风作用下建筑物 发生的振动，桥樑由于火车行驶而引起的振动等。受 迫振动在电磁学、机械工程等领域均有重要应用。
此时系统作弱阻尼运动，对应解为：
x Ae
t
cos(t 0 )
(7)
振幅 角频率
A、0为积分常量，由初条件确定；并且 其中： 有：
02 2
(8)
c.讨论： 1.(6)式的解由两部分组成：
t Ae 衰减项： “振幅”；
x
A
O
阻尼振动位移时间曲线
Ae t
最后得：
d2 x dx 2 +2 +0 x 0 2 dt dt
(6)
d2 x dx 2 +2 +0 x 0 2 dt dt
注：1.上式是阻尼振动微分方程；
(6)
2.固有角频率 振动系统确定；
阻尼系数 振动系统、介质性质确定； b.方程的求解与讨论 微分方程理论：根据方程系数数值的相对大小 关系，(6) 式有三种解，对应三种运动状态： 1.阻尼力较小时： 0 弱阻尼；
9.5 阻尼振动
受迫振动
共振
介绍两种接近客观实际较复杂的振动。
9.5.1 阻尼振动(Damped Oscillation) 1.阻尼振动：谐振动为等幅振动。而实际振动总要 受到阻力影响，振动过程中振幅不断减小。振幅随 时间变化因阻力而减小阻力是复杂的，故提出 许多阻尼力模型。当物体运动速度不太大时有：
阻尼振动和受迫振动的动力学
阻尼振动和受迫振动的动力学振动是物体在围绕平衡位置上下运动的一种现象。
当物体受到外力的作用时，它可能出现阻尼振动或受迫振动。
本文将分别讨论这两种振动的动力学特征。
1. 阻尼振动阻尼振动指的是物体在受到阻尼力的影响下进行振动。
阻尼力是由于摩擦或阻力而产生的一种力。
一般而言，阻尼力与物体的运动速度成正比。
在阻尼振动中，振幅会逐渐减小，直到最终趋于零。
这是因为阻尼力的作用导致了振动能量的损失。
阻尼振动的动力学方程可以表示为：m * d^2x/dt^2 + c * dx/dt + k * x = 0其中，m为物体的质量，x为物体的位移，t为时间，c为阻尼系数，k为弹簧的劲度系数。
这是一个二阶常微分方程，可以通过求解得出振动的解析解。
2. 受迫振动受迫振动是指物体在受到外力周期性作用下进行振动。
外力的周期性作用可能是恒定的或变化的。
受迫振动的一个典型例子是在谐振子中。
谐振子是一个具有弹簧和质量的系统，当受到周期性驱动力时，谐振子会在特定的驱动频率下展现出共振现象。
共振是指外力频率与谐振子固有频率相同或接近时的现象。
受迫振动的动力学方程可以表示为：m * d^2x/dt^2 + c * dx/d t + k * x = F0 * sin(ω * t)其中，F0为驱动力的振幅，ω为驱动力的角频率。
通过求解这个方程，可以得到受迫振动的解，包括相位和幅频特征。
3. 动力学特征比较阻尼振动和受迫振动在动力学特征上有一些区别。
首先，阻尼振动的振幅会随时间逐渐减小，直到最终停止。
而受迫振动在存在共振现象时，振幅可能会增大甚至无限增大。
其次，阻尼振动的频率与振幅无关，而受迫振动的频率会对振幅产生明显的影响。
当驱动力的频率接近谐振子的固有频率时，振幅会显著增加。
最后，阻尼振动和受迫振动在相位上也略有不同。
在阻尼振动中，振动的相位随着时间的推移而发生改变。
而在受迫振动中，振动的相位与驱动力的相位存在一定的差距。
综上所述，阻尼振动和受迫振动都是振动的一种形式，但它们在动力学特征上有一些差别。
2.6受迫振动共振
2.6 受迫振动共振学习名目考点一、固有振动、阻尼振动 (1)考点二、受迫振动 (1)考点三、共振 (2)【稳固练习】 (5)学问把握考点一、固有振动、阻尼振动1．固有振动和固有频率(1)固有振动：振动系统在不受外力作用下的振动．(2)固有频率：固有振动的频率．2．阻尼振动(1)阻尼：当振动系统受到阻力的作用时，振动受到了阻尼．(2)阻尼振动：振幅渐渐减小的振动，如下图．(3)振动系统能量衰减的两种方式①振动系统受到摩擦阻力作用，机械能渐渐转化为内能．②振动系统引起邻近介质中各质点的振动，能量向外辐射出去．考点二、受迫振动1．驱动力作用于振动系统的周期性的外力．2．受迫振动(1)定义：系统在驱动力作用下的振动．(2)受迫振动的频率(周期)物体做受迫振动到达稳定后，其振动频率总等于驱动力的频率，与系统的固有频率无关．考点三、共振1．定义驱动力的频率f等于系统的固有频率f0时，受迫振动的振幅最大，这种现象叫做共振．2．共振曲线(如图2所示)[例题1]〔2023春•南海区校级期中〕以下有关振动的说法正确的选项是〔〕A．阻尼振动的振幅不会变化B．物体振动的频率就是物体的固有频率C．当驱动力的频率等于固有频率时，物体做受迫振动的振幅到达最大值D．共振是普遍的现象，都是有利的【解答】解：A．阻尼振动由于阻力作用，一局部机械能转化为内能，因此阻尼振动的振幅将渐渐减小，故A错误；B．物体振动的频率不肯定是物体的固有频率，对于受迫振动，受迫振动频率与外界驱动力的频率相等，故B错误；C．当驱动力的频率与固有频率相等时，物体会发生共振，此时物体做受迫振动的振幅到达最大值，故C正确；D．共振是普遍的现象，但不肯定都是有利的，例如桥梁在风作用下的振动，假如发生共振，极有可能使桥梁受损，故D错误。
应选：C。
[例题2]〔2023春•深圳期中〕飞力士棒是一种健身、康复器材，它由一根PVC软杆、两端的负重头和中间的握柄组成，使用时，用手驱动使其振动，如下图。
9-6阻尼振动 受迫振动 共振1
§9-6 阻尼振动 受迫振动 共振
设车厢总负荷为m=5.5×104 kg，车厢弹 设车厢总负荷为 ， 簧每受力F=9.8× 103 N被压缩 被压缩∆x=0.8 mm， 簧每受力 被压缩 ， 铁轨长L=12.6 m，求危险速率． 铁轨长 求危险速率． F 解 F = k∆x ⇒ k = ∆x m m m∆x k = 2π T = 2π k F
[ mv + kx ] dt dt 2 2 1 d 2x 1 dx d 2x = m (2v ) 2 + k 2 x = v ( m 2 + kx ) 2 2 dt dt dt 2 d x 由阻尼振动的微分方程有 − kx − Cv = m dt 2 dE 2 将上式代入前式得 = v ( − Cv ) = − Cv < 0 dt
2 0 2
Ae
T
−δt
cosωt
t
O
ω = ω −δ
a）欠阻尼 b）过阻尼
2 0
(ϕ = 0 )
A
2 2
ω >δ ω <δ
2 0 2 0
x
o
2
三种阻尼的比较
b
c）临界阻尼
ω =δ
c
t
a
§9-6 阻尼振动 受迫振动 共振
a）欠阻尼
尼振动 受迫振动 共振 例题1 证明阻尼振动机械能的时间变化率 证明阻尼振动机械能的时间变化率dE/dt<0,并说 例题 并说 明其意义。问当dE/dt=0时，是什么振动？ 明其意义。问当 时 是什么振动？ 解： dE d 1 1 2 2
§9-6 阻尼振动 受迫振动 共振
§9-6 阻尼振动 受迫振动 共振 一 阻尼振动 阻尼力
2
阻力系数
阻尼振动与受迫振动
阻尼振动与受迫振动振动是自然界中普遍存在的一种现象，它在物理学、工程学等领域中具有重要的应用价值。
而阻尼振动和受迫振动是振动学中两个重要的概念。
阻尼振动是指在振动系统中存在摩擦或阻力的情况下所产生的振动。
当一个物体受到外力作用而开始振动时，若存在阻尼，振动的幅度将逐渐减小，最终停止。
这种振动方式在日常生活中很常见，例如钟摆摆动时逐渐停下来的过程。
阻尼振动的特点是振幅逐渐减小，振动频率不变。
这是因为阻尼力与振动速度成正比，而速度越大，阻尼力就越大。
因此，振动系统在受到外力作用后，振幅将逐渐减小，直到最终停止振动。
与阻尼振动相对应的是受迫振动，它是指在外力作用下振动系统发生的振动。
受迫振动的特点是振幅随时间的变化而发生周期性的变化，振幅的变化与外力的频率和振幅有关。
受迫振动的一个重要应用是共振现象。
当外力的频率与振动系统的固有频率相等时，共振现象会发生。
在共振状态下，振幅将达到最大值，这是因为外力与系统的振动频率相同，能够为系统提供持续的能量输入，从而使振幅增大。
阻尼振动和受迫振动经常在实际工程中应用。
例如，在汽车悬挂系统中，为了提高乘坐舒适性，往往会采用阻尼装置来减小车身的振动。
而在建筑工程中，为了避免共振现象对建筑物产生破坏性影响，工程师们会根据建筑物的固有频率来设计结构。
除了工程领域，阻尼振动和受迫振动也在物理学和生物学中有广泛的应用。
例如，在电子学中，阻尼振动可以用于减小电路的振荡幅度；在生物学中，研究细胞的振动特性有助于了解细胞的结构和功能。
总之，阻尼振动和受迫振动是振动学中的两个重要概念。
阻尼振动是指在存在阻力或摩擦力的情况下发生的振动，振幅逐渐减小；而受迫振动是指在外力作用下发生的振动，振幅随时间的变化而发生周期性变化。
这两种振动方式在实际应用中具有重要意义，对于理解和应用振动学理论有着重要的作用。
受迫振动 共振(解析版)
第6节受迫振动共振一、阻尼振动1．自由摆动的秋千，摆动的振幅越来越小，下列说法正确的是（）A．机械能守恒B．能量正在消失C．总能量守恒，机械能减小D．只有动能和势能的相互转化【答案】C【详解】自由摆动的秋千，振幅越来越小，则振动系统中的能量转化不只是系统内部动能和势能的相互转化，振动系统是一个开放系统，与外界时刻进行着能量交换，但总能量守恒，系统由于受到阻力，消耗系统机械能，从而使振动的机械能不断减小。
故选C。
2．《枫桥夜泊》中有名句：“姑苏城外寒山寺，夜半钟声到客船”。
其中，当钟声传到客船时，对大钟的撞击早已停止了，但仍感觉“余音未绝”，分析其原因可能是（）A．大钟的回声B．大钟在继续振动，空气中继续形成声波C．人的听觉发生“暂留”的缘故D．大钟虽停止振动，但空气仍在振动【答案】B【详解】停止对大钟的撞击后，大钟做阻尼振动，仍在空气中形成声波，随着能量的减弱，钟声逐渐消失。
故选B。
二、受迫振动3．如图所示，一个竖直圆盘转动时，固定在圆盘上的小圆柱带动一个T形支架在竖直方向振动，T形支架下面系着一个弹簧和小球组成的振动系统，小球浸没在水中。
当圆盘静止时，让小球在水中振动，其阻尼振动频率约为3Hz。
现使圆盘由静止开始缓慢加速转动，直至以4s的周期匀速转动稳定下来，在此过程中，下列说法正确的是（）A．圆盘转动时，小球做受迫振动B．最终稳定时小球的振动频率为4HzC．最终稳定时小球的振动频率为3HzD．小球的振幅与圆盘转速无关【答案】A【详解】A．振动系统在周期性驱动力作用下的振动叫受迫振动，圆盘转动时，小球做受迫振动，A正确；BC．小球稳定振动时的频率为1Hz0.25Hz4f==，BC错误；D．圆盘转速由零逐渐增大，转动的频率逐渐接近小球振动的固有频率3Hz，振幅逐渐增大，D错误；故选A。
4．如图所示的装置，弹簧振子的固有频率是4Hz，现匀速转动把手，给弹簧振子以周期性的驱动力，测得弹簧振子振动达到稳定时的频率为1Hz，则把手转动的频率为（）A ．1HzB ．3HzC ．4HzD ．5 Hz【答案】A 【详解】弹簧振子振动达到稳定时的频率为1Hz ，即受迫振动的频率为1Hz ，则驱动力的频率为1Hz 。
阻尼振动、受迫振动与共振
T 2π 2π
02 2
上式表明，由于阻尼的存在，阻尼振动的周期比无阻尼振动 的周期长，即振动变慢了。阻尼越大，阻尼振动的周期越长。
阻力很大，即β＞ω0时，在未完成一次振动前，振动系统的 能量已全部耗尽，此时，振动系统将通过非周期运动的方式回到 平衡位置，这种阻尼振动称为过阻尼振动，如下图所示b曲线
在振动研究中，常把辐射阻尼当作某种等效的摩擦阻尼来
处理。因此，下面我们在讨论时仅考虑摩擦阻尼。实验证明，
介质对运动物体的阻力与物体的运动速度有关，在物体速度不
太大时，阻力Fr的大小与速度v的大小成正比，方向与速度v的
方向相反，即
Fr
v
dx dt
对弹簧振子，在弹力F＝－kx和阻力Fr的作用下，根据牛 顿第二定律可得阻尼振动的动力学方程为：
x Acos（ pt ）
稳定状态受迫振动的振幅A和初相φ可由下式确定：
f
A
（02
2）2
p
4
2 2 p
tan
2p
02
2 p
需要注意的是，稳定状态的受迫振动虽然也是简谐振动，
但它与无阻尼振动有着本质的区别：受迫振动的角频率不是振 动系统的固有频率，而是驱动力的频率；受迫振动的振幅和初 相不是决定于振动系统的初始条件，而是决定于振动系统本身
在阻尼振动中，能量损失的原因通常有以下两种：一种是 由于介质对振动物体的摩擦阻力作用，使振动物体的能量转变 为热能，称为摩擦阻尼；另一种是由于振动物体引起临近质点 的振动，使系统的能量向四周辐射出去，转变为波动的能量， 称为辐射阻尼。例如，音叉振动时，不仅因为摩擦而消耗能量 ，同时也因辐射声波而损失能量。
阻尼振动 受迫振动 共振
x
A0 e
t
O
减幅振动
t
阻尼振动的准周期性
阻尼振动
阻尼振动不是周期性振动，更不是简谐振动，因 位移不是时间的周期函数。但阻尼振动有某种重复性。
位移相继两次达到极大值的时间间隔叫做阻尼振 动的周期，有
2 2 2 T ' 2 2 ' 0 0
显而易见，由于阻尼，振动变慢了。 阻尼振动的振幅为： 振幅随时间作指数衰减。阻尼 大小决定了阻尼 振动振幅的衰减程度。
§4-5
阻尼振动 受迫振动 共振
振动物体不受任何阻力的影响，只在回复力作用 下所作的振动，称为无阻尼自由振动。 在回复力和阻力作用下的振动称为阻尼振动。 阻尼：消耗振动系统能量的原因。
阻尼种类：摩擦阻尼 辐射阻尼
对在流体(液体、气体)中运动的物体，当物体速 度较小时，阻力大小正比于速度，且方向相反，表示 为
dA 0 d
阻尼=0 阻尼较小 阻尼较大
共振 2
2 0
2
O
0
共
振
受迫振动速度在一定 条件下发生共振的的现象 称为速度共振。
d vm 0 根据 d
vm
阻尼=0 阻尼较小 阻尼较大
共振 0
在 阻尼 很小的 前提下 ， 速度共振和位移共振可以 O 认为等同。
0
共
衰减项
稳态项
经过一段时间后，衰减项忽略不计，仅考虑稳态项。
x A cos(t 0 )
F0 A 2 m ( 0 2 ) 2 4 2 2
2 tg 0 2 0 2
受 迫 振 动
稳态时振动物体速度：
dx v vm cos(t 0 2) dt
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谐振动系统的总能量与振幅的平方 成正比
[例6]一水平放置的弹簧振子，质量
为m，弹性系数为k，当它振动时，
在什么位置动能和势能相等？它从
该位置到达平衡位置所需的最短时
间为多少？
解：(1) 1mv2 1kx2
2
2
m 22 s A 2 ( itn ) 1=0：同相
Ax122
Ay222
2xy0 A1A2
y A2 x ---直线 A1
t 时刻质点离开平衡位置的距离为
s x2 y2 A12A22cost()
----振幅为 A12 A22 的谐振动
A2 y
A1
0x
A2 y
A1
0x
2- 1=：反相 y A2 x ----直线 A1
2- 1=/2：Ax122
二.相互垂直的不同频率谐振动合成
李萨如图形
移 x=0.24m 。 求 (1) 谐 振 动 表 达 式 ；
(2)t=0.5s 时 , 物 体 的 位 置 和 所 受 的 力 ；
(3) 物 体 从 初 始 位 置 运 动 至 x=-0.12m
处所需的最短时间
解：(1)设振动表达式为
xAcost()
其中 A0.24m T4s
2
T
2
由旋转矢量法得 0
x25co 2 s0 t () cm
由旋转矢量法 A 0M120M225 2cm
5
4
M2
x52co2s0(t5)cmA
5 4
Ox
4
M1
二.同方向不同频率谐振动的合成 拍
设 x1A 1co 1ts()
x2A 2co 2s t ()
讨论A1=A2=A的情况
xx1x2
2A c o2 s1t c o2 s1t
x0.24cost m 2
0.24
0
0.24 x
(2) t=0.5s:
x0.24cos10.17m
22
Fmam2x0.01()20.17
2 4.1 91 0 3N
(3)
tmin
2
3
tmin
2
3
0.12
tmin
2
3 2
4 3
s
0.24
0
0.24 x
或
TT
tmin
4
12
4s 3
TT
T
6 12
4
A 0 A x
2 2
讨论：
时间1 周期2 时性合缓振慢幅地2变A化cos2
1
2
t随
而
cos2
1 t 作角频率近于
2
2
或 1 的谐振动
振动出现时强
时弱的拍现象
cos21t
2
co2 s(1)t
合振幅最大处
cos2(1)t 1 cosn
即两相邻振幅极大之间的相位差为
(21) :振幅变化周期
拍频
1
2 1
2
A
x02
v0
2
arctgv0x0
固有频率和固有周期：
k
m
T 2 2 m
k
11 k T 2 m
----周期和频率由振动系统本身
的性质所决定，与A和无关
二.谐振动的旋转矢量表示法
OM A 逆时针旋转
t =0： x0 Acos
t 时刻
M
A
M1
A t A M 0
xAcots()振幅矢量O
由 A 1c o 1 s A 2c o 2 sA c os A 1si1 n A 2si2 n A sin
tg A A A A 111 c2 s o iA n2 s1 12 A A 22 2 A 1 scA 2 io c n 2s2o2 s1 ()
2.旋转矢量法
xx1x2
Aco ts
即有 a2x
----简谐振动的运动学特征 说明：
A----简谐振动的振幅，为物体离开
平衡位置最大位移的绝对值
----圆频率(2秒内的振动次数)
t ----简谐振动的相位
----简谐振动的初相位
讨论：
由初始条件可确定A和 ： 设 t =0 时， x x0 v v0
x0 Acos v0Asin
可得
k
m y0
Fk(yy0)
m0
mgkyky0mdd22yt
d2y
k
y
y0
dt2 m
设
k m
则
d2y dt2
2y 0
----得证
设振动表达式为 yAcost()
由旋转矢量法得
A 0 A y
t=0时
yAcosA
A mg
y0
mg k
k
ymgcos(k t)
k
m
[例5]如图系统，已知物体质量为m， 光滑斜面倾角为,自由转动的定滑 轮半径为R,转动惯量为J,弹簧弹性 系数为k。开始时物体静止,弹簧为 原长,重物下滑后开始振动。(1)证明 重物作谐振动,并写出振动表达式； (2)求重物下滑的最大距离,并用机械 能守恒定律验证
A
x x x A2
2
A1
1
02
2 1
x2
1
x
讨论: 合振动仍然是简谐振动，其频率与 分振动相同
合振动振幅不但与两分振动的振幅 有关，而且与相位差有关
2 1 2 k(k 0 , 1 , )时(同相)
AA1A2 Amax 2 1 ( 2 k 1 )( k 0 , 1 , )时(反相)
相位差 ( 2 t 2) ( 1 t 1 )
(2 1)t (2 1)
同频率时 21
----初相差与t 无关
讨论：
0 即 2 1 ----同相
即 2 1----反相
0 即 2 1
----第二个谐振动超前
第一个谐振动
[例2]如图的谐振动x-t 曲线，试求其
振动表达式 解：由图知
x/m
2
[ 例 4] 一 弹 性 系 数 为 k 的 轻
弹簧,下挂一质量为m的砝 码。开始时用手托住砝码,
k
使弹簧为原长,放手后砝码
m
开始振动。证明砝码作谐 振动,并写出振动表达式
my 0
0
解：建立如图坐标系，原点为 物体静平衡时位置，它距弹簧 y
原长位置为 y0
ky0 mg
y0
mg k
在y处时
d2y mgF m dt2
可得
d2x dt2
mkJ
R2
x
0----谐振动
其解为 xAcost()
其中
k
m I R2
由旋转矢量法得
而
A
x0
mgsin
k
xmsgincos( k t)
k
mIR2
(2)物体下滑的最大距离为
s
x0
A
2mgsin
k
由机械能守恒定律
mgsins1ks2
s
2
s 2mgsin
k
三.角谐振动----单摆和复摆
A y2cotsco2ssi ntsin2
A x1co 2 sA y2co 1 ssin tsin 2 (1) A x1sin 2A y2si1 nco tsin 2 (1)
两式平方后相加得
A x122A y222A 21xA 2c yo2s(1)si2(n 21)
----椭圆方程
讨论：
A x1 2 2A y2 2 2A 21 x A 2c yo 2s (1)si2(n 21)
xx1x2
A 1 (ctc oo 1 s s sits ni1 )n
A 2 (ctc oo 2 s s sits ni2 )n
(A 1co 1 s A 2co 2 )c so t s
(A 1 si1 n A 2 si2 ) n sitn
Aco tsAcos Asin
J mgl
讨论：
单摆和复摆谐振动的频率由系统本 身的性质决定
四.谐振动的能量 以弹簧振子为例:
k m
EEk
Ep
1mv2 2
1kx2 2
1m 2 2 A s2 i( n t )1k2A c2 o ( t s)
2
2
1 kA 2 1 m2 A2
2
2
讨论:
弹簧振子的动能和势能是随时间 (或位移)而变化的
A2m,T2s O
2T
1 2t / s
设振动表达式为 xAcost()
v A si nt ()
t=0时：x0 即 0Acos
2
又 v0 即 Asin0 sin0
x2cost ()2 m
2
旋转矢量法
2
2
O
x
[例3]质量为0.01kg物体作周期为4s、
振幅为0.24m的简谐振动。t=0时,位
阻尼振动受迫振动共振
§15-1 机械振动的一般概念
机械振动：物 体在一定位置的 附近作来回往复 的运动(周期性 或非周期性)
成因：物体的惯性和所受的回复力
dd2t2x 2x 0
位移 xAcots()
速度
v
dx
----简谐振动表达式
Asi nt ()
dt
vmsin t()
加速度 a ddta 2 2xmc o 2stAc(o)st()
A A1A2 Amin
[例7]已知两谐振动的曲线(如图),它
们是同频率的谐振动,求它们的合振
动方程
解：由图知 A5cmT0.1s
x / cm
5
0 0.05 5
2T20