几类经典排列组合问题

一、小球放盒子问题（分组问题）
（1）6个不同的小球放到6个不同的盒子里。

解析：分步乘法计数原理， 每个小球都有六种放法
答案：66。

（2）6个不同的小球放到6个不同的盒子里，要求每个盒子只能放一个小球。

解析：思路一：分步乘法计数原理， 第一个小球有6种放法
第二个小球有5种放法 ……
第六个小球有1种放法 即6*5*4*3*2*1；
思路二：将小球按顺序摆放后，与不同的盒子相对应即可，即A 6 6。

答案：720。

（3）6个不同的小球平均放到3个相同的盒子里。

解析：平均分组的问题
因为盒子相同，相当于把小球等分成三堆，设想6个小球编号为ABCDEF ， 首先从6个球中选出2个，为C 2 6； 然后从剩下的4个球中选出2个，为C 2 4； 最后剩下2个球，为C 2 2；
但是：C 2 6取出AB 球、C 2
4取出CD 球、剩EF 球；
C 2 6取出AB 球、C 2
4取出EF 球、剩CD 球；
C 2 6取出C
D 球、C 2
4取出AB 球、剩EF 球；
C 2 6取出C
D 球、C 2
4取出EF 球、剩AB 球；
C 2 6取出EF 球、C 2
4取出AB 球、剩CD 球；
C 2 6取出EF 球、C 2
4取出CD 球、剩AB 球；
得到的结果是一样的，故按照C 2 6C 2 4C 2 2组合完成后还应除去A 3
3，
答案：C 2 6C 2 4C 2 2/A 3
3
（4）6个不同的小球平均放到3个不同的盒子里。

解析：平均分组后再分配的问题
平均分组得到的结果为C 2 6C 2 4C 2 2/A 3
3，分完组后三堆小球还要放到不同的盒 子里，即再进行一个A 3 3的排列
答案：C 2 6C 2 4C 2
2
（5）6个不同的小球按1、2、3的数量，分别放到3个相同的盒子里。

解析：非平均分组的问题
因为盒子相同，相当于把小球分成数量不等的三堆， 首先从6个球中选出1个，为C 1 6； 然后从剩下的5个球中选出2个，为C 2 5； 最后剩下3个球，为C 3 3；
注意：因为这个问题是非平均分组，故不存在（3）中出现的重复的情况，
因此C 1 6C 2 5C 3 3即为最后结果，不需要再除以A 3
3
答案：C 1 6C 2 5C 3
3
（6）6个不同的小球按1、2、3的数量，分别放到3个不同的盒子里。

解析：非平均分组再分配的问题
非平均分组得到的结果为C 1 6C 2 5C 3 3/A 3
3，分完组后三堆小球还要放到不同的 盒子里，即再进行一个A 3 3的排列
答案：C 1 6C 2 5C 3 3A 3
3
（7）6个不同的小球按1、1、1、3的数量，分别放到4个相同的盒子里。

解析：部分平均分组的问题
分成的四堆中，有三堆数量一样，设想6个小球编号为ABCDEF ， 首先从6个球中选出3个，为C 3 6； 然后从剩下的3个球中选出1个，为C 1 3； 再从剩下的2个球中选出1个，为C 1 2； 最后剩下1个球，为C 1 1；
但是：C 3 6取出ABC 球、C 1 3取出D 球、C 1
2取出E 球、剩F 球；
C 3 6取出ABC 球、C 1 3取出
D 球、C 1
2取出F 球、剩E 球；
C 3 6取出ABC 球、C 1 3取出E 球、C 1
2取出D 球、剩F 球；
C 3 6取出ABC 球、C 1 3取出E 球、C 1
2取出F 球、剩D 球；
C 3 6取出ABC 球、C 1 3取出F 球、C 1
2取出D 球、剩E 球；
C 3 6取出ABC 球、C 1 3取出F 球、C 1
2取出E 球、剩D 球；
得到的结果是一样的，故按照C 3 6C 1 3C 1 2C 1 1组合完成后还应除去A 3
3，
答案：C 3 6C 1 3C 1 2C 1 1/A 3
3
（8）6个不同的小球按1、1、1、3的数量，分别放到4个不同的盒子里。

解析：部分平均分组再分配的问题
部分平均分组得到的结果为C 3 6C 1 3C 1 2C 1 1/A 3
3，分完组后四堆小球还要放到不 同的盒子里，即再进行一个A 4 4的排列
答案：(C 3 6C 1 3C 1 2C 1 1/A 3 3)A 4
4
（9）6个不同的小球按1、1、2、2的数量，分别放到4个相同的盒子里。

解析：部分平均分组再分配的问题
答案：C 2 6C 2 4C 1 2/（A 2 2A 2
2）
（10）6个不同的小球按1、1、2、2的数量，分别放到4个不同的盒子里。

解析：部分平均分组再分配的问题
答案：[C 2 6C 2 4C 1 2/（A 2 2A 2 2）]A 4
4
（11）6个不同的小球放到5个不同的盒子里，要求每个盒子至少放一个。

解析：分类讨论分组再分配的问题，首先应该确定小球个数的分配方案，5个盒 子6个球，满足每盒至少一个，那么有且只有一个盒子放2个，其他盒子 放一个；即小球按照2、1、1、1、1的数量，分别放到5个不同的盒子中。

答案：（C 2 6C 1 4C 1 3C 1 2C 1 1/A 4 4）A 6
6
（12）6个不同的小球放到3个不同的盒子里，要求每个盒子至少放一个。

解析：分类讨论分组再分配的问题，首先应该确定小球个数的分配方案：
1 1 4，部分平均分组再分配的问题：（C 1 6C 1 5C 4 4/A
2 2)A 3
3
1 2 3，非平均分组再分配的问题的问题：C 1 6C 2 5C 3 3A 3
3
2 2 2，完全平均分组再分配的问题：C 2 6C 2 4C 2
2
答案：（C 1 6C 1 5C 4 4/A 2 2)A 3 3+C 1 6C 2 5C 3 3A 3 3+C 2 6C 2 4C 2
2
（13）6个相同的小球放到3个不同的盒子里，要求每个盒子至少放一个。

解析：思路一：首先应该确定小球个数的分配方案，再分类讨论： 1 1 4，小球相同小盒不同，只需选出一个盒子装4个小球：C 1 3 1 2 3，3堆不同数量的小球，排序后往3个不同的盒子里装：A 3 3 2 2 2，每个盒子装2个小球，只有一种方案：1 思路二：隔板法
__ __ __ __ __ 相当于在6个小球之间放2个板儿 第一个板儿左侧的球放第一个盒子里 两个板儿中间的球放第二个盒子里 第二个板儿右侧的球放第三个盒子里
答案：C 1 3+A 3
3+1
（14）6个不同的小球放到3个相同的盒子里，要求每个盒子至少放一个。

解析：分类讨论分组的问题，首先应该确定小球个数的分配方案：
1 1 4，部分平均分组的问题：C 1 6C 1 5C 4 4/A 2
2
1 2 3，非平均分组的问题：C 1 6C 2 5C 3
3
2 2 2，平均分组的问题：C 2 6C 2 4C 2 2/A 3
3
答案：C 1 6C 1 5C 4 4/A 2 2+C 1 6C 2 5C 3 3+C 2 6C 2 4C 2 2/A 3
3
（15）6个相同的小球放到3个相同的盒子里，要求每个盒子至少放一个。

解析：首先应该确定小球个数的分配方案： 1 1 4 1 2 3 2 2 2
因为盒子没有区别，随便放，则小球的分配方案就是最后的方案 答案：3
二、排列的捆绑法
（1）6个座位坐6个人，要求甲乙丙3个人必须相邻；
解析：将甲乙丙三个人捆绑为一个元素，与另外三个人进行排列A 4 4，然后对甲乙 丙松绑A 3 3。

答案：A 4 4A 3
3
（2）6个座位坐甲乙丙3个人，要求3个人必须相邻；
解析：将甲乙丙三个人捆绑为一个元素，与三个空位进行排列A 1 4，然后对甲乙丙 松绑A 3 。

人 甲 乙 丙 人 人
空位
甲 乙 丙 空位 空位
答案：A 1 4A 3
3
（3）6个座位坐3个人，要求3个空位相邻；
解析：将三个空位捆绑为一个元素，与三个人进行排列A 4 4。

注意：空位不用进行松绑。

答案：A 4 4
三、排列的插空法
（1）6个座位坐6个人，要求甲乙丙3个人不相邻；
解析：先排另外的三个人A 3
，再将甲乙丙进行插空排列A 3
4（C 3 4
A 3
3）。

答案：
A 3 3A 3
4
（2
）6个座位坐甲乙丙3个人，要求这
3个人都不相邻；
解析：只需将空座位摆上，甲乙丙进行插空排列A 3 4即可
答案：A 3 4
（3
）6个座位坐3个人，要求这3个空位都不相邻；
解析：先排三个人A 3 3，再将空位进行插空C 3
4
注意：空位插空时只选不排，因此不是A 3 4
答案：A 3 3C 3
4
四、捆绑法和插空法相结合
（1）6个座位坐6个人，甲乙相邻，丙与甲乙都不相邻；
解析：先排三个人A 3 3，甲乙整体捆绑后和丙进行插空A 2 ，再将甲乙松绑A 2
2
答案：A 3 3A 2 4A 2
2
（2）6个座位坐3个人，要求甲乙相邻，丙与甲乙都不相邻；
解析：需将空座位摆上，甲乙整体捆绑后和丙进行插空A 2 4，再将甲乙松绑A 2
2
答案：A 2 4A 2
2
（3）6个座位坐3个人，要求两个空位相邻，另一个空位不相邻；
解析：先排三个人A 3 3，再将空位进行插空A 2
4
________ ________ ________ ________ 注意：空位不用松绑
答案：A 3 3A 2
4
五、两类人和多面手的问题
（1）11个人中5人会唱，6人会跳，从中选出6个人去参加晚会。

解析：选出去6个人没有任何限制，从11个人中任意选择即可
C 6 11=C 0 5C 6 6+C 1 5C 5 6+C 2 5C 4 6+C 3 5C 3 6+C 4 5C 2 6+C 5 5C 1
6 答案：C 6 11
（2）11个人中5人会唱，6人会跳，从中选出6个人去参加晚会，会唱和会跳的都不少 于两个人。

解析：分类讨论，确定会唱和会跳的人数的可能情况
2人唱4人跳 3人唱3人跳 4人唱2人跳
C 2 5C 4 6+C 3 5C 3 6+C 4 5C 2
6
答案：C 2 5C 4 6+C 3 5C 3 6+C 4 5C 2
6
（3）11个人中4人会唱，5人会跳，还有2个既会唱又会跳，从中选出3个会唱3个会 跳的去参加晚会。

解析：有多面手参与，分类讨论
没有多面手参与的情况：C 3 4C 3
5 有一个多面手参与的情况：先用C 1 2选出被选中的多面手，
多面手唱：C 1 2C 2 4C 3
5
多面手跳：C 1 2C 3 4C 2
5
有两个多面手参与的情况
两个多面手都唱：C 1 4C 3
5
两个多面手都跳：C 3 4C 1
5
多面手一个唱一个跳：C 2 4C 2 5A 2
2
答案：C 3 4C 3 5 +（C 1 2C 2 4C 3 5+C 1 2C 3 4C 2 5）+（C 1 4C 3 5+C 3 4C 1 5+C 2 4C 2 5A 2
2）
（4）将8名医护人员（3医生、5护士）分配到甲乙两所医院，有多少种方案
解析：思路一：每个人都有两种分配方法，用分步乘法计数原理：28
思路二：用分组的思想：C 0 8+C 1 8+C 2 8+C 3 8+C 4 8+C 5 8+C 6 8+C 7 8+C 8
8 C 0 8代表将0个人分配到医院甲，8个人分配到医院乙； C 1 8代表将1个人分配到医院甲，7个人分配到医院乙； C 2 8代表将2个人分配到医院甲，6个人分配到医院乙； C 3 8代表将3个人分配到医院甲，5个人分配到医院乙； C 4 8代表将4个人分配到医院甲，4个人分配到医院乙； C 5 8代表将5个人分配到医院甲，3个人分配到医院乙； C 6 8代表将6个人分配到医院甲，2个人分配到医院乙； C 7 8代表将7个人分配到医院甲，1个人分配到医院乙； C 8 8代表将8个人分配到医院甲，0个人分配到医院乙；
人
人 人
注意：连接思路一和思路二的桥梁正是二项式定理，而思路而又能拆解成如下形式，想一想为什么。

28=（1+1）8=C0
8+C1
8
+C2
8
+C3
8
+C4
8
+C5
8
+C6
8
+C7
8
+C8
8。

C0
8=C0
3
C0
5
；
C1
8=C0
3
C1
5
+C1
3
C0
5
；
C2
8=C0
3
C2
5
+C1
3
C1
5
+C2
3
C0
5
；
C3
8=C0
3
C3
5
+C1
3
C2
5
+C2
3
C1
5
+C3
3
C0
5
；
C4
8=C0
3
C4
5
+C1
3
C3
5
+C2
3
C2
5
+C3
3
C1
5
；
C5
8=C0
3
C5
5
+C1
3
C4
5
+C2
3
C3
5
+C3
3
C2
5
；
C6
8=C1
3
C5
5
+C2
3
C4
5
+C3
3
C3
5
；
C7
8=C2
3
C5
5
+C3
3
C4
5
；
C8
8=C3
3
C5
5。

答案：28
六、隔板法
（1）6本相同的书放到4个不同的盒子中，每个盒子至少放一本书
解析：先把6本书并排成一排，它们之间有5个空，在5个空中选出3个空放3个板。

6本书自动被隔成了四组，对应着四个盒子放入即可。

注意：经典隔板法的条件是：对相同元素进行分组；每组至少含有一个元素。

答案：C3
5
（2）10本相同的书放到4个不同的盒子中，每个盒子至少放两本书
解析：思路一：10本书拿出4本来，分别放到4个盒子中，就变成了问题（1）思路二：分类讨论，首先确定书的数量的分法
2 2 2 4 C1
4
选出一个盒子放4本书
2 3 3 2 C2
4
选出两个盒子放3本书
答案：C3
5=C2
4
+C1
4
（3）X+Y+Z=10，X、Y、Z属于正整数
（4）X+Y+Z=10，X、Y、Z属于正整数，且X≥2，Y≥2，Z≥2。

（5）X+Y+Z=10，X、Y、Z属于非负整数。