《数值计算方法》试题集和答案(1_6)2

《计算方法》期中复习试题
一、填空题:
1、已知/（1）= 1°，/⑵=12 /⑶= 1.3,则用辛普生（辛卜生）公式计算求
2、/（1）= 7 /⑵=2, /（3） = 11则过这三点的二次插值多项式中疋的系数
为 _____ ,拉格朗日插值多项式为 ________________________ o
3、近似值^=0 231关于真值A = 0.229有（2 ）位有效数字;
4、设/（X ）可微,求方程x = f^的牛顿迭代格式是（
）;
5、 对/U ）= X 3 + A + 1J 差商/[0,1,2,3] =（ 1
/[0,1,2,3,4] =（
）；
6、 计算方法主要研究（截断）误差和（舍入）误差；
7、用二分法求非线性方程f （x ）=0在区间（s,®内的根时，二分力次后的误差限
b_a
为（诃 ）;
8、已知f （l ）=2, f （2）=3, f （4）=,则二次Newton 插值多项式中#系数为
（ ）;
f/Wdv
打⑴血-+ 八2^）]
11、两点式高斯型求积公式J 。

八
^（Jo
2
2血
2厲 ），代数
精度为（5 ）;
“34 6 y = 10 H ------ 1 --------- ------------
12、 为了使计算
x-1 （x-1）- （x-1）-的乘除法次数尽量地少，应将
V2ooi - 71999"改写为
、/^55T+Vi^ 。

得丄"如 答案:，
用三点式求得广⑴〜 ____________
答案：
心+1 =心
答案
1 一广（占）
该表达式改写为 y = 10+（3 + （4 — 6小）人 t =
x-l ,为了减少舍入误差，应将表达式
13、用二分法求方程/（X）= Q + x_ 1 = 0在区间［0, 1］内的根，进行一步后
根的所在区间为，1 ，进行两步后根的所在区间为，。

14、计算积分匚5低肚，取4位有效数字。

用梯形公式计算求得的近似值
为—，用辛卜生公式计算求得的近似值为梯形公式的代数精度为1 ,辛卜生公式的代数精度为3 。

15、设/（°）=°丿（1）= 16,/（2） = 46,则 /心）=_/i（x） = -x（x-2）_, f（x）的二次牛顿
插值多项式为_N2（X）=16X +7X（—1）_。

b "
16.求积公式" "o 的代数精度以（高斯型）求积公式为最高，具有（2“ + 1）次代数精度。

17.已知f *）叽（12 ⑴=l,f ⑶=5,f （5）=-3,用辛普生求积公式求）。

18、设f（1）=1, A2）=2, f ⑶=0,用三点式求广（"（）o
19、如果用二分法求方程，+ — 4 = 0在区间IM内的根精确到三位小数，需对分（
10 ）次。

x30<%<1
5（A）=］l（x-l）3+rt（x-l）2 +b（x_l） + c l<x<3
20、已知匕是三次样条函数，则
心（3 ）, &= （3）, （ 1 ）。

21、‘33…出（X）是以整数点心"…心为节点的Lagrange插值基函数，则
PE（ |）
乞（理+卅+3）/讥劝= 4 2 o
x-o （x + x +3 ）。

22、区间［“切上的三次样条插值函数S（Q在［"，〃］上具有直到__ 2 阶的连续
导数。

_
23、改变函数= （x»l）的形式，使计算结果较精确
1
y/x+ \ +y[x
当n>2时
24、 若用二分法求方程/心）=°在区间[1,2]内的根，要求精确到第3位小数，则
需要对分 _______ 次。

s （Q 屮丁’严si
25、 设 [x-+ax~+bx + c, l<x<2是3次样条函数，则 a 二 3 , b= -3
, c= 1
26、 若用复化梯形公式计算匚"办，要求误差不超过10",利用余项公式估计，至 少用 477个求积节点。

27、若/（X ） = 3£+2X + 1,贝y 差商/[2,4,8,16,32] = ___________ ? __________ 。

28 .数值积分公式 2 ________ 。

选择题
1、三点的髙斯求积公式的代数精度为（B ）o
7.设f （-1）=1, f （0）=3, f （2）=4,则抛物插值多项式中空的系数为（A ）o
9、( D )的3位有效数字是X102o
(A) X103
(B) X10-2
(C)
(D) X10-1
八 2
f "心“(一 1) + ”(0) +广⑴］ r —I
9
的代数精度为
A. 2
B. 5
C. 3
D. 4
2、舍入误差是（A ）产生的误差。

A.只取有限位数 B.模型准确值与用数值方法求得的准确值 C.观察与测量
D.数学模型准确值与实际值
3>是兀的有（ B ）位有效数字的近似值。

A. 6
B. 5 D. 7
4>用l+x 近似表示「所产生的误差是（
）误差。

A. 模型
B. 观测
C.截断
D.舍入
5、 x
用1+亍近似表示时所产生的误差是（ ）误差。

A. 舍入
B.观测
C.模型
D.截断
6> -324. 7500是舍入得到的近似值, 它有（C ）位有效数字。

A. 5
B. 6 D. 8 A.
-0. 5
B. 0. 5
D. -2 &三点的高斯型求积公式的代数精度为（
C )o A. 3
B. 4
D. 2
10. 用简单迭代法求方程f(x)=0的实根，把方程f(x)=0表示成x= (x),则 f(x)=0 的根是(B )o
⑷y= (x)与x 轴交点的横坐标 坐标
(c) y=x 与X 轴的交点的横坐标
(A) f (x, x0, xlj x2, •••> xn) (x—xl) (x —x2) ••• (x —xn —1) (x —xn),
(n +1)!
(C) f(x ，x0,xl,x2,・・・，xn) (x —xO) (x —xl) (x —x2)…(x —xn —1) (x —xn), 12.
用牛顿切线法解方程f(x)=O,选初始值xO 满足(A )，则它的解数
列
{xn)n=0,1, 2, ------- 定收敛到方程f (x) =0的根。

(A)
> 0
(B)/(x 0)fV) > 0
(C)
< 0
(D) f(x Q )f(x) < 0
13、为求方程x3-x2-l=0在区间［,］内的一个根，把方程改写成下列形式, 并
建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是(A )。

x = l +丄，迭代公式：尤如］=1 +丄 ⑻ Q 忑 (C )X 3 =1 +，,迭代公式:畑=(1 +兀：)山
『/⑴次①(b-a)f C ；"'/(兀) 的
14. 在牛顿-柯特斯求积公式：一) 中，当系数G 是负 值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当( )时的牛顿-柯特斯求积 公式不使用。

(1)心8,
(2)心7,
(3)心 10,
⑷ «>6,
23X 0
1
2
f (X ) -2
-1
2
(B) y 二只与》=(x)交点的横
(D)尸x 与y= (x)的交点 11、拉格朗日插值多项式的余项是(B )，牛顿插值多项式的余项是(C ) O
(D) 心 W =
化 W =
%(X )
=—•迭代公式:耳+［
X-1
1
X -1 = x ［迭代公式:畑 (D)
19、 用二分法求方程*+4云-10 = 0在区间【1,2］内的实根，要求误差限为
-------------------------- (A) 10；
20、 设⑴)是以*严处"，1，…，9)为节点的
,则对分次数至少为(
)
(B)12；
(C)8；
(D)9o
Lagrange 插值基函数，则
)
(A) x ； (B) & ； (C) i ；
33、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式，至少具有( ⑷ 5； (B)4； (C)6； 2(x-l)' +a(x-2) + b
(B)6, 8；
(D) lo
)次代数精度
(D)3o
0K2
2K4是三次样条函数，则“上的值为( )
(C)8, 6；
(D)8, 8o
s (x) =
2K 己知
(A) 6, 6；
35、己知方程X 3-2X -5 = O 在x = 2附近有根，下列迭代格式中在％ = 2不收敛的 是
( )
X
1
2
3
4
17、形如的高斯(Gauss)型求积公式的代 数精度为( ) (A)9； (B)7； (C) 5； 18、计算心的Newton 迭代格式为(
)
0严立+王 仏严立+丄
(A)
2 孤;⑻
2
2® ； ©
所确定的插值多项式的次数是(
(1)二次； (2)三次； (3)四次； (4)五次
15、取厲"1・732计算*(石-1几 下列方法中哪种最好(
16
)o ⑷28-16V3.
⑻(4-2苗儿
••3
S(x) = <
26.已知 ( )
(A) 6, 6；
2(—ir+(心一 2)+〃 ) 16
(V3 + D 4
e (c) (4 + 2VJ)，； om
2<x«
4是三次样条函数，则Q”的值为 (D)
1
2
3
/(X,)
-1
(D) 3。

畑气+Z 柿吟+王
〜； (D) ‘
(B)6, 8； (C)8, 6； (D)8, 80 (A)5； (B)4； (C) 3； (D) 2。

2x1 +5 =3琉一2
'
(B) (A)无利=強叫+5 22、由下列数据
f(x) 1 2 4
3
-5
确定的唯一插值多项式的次数为（
)
⑷4； ⑻2；
(C)l ； (D)3o
235Gauss ）
（A ）8； ⑻ 9； （C ） 10； （D ）llo
三、是非题（认为正确的在后面的括弧中打，否则打）
1、
已知观察值（心力）（山0,1,2,…，〃"，用最小二乘法求力次拟合多项式 尺3时，几心）的次数力可以任意取。

（）
2、 用1-^近似表示cos’产生舍入误差。

（）
（兀一勺）（兀一勺）
3、 （"-％）（“-£）表示在节点石的二次（拉格朗日）插值基函数。

（ ）
4、牛顿插值多项式的优点是在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插
值的结果。

3
1 1)
-2 5 3
四、计算题:
精度尽量高，并求其代数精度；利用此公式求 1 =「匚厶（保留四位小数）。

答案：/(x) = l ，x,P 是精确成立，即
2A + 2B = 2 < 1 2
2A + -B = -
2 3
1 Q 1 1
fMdx = -[/(-!) + / ⑴] + -[/(--) + /(-)]
2
当时，公式显然精确成立；当fW = x A 时，左右二耳。

所
5、矩阵用1
2
＞具有严格对角占优。

r i
1 1
求5求积公式"m —w ⑴严"护创 2的代数
求积公式为J :
以代数精度为3。

I —dx = I ------------ (It 2 — [ ------- T------- ] ----- [---------------- -------- ]
Ji x 5 + 3 9 -1 + 3 1 + 3 9 -1/2 + 3 1/2 + 3
97 /
=——心0・69286
140
2、已知
分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求/G）的三次插值多项式4（0 ,并求/（习的近似值（保留四位小数）。

L( \.)_ (兀 _ 3)(% _ 4)(x _ 5) * § (x _ l)(x _ 4)(x _ 5) 答案：' •
_ (1一3)(1-4)(1一5) (3 -1)(3 —4)(3 —5)
i 5(x-l)(x-3)(x-5儿彳(—1)(—3)(—4) '(4 一
1)(4 —3)(4 —5) (5 -1)(5 —3)(5 —4)
差商表为
I}(X)=N3(X X X X X X X
4
/⑵胡⑵= 5.5
5、已知
求/（"）的二次拟合曲线几⑴,并求广（°）的近似值。

答案：解:
10 3 11 —4 =—“ =— 7 1 10
14
3
广（o ）5（o ）=心
6. 已知sinx 区间［,］的函数表
如用二次插值求sinO.63891的近似值，如何选择节点才能使误差最小并求该近 似值。

答案：解：应选三个节点，使误差
尽量小，即应使匕心）1尽量小，最靠近插值点的三个节点满足上述要求。

即取 节点｛0.5,060.7｝最好，实际计算结果
Sin 0.63891 = 0.596274,
正规方程组为
5«0 + 10dr = 15
IO® = 3
1 Oa {) + 34^
2 =
41
Pi W = 10 3 11 ， —+ — .¥ + —Q 7 10 14
〃；（％） = 3 11
—+ — x
10 7
|sin 0.63891 -0.596274 |
<11(0.63891 -0.5)(0.63891 -9 - 0.6)(0.63891 -0.7)| < 0.55032 xlO -4
7、构造求解方程，+10龙-2 = 0的根的迭代格式山屮= 0,1,2,…，讨论其 收敛性，
并将根求出来，I 耳+i -耳kier 4。

答案：解：令 r (x) = e x +10x-2, /(0) = -2<0, /(l) = 10 + e>0
且广(x) = e'+10>0对Vxw(-8, + 8),故f(x) = 0在©1)内有唯一实根 将方程 f(x) = O 变形为
尤=丄(2-e x )
10
则当x w(OJ)时
r \ —
1 zo e x \ I 0‘(牙)1= _ — — — < 1 © 一矗心) 10 10
% 诂(2-J”)
收敛。

取A « = °-5 ,计算结果列表如下:
且满足 I 乃一兀6 広0.00000095 V 10“.所以F Q 0.090 525 008
10.已知下列实验数据
试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据。

故迭代格式
解：当0〈只1时，厂d）= e‘，则f（x）|<e,且卜山有一位整数. 要求近似值有5位有效数字，只须误差怦"⑴ 近xl°〔
即可，解得
所以" = 68,因此至少需将［0,1］ 68等份。

12、取节点心=°內=°恥2 T ,求函数fM =「在区间［o, 1］上的二次插值多项
式△⑴，并估计误差。

P. (x)=八x ZWT) +严x一上叱匕
・(0 _ 0・5)(o _ 1) (0.5 _ 0)(0.5 _ 1)
+ 宀(—0)( —().5)
(1-0)(1-0.5)
=2(x - 0.5)( x -1) - 4严5x(x-1) + 2e^l x(x - 0.5)
/(x) = e^9f\x)=一严皿3 = max I f m(x) 1= 1
I R. (x) 1=1 - R (x) € — I x(x一0.5)(x-1)1
故截断误差
14、给定方程rU）=（A-l）e v-l=0
1）分析该方程存在几个根；
2）用迭代法求出这些根，精确到5位有效数字；
3）说明所用的迭代格式是收敛的。

解：1）将方程（A-i）e'-1 = 0
（1）
改写为
x-1 =e (2)
作函数=/2(A)=e-A的图形(略)知有唯一根Te(l，2)。

2)将方程(2)改写为x = l+e—‘
仏=1+严
构造迭代格式I/。

=1.5 伙=0,1,2,…)
计算结果列表如下：
3）卑（x） = 1 + e~A , （p\x） = -e'v
当xe[l,2]时，0（x）w[0（2）,0（l）]u[l,2],且
所以迭代格式耳+广俠")伙=0」2…)对任意勺引1,2］均收敛。

15、用牛顿(切线)法求厲的近似值。

取及二，计算三次，保留五位小数。

解：羽是/(X)= X2-3=0的正根，f'M = 2x t牛顿迭代公式为
y~ — 3 X 3
X n+1 = X/r _ - X n+1 =才 + T-(〃 = 0丄2,…)
2x)i , 即 2 2x n
取及二，列表如下:
16、已知f (-1)=2, f (1)=3, f (2)=-4,求拉格朗日插值多项式厶2(朗及f (1, 5)的近似值，取五位小数。

22x dm +3少 + 1)(一2)_4少 + 1)(2)
解.- (-1-1X-1-2) (1 +1)(1-2) (2 + 1)(2-1)
2 3 4
=q (x _ 1)(% _ 2) _ 牙(x + l)(x-2) —— (x + l)(x _ 1)
wZ J
/(l.5)〜L2(1.5) = —« 0.04167
17、千3,用复合梯形公式求^e'C，V的近似值(取四位小数)，并求误差估计。

21. （15分）用〃 =8的复化梯形公式（或复化Simpson 公式）
用余项估计其误差。

用〃 的复化梯形公式（或复化Simpson 公式）计算出该积分的 近似值。

V - x -1 = 0在x = 1.5附近有根，把方程写成三种不同的等价形
1 +丄 x 对应迭代格式
（3） *疋_1对应迭代格式兀+产尤-1。

判断迭代格式在x o=l-5的收 敛性，选一种收敛格式计算2 1.5附近的根，精确到小数点后第三位。

解」K 咅牆卉2（"+尹）+j]”42
/(x) = e\rU) = e\ 0<x<l 时，I 厂(劝匕e
19
25
30
38
解：①=¥初{1/・}
1
192 解方程组 1 1 1
252 312 382
A T AC = A T y
/ =[19.0 32.3 49.0 73.3]
其中
4
3391
3391 3529603
173.6 179980.7
C =
解得：
0.9255577 0.0501025
所以 a = 0.9255577,
/? = 0.0501025
\R T [j^=-^h 2r (rj )< 丄 x
「存宀舟"•叩02
12 />
?
八8)=亍/(“)+ 2工/(忑)+ /(〃)]
2
2
=_1[1 +2x(0.8824969 + 0.7788008 + 0.60653066
+ 0.5352614 + 0.47236655 + 0.41686207 ) + 0.36787947 ]
=0.6329434
解:
22、（15分）方程 式（1）兀=阳1对应迭代格式心+广如+1；⑵ ~
至少有两位有效数字。

20、（8分）用最小二乘法求形如+处'的经验公式拟合以下数据:
皿时,试
1 --
解：（1） ^W = 5（A + 1） \ \（P'（1.5）|=0.18<1>故收敛；
（P\x）= ----- 吕-
（2）V % , W（l・5）| = 0.17vl,故收敛；
（3）03 = 3", |0（1.5）|=3X1.5‘>1,故发散。

选择（1）：x0 =1-5,册=1.3572,吃=1.3309,勺=1.3259, x4 = 1.3249 r
尤5 = 1.32476, x6 =1.32472
25、数值积分公式形如
L MW厶-S（x） = A/（0） +巧⑴+ V（0） + 0'（1）试确定参数A.及C、D使公式代数精度尽量高；（2）设/«eC4[0,l]f推导余项公式恥）=仙（恥-3（.丫），并估计误差。

. A = ——B = ―― B = —— D = - —J—解：将/U） = l,x,A-,A'分布代入公式得：20* 20' 30' 20
弘（£）= /（兀）
<
构造Hermite插值多项式兄⑴满足冋（兀）=广（兀）'=°」其中旺=。

,心=1则有：卜也（如=S（x）, fW - H,⑴=讐 / （一1）2
R（x） = f X[f（x） - S（x）]dx = J：（X一1）2 厶
4! J。

4!x60 1440
27、（10分）已知数值积分公式为：
『f（x）dx Q - [/（0） + /（〃）] + 刀『[/ （0）— /（A）] , h2八' ,试确定积分公式中的参数久，使
其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。

解：/（劝=1显然精确成立；
八、\h xdx = —= -[0 + //] + x/?2[l -1]
JM= X^9J O 2 2 ；
“. f\2Jx = /L = Z!.[O + /z2] + /l/72[O-2/2] = —-2/lA=>2 = — /（x） = 2 时，J（）3 2 2 12 .界、3 [\^ = —= -[0 + /?3] + 丄〃2[0一3〃2]
JM = x时，Jo 4 2 12 .
“、 4 f\4^x = —^-［0 + //4］ + —/72［0-4/?3］ = — /（x）= x 时，Jo 5 2 12 6 ;
所以，其代数精确度为3。

28、（8分）已知求亦（。

>0）的迭代公式为：
忑+1 =］（忑+ —）旺>0 k = 0丄2…
2 X#
证明：对一切k = \2、…,xQ五，且序列｛心｝是单调递减的，
从而迭代过程收敛。

耳+i =~^x k + —）» 了x 2 x h x 一=五k =°,1,2 … 证明：2忑 2 V 忑
故对一切* =12…,x t -五。

J = ：（l + t）W；（l + l）i < j I
又无2忑2所以忑科'心，即序列U是单调递减有下界，从而
迭代过程收敛。

其代数精度是多少
X— 2 x— 1
门、PW = -一x /⑴ + — x/（2）
解：是。

因为.心）在基点1、2处的插值多项式为1-2 2-1
j()p{x)dx = |[/(1) + /(2)]
30、（6分）写出求方程
4*cos（x）+1在区间［0,1］的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。

⑴=4|s，n（V）l-4<J/.对任意的初值观€【°」］,迭代公式都收敛。

31、（12分）以100,121,144为插值节点，用插值法计算皿的近似值，并利用余项估计误差。

用Newton 插值方法：差分表：
10 0 12 1
1
「f（x）
dx是否为插值型求积公式为什么。

其代数精度为1。

(6分) *弓+吨）］
n=0,1, 2,…
1
14
4
1
1
2
届^10+(115-100) (115-100) (115-121)
r*«=|x2
网=上丰!(115 - 100X115 —121X115 —144)(
1 3 --
<--100 2 xl5x6x29^0.00I63
68
32、(10分)用复化Simpson公式计算积分Jo兀的近似值，要求误差限为0.5x10-5。

33.(10分)用Gauss列主元消去法解方程组:
£+4X2+2X3 = 24
< 3兀]+x2 + 5X3= 34
2X] + 6X2 +x3 =27
0. 0 0000
x =(2.0000,3.0000,5.0000 )7
36、(6分)构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求出其代数精度:
妙(以/川观/([ +A/0)
S\0.94614588
|/_S2|«—152-5,| = 0.393 X10'
1 / " = 0.94608693
或利用余项:
X2X4X6牙8
=I ------------- + -------------------- + ------------
3! 5! 7! 9!
X2 X4
------- 1~ -----
7x2! 9x4!
冈=2880^1/<4，(/^ - 2880 x5/?
<0.5xl0"5
n> 2 f I aS?=・・
=扣（。

）+4石*（1）卜
取f (x)=l, X,令公式准确成立，得：
A i} + A. = ——+ 儿=_ A{} = — Ai =—
2,2 3 3 , 6
f(x) =x2时，公式左右=1/4; f(x) =x s时，公式左=1/5,公式右=5/24 ・・・公式的代数精度=2
40、(10分)已知下列函数表：
(2)作均差表，写出相应的三次Newton插值多项式，并计算"①的近似值。

解：(1)
=(x-l)(x-2)(x-3) + (兀一0心一2)(兀一3) + (x-0)(x-l)(x-3)十(x-0)(x - 1心-2) 5 X - (0-1)(0-2)(0-3) (1-0)(1-2)(1-3) (2-0)(2_1)(2_3) (3_0)(3_1)(3_2)
4 3 o , 8 |
=-x 一2x + —兀 +1
3 3
0 1
1 3 2
2 9 6 24
(2)均差表： 3 27 18 6 3
4
N3(X)=\+2X +2X(X-\)+-X(X-\)(X-2)
/(1.5)«^3(1.5) = 5
42、(10分)取5个等距节点，分别用复化梯形公式和复化辛普生公式计算积分
J 0 1 + 2广的近似值(保留4位小数)。

解:5个点对应的函数值f（X）~i + 2x2
(1)复化梯形公式(n=4，h=2/4=)：
T4 = [1 + 2 x (0.666667 + 0.333333 + 0.181818)+0.111111]
=0.868687
(2)复化梯形公式(n=2,02/2=1)：
s. = 1[1+ 4x(0.666667 + 0.181818)+2x0.333333 + 0.111 111] 6
= 0.861953。