第二章拉普拉斯变换

控 分析研究线性动态系统的有力数学工具。由于拉普
制 工
拉斯变换的运用，我们能使许多普通时间函数，如
程 正弦函数、阻尼正弦函数和指数函数转换成复变量
基 础
的代数函数。微积分的运算能由在复平面内的代数
运算来代替。于是，时域的线性微分方程能转换成
复数域的代数方程。这不仅运算方便，也使系统的
分析大为简化。
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第二章 拉普拉斯变换
一个函数可以进行拉氏变换的充要条件是：
(1)在t<0时， f (t) 0
(2)在t≥0的任一有限区间内，f (t是) 分段连续的；
控
制
工 程
(3)当t→﹢∞时， f (t) 的增长速度不超过某一指数函数，
基
础
即
f (t) Mekt (M和k为实常数)
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第二章 拉普拉斯变换
单位斜坡函数(Unit Ramp
t
Function)又称速度函数，其变
化曲线如图2-1-3所示。
控
制 工
数学表达式为
程
r(t)
0 t
t0 t0
基
础 其拉氏变换为
o
t
图2-1-3 单位斜坡函数
L[r(t)] r(t) estdt testdt
0
0
1 (test ) 1 estdt 1
A s2
eTs
1 eTs
seTs
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第二章 拉普拉斯变换
三、周期函数的拉氏变换
若函数 f 是(t)以T 为周期的周期函数,即 f (t T，) f (t)
则有 L f t f t estdt 0
控 制
T f testdt 2T f testdt n1T f t estdt
例2-2 求 L[1 e2t cos3t t 3 (t)] 。
解：
控 制 工 程 基 础
L 1 e2t cos3t t3 (t)
L1 L e2t Lcos3t Lt3 L t
11
s6
s s 2 s2 9 s4 1
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第二章 拉普拉斯变换
二、延时定理（Time-Shift Theorem）
基 础
sLeabharlann Baidums s t a b c
laplace(exp(-b*t)*cos(a*t+c))
ans =
1/(s^2+2*s*b+b^2+a^2)*(-
sin(c)*a+cos(c)*(s+b))
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第二章 拉普拉斯变换
第二节 拉普拉斯变换的性质
一、线性性质(Linearity)
线性性质指同时满足叠加性和齐次性 。
第二章 拉普拉斯变换
（六）正弦函数
正弦函数（Sine Function）的数学表达式为
r(t) sin t (t≥0)
控 式中， 为正弦函数的角频率。
制
工 程 基
其拉氏变换为 L[sin t] sin t estdt 0
础
1 (e jt ejt )est d t 2j 0
s2 2
图2-1-4 单位加速度函数
础
其拉氏变换为
L[r(t)] r(t) estdt 1 t2estdt
0
02
1 s3
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第二章 拉普拉斯变换
（五）指数函数
r(t)
e at
指数函数(Exponential Function)
分为指数增长函数和指数衰减函数。
变化曲线如图2-1-5所示 。
1
控 数学表达式为
e at
制
工 r (t)= eat (指数增长函数)
0
t
程 基
r (t)= e-at (指数衰减函数) 其中a >0 。 图2-1-5 指数函数
础
其拉氏变换为 L[eat ] eat estdt 1
0
sa
L[eat ] e at estdt 1
0
sa
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第二章 拉普拉斯变换
（七）余弦函数 余弦函数（Cosine Function）的数学表达式为
r(t) cost (t≥0)
控 制
其拉氏变换为
工 程 基
L[cost] costestdt 0
础
1 (e jt e jt )est d t
20
s
s2 2
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第二章 拉普拉斯变换
1
1 e2
s
1 s
e2s
2es
1
1 1 es 1 es
1 1 es s
2
1 es s 1 es
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第二章 拉普拉斯变换
四、复数域位移定理(Complex-Shifting Theorem)
若 L[ f (t)] F (s) ,对于任意常数a(实数或复数)，有
控
制
工 程
二、典型时间函数的拉氏变换
由于拉氏变换运算是被积变量区间为t [0,)的线性
积分运算，所以，以下实施拉氏变换的函数均取t [0,)
控 的单边函数。
制
工
常用的时间函数有：
程
基 础
单位脉冲函数、单位阶跃函数、单位斜坡函数、单位加
速度函数、指数函数、正弦函数、余弦函数、以及幂函数等。
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第二章 （一）单位脉冲函数
第二章 拉普拉斯变换
例2-3 求图2-2-1所示三角波的拉氏变换 f (t)
A
解： 三角波的表达式为
控 f (t) A(t T ) A(t 2T ) Au(t 2T )
制
工
程 所以
基
0
T 2T
图2-2-1 三角波
础
L f t
A
1 s2
eTs
A
1 s2
e2Ts
A 1 e2Ts s
s
s
当n=0、 n=1 及 n=2时的特例。
因为
L[t n ]
u ne
u
1
s n1
du
u neu du
0
(n 1)，所以
L[t n ]
(n 1)
0
s n1
当n是非整数时，(n 1) n！ 则
L[t n ]
n！ s n1
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第二章 拉普拉斯变换
注:欧拉公式
控
sin t j 1 (e jt e jt )
(t)dt 0 (t)dt 1
0
控
制 工 程
(t) f (t)dt f (0)
基
础
任意连续函数
其拉氏变换为
L[ (t)]
(t) est dt
1
0
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第二章 拉普拉斯变换
（二）单位阶跃函数
u (t )
1
单位阶跃函数(Unit Step
Function )又称位置函数通常用
第二章 拉普拉斯变换
例2-4 求图2-2-2所示连续方波的拉氏变换
解：
f (t)
在一个周期 t [0, 2] 内，f (t)的 1
数学表达式为
控
f t ut 2ut 1
01234567 t
制 工
由周期函数拉氏变换的公式得
-1
程
基 础
F
s
1
1 e2s
2ut 2ut 1estdt
0
图2-2-2 连续方波
控
叠加性 (Additivity Property)：指当几个激励信号
制 工
同时作用于系统时，总的输出响应等于每个激励单独
程 基
作用所产生的响应之和。如 r1 c1, r2 c2 ，则
础 r3 r1 r2 c3 c1 c2 。
齐次性 (Homogeneity Property)：指当输入信号乘
制 工
2
程
基 础
cost 1 (e jt e jt )
2
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第二章 拉普拉斯变换
三、使用MATLAB符号运算工具箱进行拉氏变换
MATLAB提供了 laplace（）函数来实现拉氏变换。
例2-1 求解函数 ebt cosat c 的拉氏变换。
控 制
解：输入以下命令
工
程 %L0201.m
对于一切复变量 s j ，只要其实部 Re[s] k ，
积分 f (t)estdt 就绝对收敛。 0
如果复变函数F (是s) 时间函数 f的(t拉) 氏变换，则 f (t)
控 制
称为F (s的) 拉氏逆变换，或拉氏反变换。记为 ：
工
程
基 础
f (t) L1[F(s)]
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第二章 拉普拉斯变换
第二章 拉普拉斯变换
主要内容
第一节 拉普拉斯变换简介
控
制 工
第二节 拉普拉斯变换的性质
程
基 础
第三节 拉普拉斯反变换
第四节 用拉普拉斯变换解线性微分方程
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第二章 拉普拉斯变换
第一节 拉普拉斯变换简介
拉普拉斯变换(Laplace Transform)（简称拉氏
变换）是一种解线性微分方程的简便运算方法，是
解： 由复数域位移定理得
控 制 工 程
基 同理得
础
L eat sin t
s a2 2
L eatcost
s
sa
a2
2
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第二章 拉普拉斯变换
五、时间尺度改变性质(Change of Time Scale)
时间尺度改变性质又称相似定理或称尺寸变换特性 (Scaling Property)或称压扩特性(Companding Property)。
若有 L[ f (t)] F (s) ，对任意实数 a ,则
控
L[ f (t a)] easF(s)
制
工 程
f (t-a) 为延时时间a的函数 f (t)，当t＜a，即t-a＜0时，f (t)=0
基
础 证： L f t a f t aestdt 0
a f t aestdt f t aestdt
第二章 拉普拉斯变换
在控制工程中，使用拉氏变换的主要目的：
研究系统动态特性
因为描述系统动态特性的传递函数和频率特性都是建立
控 制
在拉氏变换的基础之上的。
工
程 基
拉普拉斯变换法有以下两个优点：
础
⑴可以用显示系统特性的图解方法来计算，而无需 实际去解系统的微分方程。
⑵当我们解微分方程时，可同时获得解的瞬态分量和 稳态分量。
0
T
nT
工 程 基
n1T f t estdt
nT
础
n0
令 t = t1+nT，即 d t = dt1，t1=0 时，t = n T
L f t
T
f
0
t1 nT
est1nT dt1
n0
esnT
T
f
0 n0
t1
e st1 dt1
1 1 esT
T
f
0
t estdt
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u(t或) 1(t)来表示。 其变化曲线
0
t
控 如图2-1-2所示。
制
图2-1-2 单位阶跃函数
工 程 基 础
数学表达式为
u(t
)
0 1
t0 t0
u(t) 的拉氏变换为 L[u(t)] u(t) estdt estdt
0
0
1 s
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第二章 拉普拉斯变换
（三）单位斜坡函数
r (t )
0
a
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第二章 拉普拉斯变换
对于 t [0, ), f (t ) 0, 故上式右边的第一项积分值 为0。对于第二项积分，作变换 t a ，则
L f t a
f
ta
estaad t a
a
控 制 工
f es ad 0
程
基 础
eas
f
es d
0
easFs
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拉普拉斯变换
(t)
单位脉冲函数(Unit Impulse Function)也称为 函数或称狄 拉克函数(Dirac Function)，其 控 变化曲线如图2-1-1，
制 工
程 数学表达式为：
基 础
(t)
0
t 0 t0
1
0
t
图2-1-1 单位脉冲函数
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第二章 拉普拉斯变换
函数具有如下重要性质
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第二章 拉普拉斯变换
一、拉普拉斯变换的定义
设时间函数 f (t)，,则t 0 的拉普f (拉t) 斯变换定义为
控 制
L[ f (t)] F(s) f (t) estdt 0
工
程
基 础
象函数(Image Function)
原函数(Original Function )
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以某常数时，响应也倍乘相同的常数。如：r c ， 则 kr kc 。
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第二章 拉普拉斯变换
若有 L[ f1(t)] F1(s) ，L[ f2 (t)] F2 (s) a和b为常数
控
则 L[af1(t) bf2(t)]
制
工 程
aF1(s) bF2(s)
基
础
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第二章 拉普拉斯变换
(八) 幂函数
幂函数（Power Function）的数学表达式为 单位阶跃函数 、
r(t) t n (t≥0, n> -1且为整数)
其拉氏变换为 L[t n ] t nestdt 0
单位斜坡函数及单 位加速度函数分别
是幂函数 t n (n 1)
控 制 工 程 基 础
令u st,t u , dt du , 代入上式得
证：
基
础
L eat f t Fs a
L eat f t e at f t estdt 0
ft
e a s t dt
Fs a
0
L eat f t Fs a
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第二章 拉普拉斯变换
例2-5 求 L eat sin t 和L eatcost 。
s
0 s0
s2
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第二章 （四）单位加速度函数
拉普拉斯变换
r (t)
单位加速度函数（Unit Acceleration Function）又称抛物函数(Parabolic Function)，其变化曲线如图2-1-4。
控
0
制 工 程 基
数学表达式为
r (t )
1 2
t
2
t0 t 0
0
t