高考数学 25.2二项分布

25.2二项分布

【知识网络】

1、条件概率的概念、公式、性质，并能运用它们计算事件的概率；

2、两个事件相互独立的概念，判断两个事件是否是相互独立事件；

3、理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题。 【典型例题】

例1：（1）将三颗骰子各掷一次，设事件A=“三个点数都不相同”，B=“至少出现一个6点”，则概率)(B A P 等于 （ ） A 、

9160 B 、21 C 、185 D 、216

91

答案：A 。

解析：1

515519115460()60(),()3,(|)6

66

666

216666216()91

P AB P B P AB P A B P B =+⨯+⨯⨯=

=⨯⨯⨯=∴==。 （2）某人射击命中目标的概率为0.6,每次射击互不影响,连续射击3次,至少有2次命中目标的概率为 ( )

A.

12584 B. 12581 C. 12536 D. 125

27

答案：B 。解析：125

81)53(52)53(3

33225=+⋅C C 。

（3）袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率是

7

1

，现在甲、乙两人从袋中轮流摸出1球，甲先取，乙后取，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球每一次被取到的机会是等可能的，那么甲取到白球的概率是 （ ）

A 、

73 B 、356 C 、35

1

D 、3522

答案：D 。解析：设白球有n 个，

2

27

1,3,7n

C n C

=

=∴P 甲=34334321227765765435

+⨯⨯+⨯⨯⨯=。 （4）某气象站天气预报准确率是80%，5次预报中至少有4次准确的概率是______(精

确到0.01) 。

答案：0.74。解析：74.08.02.08.0)(5

55445≈⋅+⨯⨯=C C A P 。

（5）在10个球中有6个红球，4个白球（各不相同），不放回的依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下，第2次也摸出红球的概率是 。

答案：9

5

。解析：设“第一次摸到红球”为事件A ，“第二次摸到红球”为事件B ，则665

(),()10109

P A P AB ⨯=

=

⨯，∴(|)()/()5/9P A B P AB P A ==。 例2：甲乙两人独立解出某一道数学题的概率依次为()1212,P P P P >，已知该题被甲或 乙解出的概率为0.8，甲乙两人同时解出该题的概率为0.3，求:

（1）12, P P ;

（2）解出该题的人数X 的分布列及EX .

答案：解：（1）设甲乙两人解出该数学题分别为事件A 和B ，则12(),()P A P P B P ==，

所以()()

()()0.80.3

P A B P A B P A B P A B ⎧⋅+⋅+⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即()()12211212110.80.3P P P P P P P P ⎧-⋅+-⋅+⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩

解之得120.6,0.5P P ==

（2）(0)0.40.50.2P X ==⨯=，(1)0.60.50.40.50.5P X ==⨯+⨯=，

(2)0.60.50.3P X ==⨯=

所以0EX =⨯。

例3：高二（1）班的一个研究性学习小组在网上查知，某珍稀植物种子在一定条件下 发芽成功的概率为

3

1

，该研究性学习小组又分成两个小组进行验证性实验. （Ⅰ）第一小组做了5次这种植物种子的发芽实验（每次均种下一粒种子），求他们的实 验至少有3次发芽成功的概率；

（Ⅱ）第二小组做了若干次发芽实验（每次均种下一粒种子），如果在一次实验中种子发 芽成功就停止实验，否则将继续进行下次实验，直到种子发芽成功为止，但实验的次数最多 不超过5次，求第二小组所做种子发芽试验的次数ξ的概率分布列和数学期望． 答案：解（Ⅰ）至少有3次发芽成功，即有3次、4次、5次发牙成功 设5次试验中发芽成功的次数为随机变量X ，则 P （X =3）=33

251240()()33243C ⋅=

4451210

(4)()33243

P X C ==⋅=

555121(5)()33243

P X C ==⋅= 所以至少有3次发芽成功的概率)5()4()3(=+=+==X P X P X P P

4010151

243243243243

=

++=

（Ⅱ）随机变量ξ的可能取值为1，2，3，4，5 1(1)3

P ξ==

212

(2)339

P ξ==⋅=

2214

(3)()3327

P ξ==⋅=

3218

(4)()3381P ξ==⋅=

4216

(5)()1381

P ξ==⋅=

所以ξ的分布列为

ξ的数字期望81

211

8116581842743922311=

⨯+⨯+⨯

+⨯+⨯=ξE 例4：设飞机A 有两个发动机，飞机B 有四个发动机，如有半数或半数以上的发动机

没有故障，飞机就能安全飞行。现设各发动机发生故障的概率p 是 t 的函数1t

p e λ-=-，

其中t 为发动机启动后所经历的时间，λ为正常数，试论证飞机A 与飞机B 哪一个更安全(这里不考虑其他故障)。

答案：解：设飞机A 能安全飞行的概率为1P ，飞机B 能安全飞行的概率为2P ，则

22221211)1()1(p p C p p C P -=-+-=

43434443342341)1(41)1(1p p p p p p C p p C P +-=---=---=

)1)(3

1

(3)1)(13()143(43223223412--=--=+-=+-=-p p p p p p p p p p p p P P

又 t e p λ--=1 所以 )3

2()1(321

2-⋅⋅-=----t

t t e e e P P λλλ 当23ln 1λ>t 时，320<<-t

e λ，012<-P P ，12P P <；

当23ln 1λ=t 时，32=-t

e λ，012=-P P ，12P P =；

当23ln 1λ-t

e λ，012>-P P ，12P P >；

故当23ln 1λ>t 时，飞机A 安全；当23ln 1λ=t 时，飞机A 与飞机B 一样安全；当2

3

ln

1λ

1．在4次独立试验中，事件A 出现的概率相同，若事件A 至少发生1次的概率是

81

65

，则事件A 在一次试验中出现的概率是 （ ） A 、

31 B 、52 C 、65 D 、3

2 答案：A 。解析：设A 发生概率为P ，4651

1(1),813

P P --=

=。 2．把一枚硬币抛掷两次，事件A=“第一次出现正面”，事件B=“第二次出现反面”，则

)(A B P 等于 （ ）