初中数学猜想题的几种解法

初中数学猜想题的几种解法

吴贵兴

摘要：猜想试题近年考试所占的比例越来越高，猜想是学习数学极其重要的思维方法，而掌握猜想方法要有一定的技巧，掌握常见的等差型、等比型、平方型等题型的解题技巧，对猜想思维的提高有很大帮助。本文通过例说实践与探索，总结猜想思维能力题的某些特殊规律，掌握其中解猜想题的技巧，从而促进猜想思维能力的提高，培养学生分析问题、解决问题的能力，开发学生智能，达到培养学生正确认识数学观点和掌握数学方法，提高学生解猜想题、应用数学的能力。

关键词：开放性、猜想、解题、方法、技巧、等差型、等比型。

在实施素质教育的今天，猜想试题近年考试所占的比例越来越高，猜想是学习数学极其重要的思维方法。因此，现在我们更加注重猜想思维的培养和应用，特别是用于评价学生的思维能力。近年来，求解猜想题在各类考试中随处可见；而教材中却没有专门涉及到猜想题的内容，这让部分教师非常的苦恼。据统计，在考试中能做对这类题的学生仅有百分之十四左右（在我的两个教学班中统计），且花时间比较多。我们如何解决这个问题，让普遍的学生能做猜想题，提高猜想思维能力。为此，笔者总结猜想思维的特征，研究关于“猜想”的辅助课如下：

一、等差型（kn+a型）

问题:用同样大小的黑、白两种颜色的棋子摆设如下图所示的正方形图案，则第n 个图案需要用白色棋子枚数为_________（用含n的代数式表示）。[1]

○○○○○

○○○○○●●●○

〇〇○○●●○○●●●○……

○●○○●●○○●●●○

○○○○○○○○○○○○

(第一个) (第二个) (第三个) …… (第n个)

观察上表得出特征:第一个以后的每一个图案的白棋枚都比它前一个图案的白棋多4枚,因此第4个的白棋数应为16+4=20枚。那么，第n个图案的白棋数呢？

请观察：

（1）4×1+4=8 （2）4×2+4=12 （3）4×3+4=16 （4）4×4+4=20

由此看出，第n个图案的白棋数为：4n+4枚。

一般地，如果数列后一个数总比前一个数大к（等差数列），则第n个数为kn+a(a

为待定的已知数)。

例1：用黑白两种颜色的正方形纸片数逐渐加1的规律拼成一列图案如下：

□□□□□□

□■□□■□■□□■□■□■□……

□□□□□□

(第1 个) (第2个) (第3个) ……

（1）第4 个图案中有白色纸片___________张

（2）第n个图案中有白色纸片___________张（用含n的代数式表示）。

有：7-4=3 10-7=3 ……

因为,后一个图案的白色纸片纸张数总比前一个图案的白色纸片张数大3,即k=3。

所以,第4个图案有白色纸片10+3=13张。

第n个图案有白色纸片3n+a张,而当n=1时,3n+a=4,解得，a=1.即第n个图案有白色纸片(3n+1)张。

检验：当n=2时,3n+1=3×2+1=7；当n=3时,3n+1=3×3+1=10 均满足题意。

所以第n个图案有白色纸片(3n+1)张。

例2：用长度相等的火柴拼成下面由三角形组成的图形：

（1）（2）（3）（4）

第n个图形需要火柴的根数是________根（用含n的代数式表示）。[2]

因为有: 5-3=2, 7-5=2, 9-7=2 ……

所以，k=2. 因此猜想第n个图案的火柴棒根数为(2n+a).当n=1时, 2n+a=2+a=3, 解得a=1.

检验: 当n=2时,2n+1=2×2+1=5. 满足题意。

所以,第n个图形需要火柴的根数是(2n+1)根。

试一试:

1．如下图,正方形通过多次划分,得到若干个正方形,请你通过观察猜想,第n次划分图中得到的正方开形的个数为_________(用含n的代数式表示)

第1次第2次第3次

所以,第个n次划分图中得到的正方形的个数为(4n+1)。

2．下列每个图案是由若干盆花组成的形如三角形的图案，每条边（包括两个顶点）n(n ﹥1)有盆花，每个图案花盆的总数是s。

※

※※※

※※※※※……

※※※※※※※※※

n=2，s=3 n=3，s=6 n=4，s=9

按此规律推断，s与n的关系式是__________。[3]

所以 , S=3n-3.

二、等比型(k n+a型）

问题：如图是一幅“五角星图”，第一行有1 个，第二行有2个，第三行有4 个……,你是否发现五角星的排列规律?猜猜看,第十行有_____个五角星。

★★

★

★★★★

★★★★★★★★

★★★★★★★★★★★★★★★★

分析:先找到五角星与行数之间的关系如下:

此时,差不再相等;而有:

2÷1=2, 4÷2=2 , 8÷4=2 ……

也就是说,后一行的五角星数总是前一行的五角星数的2倍.

请观察: （1）20=1 即 2(1-1)=1

（2）21=2 即 2(2-1)=2

（3）22=4 即 2(3-1)=4

（4）23=8 即 2(4-1)=8

所以,第n行的五角星数为:2n-1个。

一般地，如果数列后一个数总是前一个数的к倍（等比数列），则第n个数为k n+a(a

为待定的已知数)。

例3：下面规律排列的数：1，2，4，8，16，……第2007个数应是_______.

有: 2÷1=2 4÷2=2 8÷4=2 16÷8=2 ……即k=2.

于是,猜想第n个数为2n+a ,而当n=1时, k n+a=2n+a=2a+1=1.解得, a=-1.

即第n个数为2n-1.

检验:当n=2时,2n-1=22-1=2,当n=3时,2n-1 =23-1=22=4,均能成立.

因此,第n个数为2n-1. 当n=2007时,2n-1=22007-1=22006.

所以,第2007个数应为22006。

例4：有人编了条手机短信：“鬼节快到了，壹福、贰禄、叁寿、伍财、陆路妖

怪都来保佑你。你要转给六个好友，两天后定有好运临头，如删除或是不发背运一年！发吧，不发被逼哦！”发给了一个朋友，这位朋友不想被诅咒，于是就转发给了6个朋友，这6个人又各转发给6位朋友……假设收到此短信的人都各转发给6 位朋友;那么,第一次转发共发6条,第二次转发共转发6×6=36条,第三次转发共发36×6=216,

第10次转发共发______条短信,第n次呢?

有: 36÷6=6 216÷6=6 (216×6)÷6=6……即=6,

于是猜想第n次共转发6n+a条短信,当n=1时, 6n+a=61+a=6,解得, a=0.即第n次转

发的短信条数共6n条.

检验:当n=2时, 62 =36;当n=3时, 63 =216符合要求.

所以,第n次转发的短信条数共为6n条.当n=10时，6n=610=60466176条，第十次

转发共发60466176条。

三、平方型(n2+a型)

问题：如图，第（1）个图形的点数是1 ，第（2）个图形的点数是1+3 ，第（3）个图形的点数是1+3+5 ，……那么第(n)个图形的点数是______________。

●

●●●●