格林函数--偏微分方程解的积分表示

第十四章 格林函数 --偏微分方程解的积分表示
解偏微分方程主要有两种方法：
数理方法中的分离变量法：正交的无穷级数解，特别的边界条件。

理论物理中的Green 函数方法：有理形式解，任意的边界条件。

1，Green 函数的意义：
物理上：点源产生的场（函数）在时空中的分布 1） 空间：源函数 2） 时空：传播函数
数学上: 具有点源的偏微分方程在齐次边界条件或者无界、初值条件下的解。

2，Green 函数的分类：
边界值Green 函数：(,')G r r 源函数 初始值Green 函数：(,,',')G r t r t 传播函数 3，Green 函数的性质：
1）对称性：(,')(',)G r r G r r = 与定解问题相关，即与厄米性相关。

2）时间传播函数没有对称性：(,,',')(',',,)G r t r t G r t r t ≠.
3）存在的必要条件：设方程2()(,')(')G r r r r λδ∇+=--，若λ是对应齐次方程
的本征值，即2ϕλϕ∇=- 和附加齐次边界条件，则(,')G r r 不存在（既有点源又无流，物理上自相矛盾！）
4，Green 函数边值条件：
设边值条件具有人为性，但要求简单并保证算子的厄米性。

1）齐次边值条件：()|0.G
G n αβ∑∂+=∂ 2） |0r G →∞=有解：基本解。

5，Green 函数的用途： 偏微分方程的积分解法： 1）求(,')G r r
2）利用迭加原理给出待求解()u r 的积分形式
6，Green 函数的求法：
1) 特殊方法：21
(').|'|
G r r G r r δ∇=--⇒=
-。

2）本征函数展开法：相应算子在同一边界条件下的本征函数作为基矢。

3）方程齐次化方法：将非齐次项变成边值条件和初值条件。

4）积分变化法：LT ，FT 。

5) 形式解：算子运算。

14.1 Green 函数与偏微分方程
1，定义：Green 函数(源函数，影响函数，传播函数，传播子)
数学上，含点源的偏微分方程在一定的边界条件或者初始条件下的解； 物理上，点源在一定物理条件下产生的场。

这种解（场）在时空中的分布与传播。

例1， Possion Equation:
224(),(,')4('),
|0.|0.1
(,'),()(,')(')'
|'|
u r G r r r r u G G r r u r G r r r dr r r πρπδρ∑∑⎧⎧∇=-∇=--⇒⎨
⎨==⎩⎩⇒==-⎰
基本解---无界空间Green 函数的叠加。

例2，Helmholtz Equation ：
22()4(),()(,')4('),
|0.|0.
()(,')(')'(see below for the solution,(,'):;('):). u r G r r r r u G u r G r r r dr G r r Field r Source λπρλπδρρ∑∑⎧⎧∇+=-∇+=--⇒⎨
⎨==⎩⎩⇒=⎰
例3， 波动方程，
22222
222(,),|0,|0,|0.
(,;',')(')('),|0,|0,|0.
t t t t t t a u r t t u u u a G r t r t r r t t t G G G ρδδ∑∑⎛⎫∂-∇= ⎪∂⎝⎭
===⎛⎫
∂⇒-∇=-- ⎪∂⎝⎭
===
在含时Green 函数(,;',')G r t r t 中，为方便计， 我们将它简记为(,').G r r
2, Helmholtz Equation and Laplace Equation 解的积分形式（在定解问题中求G ） 设定解问题，
22()4(),(1)
()|(),(2)()(,')4(')(3)()|0(4)
n n u r u u f G r r r r u u λπραβλπδαβ∑∑∇+=---+=∑--∇+=----+=----------对应于
作算符运算：[(,').(1)().(3)]G r r Eq u r Eq dr Ω
-⎰ 得
22
[(,')()()(,')]4[(,')()]G r r u r u r G r r dr G r r u r dr πρδΩ
Ω
∇-∇=--⎰⎰
对上式左边利用Green 公式得：()n n Gu uG d ∑
-∑⎰⎰ 故有形式解 1()(,')(')(,')()(,')()4u r G r r u r G r r r dr G r r u r d n n ρπ
∑∂∂⎛
⎫=+
-∑ ⎪∂∂⎝
⎭⎰⎰⎰（5） 在(,')G r r 已知的前提下，解（5）也不是()u r 用(,')G r r 表示的最后形式。

这是因为(),()n u r u r 在边界∑上还未知（最多知道他们在∑的线性组合）。

幸好(,')G r r 的边界条件尚没有给定；只要选定G 的边界条件为齐次，则(),()n u r u r 或者其线性组合就可为已知的边界条件，从而最后确定().u r 例如： 1）第一类边界条件： 0,1,|(),|0u f G αβ∑∑===∑=
1
()(')(,')()().4G r u r G r r r dr u r d n ρπ
Ω
∑∂⎛⎫⇒=-
∑ ⎪∂⎝
⎭⎰⎰⎰ 2）第二类边界条件：1,0,|(),|0n n u f G αβ∑∑===∑= 1()(')(,')()(,').4u r u r G r r r dr G r r d n ρπ
Ω
∑∂⎛
⎫⇒=+
∑ ⎪∂⎝
⎭⎰⎰⎰ 3）第三类边界条件：,0,(2)(4),()|()n n Taking G u Gu uG Gf αβα∑≠-⇒-=∑
得到：()1
(')(,')()(,')()4u r G r r r dr G r r f d ρπα
Ω
∑
=+
∑∑⎰⎰⎰ 这些形式解的前提是G 要已知或者可求出。

实际问题中，G 可能就不存在。

例
如在第二类边界条件中，0λ=的问题，[Possion Equation, 点源存在，但边界“流”
为零，物理上不通（即产生又绝缘，矛盾），数学上无解]。

再例如，2()0,()|0n u u u λαβ∑∇+=+= 构成本征值问题，
但没有相对应的方程（3）
和（4），这是因为即使在边界条件完全相同的情况下，0ρ≡（无源问题）而方程（3）的源为(').r r δ-在此情况下，第三类边界条件中G 无解（不过可适当修改Green 函数的意义）。

3. Green 函数的物理意义
以∑为边界的区域Ω，既无论原方程是否齐次（即Ω内有、无源），又无论原边界条件是否齐次（即∑上有、无源），Green 函数总是定义在Ω内除一点以外方程的非齐次项处处为零（问题本身总要有非齐次项，如源于边界条件）且相应的边界条件也是齐次的定解问题的解。

因此Green 函数是“点源影响函数” 或者 “作用的传播函数”。

对于所讨论的线性方程而言，一旦知道了相应问题的Green 函数，只要再做两个积分，把原方程的非齐次项所反应的连续源分布对各点所产生的影响线性迭加起来，便给出原问题的解。

这是线性迭加原理的最成功应用。

齐次方程的本征值问题的本征值解可用于表示相应非齐次方程定解问题的Green 函数。

14.2 Green 函数的性质
1. Green 函数由线性算子L ∧
和边界、初始条件决定：
(,;',')(')(')LG r t r t r r t t δδ∧
=--，加上齐次边界、初始条件。

2. Green 函数的叠加性
1）01G G G =+ 非齐次方程特解（δδ）+齐次方程通解（δδ=0）。

例如：0101('),0,(,')('),|().|0;
|().LG r r LG LG r r r r G f G G f δδ∧∧∧
∑∑∑⎧⎧⎧⎪⎪⎪
=-==-⇒⊕⎨⎨⎨=∑==∑⎪⎪⎪⎩⎩⎩
2).()0.L G G ∧
*-=
3. Green 函数的对称性：
若算子L ∧是厄米的，则由L ∧
产生的G 有*(,')(',)G r r G r r =,特别地，对于实变Green 函数，(,')(',).G r r G r r =
1）Helmholtz 方程，2
'
()(,')(') (1)
(')|0......................(2)n G r r r r G G λδαβ∑⎧∇+=-⎪⎨+=⎪⎩ 2''
()(,'')(''), (3)
('')|0....................(4)n G r r r r G G λδαβ∑⎧∇+=-⎪⎨+=⎪⎩
作((,'').(1)(,').(3))G r r Eq G r r Eq dr Ω
-⎰，则方程右端变为
('',')(','')G r r G r r -，而左端22[(,'')(,')(,')(,'')]G r r G r r G r r G r r dr Ω
∇-∇⎰。

利用
Green 公式，上式变为'''
(''')0n n G G G G d ∑
-∑=⎰⎰ [因为（2）和（4）的行列式为
零]。

故： (','')('',')G r r G r r =。

2）Green Equation
'''(,')(')...............(1)(')|0......................(2)[(,'')][('')]('').....(3)('')|0.. (4)
n n LG r r r r G G LG r r r r r r G G δαβδδαβ∧∑∧**∑⎧⎪=--⎨+=⎪⎩⎧⎪=--=--⎨+=⎪⎩
作[(,'')(1)(,')(3)]G r r G r r dr *Ω
-⎰，则方程右端变为('',')(','')G r r G r r *-，而左端
{(,'')(,')(,')[(,')]}0G r r LG r r G r r LG r r dr ∧∧
*
*
Ω
-=⎰，(因为L ∧
的厄米性)。

故 (','')('','),.G r r G r r or G G *+==
推论，*();(,')(',)G G G r r G r r *==，如果G 为实变函数。

总之，1
(')(,')()(,')(')'
(,')(')4u r G r r u r G r r r dr G r r u r d n n ρπ
Ω∑∂∂⎛
⎫=+-∑ ⎪∂∂⎝
⎭⎰⎰⎰的物理意义：点源'r 产生的势传播到r 的(,')G r r ,再对整体求和，加上边界条件产生的势，总和为r 处的势分布。

4. Green 函数的奇异性及其随空间维数降低的减弱性。

1) （有）无界区域Green 函数----基本解0(,')G r r
a.无界：(').LG r r δ∧
=-- 设解为0(,')G r r （详解见下），则基本解0(,')G r r 为
有限形式，且中心对称（|'|r r -）以及关于'r r =发散。

（奇异性与 维度D 有关）
b.有界：01G G G =+, 0(')LG r r δ∧
=-- 和 11000,||(,')LG G G G r ∧
∑∑==-=-∑。

因为基本解0G 有奇异性，所以直接影响分布。

点源'r 通过边界∑，i.e.，0(,')G r -∑对r 的分布有直接影响。

2） Helmholtz Equation, 22()(')k G r r δ∇+=-- 的解(,')G r r 在'r r =附近的奇
异性 （具体求解见下节）： a. 3D, 11
,|'|G r r r
∝
-发散;
b. 2D, 1
ln
|'|
G ρρ∝-，对数发散;
c. 1D, G 连续，0
||1x x x x G G +--=-，导数发散。

由此可见Green 函数的奇异性随空间维数的降低而减弱。

14.3 Green 函数的求法
1. 方程齐次化法：将非齐次项(')r r δ--变为边界条件。

1) Helmholtz Equation: a. 1D 2''(')G k G r r δ+=--
2
2
'''0(')''|(').
x x G k G x x G k G x x δ→→=⎧+=≠⎪⇒⇒⎨+=--⎪⎩
|'|'2
'''[(,')(',)]/(2)('')1'|'|1()ik x x x x x x G Ae G x x G x x A i k G k G dx G G ε
εεε
-++--⎧===>=⎪⎨+=-=>-=-⎪⎩⎰积分得奇异性 b. 2D 2
(')(')x x y y
G G k G x x y y δδ++=--- 移动原点00→’且改用极坐标系，2
20
1()'0(0)1()'|()().
G k G G k G x y ρρρρρρρδδρ=⎧+=≠⎪⎪
⎨⎛⎫⎪+=- ⎪⎪⎝⎭⎩
其解为00()()J k N k ρρ和，或
()(1)
0002
()()()()ln(/2)(0)G A J k iN k AH k i
k ρρρρρρπ
=+≡≈奇异性。

确定:A ()2
2
(1)
001/4()(|'|).4i G k G dxdy A i G H k k ρρρ→→∇+=-⇒=⇒=-⎰⎰’
特别当0k =（Laplace Equation ）时 201
()'0
|()()
G G x y ρρρρδδ=⎧=⎪⎨⎪∇=-⎩
()ln(1/),G B C ρρπ⇒=+积得，B=1/2,C 由物理条件确定。

c. 3D 设散射中心 '0r =，22
220()0
()|().r k G k G r δ=⎧∇+=⎪⎨∇+=-⎪⎩
球对称，21()''0,().ikr ikr A
rG k G rG Ae G e r r
±+=→==散射
()2
2
[(')]
1,(,').44|'|
ikr e exp i k r r G k G dr G G r r r r r πππ⋅-∇+=-=⇒=-⎰⎰⎰1积分得A=,4
2）1D 波动方程
2
0,00()(),
|0,||0.tt xx x l
t t t G a G x t G G G δξδτ===⎧-=--⎪⎨
===⎪⎩ 冲量定理法： 2
0,0,
|0,|0,|().
tt xx x l t G a G G G G x τετεδξ=++⎧-=⎪⎨===-⎪⎩
121(,;,)sin()sin()sin[(')].n x a
G x t n n n t t a n l l l
ξξτππππ∞=⇒=-∑ 当为第二类边界条件时，仅将上述sin 换为cos 就行了。

3）1D 输运方程
2
0,0,|0,|().
t xx x l t G a G G G x εδε=+⎧-=⎪⎨==-⎪⎩
2
()()
1
2(,;,)s i n (
)s i n ().
a n t l
n x G x t e
n n l l
l
πτξ
ξτππ∞--=⇒=∑ 对于第二类边界条件，将上面sin 换为cos 就行了。

2. 积分变换法： 1）Fourier Transform.
a. 3D Possion Equation:
3/2
21(,')4('),'0,()()2FT
ik r
G r r r r r G k G r e dr πδπ-⋅⎛⎫
∇=--≡= ⎪
⎝⎭
⎰
作其反演：3/2
1()()2ik r
G r G k e dk π⋅⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
⎰
，再作2∇，则方程变为 22
1
1()2ik r
G r e d k k
π⋅=
⎰ 进而积分 cos 2
2221
1111()sin (').2|'|
ik r ikr G r e dk e d d k dk G r r k k r r r θθθϕπ⋅=
==⇒-=-⎰⎰ b. 3D Helmholtz Equation:
222()()4(),:()()1/(2).G r r FT k G k λπδλπ∇+=--+=- 222111
().2ik r ik r
i r
e k G r dk e dk e k i r k r
λπλπλ
∞
⋅⋅--∞∴====--⎰⎰
如果2
1/L λλ=-，则/()/().L r G r e r This is Coulomb screen potential λ-=
c. 3D 波动方程
2
2
221()(,)4()()G r t r t c t
πδδ∂∇-=-∂
(源位于'0,0r t ==处). Taking FT for t , one has 2
2
2
2
1()(,)().2G r r c ωωδπ∇+
=-
于结果a 比较得/1(,),2i r c e G r r ωωπ±=
/1
1
(,)(/).2i r c i e G r e d r c r r
ωωττωδτπ
±±==±⎰ 故: ('|'|/)
(,;',')|'|
t t r r c G r t r t r r δ±-±-=
-为超前/推迟Green 函数。

2）Laplace Transform (3+1)D
a. 波动方程:
2
2220
01()4(')('),
||0.
t t t G r r t t c t G G πδδ==⎧∂∇-=---⎪∂⎨
⎪==⎩ 作 LT for t 0
()()(Re 0)pt G p G t e dt p ∞
-=>⎰. 于是上述方程变为：
222'(/)(,;',')4(').pt p c G r p r t r r e πδ-∇-=-- 解此方程得：|'|'(,;',').|'|
p
i r r c
pt e
G r p r t e r r ±--=-
设'0r ≡，则
00('/)('/)1
1(,;')(,;')(,;').22p i t r c p t t r c p
pt
p i e e G r p t G r t t G r p t e dp dp r i
i r ππ+∞
-+---∞
=⇒=
=⎰⎰ 令0p p ik =+，则上式可表示为
00('/)
('/)('/)111('/)('/).2p t t r c p t t r c i t t r c k
e
e dk e t t r c t t r c r
r r δδπ∞
-------∞
=--=--⎰ 这是因为()()()()f x x a f a x a δδ-=- 1
(,;',')('|'|/)|'|
G r t r t t t r r c r r δ=
---- 这里只有推迟势。

b. 热传导方程：
2201()4(')('),
|0.
t G r r t t c t G πδδ=∂
⎧∇-=---⎪∂⎨
⎪=⎩ 作LT for t and FT for :r 2'
22
1()(,,').2pt p k G k p t e c π---
=- 再作 Inverse LT and Inverse FT ： 22|'|4(')
3/2
11
(,;',').(')
2r r c t t G r t r t e t t c π--
-=-
3. 本征函数展开法：
2D Possion Equation: 0,;0,(')('),
|0.xx yy x a y b
G G x x y y G δδ==+=---⎧⎪⎨=⎪⎩
选满足边界条件的正交函数系：
,(,)sin()sin()(,1,2,).m n x y
x y m n m n a b
ππΦ==
正交归一性：
,',',','00
1
(,)(,)d d .4a b
m n m n m m n n x y x y x y ab δδΦΦ=⎰⎰ 设,,(,;',')(',')(,)mn m n m n
G x y x y g x y x y =Φ∑带入方程得：
2,,,(',')(,)(')(')mn m n m n m n
G g x y x y x x y y λδδ∇=Φ=---∑
其中222,[(/)(/)].
m n m a n b λπ=-+ 在这个方程两边同乘以','m n Φ,再积分得到： ,,
,1
(',')(',')
4
m n m n m n
g x y a b x y λ-=Φ 故222
,4sin(/)sin(/)sin('/)sin('/)
(,;',')(/)(/)m n m x a n y b m x y n y b G x y x y ab m a n b πππππ=
+∑.。