格林函数--偏微分方程解的积分表示

第十四章 格林函数 --偏微分方程解的积分表示

解偏微分方程主要有两种方法：

数理方法中的分离变量法：正交的无穷级数解，特别的边界条件。 理论物理中的Green 函数方法：有理形式解，任意的边界条件。

1，Green 函数的意义：

物理上：点源产生的场（函数）在时空中的分布 1） 空间：源函数 2） 时空：传播函数

数学上: 具有点源的偏微分方程在齐次边界条件或者无界、初值条件下的解。

2，Green 函数的分类：

边界值Green 函数：(,')G r r 源函数 初始值Green 函数：(,,',')G r t r t 传播函数 3，Green 函数的性质：

1）对称性：(,')(',)G r r G r r = 与定解问题相关，即与厄米性相关。 2）时间传播函数没有对称性：(,,',')(',',,)G r t r t G r t r t ≠.

3）存在的必要条件：设方程2()(,')(')G r r r r λδ∇+=--，若λ是对应齐次方程

的本征值，即2ϕλϕ∇=- 和附加齐次边界条件，则(,')G r r 不存在（既有点源又无流，物理上自相矛盾！）

4，Green 函数边值条件：

设边值条件具有人为性，但要求简单并保证算子的厄米性。

1）齐次边值条件：()|0.G

G n αβ∑∂+=∂ 2） |0r G →∞=有解：基本解。

5，Green 函数的用途： 偏微分方程的积分解法： 1）求(,')G r r

2）利用迭加原理给出待求解()u r 的积分形式

6，Green 函数的求法：

1) 特殊方法：21

(').|'|

G r r G r r δ∇=--⇒=

-。

2）本征函数展开法：相应算子在同一边界条件下的本征函数作为基矢。 3）方程齐次化方法：将非齐次项变成边值条件和初值条件。 4）积分变化法：LT ，FT 。 5) 形式解：算子运算。

14.1 Green 函数与偏微分方程

1，定义：Green 函数(源函数，影响函数，传播函数，传播子)

数学上，含点源的偏微分方程在一定的边界条件或者初始条件下的解； 物理上，点源在一定物理条件下产生的场。这种解（场）在时空中的分布与传播。

例1， Possion Equation:

224(),(,')4('),

|0.|0.1

(,'),()(,')(')'

|'|

u r G r r r r u G G r r u r G r r r dr r r πρπδρ∑∑⎧⎧∇=-∇=--⇒⎨

⎨==⎩⎩⇒==-⎰

基本解---无界空间Green 函数的叠加。

例2，Helmholtz Equation ：

22()4(),()(,')4('),

|0.|0.

()(,')(')'(see below for the solution,(,'):;('):). u r G r r r r u G u r G r r r dr G r r Field r Source λπρλπδρρ∑∑⎧⎧∇+=-∇+=--⇒⎨

⎨==⎩⎩⇒=⎰

例3， 波动方程，

22222

222(,),|0,|0,|0.

(,;',')(')('),|0,|0,|0.

t t t t t t a u r t t u u u a G r t r t r r t t t G G G ρδδ∑∑⎛⎫∂-∇= ⎪∂⎝⎭

===⎛⎫

∂⇒-∇=-- ⎪∂⎝⎭

===

在含时Green 函数(,;',')G r t r t 中，为方便计， 我们将它简记为(,').G r r

2, Helmholtz Equation and Laplace Equation 解的积分形式（在定解问题中求G ） 设定解问题，

22()4(),(1)

()|(),(2)()(,')4(')(3)()|0(4)

n n u r u u f G r r r r u u λπραβλπδαβ∑∑∇+=---+=∑--∇+=----+=----------对应于

作算符运算：[(,').(1)().(3)]G r r Eq u r Eq dr Ω

-⎰ 得

22

[(,')()()(,')]4[(,')()]G r r u r u r G r r dr G r r u r dr πρδΩ

Ω

∇-∇=--⎰⎰

对上式左边利用Green 公式得：()n n Gu uG d ∑

-∑⎰⎰ 故有形式解 1()(,')(')(,')()(,')()4u r G r r u r G r r r dr G r r u r d n n ρπ

∑∂∂⎛

⎫=+

-∑ ⎪∂∂⎝

⎭⎰⎰⎰（5） 在(,')G r r 已知的前提下，解（5）也不是()u r 用(,')G r r 表示的最后形式。这是因为(),()n u r u r 在边界∑上还未知（最多知道他们在∑的线性组合）。幸好(,')G r r 的边界条件尚没有给定；只要选定G 的边界条件为齐次，则(),()n u r u r 或者其线性组合就可为已知的边界条件，从而最后确定().u r 例如： 1）第一类边界条件： 0,1,|(),|0u f G αβ∑∑===∑=

1

()(')(,')()().4G r u r G r r r dr u r d n ρπ

Ω

∑∂⎛⎫⇒=-

∑ ⎪∂⎝

⎭⎰⎰⎰ 2）第二类边界条件：1,0,|(),|0n n u f G αβ∑∑===∑= 1()(')(,')()(,').4u r u r G r r r dr G r r d n ρπ

Ω

∑∂⎛

⎫⇒=+

∑ ⎪∂⎝

⎭⎰⎰⎰ 3）第三类边界条件：,0,(2)(4),()|()n n Taking G u Gu uG Gf αβα∑≠-⇒-=∑

得到：()1

(')(,')()(,')()4u r G r r r dr G r r f d ρπα

Ω

∑

=+

∑∑⎰⎰⎰ 这些形式解的前提是G 要已知或者可求出。实际问题中，G 可能就不存在。例

如在第二类边界条件中，0λ=的问题，[Possion Equation, 点源存在，但边界“流”

为零，物理上不通（即产生又绝缘，矛盾），数学上无解]。 再例如，2()0,()|0n u u u λαβ∑∇+=+= 构成本征值问题，

但没有相对应的方程（3）