全国中考数学平行四边形的综合中考真题分类汇总及答案

一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．已知，在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，动点M从点A出发沿边AD向点D运动．

（1）如图1，当b=2a，点M运动到边AD的中点时，请证明∠BMC=90°；

（2）如图2，当b＞2a时，点M在运动的过程中，是否存在∠BMC=90°，若存在，请给与证明；若不存在，请说明理由；

（3）如图3，当b＜2a时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．

【答案】（1）见解析；

（2）存在，理由见解析;

（3）不成立．理由如下见解析.

【解析】

试题分析：（1）由b=2a，点M是AD的中点，可得AB=AM=MD=DC=a，又由四边形ABCD 是矩形，即可求得∠AMB=∠DMC=45°，则可求得∠BMC=90°；

（2）由∠BMC=90°，易证得△ABM∽△DMC，设AM=x，根据相似三角形的对应边成比例，即可得方程：x2﹣bx+a2=0，由b＞2a，a＞0，b＞0，即可判定△＞0，即可确定方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意；

（3）由（2），当b＜2a，a＞0，b＞0，判定方程x2﹣bx+a2=0的根的情况，即可求得答案．

试题解析：（1）∵b=2a，点M是AD的中点，

∴AB=AM=MD=DC=a，

又∵在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，

∴∠AMB=∠DMC=45°，

∴∠BMC=90°．

（2）存在，

理由：若∠BMC=90°，

则∠AMB+∠DMC=90°，

又∵∠AMB+∠ABM=90°，

∴∠ABM=∠DMC，

又∵∠A=∠D=90°，

∴△ABM∽△DMC，

∴AM AB

CD DM

=，

设AM=x，则x a

a b x =

-

，

整理得：x2﹣bx+a2=0，

∵b＞2a，a＞0，b＞0，

∴△=b2﹣4a2＞0，

∴方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意，

∴当b＞2a时，存在∠BMC=90°，

（3）不成立．

理由：若∠BMC=90°，

由（2）可知x2﹣bx+a2=0，

∵b＜2a，a＞0，b＞0，

∴△=b2﹣4a2＜0，

∴方程没有实数根，

∴当b＜2a时，不存在∠BMC=90°，即（2）中的结论不成立．

考点：1、相似三角形的判定与性质；2、根的判别式；3、矩形的性质

2．如图，在正方形ABCD中，E是边BC上的一动点（不与点B、C重合），连接DE、点C 关于直线DE的对称点为C′，连接AC′并延长交直线DE于点P，F是AC′的中点，连接DF．（1）求∠FDP的度数；

（2）连接BP，请用等式表示AP、BP、DP三条线段之间的数量关系，并证明；

（3）连接AC，若正方形的边长为2，请直接写出△ACC′的面积最大值．

【答案】（1）45°；（2）BP+DP2AP，证明详见解析；（32﹣1．

【解析】

【分析】

（1）证明∠CDE＝∠C'DE和∠ADF＝∠C'DF，可得∠FDP'＝1

2

∠ADC＝45°；

（2）作辅助线，构建全等三角形，证明△BAP≌△DAP'（SAS），得BP＝DP'，从而得△PAP'是等腰直角三角形，可得结论；

（3）先作高线C'G，确定△ACC′的面积中底边AC为定值2，根据高的大小确定面积的大小，当C'在BD上时，C'G最大，其△ACC′的面积最大，并求此时的面积．

【详解】

（1）由对称得：CD＝C'D，∠CDE＝∠C'DE，

在正方形ABCD中，AD＝CD，∠ADC＝90°，

∴AD＝C'D，

∵F是AC'的中点，

∴DF⊥AC'，∠ADF＝∠C'DF，

∴∠FDP＝∠FDC'+∠EDC'＝1

2

∠ADC＝45°；

（2）结论：BP+DP＝2AP，

理由是：如图，作AP'⊥AP交PD的延长线于P'，

∴∠PAP'＝90°，

在正方形ABCD中，DA＝BA，∠BAD＝90°，

∴∠DAP'＝∠BAP，

由（1）可知：∠FDP＝45°

∵∠DFP＝90°

∴∠APD＝45°，

∴∠P'＝45°，

∴AP＝AP'，

在△BAP和△DAP'中，

∵

BA DA

BAP DAP AP AP

'

=

⎧

⎪

∠=∠

⎨

='

⎪

⎩

，

∴△BAP≌△DAP'（SAS），∴BP＝DP'，

∴DP+BP＝PP'＝2AP；

（3）如图，过C'作C'G⊥AC于G，则S△AC'C＝1

2

AC•C'G，

Rt △ABC 中，AB ＝BC ＝2， ∴AC ＝22(2)(2)2+=，即AC 为定值，

当C 'G 最大值，△AC 'C 的面积最大，

连接BD ，交AC 于O ，当C '在BD 上时，C 'G 最大，此时G 与O 重合，

∵CD ＝C 'D ＝2，OD ＝

12AC ＝1， ∴C 'G ＝2﹣1，

∴S △AC 'C ＝

112(21)2122AC C G '•=⨯-=-． 【点睛】

本题考查四边形综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．

3．阅读下列材料：

我们定义：若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如正方形就是和谐四边形．结合阅读材料，完成下列问题：

（1）下列哪个四边形一定是和谐四边形 ．

A ．平行四边形

B ．矩形

C ．菱形

D ．等腰梯形

（2）命题：“和谐四边形一定是轴对称图形”是 命题（填“真”或“假”）．

（3）如图，等腰Rt △ABD 中，∠BAD ＝90°．若点C 为平面上一点，AC 为凸四边形ABCD 的和谐线，且AB ＝BC ，请求出∠ABC 的度数．

【答案】（1） C ；（2）∠ABC 的度数为60°或90°或150°.

【解析】

试题分析：（1）根据菱形的性质和和谐四边形定义，直接得出结论.

（2）根据和谐四边形定义，分AD=CD ，AD=AC ，AC=DC 讨论即可.

（1）根据和谐四边形定义，平行四边形，矩形，等腰梯形的对角线不能把四边形分成两个等腰三角形，菱形的一条对角线能把四边形分成两个等腰三角形够．故选C.

（2）∵等腰Rt △ABD 中，∠BAD=90°，∴AB=AD.

∵AC 为凸四边形ABCD 的和谐线，且AB=BC ，

∴分三种情况讨论：

若AD=CD ，如图1，则凸四边形ABCD 是正方形，∠ABC=90°；

若AD=AC ，如图 2，则AB=AC=BC ，△ABC 是等边三角形，∠ABC=60°；

若AC=DC ，如图 3，则可求∠ABC=150°.