数形结合思想在解题中的应用

第5讲 数形结合思想在解题中的应用

一、知识整合

1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。

2．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。

如等式()()x y -+-=21422

3．纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。

4．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。 二、例题分析

例1.的取值范围。之间，求和的两根都在的方程若关于k k kx x x 310322

-=++ 分析：0)(32)(2

=++=x f x k kx x x f 程轴交点的横坐标就是方，其图象与令

()13(1)0y f x f =-->的解，由的图象可知，要使二根都在，之间，只需，(3)0f >，

()()02b

f f k a

-

=-<10(10)k k -<<∈-同时成立，解得，故，

例2. 解不等式x x +>2 解：法一、常规解法：

原不等式等价于或()()I x x x x II x x ≥+≥+>⎧⎨⎪

⎩

⎪<+≥⎧⎨⎩020

2020

2

解，得；解，得()()I x II x 0220≤<-≤<

综上可知，原不等式的解集为或{|}{|}x x x x x -≤<≤<=-≤<200222 法二、数形结合解法： 令，，则不等式的解，就是使的图象y x y x x x y x 121222=

+=+>=

+

在的上方的那段对应的横坐标，y x 2=如下图，不等式的解集为{|}x x x x A B ≤<

而可由，解得，，，

x x x x x B B A +===-222故不等式的解集为。{|}x x -≤<22

例3. 已知，则方程的实根个数为01<<=a a x x a ||

|log |(

)

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 1个或2个或3个

分析：判断方程的根的个数就是判断图象与的交点个数，画y a y x x a ==||

|log | 出两个函数图象，易知两图象只有两个交点，故方程有2个实根，选（B ）。

例4. 如果实数、满足，则

的最大值为x y x y y

x

()()-+=232

2

A B C D .

.

.

.12

33

32

3

分析：等式有明显的几何意义，它表坐标平面上的一个圆，()x y -+=232

2

圆心为，，半径，如图，而

则表示圆上的点，与坐()()()20300

r y x y x x y ==--

标原点，的连线的斜率。如此以来，该问题可转化为如下几何问题：动点()00A 在以，为圆心，以为半径的圆上移动，求直线的斜率的最大值，由图()203OA

可见，当∠在第一象限，且与圆相切时，的斜率最大，经简单计算，得最A OA 大值为°tg 603=

例5. 已知，满足

，求的最大值与最小值x y x y y x 22

1625

13+=- 分析：对于二元函数在限定条件

下求最值问题，常采用y x x y -+=31625

122

构造直线的截距的方法来求之。 令，则，y x b y x b -==+33

原问题转化为：在椭圆

上求一点，使过该点的直线斜率为，x y 22

1625

13+= 且在轴上的截距最大或最小，y

由图形知，当直线与椭圆

相切时，有最大截距与最小y x b x y =++=31625

122

截距。

y x b x y x bx b =++=⎧⎨⎪⎩

⎪⇒++-=3162511699616400022

22 由，得±，故的最大值为，最小值为。∆==--01331313b y x

例6. 若集合，，集合，M x y x y N x y y x b ===⎧⎨

⎩<<⎧⎨⎪⎩⎪⎫⎬⎪

⎭

⎪==+()cos sin (){()|}330θθθπ 且≠，则的取值范围为

。M N b ∅

分析：M x y x y y M =+=<≤{()|}()，，，显然，表示以，为圆心，2

2

90100 以3为半径的圆在x 轴上方的部分，（如图），而N 则表示一条直线，其斜率k=1，纵截

距为，由图形易知，欲使≠，即是使直线与半圆有公共点，b M N y x b ∅=+ 显然的最小逼近值为，最大值为，即b b --<≤332332

例7. 点是椭圆

上一点，它到其中一个焦点的距离为，为M x y F N 22

12516

12+= MF 1的中点，O 表示原点，则|ON|=（ ） A B C D .

(32)

248

分析：①设椭圆另一焦点为F 2，（如图）， 则，而||||MF MF a a 1225+== ||||MF MF 1228==，∴ 又注意到N 、O 各为MF 1、F 1F 2的中点， ∴ON 是△MF 1F 2的中位线， ∴×||||ON MF =

==121

2

842 ②若联想到第二定义，可以确定点M 的坐标，进而求MF 1中点的坐标，最后利用两点间的距离公式求出|ON|，但这样就增加了计算量，方法较之①显得有些复杂。

例8. 已知复数满足，求的模的最大值、最小值的范围。z z i z ||--=

222

分析：由于，有明显的几何意义，它表示复数对应的|||()|z i z i z --=-+2222

点到复数对应的点之间的距离，因此满足的复数对应点2+2i |()|z i z -+=222 Z z z ，在以，为圆心，半径为的圆上，如下图，而表示复数对应的()()||222 点到原点的距离，显然，当点、圆心、点三点共线时，取得最值，Z O Z C O z ||