量子信息的物理基础

x y z I 可证明： , , , 构成一组基，可展开任何2*2算符。 2 2 2 2
x x x 1 , ) tr ( x ) tr (x x )=1 2 2 2 2 2 x y x y i ( , ) tr ( ) tr z 0 证明正交性： 2 2 2 2 2
在较大空间正交的矢量在子空间看起来 未必正交。需拓宽测量的含义。
量子测量用测量算符 {M m} 描述，下标 m代表可能的测量结果。设系统处于态 ， 则得到结果m的概率 。
p(m) M m Mm
讨论：概率非负，总概率为1是如 何满足的？测量后的态是否正交？ 讨论测量算符和投影算符，广义 测量和正交测量的关系。

{P i ,| i }
tr 1
= pi | i i |
tr=tr( pi | i i |) pi i | i pi 1
i i i
i
| pi | i i | pi | | i |2 0
证明归一化：(
用此基展开密度算符： i i 1 1 1 ai ai ( , ) tr (i ) tr (i) i 2 2 2 2 2 i
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xx + y y +z z +I I +r 1 ii = 2 i 2 2 r x i y j z k
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2.4 Schmidt分解
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2.5 EPR佯谬与Bell不等式
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QS RS RT QT 2
Pm P(m | i ) P Ptr ( M i i m M m | i i |) i i


tr ( M m M m )


ຫໍສະໝຸດ Baidu

'
M m M m


tr (M m M m )

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密度算符的性质:
以下定理可看作密度算符的定义，使我们可以抛开态矢定义密度算符。
3 1 | a |0 |1 4 4
1 1 3 1 | a a | | b b | | 0 0 | |1 1| 2 2 4 4
3 1 | b |0 |1 4 4
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{P i ,| i }
| r | 1
| r | 1
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约化密度算符：
A trB (AB ) iB | AB | iB
trB
i
求偏迹：需要找B 系统的一组基
trB (AB ) A
矢量是系统态空间的一个单位矢量。
最简单的量子系统是qubit，它有2维态空间。 量子信息也研究d维量子系统——qudit，和连续变量量子 系统。
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i H t
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i
{qi ,| i }
pi i Uij q j j
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单比特混合态的Bloch球表示：
算符也可以构成线性空间。2*2的线性算符可看作构成 了一个4维的线性空间。
定义算符A,B的内积： ( A, B) tr ( A B)
i i
tr 1 i 1
= i | i i |
i
{i | i }
i 0
i
{i | i }
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以下定理可作为纯态和混合态的判据，请自证。
tr (2 ) 1

3 1 | 0 0 | |1 1| 4 4
m
| 0 | U U | | 0 | M m M m | m | m'
m , m'
| M m M m | |
m
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pm IQ | m m |
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2.2 广义量子测量（generalized measurement)
Chapter Two
•Ocean
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Content:
2.1
2.2
量子力学公设 广义测量与POVM 密度算符 Schmidt分解 EPR佯谬与Bell不等式
2.3
2.4
2.5
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2.1 量子力学公设
1. 态空间 任一量子系统都有一个定义了内积的复矢量空间（即 Hilbert空间）与之相联系，系统状态完全由态矢量描述，该
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2.3 密度算符（density operator）
Pi | i i |
i 1

N
' U U
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d 1 [ H , ] dt i
p(m | i) i | M m M m | i tr (M m M m | i i |)
测量后系统的状态为：
Mm
Mm Mm
测量算符满足完备性关系： M m M m I m

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U | | 0 M m | | m
Q Z1 , R X1
2 2 n1 ( , 0, ) 2 2
2 2 n2 ( , 0, ) 2 2
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Thank You