随机过程(第二版)第2章
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下，随机变量就应表达为 X (ω ， t )， ω ∈Ω ， t ∈ T 。这 种不但与 ω ( ∈ Ω )有关，而且还与另一参数 t ( ∈ T )有关 的随机变量 X (ω ， t )称为随机过程。
在本例中，在 t 确定后对每一 ω 的出现就表示对电话站 做一次观察其接到呼唤次数的试验。由此可见，这种试验的 结果就不再是一个仅与 ω 有关的数值，而是还与 t 有关的一
为随机过程 X ( ω ， t )对应于ω 0的一个样本函数，有时也
称 x (ω 0 ， t )为随机过程对应于 ω 0的轨道或现实。
实际中，有两种常见形式，一种是 T = { 0 ， 1 ，
2 ，…}，此时其值常用 n 表示， X (n ， ω )常写为 X n (ω )， 它表示第 n 次观察时刻的值。另一种是 T = [ a ， b ]为一时 间区间，特别的 T =(0 ， ∞ )， t ∈ T 表示时间 t ， X ( t ，
T ， X ( ω ， t 0 )是定义在(Ω ， F ， P )上的随机变量，对每
一确定的 ω 0 ∈Ω (即对每次完成的试验)， X ( ω 0 ， t )是定 义在 T 上的普通的确定性(不具有随机性)函数(实值或复值
函数)，此函数记为: X (ω 0 ， t) = x (ω 0 ， t)，称 x (ω 0 ， t)
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但在实际问题中所需要研究的不仅是单位时间内电话站 接到呼唤次数的概率，而是要研究[0 ， t ]的一段时间内接 到呼唤次数的概率及其有关规律。由此可见，仅用一与时间 t 无关的随机变量或与时间 t 无关的随机点就不能反映这类 随机现象了。要反映这类随机现象，就必须用一个与时间参 量 t 有关的随机变量，才能表达这类随机现象。在这种情况
2.1 随机过程的定义
概率论中所研究的随机现象，从数量上看都可以用一有 限维的随机向量去刻画，但在许多实际问题中所遇到的随机 现象并不是都能用随机向量来刻画和表达的。我们先来看两 个例子。
例 2.1.1 试研究某一电话站在正常工作条件下，来到呼 唤次数的问题。
在概率论中会讨论:在单位时间内一电话站在正常工作 条件下接到的呼唤次数，例如可用 Poisson 随机变量 X (ω ) 表示，且有
对每一固定的 t 0 ， X ( ω ， t 0 )是一随机变量。因此 X
( ω ， t )是定义在( Ω ， F ， P )上及指标集 T上的一族随机
变量。
由对上述随机现象的分析可以看出:它们都不能用一个
随机变量或随机向量来表达，而是需用含有参量 ω ( ∈ Ω )
的一族函数或一个含有参量 t 的随机变量族来表达。这样就 得到关于随机过程的如下定义。
定义 2.1.1 设已给概率空间(Ω ， F ， P )及一参数集 T ( ⊂ R 1 )，若对每一 t ( ∈ T )，均有定义在(Ω ， F ， P)上的 一个随机变量 X ( ω ， t )与之对应，则称依赖于参数 t 的随 机变量族 X ( ω ， t )为一随机过程。记为{X ( ω ， t ) ， ω ∈ Ω ， t ∈ T };简记为{ X (t )， t ∈ T }，或 X 。其中 t 称为
参数，在实际问题中参数 t 常表示时间， T 称为参数空间，
它是实数集的子集。 X ( ω ， t )的取值范围记为 E ，称为随 机过程的状态空间。称 X ( ω ， t 0 )为随机过程于 t 0时所
处的状态。
由随机过程的定义可知，随机过程是概率空间 Ω 中的
元 ω 和参数集 T 中的数 t 的二元函数，对每一确定的t 0 ∈
第2章 随机过程的基本概念
2.1 随机过程的定义 2.2 随机过程的分布及其数字特征 2.3 复随机过程 2.4 几类重要的随机过程 2.5 正态过程与 Wiener过程 2.6 Poisson过程 习题二
在概率论中主要研究一个或有限个随机变量，即一维随 机变量或 n 维随机向量。随着科学技术的发展，往往需要接 连不断观察或研究随机现象的变化过程，这就要同时考虑无 穷多个随机变量，或者说一族随机变量。随机过程正是在这 种要求下于上世纪初产生并发展起来的一门数学分支，它是 研究随机现象变化过程的概率规律性的理论。目前已广泛应 用于物理学、生物学、通讯和控制、管理学等许多现代科学 技术领域之中。本章介绍随机过程的有穷维分布、随机过程 的数字特征等基本概念，并讨论正态过程、 Wiener 过程、 Poisson 过程等几类重要的随机过程。
例 2.1.2 设有一生产振荡器的工厂，试研究该工厂生产 的振荡器的输出波形问题。
解 设从其产品中任取一台振荡器进行测试，其输出波 形为 x (t ) = a sin ( θt + ϕ )。现在的问题是:该厂生产的每一 台振荡器是否都有相同的输出波形。
事实上，由于实际生产中的振荡器不一致性，其输出的 振幅 A 、角频率 θ 及初相角 ϕ 均有一定的允许误差，这就 造成不同的振荡器有着不同的输出波形，从而使该厂生产的 振荡器的输出波形是一族正弦曲线
t 0 ， X ( ω ，t 0 )表示了一随机变量，它的取值范围就是直
线 t = t 0 与所有的这类阶梯曲线族的交点的纵坐标值的集合。 与上例类似的还有很多，如新浪网站上进入的用户数，
其上某一条广告链接的点击情况，从某网络终端发出的请求 数，某高速公路收费站的汽车数，某只股票的价格变动情况， 等等。
个数值的集合。例如若令X ( ω ， 0 ) =0 ，则 X ( ω ， t )对
固定的 ω (即一次试验)，它的取值可用图表出(图 2－1 )。
图 2－1
若在 X ( ω ， t )中取与上图不同的 ω ， X ( ω ， t )就表
示另一次试验的结果，亦即另一条阶梯曲线。总之， X (ω ， t )表示了一族阶梯曲线(或函数)。另一方面，对每一固定的
在未测试完毕以前是不能事先准确地预言其输出的波形 是上述一族正弦曲线中的哪一条正弦曲线。之所以产生这种
现象，实际上是因为 A ， Θ ， Φ 都是某一概率空间( Ω ， F ， P )中的随机变量，因而使得每一次测试的结果是正弦
波形曲线族中之一，且按一定的概率分布取某一波 形。因此上述正弦波形族应表为
在本例中，在 t 确定后对每一 ω 的出现就表示对电话站 做一次观察其接到呼唤次数的试验。由此可见，这种试验的 结果就不再是一个仅与 ω 有关的数值，而是还与 t 有关的一
为随机过程 X ( ω ， t )对应于ω 0的一个样本函数，有时也
称 x (ω 0 ， t )为随机过程对应于 ω 0的轨道或现实。
实际中，有两种常见形式，一种是 T = { 0 ， 1 ，
2 ，…}，此时其值常用 n 表示， X (n ， ω )常写为 X n (ω )， 它表示第 n 次观察时刻的值。另一种是 T = [ a ， b ]为一时 间区间，特别的 T =(0 ， ∞ )， t ∈ T 表示时间 t ， X ( t ，
T ， X ( ω ， t 0 )是定义在(Ω ， F ， P )上的随机变量，对每
一确定的 ω 0 ∈Ω (即对每次完成的试验)， X ( ω 0 ， t )是定 义在 T 上的普通的确定性(不具有随机性)函数(实值或复值
函数)，此函数记为: X (ω 0 ， t) = x (ω 0 ， t)，称 x (ω 0 ， t)
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但在实际问题中所需要研究的不仅是单位时间内电话站 接到呼唤次数的概率，而是要研究[0 ， t ]的一段时间内接 到呼唤次数的概率及其有关规律。由此可见，仅用一与时间 t 无关的随机变量或与时间 t 无关的随机点就不能反映这类 随机现象了。要反映这类随机现象，就必须用一个与时间参 量 t 有关的随机变量，才能表达这类随机现象。在这种情况
2.1 随机过程的定义
概率论中所研究的随机现象，从数量上看都可以用一有 限维的随机向量去刻画，但在许多实际问题中所遇到的随机 现象并不是都能用随机向量来刻画和表达的。我们先来看两 个例子。
例 2.1.1 试研究某一电话站在正常工作条件下，来到呼 唤次数的问题。
在概率论中会讨论:在单位时间内一电话站在正常工作 条件下接到的呼唤次数，例如可用 Poisson 随机变量 X (ω ) 表示，且有
对每一固定的 t 0 ， X ( ω ， t 0 )是一随机变量。因此 X
( ω ， t )是定义在( Ω ， F ， P )上及指标集 T上的一族随机
变量。
由对上述随机现象的分析可以看出:它们都不能用一个
随机变量或随机向量来表达，而是需用含有参量 ω ( ∈ Ω )
的一族函数或一个含有参量 t 的随机变量族来表达。这样就 得到关于随机过程的如下定义。
定义 2.1.1 设已给概率空间(Ω ， F ， P )及一参数集 T ( ⊂ R 1 )，若对每一 t ( ∈ T )，均有定义在(Ω ， F ， P)上的 一个随机变量 X ( ω ， t )与之对应，则称依赖于参数 t 的随 机变量族 X ( ω ， t )为一随机过程。记为{X ( ω ， t ) ， ω ∈ Ω ， t ∈ T };简记为{ X (t )， t ∈ T }，或 X 。其中 t 称为
参数，在实际问题中参数 t 常表示时间， T 称为参数空间，
它是实数集的子集。 X ( ω ， t )的取值范围记为 E ，称为随 机过程的状态空间。称 X ( ω ， t 0 )为随机过程于 t 0时所
处的状态。
由随机过程的定义可知，随机过程是概率空间 Ω 中的
元 ω 和参数集 T 中的数 t 的二元函数，对每一确定的t 0 ∈
第2章 随机过程的基本概念
2.1 随机过程的定义 2.2 随机过程的分布及其数字特征 2.3 复随机过程 2.4 几类重要的随机过程 2.5 正态过程与 Wiener过程 2.6 Poisson过程 习题二
在概率论中主要研究一个或有限个随机变量，即一维随 机变量或 n 维随机向量。随着科学技术的发展，往往需要接 连不断观察或研究随机现象的变化过程，这就要同时考虑无 穷多个随机变量，或者说一族随机变量。随机过程正是在这 种要求下于上世纪初产生并发展起来的一门数学分支，它是 研究随机现象变化过程的概率规律性的理论。目前已广泛应 用于物理学、生物学、通讯和控制、管理学等许多现代科学 技术领域之中。本章介绍随机过程的有穷维分布、随机过程 的数字特征等基本概念，并讨论正态过程、 Wiener 过程、 Poisson 过程等几类重要的随机过程。
例 2.1.2 设有一生产振荡器的工厂，试研究该工厂生产 的振荡器的输出波形问题。
解 设从其产品中任取一台振荡器进行测试，其输出波 形为 x (t ) = a sin ( θt + ϕ )。现在的问题是:该厂生产的每一 台振荡器是否都有相同的输出波形。
事实上，由于实际生产中的振荡器不一致性，其输出的 振幅 A 、角频率 θ 及初相角 ϕ 均有一定的允许误差，这就 造成不同的振荡器有着不同的输出波形，从而使该厂生产的 振荡器的输出波形是一族正弦曲线
t 0 ， X ( ω ，t 0 )表示了一随机变量，它的取值范围就是直
线 t = t 0 与所有的这类阶梯曲线族的交点的纵坐标值的集合。 与上例类似的还有很多，如新浪网站上进入的用户数，
其上某一条广告链接的点击情况，从某网络终端发出的请求 数，某高速公路收费站的汽车数，某只股票的价格变动情况， 等等。
个数值的集合。例如若令X ( ω ， 0 ) =0 ，则 X ( ω ， t )对
固定的 ω (即一次试验)，它的取值可用图表出(图 2－1 )。
图 2－1
若在 X ( ω ， t )中取与上图不同的 ω ， X ( ω ， t )就表
示另一次试验的结果，亦即另一条阶梯曲线。总之， X (ω ， t )表示了一族阶梯曲线(或函数)。另一方面，对每一固定的
在未测试完毕以前是不能事先准确地预言其输出的波形 是上述一族正弦曲线中的哪一条正弦曲线。之所以产生这种
现象，实际上是因为 A ， Θ ， Φ 都是某一概率空间( Ω ， F ， P )中的随机变量，因而使得每一次测试的结果是正弦
波形曲线族中之一，且按一定的概率分布取某一波 形。因此上述正弦波形族应表为