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习题
2.1 试给出一个半群，它含有左幺元和右零元，但它不是含幺半群。

2.2 给定代数系统U=<N,*>，其中二元运算*定义如下：
1）x*y=min{x,y}
2）x*y=max{x,y}
对每种情况，U是否为半群？是否为含幺半群？
2.3 设<S,*>是半群，取定a∈S，在S中定义新的二元运算为
x y=x*a*y
试确定<S, >是否为半群。

2.4 给定半群<S,*>。

试证，对S中任意元素a,b和c，若a*c=c*a和b*c=c*b，
则(a*b)*c=c*(a*b)。

2.5 给定交换半群U=<S,*>。

试证，若a和b是U中的等幂元，
则a*b也是U中的等幂元。

2.6 给定代数系统U=<R,*>，R是实数集合，∀a,b∈R，定义*运算如下：
a*b=a+b+a⨯b
试证明 <R,*>是含幺半群
2.7 给定代数系统U=<S s,o>，其中S={a,b}，S s是S中所有映射的集合，
而o是映射的合成。

U是否为含幺半群？是否为可交换含幺半群？
2.8 给定代数系统U=<S,*>，其中S={a,b,c,d}，运算表为
* a b c d
a a
b
c d
b b
c
d a
c c
d a b
d d a b c
1）试证U是一个循环含幺半群。

2）试求U的所有生成元和等幂元。

2.9 试证，每个有限半群都有等幂元。

2.10 给定代数系统U=<S,*>，其中S={a,b,c,d},运算表为
* a b c d
a c
b a d
b b b b b
c a b c d
d d b d d
1）U是否为循环含幺半群？
2）试求U的生成集合。

2.11 给定字母表V={a,b}，设S是所有以a开始的有限字符串且包含空串的集合，o是字符串的邻接运算。

试证<S,o, >是含幺半群。

2.12 给定两个含幺半群U=<p(X),∩>和V=<p(X),∪>其中X是任意集合，∩和∪是通常集合的交和并。

试求U和V的零元。

2.13 设Z是半群U＝<S,*>的左零元。

试证，对S中任意元素x，x*z也是半群U的左零元。

2.14 给定两个半群U=<S,*>和V=<T, >，f: S→T是U到V的同构。

试证，若z是U的零元，则f(z)是V的零元。

2.15 设a是半群U=<S,*>中的一个元素，对U中任意元素x和y，要是a*x=a*y(x*a=y*a)，就有x=y，则称在U中a是左（右）可约的。

试证，在U中若元素a和b都是左（右）可约的，则a*b也是左（右）可约的。

2.16 试证，含幺半群的左（右）可逆元素的集合，能构成一个子含幺半群。

2.17 试求含幺半群U＝<N
6,×
6
>的所有子半群。

并举出U的一个子半群，它
是含幺半群，但不是U的子含幺半群。

2.18 给定含幺半群U=<I,×,1>，其中×是通常数的乘法。

试证：<{0},×>是U的子半群，但不是子含幺半群。

算*分别定义如下：
1)S={1,3,4,5,9},*是模11乘法。

2)S=Q,*是通常数的加法，
3)S=Q,*是通常数的乘法。

4)S=I,*是通常数的减法，
5)S={a,b,c,d}，运算表为
* a b c d
a b d a c
b d
c b a
c a b c d
d c a d b
6)S={a,b,c,d}，运算表为
* a b c d
a a
b
c d
b b a d c
c c
d a a
d d c b b
对每种情况，试确定U是否为群，若U是群，则指出它的幺元和每个元素的逆元。

2.20 设U=<G,*>是一个具有幺元e的群，试证，若G的任意元素a都有a2=e(或
a-1=a)，则U必是交换群。

2.21 试证，若<G,*>是交换群，而n是任意整数，则对于G的任意元素a和b，必有(a*b)n=a n*b n。

2.22 给定群U=<G,*>。

试证，U是交换群当且仅当对G中任意元素a和b，有a2*b2=(a*b)2。

2.23 给定群U=<G,*>。

试证，若对G中任意元素a和b，有
a3*b3=(a*b)3 a4*b4=(a*b)4 a5*b5=(a*b)5则U是交换群。

2.24 给定两个群U=<{1},×>和V=<{1,-1},×>，其中×是通常数的乘法，试证，对×，U和V是仅有的非零实数构成的有限群。

2.25 给定群U=<N
m ,+
m
>。

试证，当且仅当d是U中一个元素的阶时，d才
是m的一个因数。

2.26 给定代数系统<K,*>其中K={e,a,b,c}，运算表为
* e a b c
e e a b c
a a e c
b b b
c e a c c b a e
试证，<K,*>是群（称克莱因(KIein)四元群），但不是循环群。

2.27 试用例2－4.4中对称群<S 3,◇>的运算表，求出其中哪些 元素a 和b ，能使
1）(a ◇b)2≠a 2◇b 2 2）a 2=e 3）a 3=e
这里e 表示对称群<S 3, ◇>中的幺元。

2.28 给定集合S={1,2,3,4,5}和其置换
试求出a ◇b,b ◇a,a 2,c ◇b,d -1和a ◇b ◇c 。

并解置换方程a ◇x=b 。

2.29 试求出<N 5,+5>和<N 12,+12>的所有子群。

2.30 试求出不是正四边形的四边形二面体群。

并证这个群 是例2－4.6中正四边形二面体群<D 4, ◇>的子群。

2.31 给定<G,*>，令H={x|x ∈G,对a ∈G,x*a=a*x}。

试证<H,*>是群<G,*>的
子群。

2.32 设p 为素数。

试证，p m 阶群中一定有p 阶子群。

2.33 设<S,*>和<T,*>是群<G,*>的s 阶和t 阶子群，且|S ∩T|=μ，|S ∪T|=
ν。

试证st ≥μν。

2.34 设<H 1,*>和<H 2,*>是群<G,*>的两个互不包含的子群，试证，G 中 存在元素，它既不属于H 1，也不属于H 2。

2.35 设<G,*>是偶数阶有限群，其幺元为e ，试证，在G 中存在元素a ≠e ，
使a 2=e 。

2.36 设<G,*>是群，H 是G 的一个子集，且2|H|﹥|G|。

试证，对G 中任意元素a ，在H 中必存在元素b 1和b 2，使a=b 1*b 2。

2.37 设f 和g 都是群U=<G 1,*>到V=<G 2, >的同态，令H 1={x|x ∈G 1,f(x)=g(x)}。

试证，<H 1,*>是群U 的子群。

2.38 设f 是群U=<G 1,*>到V=<G 2, >的同态。

试证，f 为单射的充要条件 为K(f)={e 1}，这里e 1是群U 的幺元。

2.39 设f 是群U=<G,*>到V=<H, >的同态，
1） 若<S,*>是U 的子群，则<f(S), >是V 的子群。

2） 若<T, >是V 的子群，且T ⊆f(G)，则<f -1(T),*>是U 的子群，这里f -1
(T) 表示在f 的作用下，T 中元素的象源所构成的集合。

2.40 在群U=<G,*>中取定元素a ，定义映射f: G →G 为f(x)=a -1*x*a 。

试 证，f 是群U 的自同构。

2.41 给定两个群U=<P,*>和V=<Q, >，其中P={P1,P2,P3,P4}和 Q={q1,q2,q3,q4}。

运算表分别为
* P 1 P 2 P 3 P 4 q 1 q 2 q 3 q 4 P 1 P 1 P 2 P 3 P 4 q 1 q 3 q 4 q 1 q 2 P 2 P 2 P 1 P 4 P 3 q 2 q 4 q 3 q 2 q 1 P 3 P 3 P 4 P 1 P 2 q 3 q 1 q 2 q 3 q 4
()()
(
)
(
)
543214
512354321
2
13455
4321453215432154132=
=
==d c b a。

G H 2
1
=P 4 P 4 P 3 P 2 P 1 q 4 q 2 q 1 q 4 q 3
试证，群U 和V 是同构的。

2.42 设<H,*>是群<G,*>的子群。

试证模H 的右陪集关系是G 中的 等价关系。

2.43 设<H,*>是群<G,*>的子群。

试证，对任意两个左（右）陪集aH(Ha) 和bH(Hb)，均有|aH|=|bH|=|H|(|Ha|=|Hb|=|H|)。

2.44 设<H,*>是群<G,*>的子群，<H,*>的所有左（右）陪集构成的集合为 S l (S r )。

试证|S l |=|S r |。

2.45 对例2－4.4 中的对称群<S 3, ◇>，试求交代群<A 3, ◇>的各左陪集 和右陪集。

2.46 设<H,*>是阿上尔群<G,*>的G 规子群，试证商群(G/H, )，也是阿上 尔群。

2.47 试求群<N 5,+5>的每个子群的各左陪集和右陪集。

2.48 设<H,*>是群<G,*>的子群。

试证<H,*>的左（右）陪集中只有一个陪 集是群<G,*>的子群。

2.49 设<G,*>是偶数阶有限群,<H,*>是群<G,*>的子群，且 试证<H,*>是正规子群。

2.50 设<H 1,*>和<H 2,*>是群<G,*>的两个子群（正规子群），令
H 1H 2={h 1*h 2|h 1∈H 1,h 2∈H 2}。

<H 1,H 2,*>是否为群<G,*>的一个子群（正规子群）？
2.51 试证，上题中<H 1H 2,*>是群<G,*>的子群的充要条件为H 1H 2=H 2H 1。

2.52 设<H 1,*>和<H 2,*>是群<G,*>的两个子群。

1) 试证，<H1∩H2,*>也是群<G,*>的子群。

2) 试证，<H 1∪H 2,*>不一定是群<G,*>的子群。

2.53 试求群U=<N 3,+3>和V=<N 2*,×2>的积代数。

2.54 试证，群U=<G,*>和V=<H, >的积代数有两个分别同构于群U 和V 的正规子群。