代数几何综合压轴题汇编(含答案)
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代数几何综合压轴题真题汇编
一、选择题
1. (2019年四川省达州市)矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,已知B(2,2),点A在x轴上,点C在y轴上,P是对角线OB上一动点(不与原点重合),连接PC,过点P作PD⊥PC,交x轴于点D.下列结论:
①OA=BC=2;②当点D运动到OA的中点处时,PC2+PD2=7;③在运动过程中,∠CDP是一个定值;④当△ODP为等腰三角形时,点D的坐标为(,0).其中正确结论的个数是()
A.1个B.2个C.3个D.4个
【考点】矩形的性质、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的性质
【解答】解:①∵四边形OABC是矩形,B(2,2),
∴OA=BC=2;故①正确;
②∵点D为OA的中点,
∴OD=OA=,
∴PC2+PD2=CD2=OC2+OD2=22+()2=7,故②正确;
③如图,过点P作PF⊥OA于F,FP的延长线交BC于E,
∴PE⊥BC,四边形OFEC是矩形,
∴EF=OC=2,
设PE=a,则PF=EF﹣PE=2﹣a,
在Rt△BEP中,tan∠CBO===,
∴BE=PE=a,
∴CE=BC﹣BE=2﹣a=(2﹣a),
∵PD⊥PC,
∴∠CPE+∠FPD=90°,
∵∠CPE+∠PCE=90°,
∴∠FPD=∠ECP,
∵∠CEP=∠PFD=90°,
∴△CEP∽△PFD,
∴=,
∴=,
∴FD=,
∴tan∠PDC===,
∴∠PDC=60°,故③正确;
④∵B(2,2),四边形OABC是矩形,∴OA=2,AB=2,
∵tan∠AOB==,
∴∠AOB=30°,
当△ODP为等腰三角形时,
Ⅰ、OD=PD,
∴∠DOP=∠DPO=30°,
∴∠ODP=60°,
∴∠ODC=60°,
∴OD=OC=,
Ⅱ、OP=OD,
∴∠ODP=∠OPD=75°,
∵∠COD=∠CPD=90°,
∴∠OCP=105°>90°,故不合题意舍去;Ⅲ、OP=PD,
∴∠POD=∠PDO=30°,
∴∠OCP=150°>90°故不合题意舍去,
∴当△ODP 为等腰三角形时,点D 的坐标为(,0).故④正确,
故选:D . 二、解答题
1. (2019年四川省攀枝花市)已知抛物线的对称轴为直线x=1,其图像与
轴相交于、两点,与轴交于点。
(1)求,的值;
(2)直线l 与轴交于点。
①如图1,若l ∥轴,且与线段及抛物线分别相交于点、,点关于直线
的对称点为,求四边形面积的最大值;
②如图2,若直线l 与线段相交于点,当△PCQ ∽△ CAP 时,求直线l 的表达式。
【考点】二次函数极值问题、三角函数、相似三角形 【解答】解:(1)由题可知
解得
(2)①由题可知, ∴
由(1)可知, ∴:
设,则 ∴
2y x bx c =-++x A B y (0,3)C b c x P y AC E F C 1x =D CEDF BC
Q 123
b
c ⎧-
=⎪-⎨⎪=⎩23b c =⎧⎨=⎩(2,3)D CD EF ⊥2CD =(3,0)A (1,0)B -AC l 3y x =-+2(,23)F e e e -++(,3)E e e -+23EF e e =-+
∴ ∴当时,四边形的面积最大,最大值为
②由(1)可知
由∽可得 ∴ ∴ 由,可得 ∴ 作于点,设,则 ∴,
即
解得 ∴ ∴l :
2.(2019年山东省滨州市)如图①,抛物线y =﹣
x 2+
x +4与y 轴交于点A ,与x 轴交于
点B ,C ,将直线AB 绕点A 逆时针旋转90°,所得直线与x 轴交于点D . (1)求直线AD 的函数解析式;
(2)如图②,若点P 是直线AD 上方抛物线上的一个动点 ①当点P 到直线AD 的距离最大时,求点P 的坐标和最大距离; ②当点P 到直线AD 的距离为
时,求sin ∠PAD 的值.
12CEDF S CD EF =
g 四边形22393()24
e e e =-+=--+32e =CEDF 9
4
45OAC OCA ∠=∠=︒PCQ ∆CAP ∆45QCP OAC ∠=∠=︒QCP OCA ∠=∠ACP BCO ∠=∠(1,0)B -(0,3)C 1tan 3
BCO ∠=1tan 3
ACP ∠=
PH AC ⊥H (,0)P m 3AP m =-)PH AH m ==
-)CH m =+(3)
1tan 3m PH ACP CH -==∠=3133m m -=+3
2m =3(,0)2P 32
y x =-+
【考点】待定系数法、二次函数极值问题、三角函数、分类讨论思想
【解答】解:(1)当x=0时,y=4,则点A的坐标为(0,4),
当y=0时,0=﹣x2+x+4,解得,x1=﹣4,x2=8,则点B的坐标为(﹣4,0),点C的坐标为(8,0),
∴OA=OB=4,
∴∠OBA=∠OAB=45°,
∵将直线AB绕点A逆时针旋转90°得到直线AD,
∴∠BAD=90°,
∴OAD=45°,
∴∠ODA=45°,
∴OA=OD,
∴点D的坐标为(4,0),
设直线AD的函数解析式为y=kx+b,
,得,
即直线AD的函数解析式为y=﹣x+4;
(2)作PN⊥x轴交直线AD于点N,如右图①所示,
设点P的坐标为(t,﹣t2+t+4),则点N的坐标为(t,﹣t+4),
∴PN=(﹣t2+t+4)﹣(﹣t+4)=﹣t2+t,
∴PN⊥x轴,
∴PN∥y轴,
∴∠OAD=∠PNH=45°,
作PH⊥AD于点H,则∠PHN=90°,