探究弹性势能的表达式(导学案)含答案

探究弹性势能的表达式导学案
【学习目标】
1.知道探究弹性势能表达式的思路.
2.理解弹性势能的概念，会分析决定弹性势能大小的相关因素.
3.体会探究过程中的猜想、分析和转化的方法.
4.领悟求弹力做功时通过细分过程化变力为恒力的思想方法.
【自主预习】
一、弹性势能
1.定义：发生_______形变的物体的各部分之间，由于有________的相互作用而具有的势能.
2.弹簧的弹性势能：弹簧的长度为_____时，弹性势能为0，弹簧被_____或被______后，就具有了弹性势能.
二、探究弹性势能的表达式
1.猜想
(1)弹性势能与弹簧被拉伸的长度有关，同一个弹簧，拉伸的长度_______，弹簧的弹性势能也越大.
(2)弹性势能与弹簧的劲度系数有关，在拉伸长度l相同时，劲度系数k_____，弹性势能越大.
2.探究思路：弹力做功与弹性势能变化的关系同_______做功与_______势能的变化关系相似，故通过探究_________得到弹性势能的表达式.
3.弹力做功的计算：把拉伸弹簧的过程分为很多小段，拉力在每一小段可以认为是_________，它在各段做功________可以代表拉力在整个过程做的功.
【自主预习】
一、1.弹性，弹力. 2.原长、拉长、压缩.
二、1.(1)越大.(2)越大. 2.重力、重力、弹力做功. 3.恒力，之和.
【问题探究】
一、探究弹性势能的表达式
【自学指导一】
1.如图所示，在光滑水平面上用物块向左压缩弹簧一定距离后，把物块静止释放，我们多做几次实验发现，同一根弹簧，压缩的长度越大，物体被弹开的速度越大.不同弹簧，在压缩量相同时，劲度系数越大，物体被弹开的速度越大.
(1)由此我们猜测，弹簧的弹性势能可能与哪些因素有关？
(2)我们在研究重力势能的时候，是从分析重力做功入手的，由此你得到什么启发？
【答案】 (1)与劲度系数和形变量有关
(2)可以通过探究弹力做功来研究弹性势能.
2.如图所示，弹簧处于原长时，其右端位于A 点.现将弹簧由A 点缓慢拉到B 点，使其伸长Δl (仍处于弹性限度内)：
(1)在从A 拉到B 的过程中弹簧的弹性势能如何变化？弹性势能与拉力做的功有什么关系？
(2)拉力F 是恒力吗？怎样计算拉力的功？
(3)作出F －Δl 图象并类比v －t 图象中面积的含义，思考F －Δl 图象中“面积”有何物理意义？当Δl ＝x 时，其表达式是怎样的？
【答案】 (1)弹簧的弹性势能变大.拉力做的功越多，弹簧储存的弹性势能越大且拉力做的功等于弹簧的弹性势能.
(2)拉力F 不是恒力，故不能用W ＝F Δl 计算拉力的功.若将从A 到B 的过程分成很多小段Δl 1、Δl 2、Δl 3…，在各个小段上拉力可近似认为是不变的.各小段上拉力做的功分别是F 1Δl 1、F 2Δl 2、F 3Δl 3…，拉力在整个过程中做的功W ＝F 1Δl 1＋F 2Δl 2＋F 3Δl 3＋….
(3)根据胡克定律，F －Δl 图象是一条过原点的倾斜直线，如图.阴影部分面积代表拉力做的功即弹性势能，当Δl
＝x 时，E p ＝12
kx 2，k 为弹簧的劲度系数，x 为弹簧的伸长量.
【知识深化】
1.探究思路及方法
(1)猜想：弹性势能与弹簧的劲度系数和形变量有关.
(2)探究思路：弹性势能的变化量与弹力做功相等.
2.弹性势能的推导
根据胡克定律F ＝kx ，作出弹力F 与弹簧伸长量x 关系的F －x 图线，根据W ＝Fx 知，图线与横轴所围的面积应
等于F 所做的功，即W ＝kx ·x 2＝12kx 2，所以E p ＝12
kx 2. 3.对弹性势能的理解
(1)产生原因：物体发生了形变，而且物体各部分间有弹力的作用.
(2)大小的影响因素：弹簧的劲度系数和形变量.
【例1】关于弹性势能，下列说法中正确的是( )
A.只有弹簧发生弹性形变时才具有弹性势能，其他物体发生弹性形变时是不会有弹性势能的
B.弹簧伸长时有弹性势能，压缩时没有弹性势能
C.在弹性限度范围内，同一个弹簧形变量越大，弹性势能就越大
D.火车车厢底下的弹簧比自行车车座底下的弹簧硬，则将它们压缩相同的长度时，火车车厢底下的弹簧具有的弹性势能小
【答案】 C
【解析】 所有发生弹性形变的物体都具有弹性势能，A 错；弹簧伸长和压缩时都具有弹性势能，B 错；根据弹
性势能的表达式E p ＝12
kx 2知C 对；火车车厢底下的弹簧比自行车车座底下的弹簧劲度系数大，所以压缩相同长度时火车车厢底下的弹簧具有的弹性势能大，D 错.
总结提升】
1.弹性势能的系统性：弹性势能是发生弹性形变的物体上所有质点因相对位置改变而具有的能量，因此弹性势能具有系统性.
2.弹性势能的相对性：弹性势能的大小与选定的零势能位置有关，对于弹簧，一般规定弹簧处于原长时的弹性势能为零.
注意：对于同一个弹簧，伸长和压缩相同的长度时，弹簧的弹性势能是相同的.
举一反三关于弹簧的弹性势能，下列说法中正确的是()
A.当弹簧变长时，它的弹性势能一定增大
B.当弹簧变短时，它的弹性势能一定减小
C.若选弹簧自然长度时的弹性势能为0，则其他长度的弹性势能均为正值
D.若选弹簧自然长度时的弹性势能为0，则伸长时弹性势能为正值，压缩时弹性势能为负值
【答案】C
【解析】如果弹簧原来处在压缩状态，当它变长时，它的弹性势能应该减小，当它变短时，它的弹性势能应该增大，在原长处它的弹性势能最小，A、B错；由于弹簧处于自然长度时的弹性势能最小，若选弹簧自然长度时的弹性势能为0，则其他长度时的弹性势能均为正值，C对，D错.
二、弹力做功与弹性势能变化的关系
【自学指导二】如图所示，物体与弹簧相连，物体在O点时弹簧处于原长，把物体向右拉到A处静止释放，物体会由A向A′运动，则：
(1)物体由A向O运动的过程中，弹力做什么功？弹性势能如何变化？
(2)物体由O向A′运动的过程中，弹力做什么功？弹性势能如何变化？
【答案】(1)正功减少(2)负功增加
【知识深化】
1.弹力做功与弹性势能变化的关系
(1)关系：弹力做正功时，弹性势能减少，弹力做负功时，弹性势能增加，并且弹力做多少功，弹性势能就变化多少.
(2)表达式：W弹＝－ΔE p＝E p1－E p2.
2.使用范围：在弹簧的弹性限度内.
注意：弹力做功和重力做功一样，也和路径无关，弹性势能的变化只与弹力做功有关.
【例2】如图所示，处于自然长度的轻质弹簧一端与墙接触，另一端与置于光滑地面上的物体接触，现在物体上施加一水平推力F，使物体缓慢压缩弹簧，当推力F做功100 J时，弹簧的弹力做功________J，以弹簧处于自然长度时的弹性势能为零，则弹簧的弹性势能为________J.
【答案】－100100
【解析】在物体缓慢压缩弹簧的过程中，推力F始终与弹簧弹力等大反向，所以推力F做的功等于克服弹簧弹力所做的功，即W弹＝－W F＝－100 J.由弹力做功与弹性势能的变化关系知，弹性势能增加了100 J.
举一反三如图所示，轻弹簧下端系一重物，O点为其平衡位置(即重力和弹簧弹力大小相等的位置)，今用手向下拉重物，第一次把它直接拉到A点，弹力做功为W1，第二次把它拉到B点后再让其回到A点，弹力做功为W2，则这两次弹力做功的关系为()
A.W1<W2
B.W1＝2W2
C.W2＝2W1
D.W1＝W2
【答案】D
【解析】 弹力做功与路径无关，只与初、末位置有关，两次初、末位置相同，故W 1＝W 2，D 正确.
三、利用F －x 图象求解变力做功的问题
【例3】弹簧原长l 0＝15 cm ，受拉力作用后弹簧逐渐伸长(仍在弹性限度内)，当弹簧伸长到长度为l 1＝20 cm 时，作用在弹簧上的力为400 N ，问：
(1)弹簧的劲度系数k 为多少？
(2)在该过程中弹力做了多少功？
【答案】 (1)8 000 N/m (2)－10 J
【解析】 (1)根据胡克定律F ＝kx 得
k ＝F x ＝F l 1－l 0＝4000.20－0.15
N/m ＝8 000 N/m. (2)由于F ＝kx ，作出F －x 图象如图所示，求出图中阴影部分的面积，即为弹力做功的绝对值，由于在伸长过程
中弹力F 的方向与位移x 的方向相反，故弹力F 在此过程中做负功，W ＝－12
×0.05×400 J ＝－10 J.
方法点拨】
当力F 与位移x 成线性关系时，求该力做功的方法
1.图象法：F －x 图象与x 坐标轴围成的面积，即为F 在这段位移x 上所做的功.
2.平均值法：求出某段位移x 上力的平均值F ，利用W ＝F x 得出力F 在这段位移x 上所做的功.
【课堂检测】
1.(多选)关于弹性势能，下列说法中正确的是( )
A.任何发生弹性形变的物体，都具有弹性势能
B.任何具有弹性势能的物体，一定发生了弹性形变
C.物体只要发生形变，就一定具有弹性势能
D.弹簧的弹性势能只跟弹簧被拉伸或压缩的长度有关
【答案】 AB
【解析】 发生弹性形变的物体的各部分之间，由于弹力作用而具有的势能，叫做弹性势能，所以，任何发生弹性形变的物体都具有弹性势能，任何具有弹性势能的物体一定发生了弹性形变.物体发生了形变，若是非弹性形变，无弹力作用，则物体就不具有弹性势能.弹簧的弹性势能除了跟弹簧被拉伸或压缩的长度有关外，还跟弹簧的劲度系数有关.故选A 、B.
2.(多选)如图所示，一个物体以速度v 0冲向与竖直墙壁相连的轻质弹簧，墙壁和物体间的弹簧被物体压缩，在此过程中，以下说法正确的是( )
A.物体对弹簧做的功与弹簧的压缩量成正比
B.物体向墙壁运动相同的位移，弹力做的功不相等
C.弹簧的弹力做正功，弹性势能增加
D.弹簧的弹力做负功，弹性势能增加
【答案】 BD
【解析】 由W ＝12
kx 2知，选项A 错误；弹簧开始被压缩时弹力小，弹力做的功也少，弹簧的压缩量变大时，物体移动相同的距离做的功多，故选项B 正确；物体压缩弹簧的过程，弹簧的弹力与弹力作用点的位移方向相反，所以弹力做负功，弹性势能增加，故选项C 错误，选项D 正确.
3.如图所示，轻弹簧一端与竖直墙壁相连，另一端与一质量为m 的木块相连，木块放在光滑的水平面上，弹簧的劲度系数为k ，弹簧处于自然状态，用水平力F 缓慢拉木块，使木块前进l ，求这一过程中拉力对木块做了多少功.
【答案】 12
kl 2 【解析】 解法一 缓慢拉动木块，可认为木块处于平衡状态，故拉力大小等于弹力大小，即F ＝kx .因该力与位
移成正比，故可用平均力F ＝kx 2
求功. 当x ＝l 时，W ＝F ·l ＝12
kl 2 解法二 画出力F 随位移x 的变化图象.
当位移为l 时，F ＝kl ，由于力F 做功的大小与图象中阴影部分的面积相等，
则W ＝12(kl )·l ＝12kl 2.。