《概率论与数理统计》总复习总结

x[1,2], 其他.
③ 若令 Y = X 2，求 Y 的概率密度函数 fY (y)；
解: (3④) ∴E(Yf)Y(. y) 21yfX( y)fX( y), y0,

0,
y0.
00 2 y 0 ,
y 4,


1 3

0
2
习题 p.112 21, 22①, 29, 33
切比雪夫不等式 期望 E(X)
k xk pk (离散) xf (x)dx(连续)
方差 D(X) E(X2)[E(X)]2
意性结 义质论
协方差 cov(X,Y) E (X Y )E (X )E (Y )
性 质
第一章& 期中试卷讲评
5.
独立性:
定义
&
贝叶斯公式
性质
P(Bi |A)P(A|P B(i)A)P(Bi).
第一章& 期中试卷讲评
2
第二章
随机变量X 习题 p.55 19,22①,36
离散型
分布律
看跃点, 跃度 分布函数
P(X=k) = pk , k=…
P(Xk) kx
F(x) = P(X≤x)
F ( x )
y
1 6
1 3

1 3
ຫໍສະໝຸດ Baidu
2
y1
3
y, y,

0,
1 y 4, 0 y 1,
y 0.
第一章& 期中试卷讲评
12
试求:卷(①②③二XX若) 题的 的令2概 分Y. 率 布已= 密 函X知2度数，X函~F求XU数Y([x-f1的)X,；(2概x])，率；密f度Yf(X函y()x数) fY63(11130yyy,),；,,
上式两端求导得：
∴ fY(y) 21yfX( y)fX( y), y0,

0,
y0.
第一章& 期中试卷讲评
11
试卷(二) 题2. 已知 X ~ U[-1, 2]，
求: ① X 的概率密度函数 fX (x) ； ② X 的分布函数 FX (x) ；
fX(x) 13, 0,
2 x2 dx 1 x 3 2 1 .
1 3
9 1
第一章& 期中试卷讲评
13
试卷(一) 题3.设 (X, Y) 服从区域 G 上的二维均匀分布，其
中 G 由直线 y = -2x, y = 2x 与 x = 1 围成。
求:
解:
① (1)
边缘概率密度 fX (x), fY (y)； (X, Y)的联合概率密度为：f(x,
y y = 2x 2
0 2y2 4yd y 0 2y2 4yd y 0 ,
E (X Y)
xyf(x,y)dxdy
1
dx
2x xy1dy

0,
G
0
2x
2
x 1 x ∴ C o v (X ,Y ) E (X Y ) E (X ) E ( Y ) 0 ,
计判 算定
二维随机变量(X, Y)
边缘分布函数 FX(x),FY(y)
联合分布函数 F(x, y)
性概独极 质率立值
计判分 算定布
第一章& 期中试卷讲评
习题 p.85 8 连续型
边缘概率密度 fX(x), fY(y)
联合概率密度 f(x, y)
性概独和 质率立的
计判分 算定布
4
第四章
意性计结 义质算论
的 3. 古典概型： P(A) = #A / #S (有无序,有无放回, 排列/组合)
基
定义：P (B |A )P (A B )P (A )
本 4. 条件概率
乘法公式 P (A B ) P (A )P (B |A );
概 念
公式 全概率公式 P (A )iP (A |B i)P (B i);
解: (4)

fXY(z)f(x,zx)dx
00 xx11, ,
如图,
当且仅当
x2x zz,

x

时被积函数
2x
f
(x,
z-x)≠0
.
x z 3
图形定限法
x
1 x = -z
x = z/3

11 z 2
dx

z 1， 2
1 z 0,
∴
-2
y = -2x
XY

Cov(X,Y)
(X)(Y)

0.
第一章& 期中试卷讲评
15
试卷(一) 题3.设 (X, Y) 服从区域 G 上的二维均匀分布，其
中 G 由直线 y = -2x, y = 2x 与 x = 1 围成。 求: ③ 判断本例中 X, Y 是否独立？是否不相关？试解释 “不相关”的含义及其与“独立”的联系；
参 数 估 计
2) 解方程组,得 3) 得矩估计量
1 s… g g1 s(( 1 1,, 2 2,,
,s), ,s).
1…g1(A 1,A 2, ,A s),
sgs(A 1,A 2, ,A s).
3. 最大似然估计: 0) 设样本/样本值
1) 写似然函数 L( )
解: (1) fX(x) 13, x[1,2],
0, 其他.

2 1 dt 1, 1 3
x 2,
x
(2) FX(x) fX(t)dt


x 1 d t x 1 , 1 x2,
1 3
3
0,
x 1.
第一章& 期中试卷讲评
10
试卷(二) 题2. 已知 X ~ U[-1, 2]，
ni1P(Xi xi)- 离散
n i1
fXi
(xi
)
- 连续
2)
令d dp
L
(
p
)
或d dp
ln
L(
p ) =0,
最大值即估计值;
3) 根据估计值的形式写出估计量.
第一章& 期中试卷讲评
7
《概率论与数理统计》 期中试卷讲评
第一章& 期中试卷讲评
8
试卷(一) 题1. 有两箱同种类的零件. 第一箱装 20 只，其中 5
样
X N(,2 );
分 布
4. 正态总体下的重要结论
n
(n1)S2
2
2(n1);
X 与 S2 相互独立
第一章& 期中试卷讲评
6
习题
1. 基本概念：估计量/估计值、估计量评选标准 p.173 4①
第 七
2. 矩估计: 0) 设样本
章
1) 列方程组
1…h 1(1,2, ,s), sh s(1,2, ,s).
《概率论与数理统计》 总复习
第一章& 期中试卷讲评
1
随机试验、样本空间 & 样本点 习题 p.25
1. 基本概念
特例： S, , {e}
第
随机事件 运算： , , ,
3①③, 5, 21
一
关系：相等,包含,互斥,对立
章
定义：非负性, 规范性, 可列可加性
概 率 论
2. 概率
公式
逆公式 P(A)1P(A); 包含公式 A B P (A ) P (B ); 和公式 P (A B ) P (A ) P (B ) P (A B )
P
(B1
)
P (B 1|A )P (A ) P (B 21)|.A )P (A ) 250
12166
1 2

5 16
.
(2) P(B2 | B1)
P (B1B2 ) P (B1 )
P(B 1B 2|A )P(A )P(B 1B 2|A )P(A ) P(B 1)

5 20
又由 XY = 0 知: X, Y 不相关.
“X, Y 不相关” 表明 X 与 Y 无线性关系,
它是“X, Y 独立” 的必要非充分条件.
第一章& 期中试卷讲评
16
试卷(一) 题3.设 (X, Y) 服从区域 G 上的二维均匀分布，其
中 G 由直线 y = -2x, y = 2x 与 x = 1 围成。 求: ④ 令 Z = X+Y，求 Z 的概率密度函数 fX+Y (z) .
求: ① X 的概率密度函数 fX (x) ； ② X 的分布函数 FX (x) ； ③ 若令 Y = X 2，求 Y 的概率密度函数 fY (y)； ④ E(Y) .
解: (3)
FY(y)P{Yy} P{X2 y}
FX( y)FX( y),
y 0,

0,
y 0.
y)

12,
(x, y)G,
0, 其他.
y 2
y
y
=
2x
∴

fX(x) f(x,y)dy


2x 1 dy 2x, 2 x 2
0,
fY(y) f(x,y)dx
0 x 1, 其他.
x1x y
-2
y = -2x



1 1 d x (2y) 4, y 22 1 1 d x (2y) 4,
x
f (t )dt
连续型 概率密度
f(x)
性 概 常 g(X) 质 率见的
计分 分 算布 布
性概 质率
计 算
性 概 常 g(X) 质 率见的
计分分 算布布
0-1
二 项
泊 松
第一章& 期中试卷讲评
均指正 匀数态
3
第三章
离散型 边缘分布律
联合分布律 P(X=xi,Y=yj) = pij , i,j = … 性概独 质率立
解:
(3)
∵
12,
f(x,y)
0,
(x,y)G, 其他.
(2y) 4, 0 y2,
2x,
fX(x)
0,
0x1, 其他.
fY(y)(2y) 4, 0,
2 y0, 其他.
“ x ,y , f(x ,y ) fX (x )fY (y )”显然不成立∴, X, Y 不独立.
4 19

1 2
5
6 16
5 15

1 2

1 38

1 16
5

27 . 95
16
16
第一章& 期中试卷讲评
9
试卷(二) 题2. 已知 X ~ U[-1, 2]，
求: ① X 的概率密度函数 fX (x) ； ② X 的分布函数 FX (x) ； ③ 若令 Y = X 2，求 Y 的概率密度函数 fY (y)； ④ E(Y) .
相关系数 XY

Cov( X
( X )
,Y (Y
) )
意辨结 义析论
5
习题 p.147 4
第 1. 基本概念：总体 & 个体、样本
六
样本均值：X 数字特征
章 2. 五个统计量 样本方差: S2
……
样
χ2 (n) 分布
本 及 抽
3. 三种抽样分布 t(n) 分布
定义、性质
F(m, n) 分布
x1[y1,24],, 其他. 0 y 1,
④ E(Y) .
解:
(4)
(法一)

E(Y) yfY(y)dy

0,
其他.
4

y dy 1
y dy
16 y
03 y

1
3
y2
4

2
1
3
y2
9 19 0
1.
(法二) E(Y) x2fX(x)dx
y 2 2
0,
0 y 2, 2 y0,
其他.
第一章& 期中试卷讲评
14
试中求解:卷:G (由(2②一)直E)E E 线(题((XY X)y3,))=.E 设(-Y2(x ) X ,,xC,yyfYfoX=Y )v((服(x2Xyx)d )从,d 与Yxy区) x以域=及011Gf2Y围上x(X2f成yYd的f)(；X xx。二(,xy维))222344均0x,3yy2匀120100,,x,,,分, 230(布20x,其,其 ，其 yy他xy)他 其他 ...2G10,,,,
只一等品；第二箱装 16 只，其中 6 只一等品. 今从两箱中任挑 出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一只，不放回 . 求 ① 第1次取到一等品的概率；
② 在第1次取到一等品的条件下, 第2次也取到一等品的概率.
解: 记 A = “挑出的是第1箱”，Bi = “第i次取到一等品” (i=1,
(1)
fX
Y
(z)



1 z3
1 2
dx

3 6
z，
0 z 3,
0,
其他.
1z0 z
3z
第一章& 期中试卷讲评
17