中考数学压轴题矩形问题精选解析一

中考数学压轴题矩形问题精选解析(一)

例1．已知一个矩形纸片OACB ，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A （11，0），点B （0，6），点P 为BC 边上的动点（点P 不与点B 、C 重合），经过点O 、P 折叠该纸片，得点B ′ 和折痕OP ．设BP ＝t ．

（Ⅰ）如图①，当∠BOP ＝30°时，求点P 的坐标；

（Ⅱ）如图②，经过点P 再次折叠纸片，使点C 落在直线PB ′ 上，得点C ′ 和折痕PQ ，若AQ ＝m ，试用含有t 的式子表示m ；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C ′ 恰好落在边OA 上时，求点P 的坐标（直接写出结果即可）．

解析：（Ⅰ）根据题意，∠OBP ＝90°，OB ＝6

在Rt△OB P 中，由∠BOP ＝30°，BP ＝t ，得OP ＝2t

根据勾股定理，OP 2＝OB 2＋BP 2

即( 2t )2＝6 2＋t 2

，解得t ＝23（t ＝－23舍去）． ∴点P 的坐标为（23，6）

（Ⅱ）∵△OB ′P 、△QC ′P 分别是由△OBP 、△QCP 折叠得到的 ∴△OB ′P ≌△OBP ，△QC ′P ≌△QCP ∴∠OPB ′＝∠OPB ，∠QPC ′＝∠QPC

∵∠OPB ′＋∠OPB ＋∠QPC ′＋∠QPC ＝180°，∴∠OPB ＋∠QPC ＝90° ∵∠BOP ＋∠OPB ＝90°，∴∠BOP ＝∠CPQ 又∠OBP ＝∠C ＝90°，∴△OBP ∽△PCQ ，∴

OB PC ＝

BP

CQ

由题设BP ＝t ，AQ ＝m ，BC ＝11，AC ＝6，则PC ＝11－t ，CQ ＝6－m

∴ 6 11－t ＝ t

6－m ，∴m ＝ 1 6 t 2－ 11 6 t ＋6（0＜t ＜11） （Ⅲ）点P 的坐标为（11－ 13 3 ，6）或（11＋ 13 3 ，6）

提示：过点P 作PH ⊥OA 于H

易证△PC ′H ∽△C ′Q A ，∴

PH AC ′ ＝

PC ′

C ′Q

∵PC ′＝PC ＝11－t ，PH ＝OB ＝6，AQ ＝m ，C ′Q ＝CQ ＝6－m

∴AC ′＝ C ′Q 2－AQ 2

＝

36－12m

A B x O y C P B ′

图② C ′ Q A B

x

O y C P B ′ 图① A B x

O y C P

B ′

C ′

Q A B

x

O

y

C

P

Q

B '

H

C '

∴

6

36－12m

＝

11－t

6－m

∵ 6

11－t ＝ t 6－m ，即 6 t ＝

11－t

6－m

∴

6

36－12m

＝

6

t

，∴36－12m ＝t 2，即12m ＝36－t 2

又m ＝

1 6 t 2－ 11 6

t ＋6，即12m ＝2t 2

－22t ＋72 ∴2t 2

－22t ＋72＝36－t 2

，即3t 2

－22t ＋36＝0 解得：t ＝ 11±13

3

∴点P 的坐标为（11－ 13 3 ，6）或（11＋ 13

3

，6）

例2（在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，E 是AB 边上一点（与A 、B 不重合），EF ⊥CE 交AD 于点F ，过点E 作∠AEH ＝∠BEC ，交射线FD 于点H ，交射线CD 于点N ． （1）如图1，当点H 与点F 重合时，求BE 的长；

（2）如图2，当点H 在线段FD 上时，设BE ＝x ，DN ＝y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；

（3）连接AC ，当△FHE 与△AEC 相似时，求线段DN 的长．

解析：（1）∵EF ⊥EC ，∴∠AEF ＋∠BEC ＝90° ∵∠AEH ＝∠BEC ，∴∠BEC ＝45° ∵∠B ＝90°，∴BE ＝BC ∵BC ＝3，∴BE ＝3

（2）过点E 作EG ⊥CN ，垂足为点G ∴BE ＝CG

∵AB ∥CN ，∴∠AEH ＝∠N ，∠BEC ＝∠ECN ∵∠AEH ＝∠BEC ，∴∠N ＝∠ECN ，∴EN ＝EC ∴CN ＝2CG ＝2BE

∵BE ＝x ，DN ＝y ，CD ＝AB ＝4 ∴y ＝2x －4（2≤x ≤3）

（3）∵∠A ＝90°，∴∠AFE ＋∠AEF ＝90° ∵EF ⊥EC ，∴∠AEF ＋∠BEC ＝90° ∴∠AFE ＝∠BEC ，∴∠HFE ＝∠AEC

A E

B N D

C 图1 F

(H ) A B E N D C

F H 图2

A E B

F

C

备用图

D

A B

E

N D

C

F H G

当△FHE与△AEC相似时

①若∠FHE＝∠EAC

∵∠BAD＝∠B，∠AEH＝∠BEC

∴∠FHE＝∠ECB，∴∠EAC＝∠ECB

∴tan∠EAC＝tan∠ECB，∴BC

AB

＝

BE

BC

∴3

4

＝

BE

3

，∴BE＝

9

4

，∴DN＝

1

2

②若∠FHE＝∠ECA，作EG⊥CN于G，交AC于O ∵EN＝EC，EG⊥CN，∴∠1＝∠2

∵AH∥EG，∴∠FHE＝∠1，∴∠FHE＝∠2

∴∠2＝∠ECA，∴OE＝OC

设OE＝OC＝3k，则AE＝4k，AO＝5k

∴AO＋OC＝8k＝5，∴k＝5 8

∴AE＝5

2

，BE＝

3

2

，∴CN＝3，∴DN＝1

综上所述：线段DN的长为1

2

或1

A B

H

N C

D

F

E

C

1 2

A B

H

C

D

F

E

N G

O