人教版必修一：《基本初等函数》复习之抽象函数专题

人教版必修一：《基本初等函数》复习之抽象函数专题
1、抽象函数相对于具体函数而言，没有具体的解析式，有的是这一类函数所具有共同性质
2、抽象函数题型标配：①任意 ②关系恒等式
3、选配：单调性、奇偶性、某一函数值、某一范围内函数值、
4、常见求解问题：求值、判断奇偶性、判断单调性、解不等式
因为“任意”两字：为赋值埋下伏笔
恒等式：可正用，可逆用，可变形用
练习：人教版必修1第82页第7题、第75页B 组题第五题
从以上题目中以发现，具体函数可以抽象出一类函数所具有的性质
练习：
1、函数()f x 的定义域为{}
0D x x =≠，且满足对任意的12,x x D ∈,都有1212()()()f x x f x f x ⋅=+
(1) 求(1)f 的值（2）判断()f x 的奇偶性
（求值，不但有明确要求求值，还有暗的要求求值；证奇偶性，要注()f x -的出现）
2、已知函数()f x 不为0，当,x y R ∈恒有()+(-)2()()f x y f x y f x f y +=⋅，
求证：()f x 为偶函数
3、()f x 是定义在R 上的函数，对,x y R ∈都有()()()1f x y f x f y +=++，
求证：()f x +1为为奇函数
4、已知定义在()0,+∞的函数()f x 满足()()(),x f f x f y y =-且当1x >时，()0f x <，
（1）求(1)f 的值 （2）判断()f x 的单调性
5、()f x 是定义在R 上的函数，对,a b R ∈都有()()()f a b f a f b +=+，且当0x >时，()0f x >
（1）求证：()f x 为为增函数
（2）若(1)1f =，解不等式(32)3f m -<
6、()f x 是定义在R 上的函数，对,x y R ∈都有()()(),f x y f x f y +=+且当0x >时，()0f x <，(1)2f =-
（1）求证：()f x 为奇函数（2）求()f x 在[]3,3-上的最大值与最小值
3、设函数()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，对任意[],1,1a b ∈-，当0a b +≠时，都有()()0f a f b a b
+>+ （1）若a b >，试比较()()f a f b 与的大小（2）解不等式：(3)(21)f x f x <+
总结：（1）有的直接让求值，而有的是通过分析得知需要求值；
（2）有的直接让证单调性，而有的是通分析知道需要证单调性；那么什么时候要证单调性呢，如果题目中出现求最值问题、比较大小问题，往往要证单调性
（3）有的直接要证奇偶性问题，而有的是通过分析可得要证奇偶性。

如果题目中出现了()()f x f x -与这样的形式，往往要证
（4）常见抽象函数类型：
正比例型： ()()(),f x y f x f y ±=±
指数型： ()()()(),()()
f x f x y f x f y f x y f y +=⋅-= 对数型：()()(),()()()x
f x y f x f y f f x f y y
⋅=+=-。