非线性方程的简单迭代法和Steffensen迭代法

《数值计算方法》实验报告
实验名称：实验1 非线性方程的简单迭代法和Steffensen 迭代法
实验题目：分别用简单迭代法和Steffensen 迭代法求方程
010423=-+x x
在 [1, 2] 内的一个实根.
实验目的：理解并掌握简单迭代法和Steffensen 迭代法
基础理论：简单迭代法和Steffensen 迭代法
1）.简单迭代法的原理：将一元非线性方程：0)(=x f 改写成等价方程：)(x x ρ= ，对此，从某个初始值x0开始，对应式)(x x ρ= 构成迭代公式 ,...1,0),(1==+k x x k k ρ ，这样就可以确定序列 {}k x （k=0，1，2…）。

如果 {}k x 有极限
*lim x x k k =∞→ ，由式 ,...1,0),(1==+k x x k k ρ 两边取极限可得 )(**x x ρ= ，可知 *
x 为方程0)(=x f 的近似解。

2）Steffensen 迭代法的原理：
通过把改进的Aitken 方法应用于根据不动点迭代所得到的线性收敛序列，将收敛速度加速到二阶。

()⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧+---===+k k k k k k k k k k k x y z x y x x y z x y 2)
()(21ρρ
[]x x x x x x x +---=)(2)(()()(2ρρρρψ
实验环境：操作系统：Windows 7；
实验平台：Turbo C++
实验过程：写出算法→编写程序→调试运行程序→计算结果
1）简单迭代法的算法：
Input:初始近似值x0,精度要求del,最大迭代次数N
Output:近似解x 或失败信息
1. n ←1
2. While n ≤N do;
3. x ←f(x0);
4. if | x-x0|<del then
5. | return x;
6. end
7. n ←n+1;
8. X0←x;
9. End
10. return False; ≤()0202
x y z x y +--Steffensen 迭代法计
算的结果：
近似解为：
给出程序:
1,简单迭代法的程序（C++）
#include ""
#include ""
#define phi(x) *sqrt(10-x*x*x)
void main()
{int n=1,N;
float x,x0,del;
printf("x0="); scanf("%f",&x0);
printf("\ndel=:"); scanf("%f",&del); printf("\nN="); scanf("%d",&N);
printf("\nk x(k)");
printf("\n %2d %f ",0,x0);
while (n<N)
{ x=phi(x0);
if(fabs(x-x0)<del)
{ printf("\n \n=近似解 = %f \n",x);
return;
}
printf("\n %2d %f ",n,x0);
n=n+1; x0=x;
}
printf("\n \n%d次迭代后未达到精度要求.\n",N); }
2,Steffensen迭代法的程序（C++）
#include ""
#include ""
#define phi(x) *sqrt(10-x*x*x);
void main()
{int n=1,N;
float x,x0,del,y,z,a,b;
printf("x0="); scanf("%f",&x0);
printf("\ndel=:"); scanf("%f",&del); printf("\na="); scanf("%f",&a);
printf("\nb="); scanf("%f",&b);
printf("\nN="); scanf("%d",&N);
printf("\nk x(k)");
printf("\n %2d %f ",0,x0);
while (n<N)
{ y=phi(x0);
z=phi(y);
x=x0-(y-x0)*(y-x0)/(z-2*y+x0);
if(fabs(x-x0)<del)
{ printf("\n \n=近似解 = %f \n",x);
return;
}
printf("\n %2d %f ",n,x0);
n=n+1; x0=x;
}
printf("\n \n%d次迭代后未达到精度要求.\n",N); }
结果分析：
1.用简单迭代法和Steffensen迭代法都能求出非线性方程的近似解，且用简单迭代法和Steffensen迭代法求出的近似解基本一样。

2.用Steffensen迭代法来求解时迭代的次数少很多，可见Steffensen迭代法加速了收敛速度。