初中八年级(初二)数学课件 三垂线定理

证明：∵在正方体AC1中 A1B1⊥面BCC1B1且BC1 ⊥B1C ∴B1C是A1C在面BCC1B1上的射影
由三垂线定理知 A1C⊥BC1
同理可证， A1C⊥B1D1
D1 A1
D A
D1 A1
D A
C1 B1
C B
C1 B1
C B
我们要学会从纷繁的已知条件中找出 或者创造出符合三垂线定理的条件
，怎么找？
a⊥平面PAO
PO平面PAO
a⊥PO
例1 已知P 是平面ABC 外一点， PA⊥平面ABC ，AC ⊥ BC， 求证： PC ⊥ BC
证明：∵ P 是平面ABC 外一点 PA⊥平面ABC ∴PC是平面ABC的斜线 ∴AC是PC在平面ABC上的射影 ∵BC平面ABC 且AC ⊥ BC ∴由三垂线定理得
AD在平面BCD上的射影。
∵AB⊥CD，∴BO⊥CD，
同理CO⊥BD，
B
于是O是△BCD的垂心，
∴DO⊥BC，于是AD⊥BC.
A
D O
C
练习与作业
1. 在正方体AC1中，E、G分别是AA1和 CC1的中点， F在AB上，且C1E⊥EF，
则EF与GD所成的角的大小为（ D ）
(A) 30° (B) 45° (C) 60°(D) 90°
P
解
a
题
αA O
回
顾 A1
C1 B1
C B
AO a α
P P
C A
M B
三垂线定理解题的关键：找三垂！
解 题 回 顾
怎么找？
一找直线和平面垂直 P
二找平面的斜线在平面 内的射影和平面内的 一条直线垂直
αA
a
O
注意：由一垂、二垂直接得出第三垂 并不是三垂都作为已知条件
使用三垂线定理还应注意些什么？
但 b不垂直于OP
P
b
Oa αA
练习：
判断下列命题的真假：
D1
× ⑴若a是平面α的斜线，直线b垂直于
a在平面α内的射影，则 a⊥b （
）A1
C1 B1
⑵若 a是平面α的斜线，平面β内
Байду номын сангаас
的直线b垂直于a在平面α内的射
影，则 a⊥b
×
（） ⑶若a是平面α的斜线，直线b α
且b垂直于a在另一平面β内的射
影则a⊥b
定 理
逆 定 理
线斜垂直
例3 如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等， 那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上。
已知：∠BAC在平面内，点P，PE⊥AB，PF⊥AC， PO⊥ ，垂足分别是E、F、O，PE=PF 求证：∠BAO=∠CAO
分析： 要证 ∠BAO=∠CAO 只须证OE=OF, OE⊥AB,OF⊥AC
已知：PA，PO分
P
别是平面 的垂线和斜
线，AO是PO在平面
A
α
Oa
,a 的射影,a
⊥PO
a 求证： ⊥AO
线射垂直 定逆定线理理 斜垂直
三垂线定理： 在平面内的
一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂 直，那么，它就和这条斜线垂直。
线射垂直
三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜 线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。
D1 A1
C1 B1 G
EB1是EC1在平面AB1 内的射影
E
D
A F
M
C
B
EB1 ⊥EF DG∥AM∥EB1 EF ⊥DG
2.已知 PA、PB、PC两两垂直， 求证：P在平面ABC内的射影是 △ABC的垂心。
3.经过一个角的顶点引这个角 所在平面的斜线，如果斜线和 这个角两边的夹角相等，那么 斜线在平面上的射影是这个角 的平分线所在的直线。
平面内的直线和平面的 一条斜线垂直
三垂线定理的逆定理
线射垂直 P
？ 线斜垂直 P
a αA O
平面内的一条直线和 平面的一条斜线在平 面内的射影垂直
A
α
a
O
平面内的一条直 线和平面的一条 斜线垂直
三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一 条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。
×（
⑷若a是平面α的斜线,b∥α,直线
b垂直于a在平面α内的射影，
则 a⊥b
√（
D
C
A
B
）面ABCD →面α ）面直直面直 直面直直A线线B线线A线线B1ABBAABCAB11C1BCCBD11CCBDC→→→→1→→→→垂斜面斜垂斜面面线线α线线线αβbaaba
⑷若a是平面α的斜线,b∥α,直线 b垂直 于a在平面α内的射影，则 a⊥b
4.在ABCD—A1B1C1D1中， 求证：AC1⊥平面BC1D
P
B
C1 D1
C D
A H
C
B1 A1
B A
垂线、斜线，AO是PO在平面上
的射影。a ，a⊥AO。
P
求证： a⊥PO
A
O
a
P
证明：
a O
A
PA⊥
a
PA ⊥a AO⊥a
a⊥平面PAO
PO平面PAO
a⊥PO
三垂线定理： 在平面内的
P
一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂 直，那么，它就和这条斜线垂直。
PA⊥
a
PA ⊥a
A
AO⊥a
O
a
证明：
已知：PA，PO分别是平 面 的垂线和斜线，AO 是PO在平面 的射影，
a , a ⊥AO，
a l 平行于 。
求证： l 垂直于PO
l P
A
α
Oa
三垂线定理包含几种垂直关系？
①线面垂直 ②线射垂直 ③ 线斜垂直
P
P
P
αA
直线和 平面垂直
a
O
αA
a
O
αA
a
O
平面内的直线和平面 一条斜线的射影垂直
P
A
D
A O
B
C
(1)
(2)
P
A1 C
M
A
B
D1 D
(3)
C1 B1
C B
(1) PA⊥正方形ABCD所在平 面，O为对角线BD的中点， 求证：PO⊥BD，PC⊥BD
证明: ∵ABCD为正方形 O为BD的中点 ∴ AO⊥BD
又AO是PO在ABCD上的射影
同理，AC⊥BD
AO是PO在ABCD上的射影
P
A
O B
D C
PO⊥BD
PC⊥BD
P
(2) 已知：PA⊥平面PBC，PB=PC， M是BC的中点，
求证：BC⊥AM 证明: ∵ PB=PC
M是BC的中点 PM ⊥BC ∵PA⊥平面PBC
C A
M B
BC⊥AM
∴PM是AM在平面PBC上的射影
(3) 在正方体AC1中， 求证：A1C⊥BC1 ， A1C⊥B1D1
直线和平面
三垂线定理
山东垦利一中 李丁
这是偶然的巧合，还是必然？
cos·cos=cos A
=∠AOB
=∠DOB =∠AOD
O E
BM D
P
A
a O
AE⊥OD
？
PO⊥ a
？
三垂线定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条 斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。
已知 PA、PO分别是平面的
PC ⊥ BC
P
A
O
M
B C
例2 直接利用三垂线定理证明下列各题：
(1) PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点 求证：PO⊥BD，PC⊥BD (2) 已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，M是BC的中点， 求证：BC⊥AM
(3) 在正方体AC1中，求证：A1C⊥B1D1，A1C⊥BC1
解 题 回 顾
三垂线定理是平面的一条
斜线与平面内的直线垂直的判定定理，
这两条直线可以是：
P
①相交直线 ②异面直线
e dc
α
A
a b
O
解 题 回 顾
注意：如果将定理中
“在平面内”的条件 去掉，结论仍然成立 吗？
直线a 在一定要在平面内，如 果 a 不在平面内，定理就不 一定成立。
例如：当 b⊥ 时， b⊥OA
证明：
??
∵ PO ⊥
?
A
∴OE、OF是PE、PF在内的射影
∵ PE=PF 由OE是PE的射影且PE⊥AB
∴ OE=OF OE⊥AB
同理可得OF⊥AC
P
E B O
C F
结 论 成 立
例4 在四面体ABCD中，已知AB⊥CD，AC⊥BD 求证：AD⊥BC
证明：作AO⊥平面BCD于点O， 连接BO，CO，DO，则BO， CO，DO分别为AB，AC，