电路的频率响应和谐振现象
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10(1).1 正弦稳态网络函数、频率响应
10(1).1.1 正弦稳态网络函数 10(1).1.2 电路的频率响应
10(1).1.1 正弦稳态网络函数
正弦稳态网络函数的定义 有唯一激励源的正弦稳态电路，其激励源（又称 ；电路中某一电流或电压 为输入）的相量为 E ；则该电路的 响应为电路的输出，其相量为 R 正弦稳态网络函数定义为： R H ( j ) E 其定义为响应（输出）相量与激励（输入）相量 之比。
2
, Au 0
相频特性：
0
1 RC
arctg(RC)
45
o
9 0o
0 , 0
1 RC , 45 o , 90
o
频率特性分析： 从幅频特性看，这是一个低通网络；从相频特 性看，这是一个滞后网络。 幅频特性 A u 下降到其最大值0.707倍时所对 应的频率称为截止频率（又称为半功率点频率）， 记为 c ，该网络的截止频率为 c=1/ RC
,
I U Z
若保持U不变，谐振时电流有最大值：I 0 U R
谐振时电感和电容的电压各为总电压的Q倍，且 相互抵消。 UL0
UR0 R I0 R (U R) U
j L (U R) jQU U L0 0 j 1 ( C) (U R) jQU U
E 当激励源的幅值和初相位不变，只改变其频率时， 随电源频率而变化的特性完全由网 为常数，输出R 络函数 H(j) 反映出来，因此将 H(j) 称为电路 （在指定输入输出下）的频率特性或频率响应。
H ( j ) H ( j ) ( )
H ( j ) H ( j ) ( )
正弦稳态网络函数是电源频率的函数。
正弦稳态网络函数的分类
策动点函数
+ I
U
-
N0
若输出与输入在同一端口，则二 者相量之比为策动点函数。
( N0中不含独立源)
策动点函数又分为策动点阻抗函数（当激励为电流 时）和策动点导纳函数（当激励为电压时）。
策动点阻抗(阻抗)：
策动点导纳(导纳)：
I Z U
谐振时，设： i(t ) I m cos(0t i )
则： uC (t ) I m (1 0C) cos(0t i 2)
I m L C sin(0t i )
任一时刻电路的储能为：
w(t ) (1 2)L i (t ) (1 2)C u (t )
可求得谐振角频率：
0 1
LC
0 1 谐振频率： f 0 2 2 LC
谐振频率仅与 L、C 有关。 谐振时，感抗和容抗的作用抵消了，电路呈电阻性， 其阻抗达到最小值，等于电路中的R。
RLC串联电路的品质因数Q
在谐振电路中，用一个参 量来说明电路的谐振特性， 这个参量称为品质因素Q。 U 定义：
U Y I
转移函数
若输出与输入在不同 的端口，则二者相量 之比为转移函数。
+ -
I1
I2
U1
N0
ZL
+ -
U2
转移函数根据响应和激励或同为电压、或同为电流、 或一为电压一为电流而分为电压转移函数、电流转 移函数、转移阻抗函数和转移导纳函数。
四种转移函数的定义如下：
电压转移函数：
电流转移函数：
U
N0
RLC串联电路的谐振频率
Z R j(L 1 C )
j ( 1 C ) I
j L
Z
U
UC
UL
R
UR
与电流 I 同相位， 当感抗等于容抗时， 为零，电压 U 发生串联谐振，所以有
谐振条件： L 1 C 0
说明电路谐振取决于电路的参数和电源的频率。
C0 0
UR 0 U UC 0
I0
通常品质因素 Q 值很高，电感上的电压和电容上 的电压大大超过输入端电压 U ，故又称为电压谐 振。
谐振时电路吸收的平均功率最大
P 0 I R
2 0
谐振时电路吸收的无功功率为零，电磁场能量为一 常数。
Q0 QL0 QC 0 I 0UL0 ( I 0UC 0 ) 0
=0 ~ = c 称为低通网络的通频带。
10(1).2 R、L、C串联电路的谐振
电路的谐振
+
I
网络 N0 中含有电感和电容，一 般情况下，其端电压 U 和端电 ( N 中不含独立源) 0 不同相位。但在某一特定 流I 和 I 可达到同相位， 频率下 U 称电路在该频率下发生谐振。 通常采用的谐振电路有三种：即RLC串联谐振电 路，RLC并联谐振电路和耦合谐振电路。
I j (1 C ) UC
j L
R
UL
UR
Q 0 L R 1 ( 0CR)
RLC串联电路谐振的特征
I j (1 C ) U UC
j L
R
UL
UR
谐振时阻抗的模最小
Z0 R j(0 L 1 0C) R
谐振时电流最大
Z0 R
U Z I
U A U u 2 1
转移阻抗函数：
A I i 2
转移导纳函数：
I 1
ZT U 2
I 1
U YT I 2 1
10(1).1.2 电路的频率响应
电路的输出对不同频率的正弦激励有不同的响应， 这一特性称为电路的频率特性或频率响应。由于
H ( j ) E R
H ( j ) 称为电路的幅频特性，有 H ( j ) R E
( ) 称为电路的相频特性，有 ( ) r e
+
例：电路如图，
U1
wk.baidu.com
R
+
U2
U , (1) 求电压转移函数 Au U 2 1
解：
- j (1 C)
-
(2) 绘出幅频特性和相频特性曲线。
U 2
j (1 C ) U 1 R j (1 C )
U j (1 C ) 1 2 Au U R j (1 C ) 1 jRC 1
Au
幅频特性：
1
Au
1 1 (RC) 2
0.707
0
1 RC
0 , Au 1
1 RC , Au 1
10(1).1.1 正弦稳态网络函数 10(1).1.2 电路的频率响应
10(1).1.1 正弦稳态网络函数
正弦稳态网络函数的定义 有唯一激励源的正弦稳态电路，其激励源（又称 ；电路中某一电流或电压 为输入）的相量为 E ；则该电路的 响应为电路的输出，其相量为 R 正弦稳态网络函数定义为： R H ( j ) E 其定义为响应（输出）相量与激励（输入）相量 之比。
2
, Au 0
相频特性：
0
1 RC
arctg(RC)
45
o
9 0o
0 , 0
1 RC , 45 o , 90
o
频率特性分析： 从幅频特性看，这是一个低通网络；从相频特 性看，这是一个滞后网络。 幅频特性 A u 下降到其最大值0.707倍时所对 应的频率称为截止频率（又称为半功率点频率）， 记为 c ，该网络的截止频率为 c=1/ RC
,
I U Z
若保持U不变，谐振时电流有最大值：I 0 U R
谐振时电感和电容的电压各为总电压的Q倍，且 相互抵消。 UL0
UR0 R I0 R (U R) U
j L (U R) jQU U L0 0 j 1 ( C) (U R) jQU U
E 当激励源的幅值和初相位不变，只改变其频率时， 随电源频率而变化的特性完全由网 为常数，输出R 络函数 H(j) 反映出来，因此将 H(j) 称为电路 （在指定输入输出下）的频率特性或频率响应。
H ( j ) H ( j ) ( )
H ( j ) H ( j ) ( )
正弦稳态网络函数是电源频率的函数。
正弦稳态网络函数的分类
策动点函数
+ I
U
-
N0
若输出与输入在同一端口，则二 者相量之比为策动点函数。
( N0中不含独立源)
策动点函数又分为策动点阻抗函数（当激励为电流 时）和策动点导纳函数（当激励为电压时）。
策动点阻抗(阻抗)：
策动点导纳(导纳)：
I Z U
谐振时，设： i(t ) I m cos(0t i )
则： uC (t ) I m (1 0C) cos(0t i 2)
I m L C sin(0t i )
任一时刻电路的储能为：
w(t ) (1 2)L i (t ) (1 2)C u (t )
可求得谐振角频率：
0 1
LC
0 1 谐振频率： f 0 2 2 LC
谐振频率仅与 L、C 有关。 谐振时，感抗和容抗的作用抵消了，电路呈电阻性， 其阻抗达到最小值，等于电路中的R。
RLC串联电路的品质因数Q
在谐振电路中，用一个参 量来说明电路的谐振特性， 这个参量称为品质因素Q。 U 定义：
U Y I
转移函数
若输出与输入在不同 的端口，则二者相量 之比为转移函数。
+ -
I1
I2
U1
N0
ZL
+ -
U2
转移函数根据响应和激励或同为电压、或同为电流、 或一为电压一为电流而分为电压转移函数、电流转 移函数、转移阻抗函数和转移导纳函数。
四种转移函数的定义如下：
电压转移函数：
电流转移函数：
U
N0
RLC串联电路的谐振频率
Z R j(L 1 C )
j ( 1 C ) I
j L
Z
U
UC
UL
R
UR
与电流 I 同相位， 当感抗等于容抗时， 为零，电压 U 发生串联谐振，所以有
谐振条件： L 1 C 0
说明电路谐振取决于电路的参数和电源的频率。
C0 0
UR 0 U UC 0
I0
通常品质因素 Q 值很高，电感上的电压和电容上 的电压大大超过输入端电压 U ，故又称为电压谐 振。
谐振时电路吸收的平均功率最大
P 0 I R
2 0
谐振时电路吸收的无功功率为零，电磁场能量为一 常数。
Q0 QL0 QC 0 I 0UL0 ( I 0UC 0 ) 0
=0 ~ = c 称为低通网络的通频带。
10(1).2 R、L、C串联电路的谐振
电路的谐振
+
I
网络 N0 中含有电感和电容，一 般情况下，其端电压 U 和端电 ( N 中不含独立源) 0 不同相位。但在某一特定 流I 和 I 可达到同相位， 频率下 U 称电路在该频率下发生谐振。 通常采用的谐振电路有三种：即RLC串联谐振电 路，RLC并联谐振电路和耦合谐振电路。
I j (1 C ) UC
j L
R
UL
UR
Q 0 L R 1 ( 0CR)
RLC串联电路谐振的特征
I j (1 C ) U UC
j L
R
UL
UR
谐振时阻抗的模最小
Z0 R j(0 L 1 0C) R
谐振时电流最大
Z0 R
U Z I
U A U u 2 1
转移阻抗函数：
A I i 2
转移导纳函数：
I 1
ZT U 2
I 1
U YT I 2 1
10(1).1.2 电路的频率响应
电路的输出对不同频率的正弦激励有不同的响应， 这一特性称为电路的频率特性或频率响应。由于
H ( j ) E R
H ( j ) 称为电路的幅频特性，有 H ( j ) R E
( ) 称为电路的相频特性，有 ( ) r e
+
例：电路如图，
U1
wk.baidu.com
R
+
U2
U , (1) 求电压转移函数 Au U 2 1
解：
- j (1 C)
-
(2) 绘出幅频特性和相频特性曲线。
U 2
j (1 C ) U 1 R j (1 C )
U j (1 C ) 1 2 Au U R j (1 C ) 1 jRC 1
Au
幅频特性：
1
Au
1 1 (RC) 2
0.707
0
1 RC
0 , Au 1
1 RC , Au 1