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2019年 天津市大学数学竞赛试题 (理工类) 一. 填空题（本题15分，每小题3分）: 1. 设()f x 是连续函数, 且0()lim
41cos x f x x →=-, 则01
()lim 1x x
f x x →⎛
⎫+= ⎪⎝⎭
2
e .
2. 设223
()2
x f x ax b x +=
++- , 若 lim ()0,x f x →∞= 则 a =2,- b =4.- 3. 1e ln d x x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
⎰ e ln .x
x C +
4. 设(,)f x y 是连续函数, 且(,)(,)d d ,D
f x y xy f x y x y =+⎰⎰
其中D 由x 轴、y 轴以及直线1x y +=围成,
则(,)f x y =
1
.12
xy +
5. 椭球面2
2
2
21x y z ++=平行于平面20x y z -+=的切平面方程为
20x y z -++
= 和
20.x y z -+= 二. 选择题（本题15分，每小题3分）:
1. 设()(2)ln(1),f x x x =+- 则()f x 在0x =处
(A) (0)2f '=-, (B) (0)0f '=, (C) (0)2f '=, (D) 不可导. 答: (A)
2. 设函数()y f x =具有二阶导数, 且满足方程sin e
0.x
y y '''+-=已知0()0,f x '=则
(A) ()f x 在0x 的某个邻域中单调增加, (B) ()f x 在0x 的某个邻域中单调增少,
(C) ()f x 在0x 处取得极小值, (D) ()f x 在0x 处取得极大值. 答: ( C)
3. 图中曲线段的方程为()y f x =, 函数()f x 在区间[0,]a 上有连续的导数, 则积分
()d a x f x x '⎰
表示
(A) 直角三角形AOB 的面积, (B) 直角三角形AOC 的面积, (C) 曲边三角形AOB 的面积, (D) 曲边三角形AOC 的面积
答: (D)
4. 设在区间 [,]a b 上的函数()0,f x > 且 ()0,f x '< ()f x ''>, 2()(),S f b b a =-
31
[()()](),2
S f a f b b a =+- 则
(A) 123,S S S << (B) 312,S S S << (C) 213,S S S << (D) 231.S S S <<
答: (C )
5. 设 曲面2
2
{(,,)|,01},x y z z x y z ∑==+≤≤取上侧为正, 1∑是 ∑在 0x ≥的部分, 则曲面积分
(A)
d d 0,x y z ∑
=⎰⎰ (B) 1
d d 2d d .z x y z x y ∑
∑=⎰⎰⎰⎰
(C) 1
22d d 2d d ,y y z y y z ∑
∑=⎰⎰
⎰⎰ (D) 1
22d d 2d d ,x y z x y z ∑
∑=⎰⎰⎰⎰
答: (B)
三. (6分) 设函数 ()2
002
[(1)()d ]d 0sin 00x
t t u u t
,x ,f x x
,
x .
ϕ⎧-⎪≠=⎨⎪=⎩⎰⎰ 其中函数ϕ处处连续. 讨论()f x 在0x =处的连续性及可导性.
x
解 2
2
2
[(1)()d ]d (1)()d lim ()lim
lim
2x x x x t x t u u t
x u u
f x x x
ϕϕ→→→--==⎰⎰⎰
2
2
0()d ()d lim
lim
22x x x x x u u
u u
x x ϕϕ→→=-⎰⎰
202()
0lim
0(0)2
x x x f ϕ→⋅=-== 因此, ()f x 在0x =处连续.
200300[(1)()d ]d ()(0)lim lim x
x x t t u u t f x f x x ϕ→→--=⎰⎰ 2
2
0(1)()d lim 3x x x u u x ϕ→-=⎰ 2
2
00
2200()d ()d 11lim lim 33x x x x x u u u u x x ϕϕ→→=-⎰⎰ 1(0)3
ϕ=-
因此, ()f x 在0x =处可导, 且 1
(0)(0).
3f ϕ'=-
四. (6分) 设函数()x x t =由方程cos 0t x x +=确定, 又函数()y y x =由方程2
e
1y xy --=确定, 求复合函数(())y y x t =的导数0
d d .t y
t =
解 方程cos 0t x x +=两边对t 求导
d d cos sin 0.d d x x
x t x t t -⋅+=
当 t=0时, x=0, 故
00
d cos 1.d sin 1t t x x x
t t x ====--= 方程2
e
1y xy --= 两边对x 求导
2d d e 0.d d y y y y x x x
-⋅--⋅=
当 0x =时,2,y = 故
2
20d 2.d e x y y x y y
x x ==-==-= 因此,
000
d d d .d d d 2t x t y y
x
t x
t ====⋅
=-
五. (6分) 设函数()f x 在(,)-∞+∞上二阶可导，且0()
lim
0x f x x
→=，记10()()x f xt dt ϕ'=⎰，求)(x ϕ的导数，并讨论)(x ϕ'在0x =处的连续性.
解 由已知的极限知(0)0,(0)0,f f '== 从而有
10(0)(0)d 0.f t ϕ'==⎰
当 0x ≠时, 110
0011()
()()()d()()d ,x f x x f x t dt f x t x t f u u x x x ϕ'''=
=
==⎰
⎰⎰
从而有 ()
,0()0,
0.
f x x x x
x ϕ⎧≠⎪
=⎨⎪=⎩
因为
()
lim ()lim
0(0),x x f x x x
ϕϕ→→=== 所以, ()x ϕ在0x =处连续. 当 0x ≠时, 2
()()
(),xf x f x x x ϕ'-'=
在0x =处, 由(0)0,ϕ= 有 20
0()(0)
()()1
(0)lim
lim
lim (0)22x x x x f x f x f x
x x ϕϕϕ→→→'-'''==== 所以,
2()()
,0
()1(0),0.
2
xf x f x x x x f x ϕ'-⎧≠⎪⎪'=⎨
⎪''=⎪⎩
而
200000()()()()
lim ()lim
lim lim lim
2x x x x x f x f x f x f x x x x x
x ϕ→→→→→''''=-=- 001()1()(0)1
lim lim (0)(0),222
x x f x f x f f x x ϕ→→'''-'''====
故 ()x ϕ'在0x =处连续.
六. (7分) 设函数()y y x =在(,)-∞+∞上可导, 且满足: 22
,(0)0.y x y y '=+=
(Ⅰ) 研究()y x 在区间(0,)+∞的单调性和曲线()y y x =的凹凸性.
(Ⅱ) 求极限 30()
lim .
x y x x →
解 (Ⅰ) 当0x >时, 有
22
0,y x y '=+>
故 ()y x 在区间(0,)+∞单调增加. 从而当0x >时, 22
y x y '=+也单调增加. 可见, 曲线()y y x =在区间(0,)+∞向下凸. (或当0x >时, 可得
22
2222()0.y x y y x y x y '''=+⋅=++> 可见, 曲线()y y x =在区间(0,)+∞向下凸. )
(Ⅱ) 由题设知, (0)(0)0.y y '== 应用洛必达法则
22
322
000()()lim lim lim 33x x x y x y x x y x x x →→→'+==
[]2
2
011111lim (0).33333
x y y x →⎛⎫'=+=+= ⎪⎝⎭
七. (7分) 设()f x 在[0,1]上具有连续导数, 且0()1,(0)0.f x f '<≤= 试证
2
11300()d ][()]d .
f x x f x x ⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦⎰⎰
证 令 2
300()()d [()]d ,x x
F x f t t f t t ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 则 ()F x 在 [0,1]连续, 且对 (0,1)x ∈,
30
()2()
()d [()]x F x f x f t t f x '=-⎰
20()2()d ().x
f x f t t f x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦
⎰
又由题设知, 当(0,1)x ∈时, ()0.f x > 令20
()2()d (),x g x f t t f x =-⎰
则()g x 在[0,1]上连续, 且
()2()[1()]0,(0,1),g x f x f x x ''=-≥∈
故有
()(0)0
(0,1).g x g x ≥=∈ 因此
()0,(0,1),F x x '≥∈
于是()F x 在[0,1]上单调增加, ()(0)0,[0,1].F x F x ≥=∈ 取1x =, 即得
2
11
300(1)()d [()]d 0.F f t t f t t ⎡⎤=-≥⎢⎥⎣⎦
⎰⎰
所证结论成立.
八. (7分) 设函数()y f x =具有二阶导数, 且()0.f x ''> 直线a L 是曲线()y f x =上任意一点(,())a f a 处的切线, 其
中[0,1].a ∈ 记直线a L 与曲线()y f x =以及直线0,1x x ==所围成的图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积为().V a 试问a 为何值时()V a 取得最小值.
解 切线a L 的方程为 ()()(),y f a f a x a '-=- 即 ()()().y f a x af a f a ''=-+ 于是
10
()2[()()()()]d V a x f x f a x af a f a x π
''=-+-⎰
1
0112()d ()()().322a xf x x f a f a f a π⎡⎤''=-+-⎢
⎥⎣⎦
⎰ 可见, ()V a 在[0,1]连续, 在(0,1)可导. 令
1()2[()()]()(32)0323
a V a f a f a f a a π
π'''''''=-+=
-=, 由于 ()0,f a ''> ()V a 在(0,1)内有唯一的驻点2
.3
a =
并且, 当 2(0,)3a ∈时, ()0V a '<; 当2(,1)3a ∈时, ()0,V a '> 因此, ()V a 在2
3
a =处取得最小值.
九. (7分) 计算(sin )d (cos 1)d ,L
y y x x y y -+-⎰其中L 为从点(0,0)O 沿圆周22
2x y x +=在第一象限部分到点
(1,1)A 的路径.
解 令 sin ,cos 1,P y y Q x y =-=- 则
cos (cos 1) 1.Q P
y y x y
∂∂-=--=∂∂ 取点(1,0).B 作有向直线段,OB 其方程为 0(y x =从0变到1).
作有向直线段,BA 其方程为 1(x y =从0变到1). 由曲线L 、有向直线段AB 和BO 形成的闭曲线记为
0L (沿顺时针方向), 0L 所围成的区域记为D , 则
(sin )d (cos 1)d L
y y x x y y -+-⎰
()((sin )d (cos 1)d )AB BO
L y y x x y y =---+-⎰⎰⎰
d (sin )d (cos 1)d D BA
y y x x y y σ=-+-+-⎰⎰⎰
(sin )d (cos 1)d OB
y y x x y y +-+-⎰
101(cos 1)d 04y y π=-+-+⎰
1
sin1 1.4
π=-+-
a
十. (8分) 设（1）有向闭曲线Γ是由圆锥螺线 OA ：θθθθθ===z y x ,sin ,cos ，（θ从0变到2π）和有向直线段 AO 构成， 其中()0,0,0O ， ()2,0,2A ππ；
（2）闭曲线Γ
将其所在的圆锥面z =∑是其中的有界部分.
（Ⅰ）如果()x z F -=,1, 表示一力场，求F
沿Γ所做的功W ；
（Ⅱ）如果()x z F -=,1,
表示流体的流速，求流体通过∑流向上侧的流量. (单位从略）
解（Ⅰ）作有向直线段,AO 其方程为 ⎩⎨⎧==x
z y 0
(x 从 2π变到0).
所求F
沿Γ所做的功为
d d d W z x y x z Γ
=+-⎰
()(d d d )OA
AO
z x y x z =
++-⎰
⎰
()20cos sin sin cos cos d πθθθθθθθθθθ=-++-⎡⎤⎣⎦⎰()0
2d x x x π+-⎰
220
(cos sin )d 0π
θθθθθ=
-+⎰
24π=.
（Ⅱ）Γ
所在的圆锥面方程为z = ∑上任一点处向上的一个法向量为
(,,1)x y n z z =--=
∑在xOy 面上的投影区域为D , 在极坐标系下表示为: 0,02.r θθπ≤≤≤≤
故所求流体通过∑流向上侧的流量为
d d d d d d ()(
x y z y z z x x x y z z ∑
∑⎡Φ=
+-=⋅-+⎣
⎦⎰⎰
⎰⎰ d d x x x y ∑⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭
⎰⎰ ()200d 2cos sin d r r r πθθθθ=-+⎰⎰ 223
02cos sin d 32πθθθθθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭
⎰26π-=. 注: (Ⅰ)的另一解法 应用Stokes 公式， 可得 W 2d d 2d d y z x z x y ∑
∑
=
=-⎰⎰
⎰⎰2d x y
∑
=⎰⎰
2220
0sin 2d d sin d r r r r
πθπθ
θθθθ=-⋅=-⎰⎰
⎰ 24π=.
十一. (8分) 设函数(,)u u x y =在心形线:1cos L r θ=+所围闭区域D 上具有二阶连续偏导数, n 是在曲线
L 上的点处指向曲线外侧的法向量(简称外法向),
u
n
∂∂是(,)u x y 沿L 的外法向的方向导数, L 取逆时针方向. (Ⅰ) 证明:
d d d .L
L
u u u s x y n
y x
∂∂∂=-
+∂∂∂⎰⎰ (Ⅱ) 若222221,u u
x y y x y
∂∂+=-+∂∂ 求d L u s n ∂∂⎰的值. (Ⅰ) 证 由方向导数的定义
d (
cos sin )d .L
L
u
u u
s s n
x y αα∂∂∂=+∂∂∂⎰⎰
其中, α是n 相对于 x 轴正向的转角.
x
设1α是 L 的切向量τ相对于x 轴正向的转角, 则1,2π
αα=+
或 1.2π
αα=-
故
11d (
sin cos )d .L L u u u s s n
x y αα∂∂∂=-∂∂∂⎰⎰
d d .L u u x y y x ∂∂=-+∂∂⎰
(Ⅱ) 解 应用格林公式
22222d ()d d (1)d d D D L
u u u
s x y x y y x y
n x y ∂∂∂=+=-+∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰
由对称性
1cos 00d 1d d 2d d D L u
s x y x r r
n πθ+∂==∂⎰⎰⎰⎰⎰
203(1cos )d .2πθθπ=+=⎰ 十二.(8分) 设圆22
2x y y +=含于椭圆22221x y a b
+=的内部, 且圆与椭圆相切于两点(即在这两点处圆与椭圆
都有公共切线).
(Ⅰ) 求 a 与b 满足的等式; (Ⅱ) 求a 与b 的值, 使椭圆的面积最小.
解 (Ⅰ) 根据条件可知, 切点不在y 轴上. 否则圆与椭圆只可能相切于一点. 设圆与椭圆相切于点00(,)x y , 则
00(,)x y 既满足椭圆方程又满足圆方程, 且在00(,)x y 处椭圆的切线斜率等于圆的切线斜率, 即
2002001
b x x
a y y -=--. 注意到00,x ≠ 因此, 点00(,)x y 应满足 22
0022
2200022001(1)2(2)1
(3)
1
x y a b x y y b a y y ⎧
+=⎪⎪⎪
+=⎨
⎪⎪=
-⎪⎩
由(1)和(2)式, 得
222
2002
20.b a y y a b
--+= (4) 由 (3) 式得 2
022
.b y b a =- 代入(4) 式 2242
2222222
20.()b a b b a b b a b a -⋅-+=-- 化简得 22
2
2
,b a b a
=- 或 22420.a b a b --= (5) (Ⅱ) 按题意, 需求椭圆面积S ab π=在约束条件 (5) 下的最小值.。